2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：隱圓專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

1.在平行四邊形48CD中，已知/N=45。，ADA.BD,點(diǎn)E為線段8c上的一點(diǎn)，連接以線段DE為直

角邊構(gòu)造等腰放DEF,環(huán)交線段N8于點(diǎn)G,連接/尸、DG.

(1)如圖1,若48=12&，BE=5,則。E的長(zhǎng)為多少？

(2)如圖2,若點(diǎn)H,K分別為線段BG,OE的中點(diǎn)，連接"K,求證：AG=2HK；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若BE=2,BG=2母,以點(diǎn)G為圓心，4G為半徑作OG,點(diǎn)M為。G上一

點(diǎn)，連接MK,取"K的中點(diǎn)尸，連接4尸，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4尸的取值范圍.

2.如圖，四邊形ABCD是正方形，AABE是等邊三角形，”為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到珈，連接EN、AM^CM.

(1)求證：AAMB=kENB；

(2)①當(dāng)"點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，3+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)期+BM+CM的最小值為6+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

答案第1頁(yè)，共40頁(yè)

3.如圖，正方形ABCD中，AB=2百，。是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線

段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得DF,連接AE,CF.

(備用圖)

(1)求證：AE=CF；

(2)若A,E,。三點(diǎn)共線，連接OF,求線段OF的長(zhǎng).

(3)求線段OF長(zhǎng)的最小值.

4.如圖，在矩形中，AB=6,點(diǎn)、E,尸分別是邊CD,8c上的動(dòng)點(diǎn)，且//在=90。

(1)證明：AABPsAFCE；

(2)當(dāng)。E取何值時(shí)，NAED最大.

5.如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)。在AC邊上,點(diǎn)E為BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE,過(guò)點(diǎn)C作CF〃班)交4E延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F.

答案第2頁(yè)，共40頁(yè)

(1)如圖1,若NBAF=90。，tanZA￡B=pAB=8,求EF的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若NCBE=45。,點(diǎn)F在CE的垂直平分線上，點(diǎn)G在EC邊上，連接AG交BE于點(diǎn)H,且NBHG=60。，

求證：AG+AE+ED=>/2AB;

(3)如圖3,若NC5E=45。，tan/5CE=3,BC=4,點(diǎn)K、M、N分別是BC石三邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)取得最

小值時(shí)，取線段BK的中點(diǎn)/,點(diǎn)7為平面內(nèi)一點(diǎn)，且N￡77=45。，連接BT、CT，請(qǐng)直接寫(xiě)出竺)尹的最大值.

6.如圖，已知正方形月8co的邊長(zhǎng)為4、點(diǎn)尸是48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過(guò)點(diǎn)P作尸。的垂線交ND

于點(diǎn)E,以尸E為邊作正方形PE尸G、頂點(diǎn)G在線段尸。上，對(duì)角線EG、尸尸相交于點(diǎn)0.

(1)若4尸=1,plljAE=_；

(2)①點(diǎn)。與△NPE的位置關(guān)系是,并說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)尸從點(diǎn)4到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段/E的大小也在改變,當(dāng)AP=_,NE達(dá)到最大值,最大值是—.

7.如圖①，在等腰RrABC和等腰RrBDE中，NBAC=NBDE=90。,AB=AC,BD=DE,E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中

點(diǎn)，連接”，DF,AD.

答案第3頁(yè)，共40頁(yè)

c

⑴若AB=4,求A。的長(zhǎng)度;

⑵若將VBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明AF=DF,AF±DF-

(3)如圖③，在VBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，再將AACF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到ACF',連接BF，，若AB=4,請(qǐng)直

接寫(xiě)出的最大值.

8.在VABC中，ZACB=90。，CA=2CB.將線段a繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在N8的延長(zhǎng)線上時(shí),過(guò)點(diǎn)。作DE1AD交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若8c=2,求。E的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在C2的延長(zhǎng)線上時(shí),連接4D,過(guò)點(diǎn)C作。尸，48于點(diǎn)凡延長(zhǎng)。尸交4D于點(diǎn)E,連接

BE,求證：AB=CE+BE-

(3)如圖3,在(2)的條件下，將AACF沿/C翻折得到△ACF,V為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接8M,將BDM沿

3河翻折得到△出加.當(dāng)D尸最小時(shí)，直接寫(xiě)出詈的值.

答案第4頁(yè)，共40頁(yè)

9.如圖，等邊三角形/8C內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的O。，點(diǎn)尸在圓弧43上以2倍速度從8向N運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在圓

弧8C上以1倍速度從。向8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸，O,。三點(diǎn)處于同一條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；

⑵若〃■為弦依的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的最大值.

