板塊二十一路徑與最值

難點突破1"一動一定"型

模型："垂線段最短"/4（定）

條件：A是定點，直線I是動點P的運動路徑./、

P（動）尸

結論:當AP±I時,AP的長度最小（即AP'的長）.

典例精講

類型一顯性"一動一定"（顯動點）

【例】（2024江西改）如圖，在AABC和.ADEC中，N4CB=NDCE=9（r,4C==EC,且D是AB上

的一動點，點F與點C關于DE對稱，連接DF,EF.若2C=6,則四邊形CDFE面積的最小值為.

典題精練

類型二隱性"一動一定"（隱定點）

1.（2024新洲區）如圖，在SBC中，AB=AC=3,^BAC=^?D為邊AB上一點，將線段CD繞點C順時針旋

轉45。得至I」線段CE,連接AE,則AE的最小值為.

類型三隱性"一動一定"（隱定直線）

2.（2024長春改）【方法點撥】幾何中的雙動點問題往往轉化為單動點問題解決，平移是轉化的工具之一，通過

構造平行四邊形再發現動點的運動路徑，進而解決問題.

【方法運用】如圖，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2,zACB=30°.M,N

分別是邊AC,DE上的一動點，且.AM=DN,,則MN的最小值為.

難點突破2"兩定一動"型

模型1"兩點之間，線段最短"模型2"將軍飲馬"

條件：A,B是定直線條件：A,B是定直線1同側的兩個定點，P是1上的一動點.

1異側的兩個定點，P結論：P1A+P1B=A1B4PA+PB.

是1上的一動點.

產"

P：\1

B

結論:P1A+P1B=AB4PA+PB.

典例精講

類型一顯定點顯定線

【例】（2024廣安）如圖，在口ABCD中，AB=4,AD=S,zABC=30。,,點M為直線BC上的一動點，則M

A+MD的最小值為.

AD

BMC

典題精練

類型二隱定點顯定線

1.（2024瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,BC上的一動點，且AE=BF,AF與DE交

于點。M是DF的中點,G是AB上的一點，且4G=28G,則+的最小值是.

類型三顯定點隱定線

2.（2024江岸區）如圖，在口4BCD中，AB=10,AD=8,/4=60°?E是邊AD上一點，且AE=5,P是邊AB

上的一動點，將線段EP繞點E逆時針旋轉（60。得到線段EF,連接BF,CF,則BF+CF的最小值為.

難點突破3"兩動一定"型

不

問題提出：作點P關于0B對稱的點P2,過

A

P是NAOB

0NB

模型建立：

0^------------------B作點P關于0A對稱的點P一過

點P2作P2M±OA于點M,交

的內部（或邊上）的一定點，點Pi作PiN^OB于點N,交

0B于點N,則PN+NM的最小

在OAQB上分別找一點M,N,0A于點M,則PM+MN的最小

值為P2M的長.

使PM+MN或PN+NM最小.值為PiN的長.

典例精講

【例】（2023東湖高新區）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將AADE沿AE折疊，點D的對應點F恰

好落在BC邊上，M,N分別是線段AE,AF上的動點.若BC=10,tan44F=|，則MF+MN的最小值為____.

S

典題精練

1.（2023濱州）如圖，4。8=30。點乂在OB上，且OM=3,P,Q分別是OAQB上的一動點.當MP+PQ最小

時QP的長為.

2.（2024青山區）如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上的一動點,F是對角線BD上的一動點，連接BE,EF.若A

B=5,tan/ABD=2廁當BE+EF取得最小值時,DF的長為.

難點突破4"定點定長"型（隱圓）

模型1"一中同長"模型2"一箭穿心"

條件：。是定點，M是動點，目條件:M是半徑為r的。。上的一動點（OM=r定值）,P是定點（OP

OM=r（定值）.=d定值）.

結論：點M的運動路徑是以r結論：

為半徑的。O.

PM的最/」v?=PMi=|d-r|,

PM的最大值=「1\/12=€1+工

典例精講

類型一顯定點顯定長

【例】（2024濟南模擬）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4,點E在邊AD上，點F在邊CD上.將正方形紙

片ABCD沿EF翻折，點B的對應點為點G連接DG.若2E=1,則DG的最小值為.

