2025年中考數學考前復習專題12：四邊形綜合

一、單選題

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6,點E為上一點，把CDE沿OE翻折，點C恰好落

在邊上的F處，則CE的長是（）

2.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=4,BC=45/3,連接AC,以點C為圓心，CD為半徑作弧交BC于

點E,連接AE.則圖中陰影部分的面積為（）

3.如圖，菱形A3CD的對角線AC、9相交于點O,過點。作OFLBC于尸，若ZADC=70。，則ZFOC

4.如圖，在矩形ABCD中，M為AD上的一點，且P,。分別為C0的中點，連

接AP,PQ,DQ.若A尸=4,￡＞。=3,則四邊形APQD的周長為（）

A.24B.12C.17D.22

5.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為A3的中點.下列兩個方案中，能得到以A,B,F,C

為頂點的四邊形為平行四邊形的是（）

A.只有方案一B.只有方案二C.兩個方案都不行D.兩個方案都行

6.如圖，已知四邊形的對角線相交于。，則下列條件能判斷它是正方形的是（）

A.AO^CO,BO=DO,AC1BD,AB//CD

B.AB=BC=CD,AD//BC

C.AB=BC=CD=DA,AC^BD

D.AB//CD,AD//BC,ZABC=ZBCD,AC=BD

7.如圖，在菱形ABC。中，ZABC^16°,BA=BE,則()

A.14°B.72°C.71°D.104°

8.如題圖，正方形ABC。中，E為線段BC上一點，過3作3G_LAM于G,延長BG至點R使

ZCFB=45°,交C。于點K,延長尸C、AE交于點連接DRBM,若C為或/中點，BF=3,

下列結論：

i3

①AABgABKC,②點G為線段8尸的三等分點；(3)tanZBAG=-；④。尸=后；⑤5相”=1其

C.3個D.4個

二、填空題

9.如圖，在矩形ABCD中，CE1BD,垂足為點E.若AB=5,CE=3,貝/BCE的面積為.

10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A的坐標為(-2,0),8點坐標為(4,0),矩形ABC。

與y軸正半軸交于點”，若沿著A"翻折AZJH后點。的對應點。恰好落在對角線AC上，則點C的

坐標為______

11.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=6,CE平分/ACB交A3于點E,過點E作FELEC交

AC于點尸，連接班'并延長交A￡)于點G,交EC于點H,貝LAFG與Va"的面積比為.

AGD

12.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=16,BD=12,DE_LBC于點E,則DE=

13.如圖，C是線段A3上一點，分別以AC、3c為邊向上作等邊三角形ACD、BCE,連結DE,順

次連接AB、AD,DE、中點RG、H、M得四邊形FGHM,若AC=4,BC=6,則四邊形FGHM

14.如圖，在平面直角坐標系中，點4(3,0),B(0,3A/3),點C是坐標平面內一點，且3c=2,點。

是線段AC的中點，連接0￡),當OD取最大值時，點。的坐標為.

三、解答題

15.已知，E點、F點分別在邊A。、2c上，將矩形紙片ABC。沿著跖折疊，使得A點與C點

重合.

A\1r

J_1c

(1)用圓規和無刻度的直尺作出折痕E尸；

(2)分別連接EC,Af\若AE=5,ER=6,求四邊形AFCE的面積.

16.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,m相交于點。，過點A作2C邊垂線，垂足為E,延長BC

到點/，使CF=BE,連接。

(1)求證：四邊形AEED是矩形；

⑵若AB=13,AC=10,求。尸的長.

17.已知點N分別在矩形ABCD的邊AD,BC上，以MN為折痕，將四邊形ABMW翻折，點A

的對應點為點E,點8的對應點為點歹，AB=6,AD=8.

⑴如圖1,當點E在CD上，班7與交于點G時，

①若點E為CD的中點，求AM的長；

②若△DEM與，CEG全等，求BN和OE的長；

(2)如圖2,的對應邊跖恰好經過點C,過點C作肱V于點K,交AB于點H,連接

若BH=2AH,求的長.

18.菱形ABC。中，點E為CD邊上一動點，射線AE與2C的延長線交于點尸，連接。尸，射線班與

DF交于點、G.

⑴如圖1,E為CD中點，ZAEB=ZBCD.

