2025年中考數學三輪復習備考平行四邊形證明高頻考點歸納練

1.(1)如圖1,在正方形ABCD中，點、E,尸分別在ARA8上，連接CE,DF交于點G,

當上=CE時，請判斷。產與CE的位置關系，并寫出證明過程；

(2)如圖2,點尸為C。的中點，將正方形ABCD沿8尸折疊，點C的對稱點為G,連接CG

并延長交AD于點E,交BP于點、K,連接。G并延長交A8于點凡求證：CE=DF.

2.如圖1,菱形ABC。中，點E是對角線AC上一點，連接BE、DE.

⑴求證：BE=DE；

試卷第1頁，共10頁

(2)如圖2,若/ABC=80。，點/在線段AO上，連接EF,當所是等腰三角形時，請

直接寫出NAE尸的度數.

3.如圖，在矩形A3。中，AD=3,0c=10,點E是邊A8上一點，￡3=9,連接。E,

EC.點M和點尸分別是邊BC和線段8E上的動點，連接PM.

⑴求證：DAE^EBC-,

(2)如圖1,^PM=PB+CM,%>BM=祟求EP+BM的長；

(3)如圖2,將DAE繞點O逆時針旋轉，使點E的對應點/在邊DC上，點A的對應點A在

線段DP上，DP交EC于點、N,若尸"=QW,求證：NM//AB.

試卷第2頁，共10頁

4.如圖1,四邊形ABC。中，對角線AC,BO互相垂直平分，過N作AHLCD于"交8

于K,延長D4至M,作NK4H的平分線，交BD于E,交BC于尸.

CC

圖1圖2

⑴判斷四邊形ABCD的形狀并證明;

(2汝口圖2,連接OH,判斷與AE的數量關系,并說明理由;

⑶補全圖形：延長A8,交EC延長線于G,延長AF,交OC延長線于/,探究當CG=夜時,

比較&CH和GC的大小關系，并說明理由.

5.如圖①.點E為正方形ABC。內一點.NAEB=90。，將RtZXABE繞點2按順時針方向

旋轉90。，得到(點/的對應點為點C).延長AE交CE'于點?連接DE.

猜想證明：

(1)試判斷四邊形BEBE，的形狀.并說明理由；

(2)如圖②.若DA=DE.請猜想線段C尸與FE的數量關系并加以證明；

解決問題：

試卷第3頁，共10頁

(3)如圖①，若AB=15,CF=3,請直接寫出。E的長.

(1)如圖①，證明：BE=BF.

(2)如圖②，若NADC=90。，。為AC的中點,G為E尸的中點，試探究OG與AC的位置關

系，并說明理由.

(3)如圖③，若NADC=60。，。為AC的中點,過點E作。C的平行線，并在其上取一點砥

與點尸位于直線BC的同側)，使EK=BF,連接CK,H為CK的中點，試探究線段與

況4之間的數量關系，并對結論給予證明.

試卷第4頁，共10頁

7.已知在正方形中，AB=6,點瓦戶分別在邊AD,CD±,SLDE=DF,連接BE,

BD.

AEDAEDAED

BCBC

圖2圖3

(1)如圖1,連接AF交于點G,若CF=2DF,求證：BG=3DG；

(2汝口圖2,連接EB,BF,若NEBb=45。，求￡產的長；

ENDN

(3)如圖3,連接8尸，過點￡作￡加，3尸，垂足為交BD于點N,求證：—.

8.(1)如圖1,點E是邊長為12的正方形紙片A3CZ)的邊所在的射線ZM上一動點，將正

方形沿著CE折疊，點。落在點尸處，把紙片展平，射線交射線于點P.根據以上

操作，求證：AP=EF.

(2)在(1)條件下，若點E是AD的中點，如圖2,延長Cb交AB于點。，點。的位置是

否確定？如果確定，求出線段BQ的長度，如果不確定，說明理由；

(3)在(1)條件下，如圖3,CE,。尸交于點G,取CG的中點連接8〃，求8H的

最小值.

試卷第5頁，共10頁

AEDAED

B

圖1

9.四邊形ABC。是一張平行四邊形紙片，將紙片沿著EF折疊，使點8落在直線AO上的點

8,處，點A的對應點為A,和CO相交于點

圖1圖3

(1)如圖1,當平行四邊形ABCD是矩形時:

①連接班，求證：四邊形為菱形:

②如圖2,若3c=248,當點F與點C重合時,/ECB'=

(2)如圖3,當平行四邊形ABCO滿足NABC=60。，AE=AB=2,且H為CD的中點，求此

時所的長度.

