2025年中考數學總復習《垂徑定理的應用》專項檢測卷及答案

學校:姓名：班級：考號：

1.遼寧省擁有多座歷史悠久的石拱橋.如圖，這是被譽為“關外第一橋”的天盛號石拱

橋，它的主橋拱是圓弧形，跨度（弧所對的弦的長）為4米，圓弧所在圓的半徑是2.9m

米，求拱高（弧的中點到弦的距離）.

2.丁字尺是一種作圖工具，如圖1所示為丁字尺，可以看作由兩把互相垂直的直尺（直

尺的寬度均忽略不計）組成，并且。部分平分A8部分.現將丁字尺放在一個圓形工件

上（圓心為。），其示意圖如圖2所示，使得A、3、。分別落在。上，這樣圓心。就會

落在CD上，已知4?=CD=8cm,AC=BC,請求出該圓形工件的半徑8.

3.金華境內峰巒疊嶂，公路隧道眾多，如圖1所示的圓弧形混凝土管片是構成圓形隧

道的重要部件.管片的橫截面（陰影部分）是同心圓環的一部分，左右兩邊沿的延長

線交于圓心,

（1）如圖1,BA,8的延長線交于圓心。，若甲組測得AB=0.6m,AD=3m,BC=4m,求

的長.

⑵如圖2,有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固

定，管片與地面的接觸點L為M尸的中點，若丙組測得MN=PQ=0.5m,NL=LQ=2m,求該

混凝土管片的外圓弧半徑.

4.素材：圖1中有一座拱橋，圖2是其圓弧形或拋物線形橋拱的示意圖.某時測得水

面寬20m,拱頂離水面5m.據調查，該河段水位在此基礎上再漲1.8m達到最高.

解決問題：

⑴若橋拱形狀是圓弧，該河段水位漲L8m達到最高時，有一艘貨船它漏出水面高2.2米,

船體寬9米，判斷它是否能順利通行并說明理由；

⑵若拱橋是拋物線形，為迎佳節，擬在圖3所示的橋拱上懸掛40cm長的燈籠.要求燈

籠底部距離水面不小于1m,相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為L6m.為了美觀，要求

在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布，則懸掛的燈籠數量是一個.

5.如圖①，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出

中國元素的韻味.圖②是一款拱門的示意圖，其中。為中點，。為拱門最高點，線

段C。經過圓心O,已知拱門的半徑為L5m,拱門最下端AB=1.8m.求拱門最高點￡）到AB

的距離8.

6.如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬48為16m,拱高CN為4m.

(1)求橋拱的半徑；

⑵此橋的安全限度是拱頂C點距離水面不得小于L5m,若大雨過后，洪水泛濫到水面寬

度社為12m時，是否需要采取緊急措施？請說明理由.

7.如圖2是根據圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，設

A3所在圓的圓心為。，拱頂為點C,OSAB交于點，連接08.當橋下水面寬AB=8m

時，CD=2m.

圖1圖2

(1)求這座石拱橋主橋拱的半徑；

(2)有一條寬為7m,高出水面1m的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座

拱橋？并說明理由.

8.如圖1,圓形拱門是中國古典園林建筑元素之一，圓形拱門有著圓滿、完美的美好

寓意、

⑴在圖2中作出拱門中圓弧的圓心（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

⑵已知拱門高2.8m（優弧AC中點到四的距離），AB±BD,CD1BD,BD=2.4m,AB=0.4m,求

拱門的圓弧半徑.

9.如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面加寬度為8米，拱高（弧

的中點到水面的距離）為2米.

⑴求主橋拱所在圓的半徑；

（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度（保留根號）.

10.某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形

截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

⑴請你用直尺和圓規補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；

（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬M=8cm,水面最深地方的高度為2cm,求這個圓

形截面的半徑.

H.在同心圓中，大圓的弦相交小圓于C。兩點.

(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7,AB=24,則。的長為.

(2)如圖②，大圓的另一條弦E/交小圓于G,H兩點,若=求證CD=G8.

12.“五一”節期間，小明和同學一起到游樂場游玩.如圖為某游樂場大型摩天輪的示

意圖，其半徑是20m,它勻速旋轉一周需要24分鐘，最底部點5離地面1m.小明乘

坐的車廂經過點B時開始計時.