①求證：BE2=CEBC;

②若AB=6,求線段EG的長；

(2汝口圖2,點H在邊AD上，若/EBH=NBCD=60°,BE=4EG=2,求線段AH的長.

19.如圖1,兩個正方形ABC。和CEFG共一個直角頂點C,連接8G、DE交于點H,連接BE、DG、

BD、GE.

(1)當AB=4,即=3時，

①作圖：請在圖1中分別取3。、DG、3E的中點M、N、P(不要求尺規作圖)，并直接寫出"N

和MP的關系：;

②若3E=6,求此時OG的長；

(2)當3G=5,求Z5G+3E的最小值.

20.數學實驗：折疊正方形紙片.

通過紙片的折疊，可以發現許多有趣的現象，這些現象可以用有關的數學原理進行分析、解釋，所以

紙片的折疊是一種有效的數學學習方式.如圖，尸。是將正方形紙片ABCD折疊后得到的一條折痕，

其中點P，。分別在邊AO,CD±.

ADAPDAPD

Q

N

(1)折疊正方形紙片A3C￡>,使得a,CQ依次落在直線尸。上.請你利用無刻度直尺和圓規，在圖①

中分別作出折痕PE,QF(不寫作法，保留作圖痕跡)，其中點E,尸分別在邊BC,A3上.設PE,

的交點為0,則/尸。。=。；

(2)在(1)的條件下，折疊正方形紙片ABCD,使得BC落在直線P。上.請你利用無刻度直尺和圓規，

在圖②中作出折痕(不寫作法，保留作圖痕跡)，其中點N分別在邊A3,CD±.設MN,

PE的交點為G,則點G落在正方形紙片ABC。的哪一條對稱軸上？請說明理由；

(3)如圖③，已知正方形紙片ABCZ)的邊長為16cm.在(2)的條件下，當點尸為邊的中點時，則

隨著點0位置的改變，34M的周長是否會發生改變？如果不變，求出“4/0的周長；如果改變，

求出的周長的最小值，并求出此時折痕的長.

《2025年中考數學考前復習專題12：四邊形綜合》參考答案

題號12345678

答案DADDDCCD

1.D

【分析】本題主要考查了與矩形有關的折疊問題、勾股定理等知識點，熟練掌握矩形的性質以及勾股

定理是解題的關鍵.

設CE=x，則3E=6-x,由折疊性質可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=1O,由勾股定理可得AF=8,

則==然后在RtZXBEF中，由勾股定理得（6-xp+2?=/,解得x的值即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

ZA=Z.C=ZH=90°,CD=AB=10,BC=AD=6,

設CE=x,貝i]3E=6-x,

由折疊性質可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=IO,NDFE=NC=90。,

在中，AD=6,DF=10,

AF=yjDF2-AD2=8，

，BF=AB-AF=2,

在RtABEF中，由勾股定理得m2+3戶=石尸2,BP（6-%）2+22=X2,

解得：x=?.

/.CE=—.

3

故選：D.

2.A

【分析】本題考查了矩形的性質，扇形的面積公式，特殊角的三角函數.熟練掌握矩形的性質，扇形

的面積公式，特殊角的三角函數是解題的關鍵.

利用特殊角的三角函數求出NACB=30。，再根據矩形的性質求出NACO的度數，最后利用陰影部分

面積5=S^ACE+扇形。CE-2S扇形mF求解即可.

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=4,BC=4A/3,/BCD=90°,

4V3

tanZACB=—

BC4君一3

ZACB=ZECF=30°,則ZACD=ABCD-ZACB=90°-30°=60°.

陰影部分面積S-S3CE+S扇彩—2s扇形ECF

90°^-x4230°^-x42

—x4x4+-2x

2360。360。

萬

=8C+447---8--

3

故選A.

3.D

【分析】本題主要考查了菱形的性質，解題關鍵是根據菱形和三角形內角和的性質得出角之間的關

系.根據菱形的性質求出NAO3=NC3D=35o,Z8OC=90。，求出々。尸=55。，根據

ZFOC=ZBOC-ZBOF,計算即可.

