2025年中考押題預測卷（徐州卷）

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：140分）

姓名：文化考試證號□IIIIII「

注意事項

1.本試卷共6頁，滿分140分，考試時間120分鐘。

2.答題前，請將姓名、文化考試證號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在本卷和答題卡的指定位置。

3.答案全部涂、寫在答題卡上，寫在本卷上無效。考試結束后，將本卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，只

有一項符合題意，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置）

1.我國古代數學的發展歷史源遠流長，曾誕生了很多偉大的數學發現.下列與我國古代數學發現相關的圖

形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.楊輝三角B.割圓術示意圖C.趙爽弦圖

2.下列計算正確的是（）

A.（一3孫了=-6x2y2B.3x+3y=6xy

C.(%+3)(九—3)=光之—9D.(x+3)2=x2+9

3.^2a—2b=ab,則—丁的值是____.

ab

A.-B.2C.—D.—2

22

4.欹（qi）器，它是中國最早最神奇的實物座右銘，是古代一種傾斜易覆的盛水器，水少則傾，中則正,

滿則覆，寓意“滿招損，謙受益”.如圖是一件欹器和它的主視圖，其左視圖為（）

A.B.C.D.

正面主視圖

第4題第5題

5.歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以構酌油之，自錢孔入，而

錢不濕”，可見賣油的技藝之高超.如圖，若銅錢半徑為2cm,中間有邊長為1cm的正方形小孔，隨機向銅錢

上滴一滴油（油滴大小忽略不計），則油恰好落入孔中的概率是（）

A.-B.-C.—D.—

71712萬44

6.《義務教育課程標準（2022年版）》首次把學生學會烹飪納入勞動教育課程，并作出明確規定某班有七名

同學已經學會烹飪的菜品種數依次為：3,5,4,6,3,3,4,則這組數據的眾數、中位數和平均數分

別是（）

A.3,4,4B.4,3,4C.3,3,4D.4,4,3

7.手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲.在一次

游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示.若在光源不動的情況下，

要使小狗手影的高度變為原來的一半，則光源與小明的距離應（）

A,增力口0.5米B.增加1米C.增力口2米D,減少1米

8.如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和A3C均為半圓，點M,A,C,N依次在同一直線上，S.AM=CN.現

有兩個機器人（看成點）分別從N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別

為MfAfDfCfN和NfCfBfAf若移動時間為x,兩個機器人之間距離為》則y與尤

關系的圖象大致是（）

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需要寫出解答過程，請將答案直

接填寫在答題卡相應位置）

9.計算（歷+君）（屈-君）的結果等于.

10.2025年3月，中國科學院物理研究所團隊首次實現大面積二維金屬材料的普適性制備，其中，鉛（Pb）

二維金屬厚度約為000000000075米.將數據0.00000000075用科學記數法表示為.

11.已知方程*2-5彳-2=0的兩個解分另IJ為，則占匕+占第的值為.

12.正六邊形ABCDE/和正五邊形。GH/的位置如圖所示，其中點E,D,J在同一條直線上，則/CDG的

度數為.

13.如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB,M為BC的中點，將邊AB繞點A逆時針旋轉，點3落在8處，

連接MB'，BB'，若/BB'M=90。，MB,=5,則3C=.

0V-I-/7

14.關于1的方程三邛二1無解，則。的值是___.

x+1

?

15.點既在反比例函數y=——（x>0）的圖象上，又在一次函數y=-X-2的圖象上，則以〃%〃為

尤

根的一元二次方程為.

16.已知方程無2-i7x+60=0的兩根恰好是Rt^ABC的兩條邊的長，則Rt^ABC的第三邊長為.

17.已知二次函數>=62+法-1（。，6是常數，awO）的圖象經過42,1）,3（4,3）,以4,-1）三個點中的兩個

點.平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線>=》-1上，則平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函

數表達式為.