10.如圖，在△4BC和△￡)￡?尸中，ZBAC=ZEDF=90,AB=AC,D￡=DF,BC、EF交于點(diǎn)M,且點(diǎn)M為8C、

E尸的中點(diǎn)，將△。跖繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)/旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)Z在陽(yáng)延長(zhǎng)線上時(shí)，若BC=3后，AF”,tan/BAF=2,求線段5尸的長(zhǎng)；

⑵如圖2,當(dāng)尸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)力在Q延長(zhǎng)線上，求證：6AF=GBE+EF；

⑶如圖3,在ADEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線4D與直線CF交于點(diǎn)N,連接3N,尸為3N的中點(diǎn)，連接4P,若的=60,

請(qǐng)直接寫(xiě)出線段N尸的最大值.

11.如圖，四邊形ABCZ"和EFGB均為正方形，將EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn);

答案第5頁(yè)，共40頁(yè)

(1)如圖①，連接CE、AG,判斷直線AG、CE的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;

(2)如圖②，連接若NDFC=135。，探索并證明線段BF、CF、DF的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖③，若正方形ABCD、EFGB邊長(zhǎng)分別為4、2,EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，直線4G與CE相交于點(diǎn)H,直接寫(xiě)線

段OH的最小值及點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.

12.如圖1,在VABC中，^ACB=90\AC=BC=y/5,以點(diǎn)8為圓心，以0為半徑作圓.

⑴設(shè)點(diǎn)尸為B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段。繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段8,連接DA,DB,PB,如圖2,求

證：AD=BP-

(2)在(1)的條件下，若NCPB=135。，求的長(zhǎng)；

(3)在(1)的條件下，當(dāng)4BC=。時(shí)，有最大值，且最大值為;當(dāng)々BC=。時(shí)，BD有最小

值，且最小值為.

13.如圖，圓。為R3ABC的外接圓，/ACB=90°,BC=473,AC=4,點(diǎn)。是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C、。分別位于

AB的兩側(cè).

答案第6頁(yè)，共40頁(yè)

(1)求圓。的半徑；

⑵當(dāng)C￡>=4四時(shí)，求ZA。的度數(shù);

(3)設(shè)AO的中點(diǎn)為M,在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段C”的最大值為

14.定義：既相等又垂直的兩條線段稱(chēng)為“等垂線段”，如圖1,在R3ABC中，ZA=90%M=AC,點(diǎn)D、E分別

在邊AB、AC上，AD=AE,連接。E、DC,點(diǎn)M、/>、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，且連接PM、PN.

圖1圖2

(1)觀察猜想

線段P"與PN填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

⑵V4DE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接CE,試判斷P"與PN是否為“等垂線段”，并說(shuō)

明理由.

(3)拓展延伸

把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出PM與PN的積的最大值.

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在直線AD右側(cè)，且AE=1,以DE為邊作正方形OEFG,射線DF與邊BC交于

點(diǎn)、M,連接ME、MG.

答案第7頁(yè)，共40頁(yè)

G

⑴如圖1,求證：ME=MG.

(2)若正方形MCD的邊長(zhǎng)為4,

①如圖2,當(dāng)G、C、"三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)N,求零的值;

②如圖3,取中點(diǎn)尸，連接尸尸，求尸尸長(zhǎng)度的最大值.

答案第8頁(yè)，共40頁(yè)

《2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：隱圓專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)》參考答案

1.(1)DE=13；(2)見(jiàn)解析；(3)屈-2也SAPSa+2及

【分析】(1)借助三角形全等，求線段的長(zhǎng)度.

(2)借助模型“對(duì)邊平行+中點(diǎn)”構(gòu)造全等三角形.將4G轉(zhuǎn)化為GM；

(3)主動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)尸也在圓上運(yùn)動(dòng)，利用中位線找到。的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【詳解】解：(1)?.?N/=45。，且

圖1

ZADB=90°f

???△45。為等腰直角三角形,

又;AB=12。

：?BD=12,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BCf

：.ZDBE=ZADB=90°f

在出△5￡。中，BD=\2,BE=5,NDBE=9。。,

:.DE=y/BD2+BE2=A/122+52=13;

(2)如圖2,

連接GK,BK,延長(zhǎng)8K交/。于M,連接GW,

圖2

-JAD//BC,

：.ZEBK=ZDMKfNKEB=/MDK,

又DK=KE,

:ABEK經(jīng)4MDK(AAS)f

:?DK=KE,

又,：BH=GH,

：.KH//^GM,

?：△OE尸是等腰直角三角形，

答案第9頁(yè)，共40頁(yè)