試卷第6頁，共10頁

10.如圖，正方形ABC。的邊長為4,在平面內取一點E（不與點。重合），連接。E,以DE

為邊作正方形DEFG（D,E,F,G四點逆時針分布），連接AE,CG.

圖1備用圖

（1）如圖1,當點E在正方形48co的內部時，求證：AE=CG；

（2）在（1）的條件下，當點E運動到與AE,G三點共線時，若DE=2,求AE的長;

（3）當點E在平面內運動時，若DE=2,請直接寫出△4BF的面積的取值范圍.

11.實踐操作矩形紙片ABC。中，AB=6,AD=4,現將紙片折疊，點/的對應點記為點

P,折痕為（點M,N是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片展平.

初步思考（1）如圖1,當點N在上，點M和點尸在OC上，AP與交于點。求

證：四邊形AMPN為菱形；

繼續探究（2）如圖2,在（1）的條件下，當點尸與點。重合時，求AM的長；

拓展延伸（3）如圖3,當點N和點8重合，點M在上運動時（點M不與點/重合），

作/C3P的平分線，與MP的延長線交于點。.求出點0到CO的距離，并直接寫出在點M

運動過程中，點0到直線A。的最大距離.

試卷第7頁，共10頁

圖1

12.如圖，在正方形A3。中，對角線AC,8。交于。點，AF是254C的外角平分線，CF

平分NACB,交BZ)于點G.

⑴求/尸的度數;

⑵求證：FG=V2CG;

(3)如圖2,連接。尸，若正方形ABCO的邊長為2,求￡＞尸的長.

試卷第8頁，共10頁

13.在正方形A2C￡＞和正方形AEFG中，E為BC上一動點(不與3、C重合)，G在CD延

長線上，

⑴如圖1,判斷DG與跖的數量關系，并說明理由.

(2)如圖2連接EG、BD交于點P,連接CP,判斷AE與CP的數量關系，并說明理由.

⑶如圖3連接EG、8。交于點P,連接CF,若點E在運動的過程中，當CP平分NEC/?時,

過點尸做PHLEC于點直接寫出PH與EC的數量關系.

14.如圖①，四邊形ABC。為正方形，E為對角線AC上一點，連接。E,BE.

圖①圖②圖③

⑴求證：BE=DE；

(2)如圖2,過點E作理FOE,交邊BC于點F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

①求證：矩形OEFG是正方形；

②若正方形ABC。的邊長為9,CG=3夜，求正方形。EFG的邊長；

試卷第9頁，共10頁

(3)若正方形ABC。的邊長為4形，連接CG,如圖③，直接寫出CE+CG的值.

15.菱形A3CD中，點E為CD邊上一動點,射線AE與8c的延長線交于點歹，連接。尸,

射線8E與。下交于點G.

⑴如圖1,E為CO中點，ZAEB=NBCD.

①求證：BE2=CEBC;

②若48=6,求線段EG的長；

(2)如圖2,點打在邊A。上，若/EBH=/BCD=60°,BE=4EG=2,求線段AH的長.

試卷第10頁，共10頁

?2025年中考數學三輪復習備考平行四邊形證明高頻考點歸納練》參考答案

1.(1)DFLCE,證明見解析；(2)見解析

【分析】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，平

行四邊形的判定與性質等知識,靈活運用全等三角形的性質處理邊角關系是解答本題的關鍵.

(1)運用應證明RtDAF^RtCDE,得NECD=NFDA,由/b04+/陽。=90。得

ZECD+ZCDF=90°,可得/DGC=90。，從而得D尸_LCE；

(2)由折疊得8尸垂直平分CG,K為CG的中點，/BKC=90。，運用ASA證明BCP^ECD,

得BP=CE,再運用三角形中位線定理得出尸得出四邊形PBDF是平行四邊形，

可得8尸=￡＞尸，從而得出CE=。尸.

【詳解】解：(1)DFLCE,

證明：；四邊形ABCO是正方形，

/.AD=CD,ZA=ZADC=90°,

在RtADF和RtVOCE中，

(AD=DC

[DF=CE'

RtDAF^RtCDE(HL),

/.ZADF=ZDCE,

,/ZADC=90°,

：.ZADF+ZFDC=9Q°,

：.NDCE+NFDC=9Q。,

：.ZDGC=180。-("CE+/EDC)=180。-90°=90°,

/.DF±CE；

(2)?.?將3PC沿BP折疊，得到BPG,

...點C與點G關于直線BP對稱，

?.BP1CG,GK=CK,

???K為CG的中點，

:四邊形ABC。是正方形，

BC=CD,AB//CD,NBCP=ZADC=90°,

NPBC=ZECD=90°-Z.BCE,

答案第1頁，共35頁

在3cp和△ECP中，

ZPBC=NECD

<BC=CD,

ZBCP=ZCDE

：.BCP咨ECD(ASA),

BP=CE；

為CG的中點，尸為CD的中點，

:.PK為CDG的中位線，

PK//DG,即BP//DF,

又A3〃C。，

.?.四邊形BPDF是平行四邊形，

BP=DF,

:BP=CE,

：.DF=CE.

