2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題14：圖形的相似

一、單選題

1.已知△ABCs/XAB'C',相似比為1:4,那么VABC和一AB'C'的周長比為（）

A.1:4B.3:4C.1:8D.1:16

2.如圖，VABC與‘A'B'C'位似，位似中心為點。，OC':CC'=2:1,AB'C'的面積為12,則VABC

面積為（）

9

A.54B.32C.27D.一

16

3.大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，尸為A3的黃金分割

^（AP>PB）,如果A3的長度為10cm,那么尸3的長度為（）cm.

B

A.5y/5-5B.10A/5-10C.15-5A/5D.15+5班

4.如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分/ABC.與AC交于點O.若BC=2,貝l|CQ

的長度為（）

A.1B.3C.75+1D.非-1

5.如圖，在正方形ABC。中，M為BC的三等分點，MC=2BM,對角線AC與MD相交于點凡過

點/作CD的垂線，垂足為G,過點尸作的垂線，垂足為E,已知AD=4,則FG的長度為（）

6.如圖，VABC與。即是以點。為位似中心的圖形（點A,B,C的對應(yīng)點分別為點。，E,F）.若

r）A

VABC與」死尸的周長之比為1:2,則笑的值為（）

7.矩形ABC。中，AB=4,3C=3,點Af在線段CD上，CM=1,連接過點A作

垂足為E,與對角線3D交于點則的長是（）

204^0/—

A.—B.C.V10D.3

135

8.如圖，在正五邊形MCDE中，連結(jié)BE,BD,過點。作CD的垂線，與邊AE交于點/，與對角

線BE交于點P,下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.NEED=54°B.AB+AF=BE

AF75-1

D.點產(chǎn)是AE的黃金分割點

BD~2

二、填空題

9.如圖，在，ABC中，ZACB=90°,BC=5,AC=12,AZ)=33。，點E是AC的中點，BE、CD

相交于尸，則四邊形的面積為

10.如圖，矩形ABC。中，點E為邊的中點，連接AE,點尸為A3邊上一點，連接CF交AE于

2

點G,若CO=CG=3jim,tanZEGC=1,則線段2C的長度為.

11.如圖，在VABC中，￡>E〃3C分別交A3、AC于點。、E,DF〃AC交BC千點、F,—=-,

所=10,則CF的長為.

12.如圖，在平面直角坐標系中，VABC的頂點A在第二象限，點B的坐標為(-2,0),點C的坐標為

(-1,0).以點C為位似中心.在x軸的下方作VABC的位似圖形△A'3'C.若點A的對應(yīng)點4的坐標

為(2,-3),點B的對應(yīng)點夕的坐標為(1,0),則點A的坐標為.

13.如圖，小孔成像實驗如圖1,抽象為數(shù)學(xué)問題如圖2,AC與8。交于點0,AB//CD,若點。到

的距離為10cm,點。到CD的距離為15cm,蠟燭火焰倒立的像CO的高度是6cm,則蠟燭火焰A3

的高度是cm.

圖1圖2

一3

14.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=1X-6分別與x軸、y軸相交于點A、B,點、E、尸分別是

正方形。4CD的邊OD、AC上的動點，且=過原點。作0/7,跖，垂足為H,連接HA、HB,

則一面積的最大值為

三、解答題

15.如圖，在uABCD中，AC為對角線，過點B作BELAC交AC于點E,交AD于點尸，交C。的

延長線于點G.

⑵如果筋2=3￡3尸，求證：四邊形ABCD是矩形.

16.如圖，ABC是一張銳角三角形紙片.

(1)按下面的步驟完成尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)

①作N54C的角平分線，交3c于點。；

②在A3、AC上分別取兩點E和歹，連接DE、DF,使四邊形乃是菱形.

⑵若AB=3,AC=4,求DE的長.

17.如圖，點E在正方形ABC。邊上，點尸是線段AB上的動點(不與點A重合)，。尸交AC于

點G,GH_LAD于點X,AB=3,DE=1.