18.如圖，在扇形A03中，。4=2,403=90。>1^^為48的三等分點，。為。4.上一動點，連接DC,D3.當

OC+D3的值最小時，圖中陰影部分的面積為（結果保留萬）

OB

三、解答題（本大題共有10小題，共86分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟）

19.（本題10分）計算:

1x—2x+1x+1

⑴+V9-2-1；Q）化簡:

2x2-1x-1

20.（本題10分）解方程或不等式組:

x—3(x—2)>4

24

(1)(2)2x+l

x-1X2-1，>x+1

3

21.（本題7分）2025春晚宛如一座絢麗的文化寶庫，向世人展示了眾多精美絕倫、承載著深厚歷史底蘊的

非物質文化遺產手工藝品.以下是幾種手工藝品的圖片：A.濰坊風箏；B.東明糧畫；C.青神竹編；D.延

安剪紙.

A.濰坊風箏B.東明糧畫C.青神竹編D.延安剪紙

（1）小樂從這四幅圖中隨機選擇一幅，恰好選中“C.背神竹編”的概率是.

（2）小樂和小歡分別從這四幅圖中任選一幅，用于宣傳脊晚中的非物質文化遺產，請用畫樹狀圖或列表的方

法分析，兩人恰好選中同一幅圖片的概率.

22.（本題7分）隨著《哪吒之魔童鬧海》電影的大爆，與之相關的哪吒文創周邊銷售也異常火爆.某文創

店將進價為20元/個的哪吒鑰匙扣以30元/個出售，平均每天能售出50個，該文創店通過調查發現這種鑰匙

扣每個的售價每上漲1元，其每天的銷售量就減少2個，要使每天銷售這種鑰匙扣的利潤為608元，且售價

不能超過38元/個，這種鑰匙扣的售價應定為多少元/個？

23.（本題8分）如圖1,菱形A38中，點E是對角線AC上一點，連接BE、DE.

圖1圖2

⑴求證：BE=DE；

（2）如圖2,若/ABC=80。，點下在線段AD上，連接EF,當尸是等腰三角形時，請直接寫出/AEF的

度數.

24.（本題8分）為響應“健康中國”戰略號召，某中學創新推出“快樂運動?健康同行”主題健身周，真正實現

“汗水里綻放笑臉”的素質教育新實踐.現隨機抽取九年級20名學生，統計其每日體育活動時間，但在統計

數據時不慎將墨汁滴到統計表中，如圖所示，根據以上信息，解決下列問題.

運動時間X/分鐘數據

第一組50<x<6054,57,53

第二組60<x<7063,657------168,64,66

72,(\76,79

第三組70<x<80

第四組80<x<908尺/88,83

（1）補全頻數分布直方圖;

（2）墨汁蓋住的數字共個，若第四組學生的平均運動時間為84.5,求第四組中被蓋住的數字；

（3）扇形統計圖中第四組的圓心角的度數是；

（4）若該校共有學生2000人，試估算該校約有多少名學生每日運動時間不少于60分鐘.

25.（本題8分）中國古代運用“土圭之法”判別四季.夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日

影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數.某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日

影的桿子AB垂直于地面，A3長8尺.在夏至時，桿子在太陽光線AC照射下產生的日影為BC；在冬

至時，桿子在太陽光線AD照射下產生的日影為30.已知NACB=73.4。，ZADB=26.6°,求春分和秋

分時日影長度.（結果精確到01尺；參考數據：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.50,sin73.4°?0.96,

cos73.4°x0.29,tan73.4°?3.35）

豐立壽春分立春

26.（本題8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數'=彳-4與反比例函數>的圖象交于

X

4（6,〃?）,3（-2川兩點，交x軸于點C,與>軸交于點O.

(1)求反比例函數的解析式;

(2)若尸為反比例函數y=?(無>0)圖象上的一點，當邑皿=25小時，求點尸的坐標；

(3)在>軸上存在一點使與△AC?相似，求M點的坐標.

27.(本題10分)定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所

對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“比中項妙點”.如圖1,VABC中，點。是BC邊上一點,

連接AD,若旬2=8℃￡),則稱點。是VABC中BC邊上的“比中項妙點”.

⑴①在RtA4BC中，ZACB=90°,CD_LAB于點。，則點。______(填“是”或“不是")VABC中邊上

的“比中項妙點”；

②如圖2,VABC的頂點是4x4網格圖的格點，請僅用皂個畫出43邊上的一個“比中項妙點”點M(A3的

中點除外).