(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是多少？

(2)在旋轉一周的過程中，小明將有多長時間連續保持在離地面31m以上的空中？

13.一座拱型橋，橋下水面寬度是20米，拱高8是4米.若水面上升3米至跖.則

水面寬度斯是多少？

(1)如圖①，若把橋拱看作是拋物線的一部分，求所的長;

(2)如圖②，若把橋拱看作是圓的一部分，求跖的長.

14.景德橋，俗稱西關大橋，是我國一座著名的古代石拱橋.景德橋位于山西省東南

部的晉城西門外，橫跨沁水河，過去，它是晉城通往沁水河陽城地區交通干道上的一

座重要橋梁，故曾又名沁陽橋.橋下水面寬度AB是20米，拱高8是4米，若水面上

升3米至跖處.

(1)把拱橋看作拋物線的一部分，建立如圖1所示的平面直角坐標系，求水面寬度

(2)把拱橋看作圓的一部分，則可構造如圖2所示的圖形，求水面寬度跖.

15.如圖①，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯

出中國元素的韻味.圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為L7m,拱門

最下端AB=1.6m.

⑴求拱門最高點到地面的距離；

(2)現需要給房間內搬進一個直徑為3m的圓桌面(桌面的厚度忽略不計)，已知搬桌面的

兩名工人在搬運時所抬高度相同(桌面與地面平行)，通過計算說明工人將桌面抬高多

少(即桌面與地面的距離)就可以使該圓桌面通過拱門.

參考答案

1.0.8m

【分析】本題考查的是垂徑定理的應用和勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直

角三角形是解答此題的關鍵.過點。作OC，鉆于點。，交。于點C先由垂徑定理求

出A。的長，再根據勾股定理求出”的長，進而可得出。的長.

【詳解】解：過點。作OC，鉆于點。，交。于點C如圖所示:

,.?AB=4m,

AD=-AB=2m,

2

由題意得：（M=OC=2.9m,

在RtAOAD中,

OD=yjo^-AD2=2.1（m）,

CD=OC-OD=2.9-2.1=0.8（m）,

即拱高為。.8m.

2.該圓形工件的半徑8=5cm.

【分析】此題考查了垂徑定理的應用.根據線段。垂直平分線段AB,得出AC=；AB,

連接AO,則AC2+OC2=A。"再設。的半徑為『，可得42+（8-）=;然后解方程即可.

【詳解】解：圓心。落在8上，8平分A5,

二線段8垂直平分線段相，

A、B、。三點所在圓的圓心。在8上，

D

設。的半徑為「，

CD=8cm,

/.OC=(8-r)cm,

42+(8-r)2=r2,

解得：r=5cm,

該圓形工件的半徑OD=5cm.

3.(1)OB=2.4m

(2)4.25m

【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，垂徑定理，勾股

定理，熟練掌握相似三角形的性質與判定、垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵.

(1)根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得AO*BOC，利用相似三角形

的性質進行計算即可；

(2)根據垂徑定理構造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)解："：OA=OD,OB=OC,

1QQO_/Q

：.ZODA=ZOAD=-------------=ZOBC=ZOCB,

2

又丁ZAOD=ZBOC,

AODsBOC,

?OAADJi

**OB-BC-4'

設oe=xm,則CM=(x-0.6)m,

??=彳，角牛倚x=2.4,

元4

經檢驗，》=2.4是原方程的根，即OB=2.4(m),

?'?OB的長為2.4m.

(2)解：如圖，設圓心為點。，連接。尸、OM、OL,MP,O乙與加相交于點T,

則/O7M=90°,MT=NL=2m,

設外半徑為皿,則OT=(—O.5)m,

在RCOMT中，由勾股定理可得，OM2=OT2+MT2,

即,=(一0.5?+2?,解得r=4.25,

???該混凝土管片的外圓弧半徑為4.25m.

4.(1)能順利通行，理由見解析

(2)7或8

【分析】本題考查了二次函數和圓的綜合應用，解題的關鍵是能把實際問題轉化為數

學問題，掌握二次函數，圓的相關性質.

(1)畫出圖形，根據題意可知，CT=1.8+2.2=4m,TM=CT+CM=U.5m,由勾股定理可得

GK=2.TK=45/6?9.8m,即可得到答案.