:?/EDF=NADB=90。,DE=DF,/DFE=/DEF=45。,

：.ZEDB+ZBDF=/FDA+/BDF,

/.ZEDB=ZFDAf

VZADB=90%/BAD=45。,

：.ZABD=90°-/BAD=45。,

ZABD=ZBAD,

:?DB=DA,

MADFm4BDE(SAS)f

ZDAF=ZDBE=90°,AF=BE

ZDAG=ZDFG=45°,

???/、F、G、。四點(diǎn)共圓，

ZDGE=N。/尸=90。，

在?△OGE中，K是。E的中點(diǎn)，

:?GK=gDE,

在RtADKE中，

同理可得：KB=3DE,

:?GK=KB,

又*：BH=GH,

:?KHLBG,

,:KH//MG,

:?MG_LAB,

：.ZAGM=90°f

???ZBAD=45°f

：.NAMG=NBAD=45。,

:?AG=GM,

：.KH=\GM=^AG,

(3)作ENL4B于N,

在RtABEN中,NEBN=180。-NABC=45。,BE=2,

:?EN=BN=4i,

在放△GEN中，GN=GB+BN=3?,EN=母,

:.GE=2下，

:?DE=V2GE=25,

在RtADBE中,BE=2,DE=2回,

答案第io頁(yè)，共40頁(yè)

:?BD=6,

^.AB=yfiBD=6及,

：.AG=AB-BG=4母

連接MG,取GK的中點(diǎn)/,作/Q_L45于0,

圖3

???尸是的中點(diǎn)，

：.PI=^MC=242,

二點(diǎn)尸在以/為圓心，半徑為23的。/上運(yùn)動(dòng)

由（2）知：KH="G=2也,

是△KG"的中位線，

：.lQ=\KH=4i,

在RtAAIQ中，AQ=AG+GQ=A4I+^-=^Y，1Q=\KH=^,

:.AI=M,

：.AI-PI<AP<AI+PI,

/.a-275s4尸W屈+2Q.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形與直角三角形、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、三角形的全等和圓的綜合運(yùn)用，解

題關(guān)鍵是確定尸點(diǎn)的軌跡并且要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、推理能力、模型思想和創(chuàng)新意識(shí).

2.（1）見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)M點(diǎn)位于AD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，的

值最小，理由見(jiàn)解析；（3）近

【分析】（1）由題意得出=g，/ABN=15。,所以ZEBN=45。，容易證出AAMBwAENB；

（2）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)“點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小；

②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+GW的值最小，即等于EC的長(zhǎng)（如圖）；

（3）作輔助線，過(guò)E點(diǎn)作EF1BC交CB的延長(zhǎng)線于F,由題意求出ZEBF=30。，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為工，在RtAEFC中，

根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為及.

【詳解】解：（1）證明：…是等邊三角形，

;.BA=BE,ZABE=60°.

'：4MBN=60°,

:./MBN—ZABN=ZABE—ZABN.

§]]ZMBA=ZNBE,

又,/MB=NB,

答案第11頁(yè)，共40頁(yè)

=M：NB(SAS).

(2)解：①當(dāng)"點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小.②如圖，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位

于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM+BM+CM的值最小，

理由如下：連接MN,由(1)知，MMB-AE7VB,

：.AM=EN,

,：NMBN=60°,MB=NB,

.?.ABMN是等邊三角形.

：.BM=MN.

:.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，若E、N、/、C在同一條直線上時(shí)，EN+MV+CM取得最小值，最小值為EC.

在^ABM和ACBM中，

[AB=CB

\ZABM=ZCBM,

[BM=BM

AABM=ACBM(SAS),

:.ZBAM=ZBCM,

:"BCM=NBEN,

EB=CB,

■■若連接EC,則NBEC=ZBCE,

,NBCM=NBCE,/BEN=/BEC,

-M,N可以同時(shí)在直線EC上.

;當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，W+ffiW+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).

(3)解：過(guò)E點(diǎn)作EnBC交CB的延長(zhǎng)線于F,

ZEBF=ZABF-ZABE=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為￡,則BF=^x,EFj.

在R/中,

222

-EF+FC=ECf

(~)2+(~x+x)2=+1)2.

解得石=后，%2=-6(舍去負(fù)值).

二正方形的邊長(zhǎng)為加.

ADAD

FBCBC

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題

答案第12頁(yè)，共40頁(yè)

的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線，靈活運(yùn)用.

3.(1)證明見(jiàn)解析；(2)V26;(3)572-2

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證明△ADEgaCDF,即可得到AE=CF；

(2)先利用=ACDP,求得C5長(zhǎng)，再利用AABOSACM,求得CP=2PF,然后設(shè)PF=X利用勾股定理求得X

的值，即可求得OF的長(zhǎng)；

(3)本題考查了利用三角形全等轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題.