(2)如圖3,平行四邊形ABC。中，點E為BC邊上一點，連接OE交對角線AC于點品點尸恰好是AACD中

AC邊上的“比中項妙點”.

①求證：點F也是ACDE中。E邊上的“比中項妙點”；

②連接即并延長交C。于點G,若點歹是A3CG中BG邊上的“比中項妙點”，且算=求爺的值.

EC2AB

28.(本題10分)綜合與探究

問題情境：

在“數學活動”課上，老師提出如下問題：將圖1中兩個全等的直角三角形紙板VASC和重合放置，

其中=汨=90。，AC=ED=4,BC=BD=3.將△即3繞點8順時針旋轉，旋轉角為

?(0°<?<360°).如圖2,當VBDE的直角頂點。剛好落在邊上時，的延長線交AC于點尸，試判

斷。廠與FC的數量關系，并說明理由.

數學思考

(1)請你解答老師提出的問題.

深入探究

(2)老師將△￡/汨繼續繞點8順時針旋轉到圖3位置，作射線C。交AE于點N.此時“善思小組”的同學

認為點N是AE的中點.請判斷“善思小組”的觀點是否正確，并說明理由.

(3)在繞點8順時針旋轉的過程中，連接AD,AE,是否存在某一時刻，使得VADE是一個以AE為

直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出此時4。的長；若不存在，請說明理由.

AC

圖3備用圖

2025年中考押題預測卷（徐州卷）

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：140分）

姓名：文化考試證號□IIIIII「

注意事項

1.本試卷共6頁，滿分140分，考試時間120分鐘。

2.答題前，請將姓名、文化考試證號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在本卷和答題卡的指定位置。

3.答案全部涂、寫在答題卡上，寫在本卷上無效。考試結束后，將本卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，只

有一項符合題意，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置）

1.我國古代數學的發展歷史源遠流長，曾誕生了很多偉大的數學發現.下列與我國古代數學發現相關的圖

形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.楊輝三角B.割圓術示意圖C.趙爽弦圖D.洛書

【答案】B

【知識點】軸對稱圖形的識別、中心對稱圖形的識別

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解此

題的關鍵.中心對稱圖形是在平面內，把一個圖形繞某一定點旋轉180。，能夠與自身重合的圖形.軸對稱

圖形是在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.依據定義判斷.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.

B.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意.

C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意.

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

2.下列計算正確的是（）

A.(-3xy)2--6x2y2B.3x+3y-6xy

C.(x+3)(x—3)=尤2—9D.(%+3)~=尤2+9

【答案】C

【知識點】合并同類項、積的乘方運算、運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了整式的運算，根據積的乘方法則、合并同類項法則、平方差公式、完全平方公式逐項

判斷即可.

【詳解】解：A.(-3孫)2=9/，，故原計算錯誤；

B.3x與3y不是同類項，不可以合并，故原計算錯誤；

C.(X+3)(%-3)=X2-9,故原計算正確；

D.(x+3)2=x2+6x+9,原計算錯誤；

故選：C.

3.若2a-2b=ab,則—:的值是______.

ab

A.B.2C.—D.—2

22

【答案】C

【知識點】分式的求值、異分母分式加減法

【分析】本題考查的是分式的求值，分式的加減運算，掌握整體代入法求解分式的值是解本題的關鍵；把

工一。化為二￡,再代入計算即可.

abab

【詳解】解：'；2a-2/7=而,

.11_b-a_-(a-Z?)_1

'abab2(a—6)2'

故選C

4.欹(ql)器，它是中國最早最神奇的實物座右銘，是古代一種傾斜易覆的盛水器，水少則傾，中則正,

滿則覆，寓意“滿招損，謙受益”.如圖是一件欹器和它的主視圖，其左視圖為()

正面主視圖

【知識點】判斷簡單組合體的三視圖

【分析】本題考查了由幾何體判斷三視圖，從左邊看到的圖形是左視圖，注意能看到的線用實線畫，看不

到的線用虛線畫.根據左視圖是從左邊看到的圖形解答即可.