2.(1)見詳解

(2)80°或65°或50°

【分析】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，正確掌握

相關性質內容是解題的關鍵.

(1)根據菱形的性質得=AD=AB,然后證明且△%￡,即可作答.

(2)根據菱形的性質得BC〃AD,NBAE=NDAE,NBAE=NDAE=50。,然后結合等腰

三角形的性質，進行逐個作圖，且根據三角形內角和性質列式計算，即可作答.

【詳解】(1)解：：四邊形ABCO是菱形，

/BAE=ZDAE,AD=AB,

'：AE=AE,

：.ABAE注△OAE,

BE=DE；

(2)解：?.?四邊形ABC。是菱形，

/.BC//AD,NBAE=NDAE,

'：ZABC=80°,

：.ABAD=180°-80°=100°,

答案第2頁，共35頁

NBAE=NDAE=5Q°

'：△A所是等腰三角形，

.?.當EA=FE時，如圖所示:

ZEFA=ZDAE=50°,

ZAEF=180°-50°-50°=80°；

.,.當EA=E4時，如圖所示：

ZAEF=ZZMC=5O°；

綜上：當△人￡尸是等腰三角形時,NAEF的度數為80。或65。或50。.

3.(1)見解析；

答案第3頁，共35頁

(3)見解析.

【分析】(1)在矩形ABCD中，AD=3,0c=10,EB=9,得出BC=3,AE=1,即可

AnRF

得——=——，結合ZA=ZB=90°,即可證明DAE^EBC.

AEBC

(2)如圖，設CM=尤，BP=y,則尸M=x+y,貝—無，EP=9-y,在心中，

勾股定理得出關系式孫號-3%，由s△網=爍得4y(3-x)=:，兩式相結合得出

13

=y,即可求解EP+BM=I2-x-y.

(3)證明4P絲△C3E,得出AP=BE=9,即可得P8=l,根據加？=(3-尸拉『+F,

求出產M=3,得出需■=?,由OC〃PE得△OCNs△尸硒，得出費=益=援,

33HM4乜Nr￡j4

再證明△CNMS2\CEB,可得NCNM=NCEB,即可證明NM〃A3.

【詳解】(1)證明：如圖，在矩形A5CD中，AD=3,DC=10,EB=9,

BC=3,AE=1,

ADBE

二.---=——=3,

AEBC

ZA=ZB=90°,

/.DAEsEBC.

(2)解：如圖，設CM=x,BP=y,貝！JPM=x+y,

貝|J5M=3—%,EP=9-y,

在中，(x+y『=(3—

9

.'.xy=--3Qx,

??c_15

3y-xy=15,

-3x)=15,

3x+3y=竽,

13

?s=5

:.EP+BM=9-y+3-x=n-x-y=n-^-=^-.

答案第4頁，共35頁

(3)證明：ZADE=ZA'DE',ZAfDEr=ZAPD,

ZADE=ZAPD,

DAEsEBC

???，ZADE=ZBEC,

NBEC=ZAPD,

VZDAP=ZCBE=90°fAD=BC,

DAP^CBE(AAS),

則AP=B￡=9,

/.PB=AE=1,

PM=CM,

/.PM2=(3-PM)2+l2,

j,

.CM=5

,BM~4J

■:DC//PE,

：.DCNsPEN,

?CN二DC=10一5

**EN~PE-10-l-l-4y

.CM二CN

..BM-EN，

.CN二CM

?.CE-CB'

又?NNCM=NECB,

.?.△CNMs^CEB,

ZCNM=/CEB,

/.NM//AB.

【點睛】該題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，全等三角形的性質和判定，矩形

的性質，旋轉的性質等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點.

4.(1)四邊形A5CD是菱形，證明見解析

Q)AE=y/iOH，理由見解析

答案第5頁，共35頁

⑶當NG4H=22.5°時，&CH=GC;當NC4">22.5°時，^CH<GC;當NC4〃<22.5°

時，CCH>GC

【分析】本題考查菱形的判定與性質、直角三角形的性質、角平分線的定義、等腰直角三角

形的判定與性質、

（1）利用菱形的判定可得結論；

（2）先利用菱形的性質AO=C。，OA^OC,根據直角三角形斜邊中線性質得到

OH=OA=OC,利用垂直定義和等腰三角形的性質推導出/D4H=90O-2NC4H,根據角

平分線的定義和角的運算得到ZAOE=45°,進而得到△AOE是等腰直角三角形即可得出結

論；

【詳解】（1）解：四邊形4BCO是菱形，證明如下：

四邊形A2CD中，對角線AC,BD互相垂直平分，

?'?四邊形ABCZ）是菱形；

（2）解：AE=COH.