典題精練

類型二顯定點隱定長

1.（2023淮安）如圖,AB=BC=2/ABC=120°,BH為Z1BC內部的一條射線（（NCBH460°）,點C關于BH的對

稱點為C',直線AC與射線BH交于點F,連接CC',CF廁ACTF面積的最大值為.

類型三隱定點隱定長

2.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中,E,F分別是邊AD,CD上的動點，且2E=C尺連接BE,過點F作FG\hBE

于點G,連接AG,則AG的最小值為.

難點突破5"定弦定角"型（隱圓）

問題提出：模型建立：

C

a

...…￡'

在AABC中,AB=這P

二°7

、、.?C

a（定長）/ACB=o［（定A\a,.-B

②當a=90。時，點C的運動③當a>90。時，點C的運動

角》探究點c的運動①當a<90°時，點C

路徑是以AB為直徑的。。（點路徑是劣弧AB/AOB=360°-2

路徑的運動路徑是優弧

C不與A,B重合）.a.

ACB/AOB=2a.

典例精講

類型一顯定弦顯定角

【例】（2023通遼）如圖,0。是AABC的外接圓,AC為直徑，AB=2gBe=3.點P從B點出發，在^ABC

內運動且始終保持NCBP=NBAP.當C,P兩點間的距離最小時，動點P的運動路徑長為.

典題精練

類型二隱定弦顯定角

1.（2024蘇州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=百,8。=1,,動點E,F分別從點A,C同時出發，以相同的速

度沿AB,CD向終點B,D運動，過點E,F作直線l,AGL于點G,連接BG廁AG的最大值為,BG的最小值

為:

2.（2024漢陽區）【問題背景】如圖L在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上一動點，且BE=CF廁AE^BF-,

【問題解決】如圖2,NABM=90°?D,C分別是AB,BM上的一動點，且AD=BC,DE回AC于點E,連接BE.

AD

\A

若力B=2,,則線段BE的最小值為.

難點突破6"隱圓隱切線”型

模型1模型2

條件:OP=a,Q是一動點，且OQ=b（a,b是定長，且a>條件：。是直線1上的一定點，P是1上的一動點,OQ

b）.=m（定長），且zOPQ=a（定角）.

結論：點Q在以b為半徑的。。上，且當PQ與

O'

OO相切時/OPQ最大.

結論：點Q在以m為半徑的

\0p

。。上，且當PQ與。。相切時,OP最大.

典例精講

類型一與定直線的最大夾角

【例】（2024江岸區）如圖，在RbABC中/ABC=90°,AB=8點D在邊BC上，且BD=2.P為&ABC內一

點，且NAPB=90°直線DP交AC于點E.當AE最大時,AP的長為（）

X.1V5C.yV5D.6

典題精練

類型二定線段的最大張角（米勒原理）

1.（2024江漢區）如圖是足球場的局部平面示意圖，運動員甲從本方后場D處沿著垂直于對方球門線PQ的方

向帶球推進，DC，PQ于點C,PQ=8米，PC=2米.若僅從射門角度的大小考慮（射門角度越大，越容易進球），則

運動員甲位于最佳射門位置時離點C的距離為米.

類型三與定直線夾定角

2.（2023廣元）如圖,NACB=45。,半徑為2的。。與CA,CB分別相切于點D,G,P是。。上的一點,PE^CA于點

E,PF±CB于點F.設t=+t的取值范圍是

難點突破7拼接線段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）將兩條線段在動點處拼接為"首尾”是定點的折線段，再運用"兩點之間，

線段最短"求線段和的最小值.

典例精講

技巧一構全等騰挪線段

【例】（2024研口區）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是正方形內部的一點，且BE=AB,F為BE上一

點且BF=3,連接DE,CF,則DE+CF的最小值為.

典題精練

技巧二構相似騰挪線段

1.（2024漢陽區）如圖，在AABC中,.ZACB=45。,4c=3<2,AB=6,D,.E分別是邊AB,BC上的動點，且BE=2A

D,則+CD的最小值為.