【詳解】解：由題意可得：其左視圖為：

故選：C

5.歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以構酌油之，自錢孔入，而

錢不濕”，可見賣油的技藝之高超.如圖，若銅錢半徑為2cm,中間有邊長為1cm的正方形小孔，隨機向銅錢

上滴一滴油（油滴大小忽略不計），則油恰好落入孔中的概率是（）

1

__一.—.D.—

71712乃44

【答案】D

【知識點】幾何概率

【分析】用中間正方形小孔的面積除以圓的總面積即可得.

【詳解】???銅錢的面積為4%，而中間正方形小孔的面積為1,

隨機向銅錢上滴一滴油（油滴大小忽略不計），則油恰好落入孔中的概率是

4?

故選D.

【點睛】考查幾何概率，求概率時，已知和未知與幾何有關的就是幾何概率.計算方法是長度比，面積比,

體積比等.

6.《義務教育課程標準（2022年版）》首次把學生學會烹飪納入勞動教育課程，并作出明確規定某班有七名

同學已經學會烹飪的菜品種數依次為：3,5,4,6,3,3,4,則這組數據的眾數、中位數和平均數分

別是（）

A.3,4,4B.4,3,4C.3,3,4D.4,4,3

【答案】A

【知識點】求一組數據的平均數、求中位數、求眾數

【分析】本題主要考查眾數、中位數和平均數，一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數，中

位數是指將一組數據按照由小到大或由大到小的順序排列，如果數據的個數是奇數，則稱中間位置的數為

這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數.根據眾數、

中位數、平均數的定義解答即可.

【詳解】解：???這7個數據中出現次數最多的數據是3,

這組數據的眾數是3,

??,把這組數據按從小到大順序排為：3,3,3,4,4,5,6,位于中間的數據為4,

???這組數據的中位數為4,

3?32?45+6,

,/--------------------=4,

7

這組數據的平均數為4.

故選：A.

7.手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲.在一次

游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示.若在光源不動的情況下，

要使小狗手影的高度變為原來的一半，則光源與小明的距離應（）

圖1圖2

A,增加0.5米B.增加1米C.增加2米D,減少1米

【答案】C

【知識點】相似三角形實際應用、中心投影

【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質，解題是關鍵是找出相似的三角形，然后根據對

應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解答問題，根據題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質

構建方程求解即可.

【詳解】解：如圖：點。為光源，為小明的手，8表示小狗手影，則作延長O￡

交CD于F,則。尸，CD,

AZOAB=ZOCDf/OBA=/ODC,

：.Z\OABs/\（JCD,

.ABOE

^~CD~~OF'

TO石=2米，。/=6米，

.ABOE_2_1

**CD-OF-6-3，

令AB=k,則CD=3k,

???在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變為原來的一半，如圖,

3

^AB=k,C'D'=—k,△OABs^OC'D',

2

=OF=X=2QE，2

CD'OF'331則—=T，

5K63

OE'=4米，

二光源與小明的距離應增加4-2=2米，

故選：C.

8.如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點A,C,N依次在同一直線上，SLAM^CN.現

有兩個機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別

為MfAfOfCfN和NfCff若移動時間為x,兩個機器人之間距離為y,則y與尤

關系的圖象大致是（）

【答案】D

【知識點】動點問題的函數圖象

【分析】設圓的半徑為此根據機器人移動時最開始的距離為AM+C7V+2R,之后同時到達點A,C,兩個

機器人之間的距離y越來越小，當兩個機器人分別沿AfD-C和Cf3fA移動時，此時兩個機器人之

間的距離是直徑2R,當機器人分別沿CfN和AfM移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大.

【詳解】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發，

設圓的半徑為R

兩個機器人最初的距離是AM+CN+2R,

兩個人機器人速度相同，

,分別同時到達點A,C,

.?.兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A,C；

當兩個機器人分別沿AfO-C和83A移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑2R,保持不變，

當機器人分別沿CfN和移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除C,

故選：D.

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需要寫出解答過程，請將答案直

接填寫在答題卡相應位置）

9.計算（屈+石）（9-碼的結果等于.

【答案】8

【知識點】運用平方差公式進行運算、二次根式的混合運算

【分析】本題考查了利用平方差公式進行計算、二次根式的混合運算，利用平方根公式去括號，再根據二

次根式的性質計算即可得出答案.