【詳解】解：?.?四邊形是菱形，ZADC=70°,

：.BCAD,ZADB=ZCDB=-ZADC=35°,ACLBD,

2

???ZBOC=90°,

VOF1BC,

???ZBFO=90°,

???ZBOF=90°-ZCBD=55°,

???ZFOC=ZBOC-ZBOF=35°,

故選：D.

4.D

【分析】本題主要考查了矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形的性質，根據矩形

的性質得到NB4D=NA0C=9O。，AD=BC,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到

BM=2AP=8,CM=2DQ=6f據此利用勾股定理求出BC,再根據三角形中位線定理求出P。的長

即可得到答案.

【詳解】解：?.,四邊形A3C。是矩形，

：.ZBAD=ZADC=90°,AD=BC,

VP,。分別為CM的中點，

BM=2AP=8,CM=2DQ=6,

,:BMYCM,

由勾股定理得BC=^BM2+CM2=10，

AD=BC=10,

VP,。分別為前1,CM的中點,

???尸。是△BMC的中位線，

PQ=-BC=5,

2

則四邊形APQD的周長=AP+PQ+DQ+AD=4+3+5+10=22,

故選：D.

5.D

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和全等三角形的判定與性質，方案一證明

一A/詁四那CE(AAS)可得AF=8C,AF//BC,即可判斷四邊形ABFC是平行四邊形；方案二通過

證明A5/絲AFC/(AAS)可得AB=CF,ABCF,即可判斷四邊形是平行四邊形，從而可得

結論.

【詳解】解：方案一：：四邊形ABCD是平行四邊形，E為A3的中點，

AD//BC,AE=BE,

：.NFAE=NCBE,ZAFE=NBCE,

在△AFE和3CE中，

ZFAE=NCBE

-NAFE=NBCE,

AE=BE

：.AFE^,BCE(AAS),

：.AF=BC,

又A尸〃BC,

...四邊形ABFC是平行四邊形，

方案二：：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CD,AC,互相平分于點//,如圖，

AD

又E為A3的中點,

G為VABC的重心,

從為邊上的中線，/為BC邊的中點,

ABCF,

ABAI=ZCFI,ZABI=ZFCI,

又BI=CI,

：..AB/^_FCZ（AAS）,

AB=CF,

又ABCF,

/.四邊形ABFC是平行四邊形，

綜上，方案一和方案二都正確，

故選：D.

6.C

【分析】本題考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解題的關鍵.

【詳解】解：A、AO=CO,BO=DO,

四邊形ABCD是平行四邊形.

ACJ.BD,

四邊形ABCD是菱形，故不符合題意；

B、只能判斷出四邊形A3C。是菱形，故不符合題意；

C、AB=BC=CD=DA,,

二四邊形ABC。是菱形，

AC=BD,

四邊形ABC。是正方形，故符合題意；

D、不能判定四邊形A5CD是正方形，故不符合題意；

故選：C.

7.C

【分析】本題考查菱形的性質，等腰三角形的性質，根據菱形的性質求出再由等腰三角形

的“等邊對等角”即可解答.

【詳解】解：：在菱形ABC。中，8。平分/A5C,

ZABr>=-ZABC=-x76°=38°,

22

ZBAE+ZBEA=180°-ZABD=142°,

,/BA=BE,

：.ZBAE=ZBEA=11°.

故選：C

8.D

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角

形的判定和性質，根據上述性質逐一判斷即可，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：四邊形ABC。是正方形，

:.ZABC=NBCD=90°,AB=BC,

BG1AM,

ZBAG+ZABG=90°,ZCBK+ZABG=90°,

:.ZBAG=ZKBC,

ZAGB=NBCK,

:.AABG^ABKC,故①正確；

如圖，過點C作CNL防于點N,連接CG,

ZGMF=90°-45°=45°,

.-.△GMF為等腰直角三角形，

C為血廠的中點，

:.GC=CF,ZGCF=90°,

CNLGF,

：.GN=NF=NC,

ZGAB=ZNBC,ZAGB=ZBNC,AB=BC,

ABG^,BGV(AAS),

:.BG=NC=GN=NF,

???點G為線段所的三等分點，故②正確；

ABG^BGV(AAS),

：.AG=BN=2BG,

tanZBAG=-=-,故③正確；

AG2

GCF為等腰直角三角形,

/.ZGCF=90°,GC=FC,

/BCD=90。,

/.ZGCB=ZFCD=90°-ZGCD,

BC=DC,

:.BCG"DCF(SAS),

：.DF=BG=\,故④錯誤；

13

SBCF=-BF-CN=~,故⑤正確，

則正確的有4個，

故選：D.