技巧三平移變換騰挪線段

2.（2024武昌區）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,AD=2”連接BD.M,N分別為邊AD,BC上的一動點,且

MN18。于點P,連接DN,BM,則DN+BM的最小值為.

難點突破8函數建模求最值

方法技巧：根據主、從動點間的變化關系，合理引入變量，建立關于“研究對象”的函數模型，再運用函數的

性質求”幾何動點類"最值.該思想方法的最大優點是可規避探究"復雜”的動點運動路徑，而達到“定量"解決問

題的效果.

典例精講

【例】（2024武昌區）如圖在&ABC中，NBAC=120\AB+AC=4..將BC繞點C順時針旋轉120°得到線

段CD,則線段AD的最小值為.

典題精練

1.（2024東湖高新區）如圖，線段AB=12,C是線段AB上的一動點將線段AC繞點A逆時針旋轉120。得到線

段AD,連接CD,在AB上方作RtADCE,使NDCE=90。,4=30°,F為DE的中點，連接BF.當BF最小時,AC

的長為.

2.（2024漢陽區）如圖在△4BC中,D,E分別是邊BC,AB上的一點，且zADE=ZCAD.iS：△ADE的面積為Sg

力BC的面積為52,則曲勺最大值是

32

板塊二十一路徑與最值

難點突破1“一動一定”型

模型：“垂線段最短”

條件：A是定點，直線1是動點P的運動路徑.

（定）

-------乙—0---------1

尸（動）p'

結論:當APX1時,AP的長度最小（即AP的長）.

典例精講

類型一顯性“一動一定”（顯動點）

【例】（2024江西改）如圖，在△ABC和4DEC中,/ACB=NDCE=9（F,AC=BC,DC=EC,且D是AB上的一動點,

E

點F與點C關于DE對稱，連接DF,EF.若AC=6,則四邊形CDFE面積的最小值為18.c干關中

M：VZDCE=90°,DC=EC,ADEC是等腰直角三角形.：點F與點C關于DE對稱，

四邊形CDFE是正方形，；.S皿力說…=O..?.當CD最小時,s四邊形CDFE最小.

四12膝DFE

是AB上的一動點，，當CD_LAB時,CD取得最小值.；AC=BC=6./ACB=90".CD的最小值為yXC=

2

3/，.一四次^^的最小值為（3a）=1&

曼

典題精練

類型二隱性“一動一定”（隱定點）

1.（2024新洲區）如圖在△ABC中,AB=AC=3,/BAC=9（T,D為邊AB上一點，將線段CD繞點C順時針旋轉45°

得到線段CE,連接AE,則AE的最小值為3-誓.

解:在BC上截取CF=CA,連接DF.

,/將CD繞點C順時針旋轉45。得到CE,CD=CE,NDCE=45。,

AB=AC=3,ZBAC=90°,ZBCA=45°,BC=3V2,.\ZDCE=ZBCA,

ZDCF=ZACE,.\△ACE^AFCD(SAS),Z.AE=FD,

^.^D為邊AB上一點,.^.FD_LBA時,FD最小,,.^CF=CA=3,.,.BF=3V2-3,

此時，FD*BF=3-季AE的最小值為3-乎.

類型三隱性“一動一定”（隱定直線）

2.（2024長春改）【方法點撥】幾何中的雙動點問題往往轉化為單動點問題解決，平移是轉化的工具之一，通過

構造平行四邊形再發現動點的運動路徑，進而解決問題.

【方法運用】如圖,△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2,NACB=30。.M,N分別是邊A

C,DE上的一動點，且AM=DN,則MN的最小值為^_遙.

解:過點D向上作DF〃MN,且使DF=MN,連接MF,AF,則四邊形MNDF是平行四邊彩，MF=DN=AM,MF〃

DN.：四邊形BCDE是矩形..../BCD=90。,BC〃DE,.^.MF〃BC,.^./CMF=NACB=30。,.^.NCAP=15。,.^.點F在定

直線AP上運動，，當DFXAP時,DF取得最小值.連接AD.：NACD=NACB+/BCD=120o,AC=CD,，NCAD=/C

DA=30°,.*.AD=V3AC=2A/3,ZDAP=ZCAD+ZCAP=45°,?.DF的最小值為當AD=...MN的最小值為瓜

難點突破2“兩定一動”型

模型1“兩點之間，線段最短”模型2“將軍飲馬”

條件：A,B是定直線條件：A,B是定直線1同側的兩個定點，P是1上的一動點.