理由：由（1）知四邊形A8CD的形狀是菱形，

AAD=CD,OA=OC,

：.ACAD=ZACD,

,/AHLCD,

：.OH=OA=OC,ZCAH+ZACD=90°,

：.ZCAH+ACAD=90°,BPZCAH+ZCAH+ZDAH=90°,

：.ZDAH=90°-2ZCAH,

?.?/MAH的平分線，交.BD于E,

：.ZEAH=|ZMAH=g（1800-ADAH）=45°+ZCAH,

：.ZAEO=ZEAH-ZCAH=45°,

△AOE是等腰直角三角形，

AE=y/2OA=yf2OH;

（3）解：當NC4H=22.5。時，亞CH=GC;當NC48>22.5。時，0cH<GC;當

NC4H<22.5°時，V2CH>GC

如圖

答案第6頁，共35頁

M

A

設=由（2）可得ZDA〃=90。-2a

四邊形ABCD是菱形；

AB//CD

ZG=90°-ZHCG=90°-2a

AHLCD

ZHCG=2.a

當/8CG=NG時，即90。-2。=2a,486是等腰直角三角形，則CG=&S

a=22.5°

即當2CAH=22.5°時，V2CH=GC;

當ZCAH>22.5°時，則ZG<ZHCG

：.CH<HG

：CG=及，則CG?=2

VCH2+HG-=2,CH<HG

：.2CH2<2,即0CH〈亞

桓CH<GC;

當N。0<22.5。時，同理可得，V2CH>GC.

綜上所述，當NC49=22.5。時，亞CH=GC；當NC4H>22.5。時，OcH<GC;當

NC4H<22.5°時，^2CH>GC.

【點睛】本題考查了菱形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握以

上知識是解題的關鍵.

5.（1）正方形，理由見解析；（2）CF=EF,證明見解析；（3）3A/17

【分析】本題主要考查了正方形的性質與判定，勾股定理，旋轉的性質，全等三角形的性質

與判定等待，正確作出輔助線是解題的關鍵.

（1）由旋轉的性質可得/AEB=NCE'8=90。，BE=BE,NEBE'=90°,由正方形的判定

答案第7頁，共35頁

可證四邊形BEFE'是正方形；

(2)過點。作OH_LAE于〃，由等腰三角形的性質可得A8=gAE,DH1AE,由“AAS”

可得△ADH絲△BAE,可得AH=BE=^AE,由旋轉的性質可得AE=CE',可得結論；

2

(3)作DGLAE于G,根據勾股定理求出CE',再根據勾股定理求出AG,進而求出GE,

根據勾股定理計算OE的長.

【詳解】解：(1)四邊形是正方形，理由如下：

由旋轉的性質可得NAEB=ZCE'B=90°,BE=BE',ZEBE'=90°

又ZBEF=180°-ZAEB=90°

.??四邊形BE/E是矩形

又,：BE=BE',

.,?四邊形8EFT是正方形；

(2)CF=EF,證明如下：

如圖②所示，過點。作垂足為〃

貝UZDHA=90°,

???ADAH+ZADH=90°,

*：DA=DE,DHLAE,

：.AH=-AE,

2

???四邊形ABC。是正方形，

AAB=AD,ZDAB=90°,

：.ZDAH+ZBAE=90°,

：.ZBAE=ZADH,

在AEB和QUA中，

答案第8頁，共35頁

ZAEB=ZDHA

<NBAE=ZADH,

AB=DA

：.AEB學DHA（AAS）,

：.AH=BE,

由（1）知四邊形BEFE'是正方形，

BE=E'F,

AH=E'F，

由旋轉的性質可得：CE'=AE,

：.FE'=-CE',

2

CF=FE',

CF=FE；

（3）如圖①所示，作OG_LAE于G,

,/四邊形BEFE'是正方形

BE=BE'=EF,

在RtCBE'中，由勾股定理得：CE'2+BE'2=BC2,

：.CE"+（CE'-3『=BC?,

：.CE'=12^CE'=-9（舍去），

AE=CE'=n,EF'=BE=9,

由（2）可知：AEB也DGA,

：.AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=3,

在Rt/XDGE中，由勾股定理得：DE=+GE?=q1展+W=3g.