DK-------------------^C

⑴求tanNACE的值;

(2)設(shè)AP=x,G"=y,試探究y與尤的函數(shù)關(guān)系式(寫出x的取值范圍);

(3)當NAW=NACE時，判斷CGE與△ZMF是否相似并說明理由.

18.【問題情境】在矩形ABCZ)中，點E為邊3c上一個動點，連接AE.將沿AE翻折，使點

8恰好落在對角線上點尸處，AE交BD于點G.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,若BC<AB,求NATO的度數(shù);

(2)如圖2,當AB=4,且EF=EC時，求2C的長.

【拓展延伸】

(3)若矩形ABC。滿足AS:3c=2:3,點E為邊上一個動點，將矩形ABC。沿AE進行翻折，點

C的對應(yīng)點為C',當點E,C,。三點共線時，求/瓦場的正切值.

19.如圖①，在菱形ABC。中，7W=10cm,BD=16cm.動點尸從點B出發(fā)，沿8C方向勻速運動，

速度為lcm/s；同時，線段MN(點M,N分別與點A,。重合)從點。出發(fā)，沿。3方向勻速平移，

速度為2cm/s；線段MN停止運動時，點P也隨之停止運動.MN交AB于點E,連接PN,MB.設(shè)

(2)是否存在某一時刻,,使點E在/ADB的平分線上？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由;

⑶設(shè)四邊形的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(4)如圖②，點N'是點N關(guān)于直線2C的對稱點，連接3N',NN',當r為何值時，點、M,B,N'在同

一條直線上？請說明理由.

20.如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)部有一點E,點尸在邊AD的上方，AE=AF,ZEAF90°,

連接BE、DF.

備川佟I

⑴求證：AABE學(xué)△ADF；

(2)延長BE交DF所在直線于點G；

①若AE=啦,/54￡=45。時，求EFG的面積；

②若AE=2,當2546從0。到60。的變化過程中，求點G經(jīng)過的路徑長.

《2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題14：圖形的相似》參考答案

題號12345678

答案ACCDBAAC

1.A

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的周長之比等于相似比，是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進行求解即可.

【詳解】解：???△ABCS/'AEC,相似比為1:4,

...VABC和A'3'C'的周長比為1:4.

故選：A.

2.C

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，

根據(jù)為=：可得失=5,即可得出優(yōu)"=G，再結(jié)合S.c，=12可得答案.

CC10c3?ABC"

OC2

【詳解】解：...仁7=：，

.OC2

??一，

OC3

,S_4

,?二7萬

?*SAEC=]2,

S/XABC~27.

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分成兩段，其中較長線段是較短線段和整個

線段的比例中項，那么這個點就是這條線段的黃金分割點.根據(jù)AP=避二即可求出BP.

2

【詳解】解：??,尸為A3的黃金分割點（AP＞總）

AP=^-1-AB=^^xlO=（5A/5-5）cm

P8=A8-A尸=10-（54-5）=（15-5司cm

故答案為：C.

4.D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握以

上知識點是解題的關(guān)鍵.先利用等腰三角形以及三角形內(nèi)角和，求得/ABC=/C,再利用角平分線，

求得ZDBC=ZABD=-ZABC,然后計算出NBDC,推出AD=5。=5C,最后證明Z\BCD^Z\ACB，

2

然后利用對應(yīng)邊成比例求得答案.

【詳解】解：AB=AC,ZA=36。，

平分/ABC,

ZDBC=ZABD=-ZABC=36°,

ZDBC=ZA=ZABD,ZBDC=180。—ZDBC—NC=180。—36°-72°=72°

:.BD=AD,BD=BC

NC=NC,ZDBC=ZA

:ABCDSAACB,

BCCD

ACCB

BC=2,

.2CD

'AD+CD~~2

.2CD

'2+CD~~T

..28+0)2=4

:.CD=45-1(舍去負值)

故選：D.

5.B

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，由正方形得到AD=3C=4,AD//BC,

ZADC=90°,貝|絲=竺，結(jié)合三等分點得到名=：,再由垂直證明-ADCS.FGC,得到

CMCFAC5

±CF二F黑G=：2，即可求出尸G的長度.