(2)先求出二次函數的解析式，然后根據該河段水位再漲1.8m達到最高，燈籠底部距

離水面不小于1m,燈籠長0.4m,可知懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8m,即可知懸掛點

的橫坐標的取值范圍是：-6WxW6；方案一：從頂點處開始懸掛燈籠，根據-64尤(6,相

鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m,可知共可掛7盞燈籠；方案二：從距頂點0.8m

處開始掛燈籠，可知共可掛8盞燈籠.

【詳解】(1)解:如圖，設圓心為設圓的半徑為廠米，由題意得睦1A5于點c,MTA.GK

于點T,連接

貝ljAC=gAB=10米,

r2=102+(r-5)Z,解得r=12.5米,

根據題意可知，CT=1.8+2.2=4m,MK=\2.5m,CM=12.5-5=7.5m,

TM=CT+CM=11.5m,

TK=yjMK2-TM2=V12.52-11.52=2灰m，

GK=2TK=4指x9.8m,

.*9.8m>9m,

，能順利通行，船航行線路是船的中心線沿MN航行;

(2)解：如圖，以拱橋的頂點為坐標原點，拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標系,

則點5的坐標為(10,-5),

設函數關系式為八/，代入得100--5,

解得：

???拋物線的解析式為＞

O

AB

???該河段水位再漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面不小于1m,燈籠長0.4m,

???當懸掛點的縱坐標y2-5+1.8+l+0.4=-1.8,

即懸掛點的縱坐標的最小值是-L8m,

當y=-L8時，

x=±6,

，懸掛點的橫坐標的取值范圍是：-6WxW6；

方案一：如圖3（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈籠，

-4.84.8

-606

圖3

V-6<x<6,相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為L6m,

???若頂點一側懸掛4盞燈籠時，1.6X4>6,

若頂點一側懸掛3盞燈籠時，L6x3<6,

???頂點一側最多懸掛3盞燈籠，

???燈籠掛滿后成軸對稱分布，

???共可掛7盞燈籠，

方案二：從距頂點0.8m處開始掛燈籠，如圖4,

-5.65.6

4J▲▲▲▲■▲A▲▲.

-606x

圖4

???若頂點一側懸掛5盞燈籠時，0.8+1.6x（5-l）>6,

若頂點一側懸掛4盞燈籠時，0.8+1.6x（4-l）<6,

二?頂點一側最多懸掛4盞燈籠，

???燈籠掛滿后成軸對稱分布，

???共可掛8盞燈籠，

故答案為：7或8.

5.2.7m

【分析】本題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理，能夠準確作出輔助線是解決問

題的關鍵.連接必，由題意得”LAB,則AC=CB=0.9m,再由勾股定理求得

OC=7O42-AC2=Jl.52-O.92=1.2(m),即可求解.

【詳解】解：連接。A,由題意得。C,43.

?.?。為的中點，AB=1.8m,

：.AC=CB=0.9m,

OC=yJo^-AC2=71.52-0.92=1.2(m),

/.CD=OD+OC=L5+1.2=2.7(m),

；?拱門最高點。到AB的距離CD為2.7m.

6.(l)10m

⑵不需要采取緊急措施，理由見解析

【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關于圓半

徑的方程.

(1)設橋拱的半徑是「(m),由垂徑定理求出4V=M=8(m),而ON=(一4)m,由勾股定理

得到產=(-4)2+8"求出r=10；

(2)由垂徑定理求出DM的長，由勾股定理求出加的長，即可求出CM的長即可得解.

【詳解】(1)解：如圖半徑。“鉆，OCYDE,

設橋拱的半徑是『(m),

OCLAB,

AA^=^AB=1xl6=8(m),

拱高CN為4m,

ON=(r—4)m,

□A2=ON2+AN2,

/.r2=(—4)2+82,

.,"=10,

??橋拱的半徑是10m；

(2)解：不需要采取緊急措施，理由如下：

如圖，連接8,

?8"E,

7"

o

..DM=1z)￡=1xl2=6(m),

:.OM=NOD。-DM。=V102-62=8(m),

CM=OC-OAf=10-8=2(m),

2m>1.5m,

二不需要采取緊急措施.

7.(1)這座石拱橋主橋拱的半徑為5m

(2)此漁船不能順利通過這座橋

【分析】本題主題考查圓的基礎知識，勾股定理的運用，掌握垂徑定理，勾股定理的

綜合運用是解題的關鍵.