【詳解】(1)證明：如圖1,由旋轉(zhuǎn)得：NEDF=90。，ED=DF,

四邊形ABCD是正方形，

.?./ADC=90。，AD=CD,

.-.^ADC=^EDF,

即/ADE+NEDC=NEDC+/CDF,

??.NADE=/CDF,

在AADE和ACDF中，

AD=CD

-ZADE=NCDF,

DE=DF

.-.AADE^ACDF,

.?.AE=CF；

(2)解：如圖2,過(guò)f作oc的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于p,

。是BC的中點(diǎn)，且AB=BC=26，

.A,E,。三點(diǎn)共線，

OB=y/5,

由勾股定理得：AO=5,

OE=2,

/.AE=5-2=3,

由(1)知：AADE=ACDF,

.?."AE="CF,CF=AE=3,

"AD="CP,

.?./OAB=4CF,

?.?/ABO=/=90。,

.-.AABO^ACPF,

ABCP26r

…==~/="=2,

OBPF6

.-.CP=2PF,

設(shè)PF=x,則CP=2x,

答案第13頁(yè)，共40頁(yè)

由勾股定理得：32=X2+（2X）2,

x=苧或考（舍）,

0P=&牛=器，

由勾股定理得：OF=j￥：+［竽j=而，

（3）解：如圖3,由于OE=2,所以E點(diǎn)可以看作是以。為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng),

延長(zhǎng)BA到P點(diǎn)，使得AP=OC,連接PE,

,AE=CF,4AE=NOCF,

.-.APAE^AOCF,

.-.PE=OF,

當(dāng)PE最小時(shí)，為0、E、P三點(diǎn)共線，

OP=JOB2+PB2“（用+（3布j=5五,

.?.PE=OF=OP-OE=5及-2,

二?OF的最小值是5a-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、幾何圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用三角形全等解決問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵

是注意構(gòu)造輔助線進(jìn)行解答.

4.（1）見(jiàn)解析；（2）y

【分析】（1）根據(jù)題意可得/5=/C=90。，ZAFB=ZFEC,即可得出結(jié)論；

（2）取/E的中點(diǎn)。，連接。D、OF,根據(jù)NNFE=/NDE=90。，得出4D、E、尸四點(diǎn)共圓，當(dāng)（3。與

相切時(shí)，/4陽(yáng)的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）證明：：四邊形N8CD是矩形，

ZB=ZC=90°,

,：ZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,:ZEFC+ZFEC=90°,

ZAFB=ZFEC,

:.△ABFS^FCE.

（2）取4E的中點(diǎn)O,連接。。、OF.

答案第14頁(yè)，共40頁(yè)

???/AFE=ZADE=90°f

：.OA=OD=OE=OFf

???4、D、E、尸四點(diǎn)共圓，

???ZAED=ZAFDf

???當(dāng)。。與3C相切時(shí)，NZED的值最大，

:?BF=CF=4,

???AABFSAFCE,

,ABBF

**~FC~~EC'

?6_4

?,]_EC，

EC=-

3f，

/.DE=DC-CE=6一一=—,

33'

.,.當(dāng)DE號(hào)時(shí),ZAEO的值最大.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出0。與8c相切時(shí)，陽(yáng)的值最

大是解題的關(guān)鍵.

5.(1)45/3-3；(2)見(jiàn)解析；(3)!

【分析】⑴過(guò)點(diǎn)D作。GL4B于G,則"〃DG,得到NGDB=/4EB,由tan/AEB=嗡=[AB=8,得到

tanZGDB=^|=iAE=6,則BG=：DG,再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到BG=華AG,由AG+BG=AB=8,

L)(jJJ3

可得AG=?學(xué)，AO=2AG=更與生，再證明得到笠=筆，則6筆戶(hù)8,由此求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CM_L/尸于M,CNLBE于N,過(guò)點(diǎn)B作8K_L4B交NG延長(zhǎng)線于K,在EF上取點(diǎn)P使得EP=ED,

連接CP，先證明△(;〃￡■烏△(7%￡1得到CAf=CN,從而可證用得到NC4M=/C5E=45。，從

而推出/CE3=NFEC=60。，由N4BK=90。，/BAK=45。,得到4B=5K=ZC,/K=/BAK=45°,/KBG=30。,

則AK=jAB"KjAB,證明△(?%名△?>￡■得到再證明gABGK得到4P=GK,則

AG+AE+ED=AG+AE+PE=AG+AP=AG+GK=AK=42AB',

(3)先證明當(dāng)△KAW周長(zhǎng)最短時(shí)，BKLCE,即/BKC=/BKE=90。,由NE77=45。，可知T點(diǎn)在以￡7為弦，

圓周角/E77=45。的圓上運(yùn)動(dòng)，又NBKI=9Q°,則T在以K為圓心，以A7的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，在3K上