【詳解】解:/+礎G⑹

=13-5

=8,

故答案為：8.

10.2025年3月，中國科學院物理研究所團隊首次實現大面積二維金屬材料的普適性制備，其中，鉛（Pb）

二維金屬厚度約為0.00000000075米.將數據0.00000000075用科學記數法表示為.

【答案】7.5x10-”

【知識點】用科學記數法表示絕對值小于1的數

【分析】本題考查了用科學記數法表示較小的數，用科學記數法表示較小的數，一般形式為公10-“，其中

1<|a|<10,"為正整數，即為原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數.

【詳解】解：0.00000000075=7.5x1O10.

故答案為：7.5x10-1。.

11.已知方程d-5x-2=0的兩個解分另!］為％,則X法+占尤的值為.

【答案】-10

【知識點】因式分解在有理數簡算中的應用、一元二次方程的根與系數的關系

【分析】先根據根與系數的關系求出玉+%和玉%的值，然后再對靖馬+王馬?因式分解后代入計算即可.

【詳解】解：：方程f-5尤-2=0的兩個解分別為X”9，

/.%+%=5,xrx2=-2,

x^x2+飛赴2-（石+%）=5x（-2）=-10.

故答案為：-10.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程依2+云+C=0（〃。0）根與系數的關系，若不超為方程的兩個根,

bc

則X],尤2與系數的關系式：Xl+x2=--，Xl'x2=~

aa

12.正六邊形ABCDEb和正五邊形。GW的位置如圖所示，其中點E,D,J在同一條直線上，則/CDG的

度數為

【答案】48。/48度

【知識點】正多邊形的外角問題

【分析】本題考查了正多邊形的內角與外角，熟練掌握多邊形的外角和是解題的關鍵;

根據正五邊形和正六邊形性質得出各外角度數，進而可得答案.

【詳解】解：,在正六邊形ABCDER和正五邊形中,

360°

NCDJ=——=60°,

6

360°

ZEDG=-^-=72。,

ZCDG=180°-ZCDJ-ZEDG=180°-60°-72°=48°,

故答案為：48°.

13.如圖，在矩形ABC。中，BC=2AB,M為BC的中點，將邊AB繞點A逆時針旋轉，點3落在笈處,

連接MB'，BB'，若/B3'M=90。，MB,=5,則BC=

【答案】10下

【知識點】用勾股定理解三角形、根據矩形的性質求線段長、根據旋轉的性質求解

【分析】如圖，過A作AQ，班'于Q,ZBB'M^90°,證明△A3。物ABMB',而MB，=5,可得

BQ=B'M=5=B'Q,即39=10,再利用勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過A作AQL8B'于Q,/BB'M=90。,

ZAQB=ZBB'M=90°,

：.ZB'BM+NBMB'=90°,

由旋轉可得：AB=AB',BQ^B'Q,

-：BC=2AB,M為BC的中點，

AB=BM=MC,

?..矩形ABC。，

ZABQ+ZB'BM^90°,

：.ZABQ=ZBMB',

,而MB'=5,

ABQ=BrM=5=BrQ,即旗'=10,

aw="+102=5行，

/.BC=2BM=IO^[5,

故答案為：10君.

【點睛】本題考查的是旋轉的性質，等腰三角形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定

理的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

14.關于x的方程出二=1無解，則。的值是.

【答案】2

【知識點】分式方程無解問題

【分析】本題考查了根據分式方程解的情況求參數，先求出方程的解，再根據方程無解可知分式方程的分

母為0,求出x的值，再代入方程的解計算即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊乘以x+1得，2x+a=x+l,

??x—?1—a,

?.?關于尤的方程處邛=1無解，

X+1

%+1=0,

??x——1,

??1—a=-1,

。=2,

故答案為：2.

2

15.點尸既在反比例函數y=——（x>0）的圖象上，又在一次函數y=-X-2的圖象上，則以外〃為

根的一元二次方程為.

【答案】x1+2x-2=0（答案不唯一）

【知識點】一元二次方程的根與系數的關系、一次函數與反比例函數的交點問題

【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，一次函數與反比例函數圖象上的點的坐標特征.將尸點

代入反比例函數解析式中，可得出辦〃的乘積；將P點坐標代入一次函數的解析式中，可得出似w的和；

根據韋達定理即可求出以辦“為根的一元二次方程.