(1)根據垂徑定理可得，AD=BD,/。。8=90。，設主橋拱半徑為R,可得OD=OC-CD=R-2,

根據勾股定理即可求解；

(2)如圖，設W為該漁船的上端，連接ON,根據題意可求出CE的值，根據勾股定理

可求出NE,跖V的值，再與矩形船的寬比較，由此即可求解.

【詳解】(1)解：'：OC±AB,

/.AD=BD,

設主橋拱半徑為R,由題意可知鉆=8,CD=2,

：.BD=-AB=4,OD=OC-CD=R-2,

2

?/ZODB=90°,

222

OD+BD=OB9

：.(R-2)2+42=R2,解得,R=5,

這座石拱橋主橋拱的半徑為5m.

(2)解：此漁船不能順利通過這座拱橋，理由如下,

如圖，設"N為該漁船的上端，連接ON,

VCD=2m,船艙頂部為長方形并高出水面Im,

/.CE=2-l=l(m),

<9E=5-l=4(m),

在RtOEN中，由勾股定理得EN=JON2-OE2=舊_4?=3,

MN=2EN=6<1,

J此漁船不能順利通過這座橋.

8.⑴見解析

(2)L5m

【分析】本題考查了垂徑定理，矩形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握矩形的判定

和性質及勾股定理是解題的關鍵，

(1)在拱門上找任意一點，分別與4c相連，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定

圓心的位置；

(2)先證四邊形A血C是矩形，設OA=mi,再根據勾股定理求得X的值，即可得到拱門

的圓弧半徑.

【詳解】(1)解：如圖，點。即為所求，

ZB=ZD=90°,

：.ZB+ZD=180°,

I.AB//CD,

又「AB=CD,

J四邊形AB。。是矩形，

過點。作跖UC于G,交優弧AC于點E,交BD于F,則

AG=-AC=-x2.4m=1.2m,EF=2.8m,PG=AB=0.4m,

22

設。4=xm,貝=

OG=EF-OE-FG=2.8-x-OA=（2A-x）m9

在RtAOG中,ZOGA=90°,

/.OG2+AG2=OA2,

（2.4-A：）2+1.22=X2,

解得x=1.5,

???拱門的圓弧半徑為L5m.

9.（1）主橋拱所在圓的半徑長為5米

（2）此時水面的寬度為25米

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，

構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

（1）連接。AOC,設半徑04=8=ROC=OZ）"C=R-2,在咫ACO中，利用勾股定理構建

方程求解即可；

（2）根據勾股定理列式可得陽的長，最后由垂徑定理可得結論.

【詳解】（1）丁點。是A8的中點，DC±AB,

：.40=20=拜=4,℃經過圓心，

設拱橋的橋拱弧A8所在圓的圓心為。，連接。AX,

設半徑OA=OD=R,OC=OD-DC=R-2,

在RtACO中，OA2=AC2+OC2,

7?2=(7?-2)2+42,

解得R=5.

答：主橋拱所在圓的半徑長為5米;

（2）設“與跖相交于點G,連接。乙

QEF〃ABQDLAB,

：.ODLEF,

：./OGB=90°,

在MOGF中，0G=5-1-2=2,。尸=5,

.-.FG=752-22=V21,

EF=2FG=2721,

答:此時水面的寬度為201米.

10.(1)見解析

(2)5cm

【分析】(1)運用尺規作圖的步驟和方法即可解答；

(2)作于￡),并延長交。于G則。為的中點，則相＞=4cm,設這個圓形截

面的半徑為xcm,在RtAOD中，運用勾股定理求出入即可.

【詳解】(1)如圖所示；

(2)作于。，并延長交。于。，則。為A3的中點,

*.*AB=8cm,

AD=；AB=4cm.

設這個圓形截面的半徑為xcm,

又*:CD=2cm,

O￡>=(x-2)cm,

在RtAC?中，

OD~+AD2-OA2,即(彳-2)2+4?=d,

解得x=5cm.

J圓形截面的半徑為5cm.

【點睛】本題考查了垂經定理和勾股定理，根據題意畫出圖形和靈活應用勾股定理是

解答本題的關鍵.