1異側的兩個定點，P結論：PiA+PiB=A[B<PA+PB.

/B

是1上的一動點.

一iX..-'

產”

產,\1

B

結論:PiA+PiB=AB<PA+PB.

典例精講

類型一顯定點顯定線

【例】（2024廣安）如圖，在口ABCD中,AB=4,AD=5,/ABC=30。點M為直線BC上的一動點，則MA+MD的

最小值為一V41.

解作點A關于BC的對稱點A：連接MA,DA；則MA=MA,,-,MA+MD^MA'+MD>4。,.,.當點M運

動至AD與直線BC的交點處時MA+MD取得最小值為AD的長.設AA交BC于點H,則AA」BC,AA'=2AH

.'：四邊形ABCD是平行四邊形,AD〃BC,；.AA」AD.???zABC=30°,AH=-AB=2,：.AA'=2AH=4,.-.A'D

2/J)

=+402=V42+52=用,...M4+MD的最小值為例.

典題精練

類型二隱定點顯定線

1.（2024瀘州）如圖.在邊長為6的正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,BC上的一動點，且.力E=BF,AF與DE交

于點O.M是DF的中點,G是AB上的一點且AG=2BG,則OM+/G的最小值是上

解作點G關于BC的對稱點H,連接DH,FH廁FH=FG.

:四邊形ABCDBTFT^ff^.?.AB=AD,ZDAE=ZABF=90°.

,?AE=BF,；.AADE^ABAF,?.ZADE=ZBAF,

ZDOF=ZADE+ZDAO=ZBAF+ZDAO=90°.

,/M是DF的中點,.OM=|DF,：.OM+^FG=|(DF+FG')=|(DF+FH)>|DH,：.當點F在DH與

BC的交點處時,OM+^FG取得最小值為:的長.：AG=2BG,AD=AB=6,，AG=4,BG=BH=2,；.AH=8,

DH=y/AD2+AH2=10,.-.OM+^FG的最小值為5.

類型三顯定點隱定線

2.（2024江岸區）如圖，在口ABCD中,AB=10,AD=8,NA=6（r,E是邊AD上一點，且.AE=5,P是邊AB上的一動

點,將線段EP繞點E逆時針旋轉60。得到線段EF,連接BF,CF,則BF+CF的最小值為一V139.

解:取AB的中點M,連接EM,FM,CE.：AB=10,.\AM=BM=5=AE.

"?ZA=60°,.\AAEM是等邊三角形.由旋轉知EP=EF,ZPEF=60°,

.?.可證4EAP烏△EMF,；.ZEMF=ZA=60°,

.?./BMF=60o=NEMF,MF〃AD,?.點F在經過點M且與AD平行的直線I上運動，可證△EMFgZ\BMF（SA

S),

；.EF=BF,；.BF+CF=EF+CFNCE,.?.當點F在CE與直線1的交點處時,BF+CF取得最小值為CE的長.過點E

作ENLCD于點N.

AD=8,AE=5,.-.DE=3,DN=DE-cos乙EDN=*EN=DE.sin乙EDN=*

；.CN=CD+DN=y,/.CE=^CN2+EN2=VT^,，BF+CF1的最小值為V139.

難點突破3“兩動一定”型

問題提出：模型建立：作點P關于OB對稱的點P

P是NAOB作點P關于OA2,過點P2作P2M±OA于點

對稱的點Pi,過M,交

V

0乙-------------BOB于廣''e"A

P的氏

的內部（或邊PN+NN/<M

°NBX]~~B

上）的一定點，點Pi作PiN±''P,

在OA,OB上分別找一點M,OB于點N,交

N,OA于點M,則PM+MN的最

使PM+MN或PN+NM最小.

小

值為P】N的長.

典例精講

【例】（2023東湖高新區）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊點D的對應點F恰

好落在BC邊上，M,N分別是線段AE,AF上的動點.若BC=10,tanN瓦4F=[，則MF+MN的最小值為8.