7

【詳解】解：??,點尸（一〃）在反比例函數：尸一（x>。）的圖象上，

x

2

..〃=---,

m

mn=—2；

??,點尸（加，川）在一次函數y=-x-2的圖象上，

n=-m-2,

m+w=—2,

.?.以m,”為根的一元二次方程可以為：/+2x-2=0.

故答案為：X2+2X-2=0（答案不唯一）.

16.已知方程/一17》+60=0的兩根恰好是Rt^ABC的兩條邊的長，則Rt^ABC的第三邊長為.

【答案】13或而？/13或日？

【知識點】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解題的關鍵是分類討論.

解一元二次方程，分類討論，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：X2-17X+60=0

解得占=12,&=5,

當％=12,%=5為RtAABC的兩直角邊時，第三條邊長為V122+52=13；

當X=12,%=5為Rt^ABC的一條直角邊和一條斜邊時，第三條邊長為正復字二阿;

故答案為：13或而？.

17.已知二次函數、=依2+法-1(a,6是常數，awO)的圖象經過4(2,1),8(4,3),。(4,-1)三個點中的兩個

點.平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線＞=xT上，則平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函

數表達式為.

19

［答案］y=--(x-iy+2

【知識點】待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象的平移、其他問題(二次函數綜合)

【分析】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換、二次函數圖象上點的坐標特征，求二次函數的解析式

等知識點，正確求得拋物線平移前后的解析式是解題的關鍵.

先判斷拋物線經過點A、C,然后利用待定系數法求得解析式，根據題意設出設平移后的拋物線為

y=--(x-2+/n)2+l-/?,令x=0,得到解得是縱坐標與平移距離之間的函數關系，根據此函數關系即可

求得m,即可求得平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式.

【詳解】解：42,1)1(4,3)在直線y=x-l上，

A或8是拋物線的頂點，

?.?8(4,3),C(4,-1)的橫坐標相同，

拋物線不會同時經過2、C點，

,拋物線過點A和C兩點，

把把2,1),C(4,-1)代入y=ax2+bx-l：

4a+2Z?-l=l

解得，2

16a+46-l=-l

b=2

11

二次函數為y=-萬1?+2x—1=—/(x—2)9+1

???頂點始終在直線y=%T上,

?.?拋物線向左、向下平移的距離相同,

1

???設平移后的拋物線為y=-1(x-2+my9+1-/77,

111

令x=0,貝！Jy=一耳(_2+機)2+l-m=(m-1)2——,

，“2=1時，拋物線與y軸交點縱坐標有最大值為,

???平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式為y=-1(X-1)2+2.

故答案為：y=-1(x-l)2+2.

18.如圖，在扇形493中，。4=2,4405=90。?>^^為48的三等分點，。為Q4.上一動點，連接.當

OC+DB的值最小時，圖中陰影部分的面積為(結果保留乃)

2兀-石

【答案】

-3~

【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、求其他不規則圖

形的面積

【分析】過點B作關于A0的對稱點連接C/交于點。，止匕時，DC+BD=DC+DF=CF,值最小,

由點C為AB三等分點，ZAOB=90°,得到ZAOC=|ZAOB=30。，根據0c=。/==2,得到ZOFC=30°,

由03=0/，OA1BF,得到/)尸=DB,進而得到NCEE>=90。，求出孚，CE=1,進面求出S/CE,

SAEOB'S扇形AOB，S扇形AOC，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點B作關于49的對稱點/，連接CP交A。于點。，止匕時，DC+BD=DC+DF=CF,