取一點(diǎn)。使得白=黑"，可證△TKQsABKT,得至I」蓋=等=務(wù)=J,則①當(dāng)"，故要想"-犯拙—

DAKJZDKKIDlZZEKEK

最大，則;"-CT的值要最大，即T2-CT的值要最大，則當(dāng)八C、。三點(diǎn)共線時(shí)，T0-CT有最大值，最大值為

答案第15頁(yè)，共40頁(yè)

C。，由此求解即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。G,45于G,

ZDGB=ZBAF=ZDGA=90°,

：.AF//DGf

：./GDB=/AEB,

VtanZAEB=-^=—,AB=S,

AE3

A

tanZ.GDB==—,AE=6,

DG3'

4

/.BG=-DG,

3

???△45。是等邊三角形，

ZDAG=60°fAC=AB=S,

：.ZADG=30°f

AD=2AG,

DG=y/AD2-AG2=6AG,

BG=-AG,

3

AG+BG=AB=S,

AG+—AG=8,

3

?“326-24

；.32AG=64癢48

13

9

：DE//CFf

：.AADESLACF,

,AEAD

**AF-AC'

645/3-48

；?613,

AF8

AF=4>/3+3,

EF=AF-AE=4A/3-3；

圖1

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作/于CNIBE”,過(guò)點(diǎn)5作5KL48交ZG延長(zhǎng)線于K,在跖上取

點(diǎn)P使得EP=ED,連接。尸，

:./CME=/CNE=9。。,

??,/在線段EC的垂直平分線上,

答案第16頁(yè)，共40頁(yè)

:?FE=FC,

：.ZFEC=ZFCE,

,:BE〃CF,

：./BEC=/FCE,

：.NCEM=/CEN,

,:CE=CE,

:?/\CME烏ACNE(AAS)f

:?CM=CN,

???△/5C是等邊三角形，

:?BC=AC,

:?Rt/\CMA沿RtACNB(HL),

：?NCAM=NCBE=45。,

VZCBA=60°fNCBE=45。,

：.ZABH=15°f

：.NHAB=/BHG-NABH=45。,

：.ZCAG=ZCAB-ZHAB=\5°f

：.NEAH=60。,

又???ZEHA=ZBHG=60°,

???NAEH=60。,

：.ZCEB=ZFEC=60°f

VZABK=90°fNB4K=45。,

：?AB=BK=AC,ZK=ZBAK=4509/KBG=30。,

AK=\lAB2+BK2=y/2AB,

?：PE=DE,NPEC=NDEC,CE=CE,

???△CPEmdCDE(SAS)f

:?/CPE=/CDE,

ZCDE=ZADB=180°-AABD-ZCAB=105°,

AZCPE=105°,

???ZBGK=180°-ZK-ZKBG=105°,

NBGK=/CR4,

在和△6GK中，

NCPA=/BGK

</PAC=/GKB,

BK=CA

答案第17頁(yè)，共40頁(yè)

:ACPA義ABGK(44S),

：.AP=GK,

AG+AE+ED=AG+AE+PE=AG+AP=AG+GK=AK=>/2AB;

(3)如圖1所述，在銳角三角形/5C中，。是5。上一確定點(diǎn)，分別作。關(guān)于45的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。/,關(guān)于力。的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2,連接分別與4SAC,交于點(diǎn)、E,點(diǎn)、F,連接AD,AD19AD2fDE,DF,

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)~PS^DE+EF+DF=D,E+EF+D2F=DR,AR=AD2=AD,

ZDiAB=ZDAB,ZD2AC=ZDAC,

???要想△。跖的周長(zhǎng)最小，即要最小，ZZ),AD2=2ZBAC,AZ)也是等腰三角形

???要想A2要最小，即AD產(chǎn)AZ)2=AQ最小，

???當(dāng)4D_L5c時(shí),40最小,

圖1

如圖2所示：在銳角三角形45。中，AD工BC,分別作。關(guān)于45的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,關(guān)于4C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)X,連接

DG交4B于I,DH交AC于J,連接〃，連接G8分別與AC,交于點(diǎn)E,點(diǎn)、F,連接。E,DF,CE,

?：DI_LAB,DJ_LAC,

：.ZAID=ZAJD=90°f

：.A,Z,D,/四點(diǎn)共圓，

???ZAIJ=ZADJ

?：AD_LBCf

：.ZADC=ZDJA=90°f

：.ZACD+ADAC=ZADJ+ZDAJ=90°,

???/ACD=/ADJ,

：./ACD=NAIJ,

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知/,1/分別為。G,皿/的中點(diǎn)，

???〃是△QG”的中位線，

：?IJ〃GH,

：./AEF=/AU=/GEI,

答案第18頁(yè)，共40頁(yè)