11.(1)476

(2)見解析

【分析】(1)連接OC,過。點作則H為AB,。的中點，得出A8=；AB,

CH=~CD,根據勾股定理即可求出CD的長；

(2)過。作WLAB,作垂足分別為M、N,得出HN=；GH,AM=^AB,

EN=；EF,連接CM、OE、OD、OH,通過證明RtQ4M三咫O￡7V和RtODM三比OfflV,即可

得證CD=G".

【詳解】(1)連接。A,OC,過。點作則〃為AB,8的中點,

AB=24,

/.AH=-AB=-x24=12,CH=-CD,

222

OHLAB,

OH2=OA2-AH-,OH2^OC--CH-,

/.O^-AH2=OC2-CH2,

，132-122=72-CH2,

/.CH=2A/6,

CD=2CH=4A/6,

故答案為：4而

(2)過。作作ON,跖，垂足分別為加、N,

/.DM=-CD,HN=-GH,AM=-AB,EN=-EF,

2222

又「AB=EF,

「?AM=EN,

連接04、OE、OD、OH,

在RtAGWM和RtOEN中,

JOA=OE

[AM=EN，

/.RtOAM三RtOEN,

/.OM=ON,

在RtODM^0Rt。印/中，

JOD=OH

[OM=ON，

RtODM二RtOHN,

/.DM=HN,

/.CD=GH.

【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相

關知識點是解此類題的關鍵.

12.(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是11m

(2)8分鐘

【分析】(1)設4分鐘后小明到達點C,過點C作CDLOB于點D,先算出的度數，

再根據三角函數計算出8的長度，即可算出04的長度.

(2)假設跖距離地面31米，先算出3長度，再根據三角函數值算出的度數，進

而可知NFOE的度數，即可算出小明將連續保持在離地面31m以上的空中的時間.

【詳解】(1)解：設4分鐘后小明到達點C,過點c作8,03于點，%即為小明離地

的高度，

,/ZCOD=—x4=60°

24

.：OD=-OC=-x20=10,

22

1X4=20-10+1=11(m).

答：計時4分鐘后小明離地面的高度是11m；

(2)解：?.?當旋轉到E處時，作弦跖_LA。交AO的延長線于點連接OE，5,止匕時跖

離地面高度為物.

當出=31時，

0/7=31-1-20=10,

:.OH=-OE,

2

ZHOE=60°,

.?.ZFO￡=120°.

???每分鐘旋轉的角度為：等=1%

「?由點E旋轉到尸所用的時間為：%=8(分鐘).

答:在旋轉一周的過程中，小明將有8分鐘的時間連續保持在離地面31m以上的空中.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

13.(1)石尸=10米；(2)4⑺米

【分析】(1)根據題意得：A5=20米，則4。=10米，拱高CD=4米.則A,。的坐標

分別是(-10,0),(0,4),可設拋物線的表達式為y=*+c,將這兩點的坐標代入

解析式，即可求解；

(2)根據題意得：BC=^AB=1O米，ZOCB=90°,EF=2GF,設圓的半徑是廠米，則

03=8=0-"米，oc=(一4)米，在放△。。臺中，由勾股定理可得r=14.5,再在

放2XOG尸中，由勾股定理，即可求解.

【詳解】解：(1)根據題意得：A3=20米，則4。=10米，拱高C0=4米.

???A,。的坐標分別是(-10,0),(0,4),

設拋物線的表達式為y=a/+c,

把這兩點的坐標代入解析式得到：F°：+c=°,

解得：”一1,

c=4

J解析式是丁=-gf+4，

把y=3代入解析式，得：3=一支/+4

解得：x=±5,

.,在=10米;

(2)根據題意得：BC=^AB=10米，ZOCB=90°,EF=2GF,

設圓的半徑是廠米，貝！=8尸=「米，OC=(r-4)米，

在放AOCB中，由勾股定理得：

/=(r—4)2+102,

解得：r=14.5,

當水面上升3米至E尸時，在放△OG/中，。尸=14.5米，OG=14.5—4+3=13.5(米)，

GF=J。產-OG?=714.52-13.52=屈=24，

:.EF=2GF=4幣(米).

【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，垂徑定理的應用，熟練掌握二次函數的性

質，垂徑定理是解題的關鍵.

14.(1)10米；(2)4s米

【分析】(1)設拋物線的解析式為y=af+c(存0),再根據題意求出4。的坐標，代

入拋物線的解析式求出a、c的值，再把尸3代