第23關與圓有關的計算

基礎練

考點1弧長、扇形面積的計算

“2024安徽］若扇形AOB的半徑為6,/AOB=120。,則曲的長為（）

A.2TIB.3兀C.4兀D.6TI

2.［2024內蒙古包頭］如圖,在扇形AOB中,NAOB=80。,半徑OA=3,C是AAB_上一點，連接OC,D是OC上一

點且OD=DC,連接BD.若BD，OC廁AC的長為（）

A.兀/6B.兀/3C.兀2D.7i

第2題圖第3題圖

3.［2024山東泰安］兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓。的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若半圓

的半徑為2,則陰影部分的面積是()

X.-7T-V3B.-TI

33

r>4V3

C.-7T-V3D.-TI--

334

4.［2024河北］扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊.如圖，某折扇張開的角度為120。

時，扇面面積為S.該折扇張開的角度為n。時，扇面面積為Sn.:若m=第則m與n關系的圖象大致是

5.［2024湖南長沙］半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為（結果保留兀）.

6.［2024內蒙古呼倫貝爾］為了促進城鄉協調發展，實現共同富裕，某鄉鎮計劃修建公路.如圖，AB與CD是公

路彎道的外、內邊線，它們有共同的圓心O,所對的圓心角都是72。，點A,C,O在同一條直線上，公路彎道外側

邊線比內側邊線多36米，則公路寬AC的長是_______米.（兀取3.14,計算結果精確到十分位）

B

A

：A

7.[2024山西]如圖1是小區圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）.通

過測量得到扇形AOB的圓心角為9（T,0A=lm,點C,D分別為OA,OB的中點，則花窗的面積為m2.

圖1圖2

考點2圓柱、圓錐的相關計算

8.[2024云南]某校九年級學生參加社會實踐，學習編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為40厘米，底面圓

的半徑為30厘米，則該圓錐的側面積為（）

A.700五平方厘米B.900TT平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

9.[2024湖北武漢模擬「漏壺”是一種古代計時器，在一次實踐活動中，某小組同學根據“漏壺”的原理制作了如

圖所示的液體漏壺，它由一個圓錐和一個圓柱組成，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中、實驗

開始時圓柱容器中已有一部分液體，下表是實驗記錄的圓柱容器中液面高度y（cm）與時間x（h）的數據：

時間x/h12345

圓柱容器中液面高度y/cm610141822

若本次實驗開始的時間是上午8：00,那么當圓柱容器中液面高度達到8cm時是（）

晉

三二

A.8:30B.9:30C.10:00D.10:30

10J2024江蘇揚州]若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑為

cm.

11.[2024云南昭通二模]如圖，這是一個圓柱形筆筒，量得筆筒的高是11cm,底面圓的直徑是8cm,則這個

筆筒的側面積為cm%結果保留兀）.

第II題圖第13題困

12.［2024黑龍江龍東地區］若圓錐的底面半徑為3，側面積為36兀，則這個圓錐側面展開圖的圓心角是.

13.［2024山東煙臺］如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作BD,剪下

圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為;

提升練

14.［2024四川廣安］如圖，在等腰4ABC中,AB=AC=10,NC=70。以AB為直徑作半圓，與AC,

BC分別相交于點D,E,則力的長度為（）

5

A.TT/9B.7t/9C.等。?等

第14題圖第15題圖

15.（2024重慶A卷］如圖,在矩形ABCD中，分別以點A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公

共點.若AD=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-8兀B.16V3-4TT

C.32-47ID.16V3-8兀

16.［2024山東濰坊二模］如圖在RtAABC中,/ACB=9（F,AC=BC=4若進行下列操作:①將R3ABC繞點A

順時針旋轉90。后得到R3ABC,點B經過的路徑為弧BB，;②以C為圓心線段CB的長為半徑畫弧得到弧AB,

則圖中陰影部分的面積是（）

B'

A.4兀B.4.8兀

C.871D.9.6K

17.［2024湖北黃石校級模擬］《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有一個問題的條件如下：

“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.”譯文：屋內墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一（如圖），米堆底部的弧長