/ACD=/AIJ=NGEI,

又?：/GEI=/DEI,

：.ZACD=ZDEIf

???/AED+/DEI=180。,

：.N/CQ+N/EZM80。，

???4、E、D、。四點(diǎn)共圓，

???ZAEC=ZADC=90°f

???CE是45的垂線，

同理可以證明5方是4。垂線，

???可知在銳角三角形45。中，當(dāng)取三邊的垂足所形成的三角形為周長(zhǎng)最短的三角形;

圖2

???當(dāng)周長(zhǎng)最短時(shí)，BKLCE,即N5KC=N5AE=90。,

RK

/.tanZBCE=——=3,

CK

BK=3KC,

222

*：BK+CK=BCf

22

/.10CK=BC=16f

?CK2曬

??CK=——，

?RK-6回

,?ZETI=45°,

7點(diǎn)在以￡7為弦，圓周角NE77=45。的圓上運(yùn)動(dòng)，

又：ZBKE=90°,

.?.T在以K為圓心，以A7的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

:/是5K的中點(diǎn)，

KI=BI=KT=EK=-BK=^^~,

如圖2所示，在8K上取一點(diǎn)。使得白=黑弓,

oAKJZ

答案第19頁(yè)，共40頁(yè)

?m-3版

"KQ=^

■:/TKQ=/BKT,裝=詈，

:.ATKQsABKT,

.TKKQTQ

.?詼_而一而―/，

：.TQ=^BT,

二要想絲匚紅=2料二￡最大，貝畤Br-cr的值要最大，即ro-cr的值要最大,

EKEK2

???當(dāng)八C、0三點(diǎn)共線時(shí)，TQ-CT有最大值，最大值為CQ,

在直角三角形CKQ中CQ=lCK、KQW呼,

BT-2CT_VW_5

EK~3V103.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定,

圓的綜合等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí).

6.(1)|；(2)①點(diǎn)。在尸E的外接圓上，見(jiàn)解析；②2夜；(3)2,1

【詳解】解：(1)???四邊形/5CZX四邊形PMG是正方形，

AZA=ZB=ZEPG=90°,PF工EG,AB=BC=4,ZOEP=45°,

：.ZAEP+ZAPE=90°fZBPC+ZAPE=90°f

：.ZAEP=/BPC,

：.△APEsgCP,

.AE_APBnA￡_1

*9~BP=~BCf即Q

解得：

故答案為：I；

(2)①點(diǎn)O在△4產(chǎn)￡的外接圓上，理由是:

證明：如圖1,

取尸￡的中點(diǎn)。，連接4。，

圖1

???NP0E=9。。,

答案第20頁(yè)，共40頁(yè)

：.OQ=\PE,

?..△NPE是直角三角形，

/.點(diǎn)。是mA4PE外接圓的圓心，

:.AQ=gPE,

：.OQ=AQ=EQ=PQ,

二。在以。為圓心，以。。為半徑的圓上，

即點(diǎn)。在的外接圓上；(到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)必在此圓上),

故答案為：點(diǎn)。在△4PE的外接圓上；

②連接。4、AC,如圖2所示，

??,四邊形/5C。是正方形，

-90。，ZBAC=45°f

圖2

???/、P、0、￡四點(diǎn)共圓，

：.ZOAP=ZOEP=45°f

?,?點(diǎn)。在4C上，

當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，。為NC的中點(diǎn)，OA="C=26,

即點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為20；

(3)設(shè)4尸=羽則8P=4-x,

由(1)得：△APESLBCP,

.AE_AP

**~BP~~BC'

.AE_x

??~~79

4一14

：.AE=^(x-2)2+l,

；.x=2時(shí)，NE的最大值為1,

即當(dāng)/尸=2時(shí)，NE的最大值為1.

故答案為：2,1.

7.⑴

(2)見(jiàn)解析

⑶2百+0+2

【分析】(1)在等腰直角三角形ABC中求出班的長(zhǎng)，在等腰直角三角形也汨中求出再利用勾股定理求出AQ

即可;

答案第21頁(yè)，共40頁(yè)

(2)延長(zhǎng)"至G,使FG=AF,連接EG,DG,AD,先證明△ACF之△GEJ從而證得△A3。物GED,進(jìn)一步命

題得證；

(3)取3C的中點(diǎn)/,連接F/,AI,將旬逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AO,連接0斤，可證得F'AO^FAI,進(jìn)而得出點(diǎn)P在

以。為圓心，血為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接2。并延長(zhǎng)交。于G,當(dāng)F在點(diǎn)G時(shí)，3尸最大，然后解M0印和放OBH,

進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：在等腰及ABC中，ZBAC=90°,AB=4,AB=AC,

/.BC=4V2,ZABC=45。，

點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

:.BE=20

在等腰吊班)￡中，BDE=90°fBE=2叵,BD=DEf

BD=DE=2,

在用5ZM中，?ABD90?,AB=4,BD=2,

:.AD=y/AB2+BD2=V16+4=25/5;