6.(1)見解析

答案第9頁，共35頁

(2)GO1AC,見解析

@AH=60H,見解析

【分析】此題屬于四邊形綜合題，考查平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，

菱形的判定、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的

判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

(1)只要證明=/芯即可.

(2)如圖②中，結論：GOA.AC.證明ABG當CEG(SAS),可得G4=GC,即可解決問題.

(3)如圖③中，連接AK,BK,FK.首先證明四邊形班KE是菱形，再證明ABK沿CEK(SAS),

推出AK=CK,ZAKB=NCKB,推出NAKC=NBKE=60。，推出ACK是等邊三角形，即可

解決問題.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCO是平行四邊形，

AD//EC,AB//CD,

ZE=ZADF,ZEFB=ZEDC,

E。平分NA￡>C,

NADF=ZEDC,

:.ZE=ZEFB,

BE=BF；

(2)解：結論GOLAC,理由如下：

如圖②中，連接BG,AG.

DC

R四邊形ABC。是平行四邊形，ZADC=90°,

四邊形ABCD是矩形,

:.ZABC=ZABE=90°,

由(1)可知：BE=BF,

.90°,EG=FG,

：.NE=45°,NGBF=ZGBE=45°,

答案第10頁，共35頁

G為石尸的中點,

/.BG=GE=GF,

Z￡)CE=90°,

ZE=ZEDC=45°,

DC=CE=BAf

ZABG=ZE=45°,AB=EC=DC,BG=EG,

ABG^CEG(SAS),

GA=GC,

。為AC的中點,

GOVAC.

(3)解：AH=y/3OH,理由如下:

FK.

QDC〃EK,DC//AB,

BF//EK,

QBF=EK,

四邊形班狂1是平行四邊形,

根據(1)可得BF=BE,

二?四邊形班旌是菱形,

四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ZADC=ZABC=60°,ZDCB=ZDAB=120°,

ZEBF=120°,

ZKBE=ZKBF=60°,

BF=BE=FK=EK,

KBE,KB/都是等邊三角形,

ZABK=ZCEK=60°,/FEB=ZFEK=30°,

/.ZCDE=ZCED=30°,

答案第11頁，共35頁

:.CD=CE=BA,

BK=EK,

ABK%CEK(SAS),

:.AK=CK,ZAKB=ZCKE,

:.ZAKC=ZBKE=60°,

'VACK是等邊三角形,

O為AC的中點，”為CK的中點,

:.AK=2OH,AH±CK,

AH=AKcos300=^-AK=-JiOH.

2

7.(1)見解析

(2)1272-12

(3)見解析

【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，作

輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

(1)根據正方形的性質證明ADFGSA84G即可解題；

(2)根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質得到EF=2AE=2CF,^CF=AE=m,

EF=2m,可得DE=皿m，列方程，進而求出E尸的長；

ENFHNH

(3)連接_￡尸交于點H,推導ENHsBFH,即可得到---=---=----，即

BFBHFH

FNFH+NH

——二--------，根據即="尸和跖等量代換即可解題.

BFBH+FH

【詳解】(1)證明：A3C。是正方形，

/.AB=CD,AB//CD,

/.ZGDF=ZABGfNGFD=/BAG,

DFGsBAG,

.BG_AB

,?沃―京'

CF=2DF,

/.AB=CD=3DF,

BGAB3DF

=3,即5G=3DG；

DGDFDF

(2)解：A3CO是正方形，DE=DF,

答案第12頁，共35頁

:.AE=CF,BA=BC,NA=NC=90°,

RtAAEB^RtACFB(HL)

BF=BE,

:.BD是EF的垂直平分線，

,NEB尸=45°,

ZEBD=NFBD=-ZEBF=22.5°,

2

ZABE=ZCBF=ZABD-ZEBD=22.5°,

如圖,

ZA=ZEMB=90°,ZABE=NMBE=22.5°,BE=BE,

圖2

AMB￡(AAS),

同理可得△CB尸絲△MSP,

:.CF=AE=EM=FM,

設CF=AE=m,EF=2m,

DF=DE—y/2m

叵m+m=6

m=6^2-6

：.EF=2m=l2垃-12；

(3)解：如圖，連接EF交BD于點//,

由(2)可知尸，BE=BF,

答案第13頁，共35頁

/HEN+NENH=NNBM+/BNM=90,

:./HEN=/NBM,

ZEHN=ZBHF=90,

:.△ENHsABFH,

ENEH篝即第EH+NH

BH+FH

DE=DF,ZEDB=45,

EH=HF=DH,

EN_EH+NH_DH+HN_DN_

BF-BH+FH~BH+DH-BD

BF=BE,

EN_DN

"BE~BD

8.(1)見詳解；(2)點0的位置確定，BQ=9;(3)最小值為3痘-3

【分析】(1)如圖，設CE,D廠交于點G,由軸對稱性質可得：CE±DF,DE=EF,再結

合正方形的性質可證明皿%OCE(ASA),從而得出Z)E=AP,進而問題可求證;