ACAD5

【詳解】解：???在正方形ABCD中，AD=4,

：.AD=BC=4fAD〃BC,ZA￡)C=90。，

.ADAF

??CM—CF，

???M為BC的三等分點，MC=2BM,

22

：.CM=-BC=-AD

33f

.AD_AF_3

CMCF2

?CF2

??一,

AC5

??,過點/作CO的垂線，垂足為G,

：.ZADC=ZFGC=90°,

:?一ADCs^FGC,

.CFFG2ntlFG2

ACAD545

Q

解得/G=],

故選：B.

6.A

【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的概念得到

4D1

AABCs八DEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出一=G，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，得到答案.

DE2

【詳解】解：TVA5c與是以點。為位似中心的位似圖形，

：?AABCs^DEF,AB//DE,

?「VABC的周長與。砂的周長比是1:2,

.AB1

??__=~f

DE2

'：AB//DE,

_AOBsDOE,

.OAAB_1

…OD~^E~2，

故選：A.

7.A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)矩形的性質(zhì)證明

CBMs,BAN和AADFsANBF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長AE交于點N

???四邊形ABCD是矩形,

AZC=ZABC=90°,AB//CD,BC=AD=3,CD=AB=4,

：.ZBAN-^-ZANB=90°,

?:AEJ.BM,

ZBEN=90。,

ZCBM-^ZANB=90°,

Z.CBM=/BAN,

一CBMs_BAN,

BCCM

法一而，

3_1

4-

：AD//BC,

??/\ADFsANBF,

DFAD39

1.BFBN44，

3

設(shè)Db=9x,則5尸=4%,

：.BD=13x,

在Rt.ABD中，由勾股定理得=132+42=5,

A13x=5,

故選：A.

8.C

【分析】連接4）交班于點G,連接GF,由正五邊的性質(zhì)求出NE4B=108。，由等腰三角形的性質(zhì)

及三角形內(nèi)角和定理可得乙鉆￡=/石4。=36。，然后證明-EZ加9GD廠（SAS）,得出

AFGF

ZDEF=ZDGF=108°,證出AG=AF,則可得出AB+AF=鹿；再證明一ABG"一E4G,則一二—，

ABAG

整理得A產(chǎn)=皿2_4^4尸，解得二I.（負值己舍去），貝|絲=避二1,所以點尸是AE

2AE2

的黃金分割點，再得出孕乙=避上14/=的，算出BO=AE+AF=@±2AF,即可作答.

A/5-I

【詳解】證明：如圖，連接AD交班于點G,連接G尸,

A

F

正五邊形ABCDE的內(nèi)角和是（5-2）x180。=540。,

???/FED=ZCDE=ZEAB=540。+5=108°,

???過點。作CO的垂線，

???ZCDF=90°,

???ZroE=108°-90o=18°

在Rt.EFD中，ZEFD=180°-18°-108°=54°,

故A選項是正確的，不符合題意;

QAE=ABf

:.ZAEB=ZABE,

ZABE=|x(180°-108°)=36°,

：.ZABE=ZEAD=36°,

:.ZBAD=1Q8°-36O=12°,

/.ZBGA=180°-72°-36°=72°,

又ZEAD=ZAEG=36°,

,\GA=GEf

:.BA+GA=BG+GE=BE,

又ZEDF=180°-90°-72°=18°,ZGDF=36°-18°=18°,

..ZCGB=ZCBG=72°,

:.DG=DE,

在〃區(qū))尸和一GOb中，

ED=DG

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF

[EC昭冬GOb(SAS),

NDEF=NDGF=108。，GF=EF

ZAGF=ZAFG=72°,

.\AG=AF,

:.AE+AF=BE.