值最小，如圖：

設3D與OC交于點E,

:點C為48三等分點，4403=90。,

ZAOC=-ZAOB=30°,

3

ZBOC=ZAOB-ZAOC=60°,

---OC=OF=OA=2,

：.NOFC=ZOCF=-ZBOC=30°,

2

VOB=OF,OA1BF,

：.DF=DB,

：.ZDBF=ZCFO=30°f

???ZBDO=180°-ZAOB-ZDBF=60°

VDF=DB,OF=OB,

：.ZFDB=2ZBDO=120°,

ZCDB=60°,

???ZCED=180°-ZFCD-ZCDB=180°-30°-60°=90°,

在尸中，NCFO=30。，則止=20。，

,:DF2=OD2+OF2,

???4On2=OZ)2+4,

解得：撞（負值已舍去）,

3

ZAOC=ZFCO=3Q°,

?S8考

在RtaCDE中,DE=-CD=—,

23

CE=ylcD2-DE2=

百,73

/.S=-DE-CE=-x-------X1=--------,

△ZnJrCCF2236

在RtZ\3￡O中，ZEBO=30°,

OE=-OB=l

2f

BE=SB2-OE?=逝2-12=6,

/.SFCR=-OE-B￡=-xlx5/3=—,

AEOB222

c90°x^-x22

扇形AOB==7T，

360°

30°x^x221

S扇形AOC=二一九,

360°3

S陰=S扇形AOB-S^EOB~S扇形AOC+S&DCE

V316

=71------------------71H--------

236

2萬-百

2萬-百

故答案為：三二

3

三、解答題（本大題共有10小題，共86分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟）

19.（本題10分）計算：

(1)+V9-2-1

【答案】（1）3

【知識點】實數的混合運算、含乘方的分式乘除混合運算

【分析】本題考查了實數的混合運算和分式的化簡，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

（1）先根據絕對值的性質，算術方法根的定義和負整數指數累的性質分別化簡，再進行加減運算;

（2）先根據完全平方公式和平方差公式分別因式分解，再約分即可.

【詳解】（1）解：-1+V9-2-'

x2-1x-1

(x-l)-x+1

+x-1

20.（本題10分）解方程或不等式組:

【答案】（1）無解；（2）x<-2

【知識點】解分式方程（化為一元一次）、求不等式組的解集

【分析】此題考查了分式方程和一元一次不等式組的求解能力，關鍵是能進行準確轉化、計算.

（1）先將原方程化成整式方程后再求解、檢驗；

（2）分別求解兩個不等式，再確定它們的公共部分.

【詳解】解：（1）兩邊同時乘以（x+l）（x-l）,得

2(x+l)=4,

解得x=1,

檢驗：當x=l時，(x+l)(x-l)=O,

??.x=l增根，原方程無解;

x-3(x-2)24①

(2)-2--.X---+--1-＞無+]，②不

3

解不等式①，得xWl,

解不等式②，得x<-2,

,該不等式組的解集是x<-2.

21.(本題7分)2025春晚宛如一座絢麗的文化寶庫，向世人展示了眾多精美絕倫、承載著深厚歷史底蘊的

非物質文化遺產手工藝品.以下是幾種手工藝品的圖片：A.濰坊風箏；B.東明糧畫；C.青神竹編；D.延

安剪紙.

A.濰坊風箏B.東明糧畫C.青神竹編D.延安剪紙

(1)小樂從這四幅圖中隨機選擇一幅，恰好選中“C.背神竹編”的概率是.

(2)小樂和小歡分別從這四幅圖中任選一幅，用于宣傳脊晚中的非物質文化遺產，請用畫樹狀圖或列表的方

法分析，兩人恰好選中同一幅圖片的概率.

【答案】⑴；⑵；

【知識點】根據概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了概率公式，用列表非或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

(1)由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好選中“C.背神竹編”的結果有1種，根據概率公式計算即

可；

(2)列表得出所有等可能的結果以及兩人恰好選中同一幅圖的結果數，再利用概率公式計算即可.

【詳解】(1)解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好選中“C.背神竹編”的結果有1種，

???小樂從這四幅圖中隨機選擇一幅，恰好選中“c.背神竹編”的概率是:；

4

(2)解：列表如下,

ABcD

A(AA)")(A?(A0

B(民A)(BI)(B?(BQ)

C(GA)(CI)(c?(C，0

D(RA)(D,B)2，C）(DM

共有16種等可能的結果，其中兩人恰好選中同一幅圖的結果有4種，

41

，兩人恰好選中同一幅圖的概率為77=：.