(2)連接EQ,由折疊可知所=￡>E,由題意可知AE=r>E,進而可得AE=EP可證明

RtAEQ/RtFEg(HL),從而AQ=AP,設8Q=x,則/。=A。=12-》，然后根據勾股

定理可建立方程進行求解；

(3)取CD的中點。，再取OC的中點/,連接。G,HI,BI,依次求得。G=gc￡>=6,

HI=^OG=3,BI=3后,可得BH2BI-HI=3后-3,進而問題可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設CE,交于點G,

圖1

由軸對稱性質可得：CE±DF,DE=EF,

ZCG￡>=90°,

ZDCG+ZCDG=90°,

答案第14頁，共35頁

:四邊形ABC。是正方形，

ZADC=ZA=90°,CD^AD,

：.ZADP+NCDG=90°,

：.ZADP=/DCE,

：.ADP^DCE(ASA),

DE=AP,

AP=EF；

(2)解：點0的位置確定，BQ=9；理由如下:

如圖2,連接EQ,

由折疊可知：EF=DE,CF=CD=12,ZEFQ=ZEFC=ZADC=90°,

:點￡是AD的中點，

AE=DE,

：.AE=EF,

?：ZA=ZEFQ=90°,QE=QE,

ARtAEQ絲RtFEQ(HL),

AQ=FQ,

設2Q=X,則FQ=AQ=I2_x,

在中，CQ=CF+/Q=24—x,3Q=;c,8C=12,

/.(24-X)2-X2=122,

解得：x=9,

：.BQ=9;

(3)解：取CD的中點。，再取OC的中點/,連接OG,HI,BI,如圖3,

答案第15頁，共35頁

圖3

ZCGD=90°,

：.OG=-CD=6,

2

:點H是CG的中點，則m是COG的中位線，

HI=-0G=3,

2

ZBCD=90°,BC=AB=12,CI=-OC=-CD=3,

24

BI=V122+32=3717，

,/BH2BI-HI=3歷-3,

...當8、H、/共線時，88的最小值為3J萬-3.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了軸對稱的性質，直角三角形的性質，全等三角

形的判定和性質，三角形中位線定理，三角形三邊的關系等知識，解決問題的關鍵是作輔助

線，構造三角形的中位線.

9.(1)①見解析；②75°

(2)30-遍

【分析】(1)①根據折疊的性質得到===易證

ABE咨A'B'E(SAS),得到BE=BE',ZAEB=ZA'EB',結合ZAEF=ZA'EF,得到

ZBEF=ZB'EF,由平行線的性質得到ZB/芭=,進而得到N8E尸=/BFE,推出

BE=BF,根據折疊的性質得到B尸=3'尸，即可證明結論；②如圖，過點￡作EHL3C于

點，，連接交BE于點。，證明四邊形是矩形，設AB=x,則即=無，求出

QA=OH=X,OB=OE=X,證明OEH是等邊三角形，推出/OEH=60。，利用三角形內

角和定理結合等腰三角形的性質求出/或戶=4F￡=；(180。-/￡72)=75°,再根據四邊形

EBFB'為菱形,求出NEFB'=NEFB=75。,即可解答；

答案第16頁，共35頁

(2)連接BE,分別過點A,E作AQ，8E,EP，BC,垂足分別為Q,P,證明

ABE咨AbE(SAS)，推出反E,A,三點共線，再證明BE=8尸，證明ABE是等腰三角形,

求出NABE=NAEB=；(180O-N8AE)=30。，AQ=1,EQ=y/3,BQ=EQ=6

BF=BE=2也,EP=A進而求出BP=3,FP=2g-3,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)①折疊的性質得到4石=4瓦/瓦比=/84氏"=4?,