JAB+AF=BE,

故B選項是正確的，不符合題意；

VAB=BG,AG=AF,

.AB_BG

**AF-AG-

,/ZABG=ZGAF=36°,

：...ABG^FAG,

AFGF

即Rn——=——,

ABAG

VAG=AF,GF=EF,

AFEFAE-AFAB-AF

即Rn——=——=--------=--------,

ABAFAFAF

**-AF2=AB2-ABXAF9

解得（負值已舍去），

2

AF=^^-AE,

2

即生=旻1,

AE2

工點尸是AE的黃金分割點，

故D選項是正確的，不符合題意；

則ZBDE=ZCDE-ZCDB=108°-36°=72°,

???ZBDE=ZBED,

:.BE=BD,

則班=6G+G石=AB+AG=AE+AF,

???弟T”招鉆

BD=AE+AF=^^-AF+AF=^^-AF,

22

故C選項不是正確的，符合題意；

故選：c.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

c27

9.—

2

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，，作

SAD?45

EG〃F。交A3于點G,則黃A絲nr=亍而=3,得出$仞°=＜，證明AEG。ACD得出

JADB2

14543

S--S=—,證明二BEDSBEG得出S由=ASGEB=J，進而即可求解?

AEG4ADCoJy2

■:EG//FD

：.BFDsBEG

q

?-DFB

-q

uGEB

==

??SS/TD=X

DFB92582

327

???四邊形WE的面積為SOF8=15—5=w

7

故答案為：四邊形尸石的面積為7.

2

10.4岳

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，延長AE交。C的延

長線于點H,過點C作CM1.于點M,可證_ECHs,ADH,可得CH=CD=3屈，即得CG=CH,

CM2

得至UNH=NEGC,進而得到大=彳，利用勾股定理得。0=6,又由余角性質(zhì)可得NEW=NH,

MH3

由三角函數(shù)得上M=4,進而即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長AE交。。的延長線于點H,過點C作CMLAH于點則

NCMH=/CME=90。,

H

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC,AD〃BC,/BCD=90。,

:.ECHsdADH,/ECH=90。,

.CH_EC

??=,

DHAD

???點E為5c邊的中點，

???E一J1，

BC2

?EC1

??一,

AD2

.CH1

??加一萬，

CH=CD=3屈,

;CG=3岳,

:?CG=CH,

：.ZH=ZEGCf

：.tanNH=tanZEGC=-,

3

.CM_2

設(shè)CM=2a,則MH=3a,

在RtCMW中，CM2+MH2=CH2,

A（2^）2+（3?）2=（3A/B（2,

解得。=3,

：.CM=6,

9：ZH^-ZMCH=90°,NECM+NMCH=90°,

???/ECM=/H,

tanZECM=tanNH=—,

3

.EM_2

日nEM2

即~~T=彳，

63

???EM=4,

CE=4EM1+CM-=742+62=2房>

BC=2CE=4g,

故答案為：4^/13.

11.4

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，由。石〃2（7,DF//AC,

AE2

得四邊形DEC/是平行四邊形，DE=CF,^DE=CF=x,由—=—可得

EC5

Y2

即可解得答案.

10+x7

【詳解】解：???。石〃5C,DF//AC,

??四邊形OECb是平行四邊形，

：.DE=CF,

設(shè)。￡=CF=x,

VBF=10,

???BC=BF+CF=10+x,

'：DE//BC,

：.AADE^AABCf

.AEDE

??花一茄’

..AE_2

?一,

EC5

.AE_2

"AC-7"

解得x=4,

CF=4,

故答案為：4.

【分析】本題考查了位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形，作軸于E,作

軸于尸，由題意可得03=2,OC=OB'=1,OF=2,AF=3,BC=l,CB'=2,CF=3,AABC^AAB'C,

3—35

由相似三角形的性質(zhì)得出AE=],再證明AEC^.AFC,求出CE=5,再求出OE=EC+OC=5,

即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作AEJ-X軸于E,作A'F_L無軸于/，

:點B的坐標為(-2,0),點C的坐標為(-1,0),點A的坐標為(2,-3)，點？的坐標為(1,0),

.*.03=2,OC=OB'=1,OF=2,AN=3,BC=\,CB'=2,CF=3,

由題意可得：

,AE_BC_1

*"CF-2?