22.（本題7分）隨著《哪吒之魔童鬧海》電影的大爆，與之相關的哪吒文創周邊銷售也異常火爆.某文創

店將進價為20元/個的哪吒鑰匙扣以30元/個出售，平均每天能售出50個，該文創店通過調查發現這種鑰匙

扣每個的售價每上漲1元，其每天的銷售量就減少2個，要使每天銷售這種鑰匙扣的利潤為608元，且售價

不能超過38元/個，這種鑰匙扣的售價應定為多少元/個？

【答案】這種鑰匙扣的售價應定為36元/個

【知識點】公式法解一元二次方程、營銷問題（一元二次方程的應用）

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，根據題意找出等量關系并列方程是解題關鍵.

設這種鑰匙扣的售價應定為x元/個，由鑰匙扣每個的售價每上漲1元，其每天的銷售量就減少2個，列出等

式，解一元二次方程即可求解.

【詳解】解：設這種鑰匙扣的售價應定為x元/個，

根據題意，得（x—20）［50-2（*-30）］=608,

解得玉=36,x2=39,

.這種鑰匙扣的售價不能超過38元/個，

.'.x-36.

答：這種鑰匙扣的售價應定為36元/個.

23.（本題8分）如圖1,菱形中，點E是對角線AC上一點，連接BE、DE.

圖1圖2

⑴求證：BE=DE；

(2)如圖2,若/ABC=80。，點/在線段AD上，連接所，當尸是等腰三角形時，請直接寫出4EF的

度數.

【答案】(1)見詳解

(2)80。或65°或50。

【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和SAS綜合(SAS)、等腰三角形的性質和判定、利用菱

形的性質求線段長

【分析】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容

是解題的關鍵.

(1)根據菱形的性質得=AD=AB,然后證明,即可作答.

(2)根據菱形的性質得3C〃AD,ZBAE=ZDAE,ZBAE=ZDAE=50°,然后結合等腰三角形的性質，

進行逐個作圖，且根據三角形內角和性質列式計算，即可作答.

【詳解】(1)解：???四邊形鉆CD是菱形，

/.ZBAE=ZDAE,AD=AB,

;AE=AE,

BE=DE；

(2)解：?.?四邊形A5CE)是菱形，

BC//AD,ZBAE=ZZME,

ZABC=80°,

Z.BAD=180°-80°=100°,

：.ZBAE=ZDAE=5O0

'：△AEF是等腰三角形，

...當=時，如圖所示:

，ZEFA=ZDAE=50°,

：.ZAEF=180°-50°-50°=80°；

...當E4=E4時，如圖所示：

ZAEF=ZAFE=|x(18O°-5O°)=65°；

.?.當EF=E4時，如圖所示:

ZAEF=ZZMC=50°；

綜上：當△AEF是等腰三角形時，的度數為80。或65。或50。.

24.（本題8分）為響應“健康中國”戰略號召，某中學創新推出“快樂運動?健康同行”主題健身周，真正實現

“汗水里綻放笑臉”的素質教育新實踐.現隨機抽取九年級20名學生，統計其每日體育活動時間，但在統計

數據時不慎將墨汁滴到統計表中，如圖所示，根據以上信息，解決下列問題.

運動時間X/分鐘數據

第一組50<x<6054,57,53

第二組60<x<7063,65廠一168,64,66

72,()76,79

第三組70<x<80

第四組80<x<908太/88,83

(1)補全頻數分布直方圖;

(2)墨汁蓋住的數字共個，若第四組學生的平均運動時間為84.5,求第四組中被蓋住的數字;

(3)扇形統計圖中第四組的圓心角的度數是；

(4)若該校共有學生2000人，試估算該校約有多少名學生每日運動時間不少于60分鐘.

【答案】(1)見解析

(2)6；85

(3)72°

(4)該校約有1700人每天運動時間不少于60分鐘

【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、求扇形統計圖的圓心角、條形統計圖和扇形統計圖信息關

聯、頻數分布直方圖

【分析】本題主要考查了統計表、統計圖、利用樣本估計總體.解決本題的關鍵是根據統計表、統計圖中

的已知信息，得到未知信息.

⑴由統計表和統計圖中的信息分別求出第一、二、四組的人數，補全頻數分布直方圖即可；

(2)根據頻數分布直方圖中各組的人數和統計表中每個組顯示的人數，分別