ABE鄉A'B'E[SAS),

：.BE=BE',NAEB=ZA'EB',

由折疊的性質得NAEF=ZA'EF,

ZAEF-NAEB=ZA'EF-A'EB',即NBEF=ZB'EF,

,/使點B落在直線AD上的點9處，平行四邊形ABCD是矩形,

：.AB'BC,

NBFE=NB'EF,

/.NBEF=NBFE,

BE=BF,

由折疊的性質得BF=BN,

BE=BE'=B'F=BF,

.??四邊形班FB'為菱形；

②如圖，過點￡作EH_LBC于點〃，連接4H交BE于點。，

?.?四邊形ABC。是矩形，

NBAE=ZABC=ZEHB=90°,

四邊形ABHE是矩形，

：.OB=OE,BE=AH,OA=OH,

設AB=x,則=

答案第17頁，共35頁

:點尸與點C重合,

...BF=2x,

由①知四邊形理方？為菱形，

/.BE=BF=2x,

BE=AH=2x,

OA=OH=x,OB=OE=x,

：.OE=OH=EH,

.??是等邊三角形，

ZOEH=60°,

：./EBF=90°-ZOEH=30°,

ZBEF=ZBFE=1(180°-/EBF)=75°,

???四邊形現歷8'為菱形，

ZEFB'=ZEFB=15°,

:點下與點C重合，

ZECB'=15°；

(2)解：連接BE,分別過點4E作垂足分別為。，尸,

A'

折疊的性質得到AE=A'E,ZBAE=ZBA'E',AB=A'B',

ABE烏A婀SAS),

BE=BE：NAEB=ZA'EB',

I4E,B'三點共線,

/.民國4三點共線，

由折疊的性質得NAE尸=ZA'EF,

ZAEF-NAEB=ZA'EF-A'EB',即NBEF=ZB'EF,

?.?點B落在直線AD上的點夕處，四邊形ABCD是平行四邊形,

AB/BC,

答案第18頁，共35頁

/.ZBFE=ZB'EF,

ZBEF=ZBFE,

BE=BF,

:四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=60°,

AB'BC,

：.ZBAE=120°,

,/AE=AB=2,

/.ABE是等腰三角形，

Z.ZABE=ZAEB=1(180°-ZBAE)=30°,

?；AQ±BE,

：.AAQE=9Q°,BQ=EQ,

：.AQ=；A￡=1,

/.EQ=y]AE2-AQ2=y/3,

BQ=EQ=y/3,

：.BE=BQ+EQ=2yl3,

：.BF=BE=2A/3,

ZEBF=ZABC-ZABE=30°,ZEPB=90°,

EP,BE=m,

2

BP=yjBE2-EP2=3-

FP=BF-BP=2y[3-3,

二EF^yjEP2+FP2=372-76.

【點睛】本題考查了四邊形的綜合問題，涉及平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，菱形

的判定與性質，含30。角的直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，等腰

三角矮星的判定與性質等知識，綜合運用以上知識點是解題的關鍵.

10.(1)證明見解析

(2)714-72

答案第19頁，共35頁

⑶8-4及+

【分析】（1）根據正方形的性質得AO=。，DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,推出

ZADE=ZCDG,證明ADEmC￡?G（SAS）,即可得證；

⑵如圖，連接EG、DF,EG交DF于點、0,可得AE=AO-EO,根據正方形的性質得

DG=DE=2,ZEDG=9Q°,DO=-DF=-EG=OE,/DOE=90°,

22

/.EO=DO=^EG=^DE-+DG-=V2,DF=EG=2行,進一步得

AO=4AD--DO2=714>可得答案；

（3）如圖，連接。尸，過點下作FH于點打，則尸HVAP,得出

SAABF=^ABHF=2HF<2AF,繼而得至!JAD-OFWAFVAD+OB（當點A、F、￡）共

線時取“="），即4-2a4A/44+20，分兩種情況：當點P在線段AD上時，當點尸在

線段AO的延長線上時，分別求解即可.

【詳解】（1）解：???四邊形ABC。、四邊形。砂G都是正方形，

AAD=CD,DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,

：.ZADC-ZEDC=ZEDG-ZEDC,即ZADE=ZCDG,

在VAOE和COG中，

AD=CD

<ZADE=ZCDG,

DE=DG

：.ADE咨CZ）G（SAS）,

Z.AE=CG；

（2）如圖，連接EG、DF,EG交DF于點0,

'：A,E,G三點共線，

AE=AO—EO,

:四邊形O￡FG是正方形，DE=2,

答案第20頁，共35頁

:"DG=DE=2,NEDG=90°,DO=-DF=-EG=OE,ZDOE=90°,

22

22

Z.EO=DO=-EG=-JDE2+DG2=-XV2+2=72,

222

DF=EG=26,

?.?正方形A3CD的邊長為4,

AD=4,

/.AO=NAD。-DO。=卜_(亞)2=舊,

AE=AO-EO=5-6，

AE的長為J值-近；

(3)如圖，連接DB,過點尸作四,48于點H,

?.?點E在平面內運動

FH<AF

'：正方形ABCD的邊長為4,

AB=AD=4,

Z.SAABF=；AB.HF=gx4HF=2HF<2AF,

由（2）知：DF=26，

：.AD-DF<AF<AD+DF（當點A、F、。共線時取“=”）,

BP4-2A/2<AF<4+272;

當點尸在線段上時，

此時點H與點、A重合，且HF=AF=4-2^2>

SABF=2HF=2X（4-2>/2）=8-4A/2；

當點尸在線段的延長線上時，

此時點H與點A重合，且5=4尸=4+20，

SABF=2HF=2X（4+2V2）=8+4A/2；

答案第21頁，共35頁

/.AABF的面積的取值范圍為8-40W8+40.