/ZACE=ZACFfZAEC=ZA;FC=90°f

\AECsAFC,

.EC_AE_1

9~CF~^F~2f

\OE=EC+OC=~,

2

13.4

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，由A3〃8可得2Ao冰-_COD,即得喘=微，據(jù)此解答

即可求解，掌握相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,?,AB〃cr>,

?.AOB^COD,

.AB10

??一，

CD15

CD=6cm,

?.JO

??一，

615

解得AB=4cm,

故答案為：4.

14.26+100/10拒+26

【分析】連接AD,交EF于N,連接OC,取ON的中點連接MX,過點/作MQ_LAB于Q,

交40于點K,作MPLQ4于點P,如圖所示，先證明ON=OV,再證點//在以O(shè)N直徑的圓上運動,

則當點H在的延長線上時，點//到A3的距離最大，由相似三角形的性質(zhì)可求MK,K。的長，

由三角形的面積公式代值求解即可得到答案.

【詳解】解：連接AD,交EF于N,連接OC,取ON的中點連接過點M作MQ_LAB于Q,

交A。于點K,作MPLCM于點尸，如圖所示：

.?.點A（8,0）,點8（0,-6）,

OB=6,OA=8,

：.AB=^OA"+OB2=10>

四邊形ACDO是正方形，

OD//CA,AO=AC=OD=8,OC=872,ZCOA=45°,

:.ZEDN=ZNAF,ZDEN=ZAFN,

又，DE=AF,

DEV^..ARV（ASA）,

:.DN=AN,EN=NF,

，點N是AO的中點，即點N是OC的中點，

ON=NC=472,

OHLEF,

:.ZOHN=90°,

點H在以O(shè)N直徑的圓上運動，則當點H在Q"的延長線上時，點”到AB的距離最大,

點”是QV的中點，

:.OM=MN=2-j2,

MPLOP,ZCOA=45°,

：.OP=MP=1,

則AP=6,

ZOAB+NOBA=90°=NOAB+ZAKQ,

ZAKQ=ZABO=ZMKP,

又*ZAOB=ZMPK=90°,

:./\MPK^/\AOB,

.MPPKMK

,OA~OB~AB'

則W=F=哈，解得MK=J,PK=1,

oo1U22

..AK——?

2

ZAKQ=ZABO,ZOAB=ZKAQ,

:./\AKQ^/\ABO,

9

AKKQ

即區(qū)=當,

~AB~~OB

10~6

27

:.KQ=—

10

52726

:.QM=KQ+MK=-+—=

y

點H到AB的最大距禺為,+20,

面積的最大值=gxlOx[g+20)=26+10夜,

故答案為：26+10匹.

【點睛】本題是四邊形綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、全等三角形的

判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、動點最值-輔助圓問題等知識，求出MQ的長是解題的關(guān)鍵.

15.(1)見解析;

(2)見解析.

【分析】本題考查平行四邊形及特殊四邊形綜合，涉及平行四邊形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

矩形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定得到.GEDS_GBC,由相似比變形即可得證;

(2)由題中條件，結(jié)合相似三角形的判定得到一ABEs二.，再由相似三角形的性質(zhì)得到

ZAEB=ZFAB,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，由矩形的判定即可得證.

【詳解】(1)證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

DF//BC,

：.Z.GDF=NGCB,

,/NG=NG,

:.-GFDs=GBC,

.GFDG

"~GB~~CG'

：.GFCG=DGBG；

（2）???AB?=BEBF，

.AB_BE

??—~,

BFAB

又：ABE^ZABF,

/.ABE^FBA,

：.ZAEB^ZFAB,

?/BEYAC,

：.ZAEB=90°,

：.NBAF=90。,

:四邊形ABC。是平行四邊形，

四邊形ABCD是矩形.

16.（1）①圖見解析；②圖見解析

⑵即若

【分析】（1）①作已知/BAC的角平分線即可；

②先作線段AO的垂直平分線，交A3于點E,交AC于點/，連接DE、DF,根據(jù)線段的垂直平分

線的作圖和性質(zhì)及平分/BAC,可得AE=ED=DF=AF,即四邊形AEZ"是菱形.

CFFD4-FDFD

（2）利用菱形的性質(zhì)證得△CFDs^c鉆，可得了二即一解方程，即可求解.