27

9.—

8

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識.根

據矩形的性質可得CD=AB=5,ZBCD=90°,根據勾股定理求出DE=4,證明VBECsvCED,根

9

據相似三角形的性質求出=即可求解.

【詳解】解：在矩形ABC。中，AB=5,

CD=AB=5,ZBCD=9Q°,BPZBCE+ZDCE=90°,

CELBD,CE=3,

DE=VCD2-CE2=^/5^3?=4，NEDC+/DCE=90°，

?BCE?EDC,

ZBEC=ZCED=90°,

NBEC^NCED,

CEBEHn3BE

DECE43

BE=-,

4

iiQ?7

?,SvBCE--CE啰E=5倉電-=—,

27

故答案為：--.

o

10.(4,2^3)

【分析】本題考查坐標與圖形，矩形與折疊問題，勾股定理，連接CD,翻折得到

DH=D'H,ZAD'H=90°,AD=AD',勾股定理求出C〃，再利用勾股定理求出2C的值，進而得到點

C的坐標即可.

【詳解】解：連接CD,

:矩形ABCD,點A的坐標為（-2,0）,B點坐標為（4,0）,

AAB=CD=6,AD=BC,^ABC=90°,ZADH=90°,OA=DH=2,

：.CH=CD-DH=4,

???折疊，

：.DH=DH=2,ZAD'H=90°,AD=AD'>

:點。落在對角線AC上，

ZCD'H=90°,

CD'=>JCH2-D'H2=，

^AD=AD'=x,則BC=x,

:點O'落在對角線AC上，

AC=AD'+CD'=x+24i

在Rt^ABC中，由勾股定理，得：AC2=AB-+BC1,

^X+2A/3^=x2+62,解得：x—2^3,

BC=2B

.-.C（4,2A/3）;

故答案為：（4,2百）.

11.-/0.25

4

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，結合角平分線的性質.延長交ZM延長線

于N,作ENLAC于利用矩形的性質，相似三角形的判定與性質，結合角平分線的性質，證明

3

一ANESBCE,EBC^EMC,得至ljAE=5,BE=3,CE=-CN,EB=EM=3,BC=CM=6,

8

再證明一,FECSMEC和AGFSCBF,求出SV.G與ZBCH的面積，從而得到其比值.

【詳解】延長交DA延長線于N,作石于

AB=8,BC=6ZABC=90°,

*，-4c=382+6z=10,

C￡平分/ACS,

ZBCE=ZACE

AD//BC

ZN=ZACE

??,AC=AN=1Q

AN//BC

:?_ANESBCE

.AEAN10NE

"~BE~~BC~~6~~CE

/.AE=^BE,又鉆+5石=8

AE=5,BE=3,

inNF

=——，CN=CE+NE,

6CE

3

...CE=-CN,

8

在一ESC和△EMC中，

ZEBC=/EMC

「.<ZECB=ZECM,

EC=EC

廠.EBC^EMC

AEB=EM=3,BC=CM=6,

ZECF=ZECM,NFEC=NEMC=90。,

?.FECSMEC,

.CECF

"~CM~~CE"

CE2

?-CF=——,XCE2=BC2+BE2=62+32=45,

CM

15

CF=—

6

AF=10--

22

AG//BC,

AGFsCBF,

5

.AG_A尸51G尸

"BC-CF-If-3-

~2

.oGF1

??ALr=—nC=2,=—,

3GB4

,sAGF；；1

"sABC4，

..SAGF=78ABG=1乂5乂8*2=2,

GN//BC

?.NGHsCBH,

?CH_BC_6_1GF

'7m~GN~12~2~^B"

CH=-CN,

3

CH|CN8

五二百=k

8

.SBCH=8

一，

-uq,BCE7q

.C_8g_812_Q

-SBCH_§3,5慮-§V乂5*A6乂3_8,

.S村=2=1

SBCH84

故答案為：;.