解:連接MD,過點D作DNi1AF于點電，交AE于點Mx.由翻折知NEAF=/EAD,AD=AF=BC=10,ED=E

F,MD=MF,/.MF+MN=MD+MN的最小值為DN】的長,EF=ED=AD?tan^EAD=10X|=5.vZ5=ZC=

N/WE=NAFE=90°,，可證AABFAFCE,=tanzEXF=3可設CE=a，則BF=2a,；.CF=10-2a,...在RtACE

BFFA2

F中，42+（10-2a）2=52,a=3（a=5舍去）一..CD=AB=8.易證△ADN±=AFAB,：.=8,,-pMF+

MN的最小值為8.I

典題精練

1.（2023濱州）如圖,NAOB=30。,點M在OB上，且OM=3,P,Q分別是OA,OB上的一動點.當MP+PQ最小時,OP

的長為V3.

解作點M關于OA的對稱點Mi,連接OMi,PMi,過點Mi作MiQt1OB于點Qi,交OA于點P1.由軸

對稱性可知,PMi=PM,OMi=OM=3,/AOMi=ZAOB=30°,.\ZMXOM=60°,MP+PQ=M1P+PQNMiQi?.當點P,

Q分別在Pl,Q1處時,MP+PQ取得最小值為MlQi的長.???OQ1=0Mt-coszM^M=3cos60。=f,.-.0Pr=

A

缶=B即當MP+PQ最小時.OP的長為V3

/P,

OQQ,MB

2.（2024青山區）如圖在矩形ABCD中,E是邊AD上的一動點,F是對角線BD上的一動點，連接BE,EF.若AB

=5,tan/ABD=2,則當BE+EF取得最小值時,DF的長為—3遍

解作點B關于AD的對稱點B,過點B作8F回8。于點F1連接BE由對稱的性質知AB，=AB=5BE=BE,；.B

E+EF=B'E+EF>B'F',/.^F在點F處時,BE+EF取得最小值為BF的長.：tan/ABD=2,；.AD=2AB=10,.-.BD=

VXS2+X02=cos^ABD=-=~

?.?在RtABBF中cos^B'BF'=/=cos^ABD=g,BF'=BB'-cos^ABD=10x=20.DF'=BD

-BF'=3強.?.當BE+EF取得最小值時,DF的長為3相

難點突破4“定點定長”型（隱圓）

模型1“一中同長”模型2“一箭穿心”

條件：0是定點，M是動點，且條件:M是半徑為r的。。上的一動點（OM=r定值）,P是定點（OP

OM=i*（定值）.=d定值）.

結論：點M的運動結論：

路徑是以r為半徑PM的最/」\值==「1\41=|d-r|,

的0O.PM=d+r.

典例精講

類型一顯定點顯定長

【例】（2024濟南模擬）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4,點E在邊AD上，點F在邊CD上.將正方形紙

片ABCD沿EF翻折點B的對應點為點G,連接DG.若AE=1,則DG的最小值為—舊-3_.

解：設點A的對稱點為M,連接EG.：正方形ABCD的邊長為4，,由翻折的性質知/M=/A=9（T,ME=AE=

1,MG=AB=4,EG=^ME2+MG2=g,.,.點G在以內為半徑的。E上運動，，當點G運動至ED的延長線與。

E的交點處時，DG取得最小值為V17-￡0=V17-3.

典題精練

類型二顯定點隱定長

1.（2023淮安）如圖,AB=BC=2,/ABC=12（F,BH為/ABC內部的一條射線（（NCBHH60。）,點C關于BH的對稱

點為C.直線AC與射線BH交于點F,連接CC,CF,則ACC字面積的最大值為」_____V3.

解:連接BCT.?點C與點C關于BH對稱，:（7F=CF,BC=BC=AB=2,.?.點C,A,C都在以B為圓心，2

為半徑的。B上運動.

：NABC=120。,.?.可求乙CC'F=-4BC=60。,；.△COF是等邊三角形，；.SLCCF=3”勺.?.當CC最大時,S

24

ACF取得最大值.當CCB0B的直徑時，CC取得最大值為4,ASACF的最大值為x42=4V3.