CAAB43

【詳解】（1）解：①如圖所示,

s.AEHDF,AF=AE=ED=FD,

CFD^CAB,

CFFD

AB=3,AC=4,

4-EDED

??一，

43

I?

解得：ED=—.

【點睛】本題主要考查了角平分線和垂直平分線的尺規(guī)作圖，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵.

17.(1)tanNACE=；

qx

(2)J=^^(0<x<3)；

(3)當NAT>^=NACE時，ACGESADAF,理由見解析

【分析】(1)過點E作㈤"LAC于點由正方形的性質(zhì)求出A￡=2,由直角三角形的性質(zhì)求出

和CM的長，則可得出答案；

(2)證明DHS.DAF，由相似三角形的性質(zhì)得出生=誓，則可得出答案；

AFDA

Ap13

(3)由銳角三角函數(shù)的定義得出啟=wr=；,求出左=彳，y=l,證明EWG和；AHG都是等腰直角

/XL)3，2

三角形，則可得出答案.

【詳解】(1)解：過點E作EMLAC于點

:.ZCAD=45°,AE=AD-DE=3-1=2,

EM=AM=AE-sinZCAD=2x—=y/2,AC=3-j2,

2

:.CM=AC-AM=3貶-母=2四,

42_1

tan4CE=需

20-2

(2)解：四邊形ABC￡>是邊長為3的正方形,

:.ZCAD=45°,

GHLAD,

「.△AHG是等腰直角三角形，

：.AH=GH=y,

GHLAD,ABLAD,

..GH//AB,

DHG^DAF,

.HGPH

一~AF~^A9

.1_3-y

一犬_3，

:.y=x—xy,

'=^^(。＜兀43)；

(3)解：當NADF=NACE時，ACGEs&DAF,

理由：tanZADF=tan/ACE=；,

.AF_x_1

,,AD-3-2，

2

,-.HA=GH=l,

:.EH=AD-DE-AH=lf

.?.一EHG是等腰直角三角形，

.?.ZHGE=45。,

AHG是等腰直角三角形，

NAG"=45。，

ZAGE=ZAGH+ZHGE=90°,

ZCGE=ZDAF=90°.

9

：ZADF=ZACEf

：.ACGESADAF.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

18.(1)120°；(2)472;(3)或g.

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義，得NABD=60。,再由折疊性質(zhì)得：AF=AB，故

是等邊三角形，即可得結(jié)論；

(2)由折疊性質(zhì)得：BF1AE,EF=EB,則BC=2EB,再證./皿不^及刀，根據(jù)相似的性質(zhì)可

得2C的長；

(3)分類討論且結(jié)合作圖，當點E在8、C之間時，得DE=A9=3C=3w,運用勾股定理得

CE=dDE_CZ）2=,BE=（3-石）〃，故tanNBAE='；當E與C重合時，BE=BC=3n,

tanZBA￡=—,即可作答.

AB2

【詳解】解：（1）四邊形ABC。是矩形，

AD=BC,ZR4D=90°,

BC=gAB,

AD=s/3AB,

AD

??tan----=J3i—,

AB

ZAB。=60。，

由折疊的性質(zhì)得：AF=AB,

二?A4防是等邊三角形，

ZAFB=60°,

.ZAFD=1800-ZAFB=120°；

（2）由折疊的性質(zhì)得：BF±AE,EF=EB,

.NBGE=90。,

EF=EC,

.EF=EC=EB,

.BC=2EB,

四邊形A3C。是矩形，

.ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=4,

ZBAE+ZAEB=9009NCBD+ZAEB=90。,

.NCBD=NBAE,

ZBCD=ZABE,

.ABEs,BCD,

?.BC=4艙(負值已舍去),

即5c的長為4&;

(3)設(shè)AB=2〃，BC=3n,

分兩種情況：當點E在5、。之間時,

由折疊的性質(zhì)得：ZAEC=ZAEC,

?:ZBEC=/DEC,

；?ZAEB=ZAED,

'：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE,

ZDAE=ZAED,

：?DE=AD=BC=3n,

在RtzXCD石中，CE7DE2-3=島，3E=（3-石）九，

tanZBA￡=——；

2

當E與。重合時，BE=BC=3n,

tan/BAE==—；

AB2

綜上所述，-BAE的正切值為或1■.