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形三邊關系等

知識點.掌握分類討論及動點的思想解決問題是解題的關鍵.

1324

11.(1)證明見解析；(2)AM=y;(3)y

【分析】(1)由折疊得到AO=PO,肱證明AONmPOM(ASA),貝l]?V=PM,

而AN〃加，繼而得到四邊形AMPN是平行四邊形，由MNLAP即可證明菱形；

(2)設菱形AMPN的邊長為無，則⑷/=CM=x,DM=6—x,然后對RtZvLDM運用勾

股定理建立方程求解；

(3)①過點。作QGL8C,交8c的延長線于點G,延長GQ交的延長線于點“，可

得四邊形ABGH,OCGH均為矩形，貝ljG8=AB=6,證明RtBPQ^Rt3GQ(HL),則

BG=BP=6,mBC=AO=4,那么CG=2,故點0到CD的距離等于CG=2,即點0在

GH上運動；

②在DA延長線上截取AT=GQ,連接DT,則/BAT=ZG=90°,可得BAT%BGQ(SAS),

再證明BMTmBMQ(SAS),則MT=MQ,由于NMBQ=45。，0在G8上運動，故當點

M，。重合時，QH最大,設Q8=y,貝l]AT=GQ=6-y,則OQ=￡>T=10-、，然后對

運用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：當點M,P在。C上，點N在AB上時，

由折疊知：MN是AP的中垂線，

AO=PO,MN±AP,

:四邊形ABC。是矩形，

/.ABDC,

：.ZNAO=ZMPO,

又：ZAON=ZPOM,

：.AON"POM(ASA),

AN=PM,

'：AN//PM,

.四邊形AMPN是平行四邊形，

答案第22頁，共35頁

MN±APf

???四邊形AMPN為菱形；

(2)解：設菱形AMPN的邊長為％,則加="=x,

DM=6—x,

?.,四邊形A3C。是矩形，

：.2D90?,

AEr+DM2=AM-，

/.42+(6-x)-=x2,

13

解得：X=

AM=—；

3

(3)解：①如圖，過點。作QGL8C,交3C的延長線于點G,延長GQ交AD的延長線

于點H,

圖3

???四邊形A3。為矩形，QG1.BC,

：.四邊形ABGH,DCGH均為矩形，

GH=AB=6,

由折疊知PBM沿ABM,

：.NBPM=NA=90°,BP=AB=6,

：.ZG=ZBPQ=90°,

?：8。為NCBP的角平分線，

：.QP=QG,

：.RtBPQ^RtBGQ(HL),

BG=BP=6,

,/BC=AD=4,

答案第23頁，共35頁

/.CG=2,

二點。到CD的距離等于CG=2,即點。在GH上運動；

②如圖：在DA延長線上截取AT=GQ,連接07,則/BAT=/G=90。

,?RtABPQ^RtABGQ,PBM”ABM

：.Z1=Z2,/3=/4,BA=BP=BG,

：.Zl+Z2+Z3+Z4=ZABC=90°,BAT冬BGQ(SAS)

Zl+Z4=45°,Z2=Z5,BT=BQ,

：.Z2+Z3=Z5+Z3=45°,

Z.TBM=ZQBM=45°,

'：BM=BM,

：.BMT冬BMQ(SAS),

MT=MQ,

'：ZMBQ=45°,。在G”上運動，

當點M,￡（重合時，Q"最大，如圖:

設=則AT=GQ=6_y,

/.DQ=DT=AD+AT=4+6-y=10-_y,

四邊形均為矩形，

NH=90°,DH=CG=2

答案第24頁，共35頁

DH2+HQ2=DQ2,

：.22+y2=(10-y)2,

24

解得：丫=4，

24

點Q到直線AD的最大距離為y.

【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質，折疊的性質，菱形的判定，全等三角形

的判定與性質，角平分線的性質定理等知識點，難度較大,解題的關鍵是熟練掌握各知識點，

正確添加輔助線.

12.(1)ZF=45°

(2)見解析

(3)273

【分析】(1)先證得2/E4尸=NA5C+2NACF,可得2-尸=NABC,即可得出答案;

(2)連接AG.由BO為正方形ABC。的對角線，可得點A和點C關于BO對稱，得出

GA=GC,根據等腰三角形性質可得？G4C1