4

類型三隱定點隱定長

2.如圖.在邊長為3的正方形ABCD中,E,F分別是邊AD,CD上的動點且AE=CF.連接BE,過點F作FG_LBE

于點G,連接AG則AG的最小值為一3V2-3_.

解:連接BF,CA,CG.VFG±BE.ZBCF=90°,點B,C,F,G在以BF為直徑的圓上,ZBGC=ZBFC.VAB=CB,AE

=CF,ZBAE=ZBCF=90o,.*.ABAE^ABCF,.*.ZBEA=ZBFC=ZBGC.VAD^BC,.\ZBEA=ZCBG=ZBGC,.,.CG=

CB=3,.?.點G在以3為半徑的。C上運動，，當點G運動至CA與。C的交點處時，AG取得最小胤3

AC=&AB=3vl.?.AG的最小值為3/-3.

難點突破5“定弦定角”型（隱圓）

問題提出：模型建立：

在4ABC中,AB=

a（定長）,ZACB=a（定

②當a=90。時，點C的運③當a>90。時，點C的運

角）,探究點C的運動①當心90。時，點C

動路徑是以AB為直徑的。O動路徑是劣弧AB,ZAOB=36

路徑.的運動路徑是優

（點C不與A,B重合）.0°-2a.

弧ACB,/AOB=2a.

典例精講

類型一顯定弦顯定角

【例】（2023通遼）如圖,。O是仆ABC的外接圓,AC為直徑，AB=2<3,BC=3.點P從B點出發，在小AB

C內運動且始終保持/CBP=/BAP.當C,P兩點間的距離最小時，動點P的運動路徑長為

解:：AC為直徑,；./ABC=90°,.*.ZABP+ZCBP=90°.VZBAP=ZCBP,ZABP+ZBAP=90°,AZAPB=9

0。,.^.點P在以AB為直徑的圓上運動，且在△ABC的內部取AB的中點Oi,連接OiP,CPQiC,則01P=豺8=

遍，，當點P運動至COi與。Oi的交點處時,CP最小.???tanzFOiC="=指=小,：?乙BO、C=60。,...此時BP

U-yDV3

607rxV3V3

的長為=-71.

1803

典題精練

類型二隱定弦顯定角

1.（2024蘇州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=W,BC=1,動點E,F分別從點A,C同時出發，以相同的速度

沿AB,CD向終點B,D運動，過點E,F作直線LAGJJ于點G,連接BG,則AG的最大值為_L,BG的最小值為一哼1.

解:連接AC交EF于點O.依題意，可證△AOE四△COF,.?.可求得=^AC=1.^-------7f

VAGXEF,Z.點G在以OA為直徑的。M上運動.二?直徑是圓中最長的弦，

/~H認V

JAG為直徑時最大，最大值為1；過點M作MHLAB于點H，連接BM.

tanzBXC=4BAC=30。,MH=-AM^-,AH=—AM=—BH=AB-AH=運，:.BM=

324244

7MH2+BH2=*：當點G運動至BM與。M的交點處時，BG取得最小值為的最小值為g二.

2.（2024漢陽區）【問題背景】如圖1,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上一動點，且BE=CF,則AELBF;

【問題解決】如圖2,NABM=9（r,D,C分別是AB,BM上的一動點，且AD=BC,DE回4C于點E,連接BE.若AB=

2,則線段BE的最小值為一V5-l_.

解:過點A作AFLAB,交DE的延長線于點F,取AF的中點O,連接OB,OE.可證△ADF絲△BCA,；.AF=AB=2,

.?.點E在以AF為直徑的。O上運動,.,.當點E運動至OB與。O的交點處時,BE取得最小值為OBOB=

VOA2+AB2=Vl2+22=V5..BE的最小值為V5—1.

難點突破6“隱圓隱切線”型

模型1模型2

條件:OP=a,Q是一動點，且條件：O是直線1上的一定點，P是1上的一動點,

OQ=b（a,b是定長，且a>b）.OQ=m（定長）.且/OPQ=a（定角）.