圖1

延長(zhǎng)AT至G,使FG=AF,連接EG,DG,AD,

,點(diǎn)尸是廢的中點(diǎn)，

:.EF=CFf

在AACF和/\GEF中,

CF=EF

<ZAFC=NEFG,

AF=FG

.?.△AC/&GEF(SAS),

AC=FG,ZACF=ZFEG,

AC//EG,

ABLAC,

EGLAB,

ZEDB=90°,

:.ZDEG=ZABD,

AC=ABf

答案第22頁(yè)，共40頁(yè)

/.EG=AB,

在△板)和GED中，

AB=EG

<ZABD=ZGED,

BD=DE

ABDgGED(SAS),

??.AD=DG,ZADB=ZEDGf

ZADB-ZBDG=ZEDG-ZBDG,

:.ZADG=ZBDE=90°,

加G是等腰直角三角形，

AF=FG,

:.DF1AF,DF-AF--AG?

'2'

圖2

取3c的中點(diǎn)/,連接F/,AZ,將A/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AO,連接OF,

,AB=4f

：.BC=6AB=40,

:.BE=-BC=2y/2,

2

點(diǎn)尸是位的中點(diǎn)，

：.FI=-BE=4I,

2

.ZFAF'=ZIAO=6Q°,

ZFAFf-ZOAF=ZIAO-ZOAF,

.?.々AO=NE4Z,

AF=AF',AI=AO,

F'AO^FAI(SAS),

..OF'=FI=>/2,

二?點(diǎn)F在以。為圓心，近為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

連接50并延長(zhǎng)交。于G,當(dāng)F在點(diǎn)G時(shí)，BF，最大,

作OHJ.BC于H,

答案第23頁(yè)，共40頁(yè)

在放Om中,ZOIH=ZAIH-ZAIO=90°-60o=3Q°,01=AI=2板,

:.OH=^OI=y/2fIH=^-OI=>/6,

:.OB=>]OH2+BH2=7(272+V6)2+(V2)2=2心+1),

BG=BO+OG=2y/3+y/2+2.

即5尸的最大值26+收+2.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

8.⑴牛

(2)見(jiàn)解析

(3)病巧

【分析】(1)根據(jù)已知條件，先求出tanA=[,再由ZADE=90。，AC=CD,求得CE=CD=CA=4,AE=AC+CE=8,

最后在RACE中，求得。E的長(zhǎng).

(2)過(guò)。作。GJ_CZ)交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,先證aACB當(dāng)CDG,再證BEDmGED,最后通過(guò)AB=CG,BE^EG,

進(jìn)行等量代換，得到結(jié)論.

(3)過(guò)尸作尸KLBC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓.擺在以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸’，出B三點(diǎn)共線且川在尸B之間時(shí)，OF最小.設(shè)虛=1,通過(guò)解直角三角形，運(yùn)用翻折性質(zhì)，求得

小的值?

【詳解】(1)解：?：CA=2CB,BC=2,

：.CA=4f

ZACB=90°,

/.tanA=-.

2

???將線段CA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到線段CD,

AC=CDf

/.ZC4D=ZADC,

?.*DE±AD,

...ZADE=90°,

/.ZCAD+ZE=ZADC+ZCDE=90°,

ZC4D=ZADC,

ZE=ZCDEf

/.CE=CD=CA=4f

AE=AC+CE=S,

VC4=4,BC=2fZACB=90。

AB=7G42+CB2=2V5,

答案第24頁(yè)，共40頁(yè)

??sinA==—產(chǎn)=—,

AB2小5

?/AE=8,

?八萬(wàn).44萬(wàn)8小

??DE=smAxAE=.

5

(2)證明：過(guò)。作。GLC。交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???線段CA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到線段CD,加=90。,

???CD=CA,ACD是等腰直角三角形.

?:CA=2CB,

：.CD=2CB,即C5=5D

?：CF.LABf

ZAFC=90°,

...ZCAF+ZACF=90°,

*.*ZFCB+ZACF=90°f

：.NCAF=/FCB.

在△AC3與CDG中，

ZCAB=ZGCD

lAC=CD,

ZACB=ZCDG

：.AACBCDG(ASA).

CB=DG,

??,CB=BD,

/.BD=DG.

?：DG_LCD,

：.ZCDG=90°,

???A。是等腰直角三角形，

/.ZCZ)A=45°,

/.ZEDG=ZEDB=45°.

在BED與GEZ)中，

BD=GD

?:;NBDE=/GDE,

ED=ED

：.BEDmGED(SAS).

...BE=EG,

/.CE+BE=CE+EG=CG.

VAACBCDG,

/.AB=CG,

答案第25頁(yè)，共40頁(yè)

AB=CE+BE.