12.9.6

【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，根據菱形對角線互相垂直平分和勾股定理求出5。

的長，再根據菱形面積計算公式可得S菱形.2。DE，據此列式求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，AC=16,瓦）=12,

/.OB^-BD^6,OC^-AC=8,AC±BD,

22

BC=yJOB2+OC2=10,

DEYBC,

S菱形Ms=~AC?BD=BC-DE,

A-xl2xl6=10DE,

2

???DE=9.6,

故答案為：9.6.

1219A/3

2

【分析】本題考查了等邊三角形的面積，三角形中位線定理，勾股定理等知識，連接B2AE,過點E

作ENLBD交3￡）于點N,交于P,過點。作DKLCE交CE于點K,過點。作D/LAC于點/,

過點E作E7LBC于點J,先求出四邊形ABED的面積，再根據三角形中位線定理求出

SEHM+S.AGF+SDGH+SBFM=]S四邊形ABED，從而得到'四邊形FGHW=萬'四邊形ABE0，即可求解，掌握相關知

識是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接32AE,過點E作EN工BD交BD于點、N,交HM于P,過點。作DKLCE

交CE于點K,過點。作D/LAC于點/,過點E作￡7,3c于點J,

?/ACD為等邊三角形，DILAC,AC=4,

：.ZACD=60°,ZCZD=90°,CD=AC=4,

：.ZCDI=90°-ZACD=30°,

IC=-AC=2,

2

DI=CDr-IC2=V42-22=2A/3，

SACD=-ACD/=-X4X2A/3=4A/3,

22

??BCE為等邊三角形，EJ±BC,BC=6,

：.ZBCE=6O°,ZEJC^90°,CE=BC=6,

：.NCEJ=90°-NBCE=30°,

/.CJ=-C￡=3,

2

■EJ=YICE2-CJ2=V62-32=3>/3>

SCS￡=|BC-EJ=1X6X3A/3=9^,

?.?ZACD=60°,ZBCE=60°,

NDCK=180°-ZACD-/BCE=60°,

■:DK工CE,

：.NDKC=90。,

：.ZCDK=90°-ZDCK=30°,

:.CK==CD=2,

2

?*-DK=y/CD2-CK2=742-22=273,

sMFCEDKX義26=66,

ven=L2.=L26'

11

''S四邊形"￡)=SACO+SCBE+SDCE=4#+9#+6乖I,

???點是OE,3E的中點,

HM//BD,S.HM=-BD,EP=-EN,

22

同理：SAGF=[SABD,

**SEHM+S.AGF=7(2EBD+SABD)=1'四邊形人^匹，

同理：S0GH+SBFM=ZS四邊形的瓦)，

**SEHM+SAGF+SDGH+SBFM=-S四邊形ABED，

**S四邊形FGHM=S四邊形ABED_(SEHM+,AGF+,DGH+SBFM)=S四邊形的七。——S四邊形人抽。=-S四邊形人師。

四邊形尸GHM2四邊形A8EO2*72

故答案為：/m.

2

14.(2,2網

【分析】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，確定。。為最大值

時點C的位置是解題的關鍵.

作點A關于點。的對稱點A根據中位線的性質得到OO=：AC,根據點C在以8為圓心，2為半徑的

8上運動，可知當A'C經過圓心B時，A'C最大，即點C在圖中C位置，根據勾股定理求出A3=6,

進而可求出A'C'=8,即OD=4,設點。的橫坐標為x,根據中位線的性質可知點。的縱坐標為后,

再根據勾股定理即可求出X的值，隨即可知點D的坐標.

【詳解】解：如圖，作點A關于點。的對稱點4（-3,0）,

又「點是AC的中點，

.〔OD是△A4'C的中位線，

:.OD=-A'C,OD//AC,

2

.,?當AC最大時，0。最大，

點C為坐標平面內的一點，且3C=2,

.??點C在以2為圓心，2為半徑的B上運動，

.,.當A'C經過圓心B時，AC最大，即點C在圖中C'位置,

A'B=>JA'O2+OB2="+卜商=6,

AC'=A'3+3C'=6+2=8,

.-.OD=-A,C,=-x8=4,

22

設點。的橫坐標為x,

OD//A'C,絲=芷=6，

OA!3

???點。的縱坐標為底，

解得x=i2（負值去除），即點。的橫坐標為x=2,

，點D的縱坐標為底=26,

???點。的坐標為（2,2退），

故答案為：（2,2道）.