22

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運算，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì),

折疊性質(zhì)，難度適中，綜合性較強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

40

19.(1”=——s

9

小、40

⑵

(3)S=-|產(chǎn)-++48(0<r<8)

39

⑷r

【分析】（1）根據(jù)菱形ABC。中，AB=10cm,BD=16cm.動點P從點8出發(fā)，速度為lcm/s；同

時，線段肋V速度為2cm/s,設(shè)運動時間為t,則BP=rcm,DN=2tcm,BN=BD-DN=(16-2t)cm,

RNFN

根據(jù)EN旬得到BEM,.BAD,列出比例式而=而，當成=硒時，四邊形ENPB是平行四邊

形，即可證PN〃防；

(2)根據(jù)ENAD,得ZADE=NNED,根據(jù)點E在4DB的平分線上，得到NADE=NA?E,于

是得到ZNED=NNDE即EN=DN,建立方程2/=10-3,解答即可；

4

(3)連接AC與交于點。，求得OA=OC=‘AB?-OB?=6(cm),過點N作GH_LBC于點G,交

AD于點、H,則GH為菱形的高，根據(jù)8C.G"=《AC.B。，就可以得到^12x1648,根據(jù)

2GH=-----------=—

105

BGNsDHN,得至B!N)把G=N"，求得GN="48-*6t,后根據(jù)

DNHN5

S=：M7V.GN+g2PGN=；x史丁^(10+。=-*2-2+48解答即可.

(4)連接AC與03交于點。，設(shè)MV'與BC交于點。，求得cos/O2C=M=。，得到

BC5

464—"

BQ=BNcosZOBC=-(16-2f)=,證明NQ=N'Q,得MB=BN，,根據(jù)三角形中位線定理，

得BQ=；1MN=5,故5=方64-耳St，解得39

【詳解】(1)解：???菱形A5CD中，AB=10cm,BD=16cm.動點尸從點3出發(fā)，速度為lcm/s；

同時，線段速度為2cm/s,

設(shè)運動時間為則的=/cm,DN=2tcm,BN=BD-DN=(16-2t)cmf

AB=BC=CD=DA=10cmf

?.?ENAD,

I.BENBAD,

.BNEN

??~一—,

BDAD

.16-2tEN

??=，

1610

解得EN=10-3,

4

當3P=￡7V時，四邊形EAPB是平行四邊形，即可證PN〃EF,

于是，t=10——Z,

4

解得好4黑0

40

故當t=3s時，PN//EB.

(2)解：AD,

：.ZADE=ZNED,

:點E在/ADB的平分線上,

???ZADE=ZNDE,

：.ZNED=ZNDE,

：.EN=DN,

2t=10——f,

4

解得"二40，

故當時，點后在川必的平分線上.

(3)解：連接AC與。5交于點0,

*.*菱形ABCD中，AB=10cm,BD=16cm.

AZAOB=9Q°,OB=OD=-BD=8cm,

2

：.OA=OC=YIAB2-OB2=6(cm),

過點N作于點G,交AD于點、H,

則為菱形的高，

BC?GH=LAC?BD,

2

丁BC//AD,

BGNs；,DHN,

,BNGN

??DN~HN'

16-2r_GN

：.2t~

48-6r

解得GN=

5

：.S=-MNGN+-BPGN=x(10+r)

2225

=--?--Z+48.

55

(4)解：連接AC與。5交于點0,設(shè)NN'與BC交于點、Q,

Y菱形ABCZ)中，A5=10cm,B￡)=16cm.

AZAOB=90°,OB=OD=-BD=Scm,

2

OA=OC=4AB1-OB-=6(cm),

：.cosZOBC=—=~,

BC5

BQ=BNcosZOBC=1(16-2?)=64J8r,

根據(jù)題意，得NQ=N'Q,

-：BCADMN,

.QNMP

??函—前’

：.MP=PN',

：.BQ