（3）如圖，過(guò)F作尸K_LBC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,以B為圓心，3C長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,

由題意得，以在以8為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F,乂8三點(diǎn)共線且以在尸5之間時(shí)，。尸最小.

設(shè)8=1,

*/CA=2CB,

...CA=2.

VZACB=90°,C8=l,CA=2,

??AB=ylCA^+CB2=-\/5,sinZ.CAB=.

*：CFA_AB,ZACB=90°,

/.S&ACB=-xABxCF=^xACxBC,ZCAB+ZACF=ZACF+ZFCB=90°,

/.NCAB=/FCB.

VCB=1,CA=2,AB=45,

???將AACF沿4c翻折得到△ACT,

/.CF'=CF=竿,NFCK=ZFCB,

?/ZCAB=ZFCB,

/.NF'CK=NCAB,

VsinZCAB=^~,

sinZFClC=—.

5

在用FKC中，

sin/FCK=與,CF'=當(dāng),

24

???FK=(,CK=^,

,:CB=lf

49

.?.KB=KC+CB=-+1=-,

55

在改方踐中，

]'1"+必=乎,

F'D'=F'B-D'B=--1=^^.

55

答案第26頁(yè)，共40頁(yè)

將△ACF沿AC翻折得到△ACT,

2KC=FF'f

?.?Keg

二"'1，

...FD'=屈;5,

?F'D'5/85-5

**FF7--~8?

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)運(yùn)用，以及翻折的性

質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)，合理作相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵.

2

9.⑴

⑵近+1.

【分析】(1)如圖，設(shè)？。。。％結(jié)合題意可得：？BOP%，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解"=60?,再利用弧長(zhǎng)公式

進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)解：如圖，取OB的中點(diǎn)N,連接7W,NC,MC,過(guò)N作NK_LBC于K,過(guò)。作。E_LBC于E,證明M在

以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大，從而可得答案.

【詳解】(1)解：如圖，設(shè)？C。。明結(jié)合題意可得：？BOP2?,

(/j.MC為等邊三角形，

360°

\?BOC------=120?,

3

\?BOQ120?a,

而尸，。，。三點(diǎn)共線，

\?BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：a=60°,

運(yùn)動(dòng)的總長(zhǎng)度為：若=冬?

loUJ

(2)解：如圖，取。B的中點(diǎn)N,連接7W,NC,MC,過(guò)N作NK_LBC于K,過(guò)。作OE_LBC于E,

在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng),

答案第27頁(yè)，共40頁(yè)

???當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大，

Q?BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

i1pi

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=?則3。=2點(diǎn)

\CK=卓2巫,

22

、gfTTs

\CM=CN+NM=-Jl+l.

的最大值為：V7+1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵.

10.（1）3.

（2）見(jiàn)解析.

⑶3屈+3女

【分析】（1）根據(jù)tan/BAF=2,過(guò)8作/尸垂線，構(gòu)造直角三角形，理由勾股定理求解；

（2）連接CF,根據(jù)易知條件得凡ABEM必CFM,再利用等腰直角三角形邊的關(guān)系得到證

明；

（3）首先根據(jù)“手拉手”全等得到N點(diǎn)軌跡，根據(jù)“瓜豆原理”得到尸點(diǎn)軌跡為圓弧，點(diǎn)與弧上一點(diǎn)最大距離為

通過(guò)圓心的一條線段，利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)8作尸于

在中,tanZBAH=2=^~,

AH

設(shè)則M7=2x,由勾股定理得：4/+/=482

又△NBC為等腰直角三角形，BC=3也

：.AB=AC=^BC=3

：.4x2+x2=9

解得：AH=x=^~,877=半

.?.A6F4=-5---

5

:.FH=^

5

在班△毋H中，BF=^BH2+FH2+

答案第28頁(yè)，共40頁(yè)

(2)

如圖，連接。尸

???〃時(shí)5C中點(diǎn)，"是區(qū)心中點(diǎn)

:?EM=MF,BM=CM

??,ZBME=ZCMF

：.ABEM^ACFM

：.BE=CFfZEBM=ZMCF

C.BE//CF

YB、E、。共線，4、D、尸共線

：.BD//CF

：.ZAFC=ZBDA=90°

?：AB=AC,ZCAF+ZBAD=ZBAD+ZABD=90°

AZC4F=ZBAD

???AABD^ACAF

：.CF=AD

：.CF=AD=BE

：.AF=AD+DF=BE+坐EF

2

???6AFfBE+EF.

(3)

連接。“，AM,延長(zhǎng)交C尸于N

???M是等腰直角三角形。跖和45C斜邊的中點(diǎn)

:?△DMF,均為等腰直角三角形

：.DM=MF,AM=CM,ZAMD=ZCM