15.（1）見詳解

(2)24

【分析】(1)作線段AC的垂直平分線，交AD于點E,交BC于點,F,則所即為所求.

(2)設斯交AC于點。，得Q4=OC,AE=CE,結合矩形的性質、菱形的判定可得四邊形Mb

為菱形，則OE=[EP=3,3狼.—4則AC=8,可得四邊形AFCE的面積為

-ACxEF=24.

2

【詳解】(1)解：如圖，作線段AC的垂直平分線，交AD于點E,交BC于點、F,則所即為所求:

(2)解：設取交AC于點0,

由(1)可得，OA^OC,AE=CE.

:四邊形ABC。為矩形，

AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

:.AOE絲COF(AAS),

：.AE=CF,

，四邊形AECF為平行四邊形,

??AE=CE,

四邊形AECF為菱形,

/.OE=^EF=3

2

OA=-JAE2-OE2=V25-9=4

AC=8,

四邊形APCE的面積為』ACXEB=LX8X6=24.

'-22

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖、勾股定理、菱形的判定與性質、矩形的性質、翻折變換(折疊問

題)，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

16.(1)證明見解析

⑵小詈

【分析】⑴由菱形性質得到An=3C,AZ）BC,再由平行四邊形的判定，結合即可得證;

（2）由菱形性質，在Rt.AOB中，由勾股定理得到3D=203=10,再由菱形面積公式列方程求解即

可得到答案.

【詳解】（1）證明：?..四邊形ABC。是菱形，

:.AD=BC,ADBC.

又?CF=BE,

:.BC=EF,

:.AD=EF,AD//EF.

???四邊形AEFD是平行四邊形.

AELBC,

:.ZAEF=90°,

四邊形AEED是矩形；

（2）解：?.?四邊形是菱形，AB=13,AC=W,

:.OA=-AC=5,BC=AB=13,AC1BD.

2

2222

在RtAOB中，ZAOB=90°,OB=VAB-（M=^13-5=12.

:.BD=2OB=24.

S菱/=BC.DF=：AC.BD,

/.13DF=-x24xlO,

2

AL120

..DF-----.

13

【點睛】本題考查四邊形綜合，涉及菱形性質、平行四邊形的判定、矩形的判定、勾股定理、菱形面

積公式及等面積法求線段長等知識.熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質是解決問題的關

鍵.

73

17.⑴①7；②DE=8-46,BN=4—6；

16

Q）HM=2回.

【分析】（1）①由折疊性質可知，AM=EM,CD=AB=6,T^AM—X,則EM=X,

DM^AD-AM=8-x,再由勾股定理得E”=DE?+1Ml2,即/=32+年一打，求出尤的值即可;

②由四邊形ABC。是矩形，得NC=ND=4ffiG=90。，所以NDME=NCEG,則△￡＞剛與一CEG全

等的情況只能為設dE=y,則CE=6-y,AM=EM=y+2,由勾股定理，得

尸/V尸（r

E”=小2+0”，即（y+2）0-=y2+（6一y）02,求出y的值即可,再證明4月VGjCEG,所以==",

GECGr

即一^=拽==走，求出引V,再由折疊性質即可求解；

4V2-28-4V22

（2）連接8K,FK,CM,由點8,尸關于直線肱V對稱，則斯=質，證明—BKN絲,EKN（SSS）,

HBK空CFK（ASA）,^DM=z,則AM=AO—DAf=8—z,在中，

HM2=AH2+AM~=22+（8-z^,在Rt^CDAl中，CM2DM2+CD2z2+61,求出z的值即可.

【詳解】（1）解：①由折疊性質可知，AM=EM,CD=AB=6,

:點E為C。的中點，

DE=-CD=3,

2

設AM=x,貝i]EM=x,DM=AD-AM=8-x,

由勾股定理，EM2=DE2+DM2>即/=3?+（8-x『，

73

解得％=77

lo

???A"的長為?73；

16

②;四邊形ABCD是矩形，

???ZC=ZD=ZMEG=90°,

：.NDME+NDEM=ZDEM+ZCEG=90°,

JZDME=ZCEG,

:.4DEM與CEG全等的情況只能為△。石加0△CGE,

DM=CE,DE=CG,

^DE=y,貝|C￡=DM=CD_CE=6_y,AM=EM=AD-DM=^-[6-y）=y+29

由勾股定理，得EM2=DE2+DM2,即（y+2）2=y2+（6—y）2,

解得y=8-40或y=8+4\笈（舍去），

，。石的長為8—4夜，

CG=DE=8-4日C石=6—y=6—（8—40）=4逝一2,EG=EM=y+2=（S-A42）+2=W-4yf2.