結論：點Q在以b為半徑的0O上，且當PQ

與。。相切時,/OPQ最大.

結論：點Q在以m為半徑的

?O上，且當PQ與OO相切時.OP最大.

典例精講

類型一與定直線的最大夾角

【例】（2024江岸區）如圖，在RtAABC中,/ABC=9（T,AB=8,點D在邊BC上，且BD=2.P為△ABC內一

點，且/APB=90。,直線DP交AC于點E.當AE最大時,AP的長為（C）

人2B.yV5C.yVaD.6

解:取AB的中點O,連接OD,OD交BP于點F.：NAPB=90。,.?.點P在以AB為直徑的。。上運動，.?.當DP

與。O相切時，AE取得最大值（如圖），，此時DB=DP=2,NODB=/ODP,；.OD_LBP,BF=PF.：NABC=90o,AB=8,

2222

BD=2,.-.OD=V4+2=2V5,BF=OF=VOB-BF=延,...此時APA=2OF=".故選C.

…5：5

J

典題精練

類型二定線段的最大張角（米勒原理）

1.（2024江漢區）如圖是足球場的局部平面示意圖，運動員甲從本方后場D處沿著垂直于對方球門線PQ的方向

帶球推進，DCXPQ于點C,PQ=8米，PC=2米.若僅從射門角度的大小考慮（射門角度越大，越容易進球），則運

動員甲位于最佳射門位置時離點C的距離為上V5米.

解：以PQ為弦作。。與CD相切于點M,此時/PMQ（射門角度）最大，點M為最佳射門位置.過點O作O

N±PQ于點N,連接OM,OP,則PN=QN=^PQ=4,四邊形OMCN是矩開么CM=ON,OM=CN=PC+PN=6,OP

=OM=6.在RtAPON中，。N=y/OP2-PN2=V62-42=2V5,CM=ON=2而（米）,即甲位于最佳射門位置時

離點C的距離為2逐米.

類型三與定直線夾定角

2.（2023廣元）如圖,/ACB=45。,半徑為2的0O與CA,CB分別相切于點D,G,P是。O上的一點,PELCA于點E,

PF±CB于點F.設t=PE+&PF廁t的取值范圍是—2V2<t<2&+4_.

解:連接OD,OG,延長GO交CA于點M.：。。分別與CA,CB相切于點于D,G,NACB=45。,；.△CGM.AMOD

都是等腰直角三角形，，0M=V2OD=2V2,/.CD=CG=MG=OM+OG=2/+2延長EP交CB于點Q,則同理可證

△CEQ,APFQ均為等腰直角三角形,.乙CQE=45。,EQ=y/2PF,t=PE+PQ=EQ「P點P在。O上,.?.當EQ

與優弧DG相切于點P時,EQ最大，當EQ與DG相切于點P時,EQ最小,；.此時，連接OP,則四邊形OPED是正方

形,...此時ED=OD=2,CE=EQ=CD+DE=2a+4或CE=EQ=CD—DE=2vx.?.t的取值

范圍是<t<2V2+4.

CGFQB

難點突破7拼接線段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）將兩條線段在動點處拼接為“首尾”是定點的折線段，再運用“兩點之間，線

段最短”求線段和的最小值.

典例精講

技巧一構全等騰挪線段

【例】（2024研口區）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是正方形內部的一點，且BE=AB,F為BE上一

點，且BF=3,連接DE,CF,則DE+CF的最小值為V89

解:在BC上取點M,使BM=BF=3,則CM=5,連接EM,DM.力|一方官。

,.?BE=AB=BC,.\ABCF^ABEM,/：/

：.EM=CF,DE+CF=DE+EM>DM,Bc

當點E在線段DM上時,DE+CF取得最小值為DM的長.

在RtAMCD中，DM=VMC2+CD2=V52+82=V89,

/.DE+CF的最小值為V89.

典題精練

技巧二構相似騰挪線段

1.（2024漢陽區）如圖,在4ABC中，ZXCB=45。,"=3&,AB=6,D,E分別是邊AB,BC上的動點，且BE=2AD,

貝U2AE+CD的最小值為丑_V5.

解：3提示:過點A作AF〃BC,使AF=^AB=3