：.bG=EF—石G=6—（10—4后）=4行一4,

VZF=ZC=90°,ZFGN=ZCGE,

:.一FNGsCEG,

.FNFG?nFN472-40

CECG40-28-4722

,,NF=4—>/2>

由折疊性質可知，BN=FN,

BN=4-0，

（2）如圖，連接BK,FK,CM,

:點8,尸關于直線MN對稱，

，BK=FK,

又,：BN=FN,KN=KN,

：.BKN學&FKN（SSS）,

：.ZKBN=ZKFN,4BKN=NFKN,

?/CHLMN,

：.ZHKN=ZCKN=90°,

ZHKN-Z.BKN=ZCKN-ZFKN,即ZHKB=ZCKF,

又ZABN=Z.CFN=90°,

：.ZABN-ZKBN=NCFN-ZKFN,即ZHBK=ZCFK,

又：BK=FK,

咨CK（ASA）,

：.HK=CK,

MN垂直平分CH,

：.HM=CM,

?：BH=2AH,AB=6,

AH=—AB=—x6=2,

33

設OW=z,貝ij41/=4）一。知=8—z,

在Rt-AHM中，/7M2=AH2+AM2=22+（8-Z）2,

在RtZXCDM中，CM2=DM2-^CD2=z2+62,

22+（8—z）2=z2+62,解得z=2,

：?HM=CM=』*+G=聞=2所.

【點睛】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質,

解一元二次方程，軸對稱性質，垂直平分線的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

18.(1)①證明見解析；②④

Q）@±l或&1

22

【分析】(1)①利用菱形的性質得到鉆〃CD，AB=BC,結合=推出

得到組=些，即可證明；②延長與BG交于點”，利用菱形的性質得到AB=BC=CD=AZ)=6,

BECE

利用中點的定義得到OE="=：C￡>=3,結合①中的結論可得BE=3魚，先證明.DEMRCEB和

CEF四得到OW=3C,CF^AD,再證明DMGsFBG得到幽=也=!，推出

BGBF2

MG=；BM=26,再利用線段的和差即可求解;

(2)延長4。與BG交于點N,連接3￡),先利用菱形的性質證出ABHg.DBE得到AH=DE；設

Gi利用相似三角形的性質推出第二H，代入數據解出。的值，再根據”的值分情況討論,

利用解直角三角形的知識分別求出CE、BC的長，再利用AH=DE=BC-CE即可求解.

【詳解】(1)①證明：四邊形ABCZ)是菱形,

:.AB//CD,AB=BC,

:.ZABE=NBEC,

ZAEB=ZBCD,

.△ABES^BEC,

ABBE

,BE-CE?

:.BE2=CEAB,

:.BE2^CEBC;

②解：如圖，延長AO與BG交于點M,

四邊形ABC。是菱形,

：.AD//BC,AB=BC=CD=AD=6,

:.ZMDE=ZBCE,

￡為CO中點,

:.DE=CE=-CD=3,

2

由①得，BE2=CEBC=3X6=18,

:.BE=36，

ZDEM=ZCEB,DE=CE,ZMDE=ZBCE,

，DEM'CEB(ASA),

.\DM=BC=6,ME=BE=36,

:.BM=BE+ME=6枝,

同理可得，CEF沿DEA,

：.CF=AD=6,

:.BF=BC+CF=12,

DM//BF,

."MG^FBG,

MGDM61

MGMG11

'^M~MG+BG~l+2~3f

MG=-BM=-x6y/2=242f

33

EG=ME-MG=342-242=42,

???線段EG的長為血.

(2)解：如圖，延長AZ)與BG交于點N,連接BO,

AHDN

四邊形ABC。是菱形,

BCF

:.AD//BC,AB=AD=CD=BC,ZBAD=ZBCD=60°,

:,.ABD和ABCD是等邊三角形，

:.BD=AB,NBDE=6。。,

ZBAH=ZBDE=6Q°f

NEBH=60。，

:.ZABD=ZEBH,

/.ZABD-ZDBH=AEBH-ZDBH,^ZHBA=ZEBD,

ABHqDBE(ASA),

:.AH=DE；

BE=4EG=2,

/.BG=BE+EG=~,

2

沒GN=a,則EN=GN+EG=a+~,

2

DN//BC,DN//BF,

…DNEsjCBE,DNGsFBE,

1DNGNa_2a

DN_DE_EN_a+^2_2a+l,pp~BG-5-5,

BCCEBE

BCDNDN2a2a+l8〃

'BF~BF,BC~54-10a+5

BC_BC_8Q8a

?CF~BF-BC~10Q+5—8。-2〃+5'

AD〃CF,

qADEs-FCE,

DEADBC

'~CE~~CF~^F'

2。+1_8。

42Q+5'

zjzg5+2^/55—2^5

半:a,=----------,CL-.=-----------,

CD_DE+CE_3+百+2_5+君

設CE=2x,則5C=CD=(5+,

作￡K_L5C于點K,則N￡KC=N￡7⑦=90。,

BKCF

CK=ECcosZECK=2xcos600=x,

:.BK=BC-CK=^+yf5^x,

在Rt3EK中，BK2+EK2=BE2,

.?.[（4+V5）%J+[V3X）2=22,

解得，空「小子（舍去）,

CE專

4

AH=DE=CD—CE=^—^^~=^^~：

22

z^\5—2^/5DE2a+13^/5

⑷三〃=------，----=-----=------，

2CE42

,CDDE+CE3-布+25-乖

,'CE~~CE~-22

同理①的方法可得，CE=避包，BC=CD=5

2

AH=DE=CD-CE=布；

22

，綜上所述，線段A"的長為@±1或1二1.

22

【點睛】本題主要考查了菱形的性質、相似三角形的性質與判定、解直角三角形、一元二次方程的應

用，結合圖形利用平行線構造相似三角形是解題的關鍵.本題屬于幾何綜合題，需要較強的幾何推理

和輔助線構造能力，同時涉及復雜的計算，適合有能力解決幾何難題的學生.

19.（1）①作圖見解析，MN=MP,MNLMP.②加

⑵50

【分析】（1）①上W=先證明MN是；8￡>G的中位線，是一血）的中位線，推出

MN=；BG,MP=；DE,MNBG,MPDE-再證明BCG^DCE（SAS）,得到BG=DE,

ZCGB^ZCED,即可推出MV=MP,再證明DE1.3G,即可得到M/V_LMP；②②由①知：BGLDE,

利用勾股定理得至1]92+￡//2+。82+862=8￡'2+￡)62=3。2+6石2,求出BZ)2=32,EG?=18,

BE2=36,即可求解；

（2）如圖，分別取應）、DG、GE、DE的中點M、N、Q、K,連接MN,NQ,MQ,MK,KQ同理

（1）①可得MN=LBG,NQ=LDE,MK=LBE,KQ=LDG,MNBG,NQDE-當M,K,Q三點共線

2222~-

時，KQ+MK有最小值，最小值為的長，即。G+BE有最小值，最小值為2MQ的長，同理（1）

①得BG=DE=5,BG±DE,MN=^BG=^,NQ=^DE=MN±NQ,利用勾股定理求出

加。=孚，即可解答.

【詳解】（1）解：MN=MP,MNLMP,理由如下:

D

G

???點M、N、尸分別是BD、DG、箱的中點，

???MN是LBDG的中位線，M尸是的中位線，

：.MN=-BG,MP=-DE,MNBG,MPDE；

22

?/四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,

BC=CD,CE=CG,/BCD=/ECG=90°,

:.ZBCD+ZDCG=/ECG+ZDCG,BPZBCG=ZDCE,

.??_BOG金OCE(SAS),

：.BG=DE,/CGB=/CED,

：.MN=MP,

■:/CGB=/CED,

：.ZCGB+ZGHE=ZCED+ZGCE,

???Z.GHE=Z.GCE,

???ZGCE=90°,

???/