為8尺，米堆的高為5尺（尺為我國古代長度單位）.那么這個米堆遮擋的墻面面積為（）

9

A.80K

128

c.—D.457r平方尺

71

18.［2024河南三門峽一模］如圖,四邊形ABCD是邊長為打勺正方形，曲線DA】BxCxDxA2……是由多段90。

的圓心角所對的弧組成的.其中，DAi的圓心為A，半徑為AD的長；;AiBi的圓心為B，半徑為BA】的長；甌

的圓心為C,半徑為CBi的長；哂的圓心為D,半徑為DCi的長；……；。中”4瓦，瓦K，喇的圓心依

次為A,B,C,D,依此類推，則40索2024的長是（）

19J2024江蘇鹽城］已知圓錐的底面半徑為4,母線長為5,該圓錐的側面積為,

20.［2024甘肅］甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產.如圖1是一

塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2,其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O,且圓心角20=10

0。,若OA=120cm,OB=60cm,則陰影部分的面積是_______cm2.（結果用兀表示）

21.［2024黑龍江齊齊哈爾］若圓錐的底面半徑是1cm,它的側面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為

____cm.

22.「2024吉林］某新建學校因場地限制，要合理規劃體育場地.小明繪制的鉛球場地設計圖如圖所示，該場地由

OO和扇形OBC組成，OB,OC分別與。O交于點A,D.OA=lm,OB=10m,ZAOD=40。,則陰影部分的面積為

m2（結果保留7t）.

23.[2024寧夏銀川校級模擬]如圖，已知點C為圓錐母線SB的中點，AB為底面圓的直徑，SB=6,AB=4,—

只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點,則螞蟻爬行的最短路程為.

S

A

第23題圖第24題圖

24.[2024河南洛陽一模]如圖，在RtAABC中,/ACB=9（T,AC=BC=2以點A為圓心邊AC的長為半徑作CE交

邊AB于點E,以邊BC為直徑作半圓交邊AB于點D，則圖中陰影部分的面積為.

25.[2024甘肅臨夏州]如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCDQM為折痕以點O為圓心QM為半徑作弧，分

別交AD,BC于E,F兩點，則EF的長度為（結果保留兀）.

26.[2024江蘇蘇州]鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連

接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O,AB月所在圓的圓心C恰好是△ABO的內心，若/AB

=2亞則花窗的周長（圖中實線部分的長度尸.（結果保留兀）

27.[2024四川內江]如圖,AB是。O的直徑,C是BD的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E.

⑴求證:△ACE^AABC;

（2）求證:CE是。O的切線；

⑶若AD=2CE,OA=/求陰影部分的面積.,：

28.[2024廣東]綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

步驟1：取一張濾紙；

步驟2:按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4:將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

⑴濾紙是否能緊貼此漏斗內壁（忽略漏斗管口處）?用你所學的數學知識說明.

（2）當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結果保留兀）

第23關與圓有關的計算

1.C

2.B解析:連接BC,

?.OD=DC,BD±OC,.-.BC=OB,

.OB=OC,

二AOBC是等邊三角形，

..NBOC=60°,

?.zAOB=80°,.-.zAOC=20°,

，AC的長為甯=*

3.A解析如圖，連接OA,AO',作ABJ_00'于點B,

0

0A=00=AO=2,

.“AO。'是等邊三角形，

>1>

=6^,OB=-00=1,

???AB=V22-I2=V3.

S可用AO。=SeW0,—S/40°-

607rx22rr1

-----------2xV3x-

3602

Sprp=S+S

以上可用AO。月HBAO°O

=y-V3+607rx2?

360

=i

IC解析：設該扇面所在的圓的半徑為R,

1207T/?2TlR2

則S=

3603

???TIR2=3S,

??,該折扇張開的角度為n。時，扇形面積為Sn,

cnnR2nc?

z

???Sn=--=----——-xnR=言x3S=篝

n360360

nS

n1

-----=------71

S-120120'

??.m是n的正比例函數，

???—>0,n>0,

120

，選項C符合題意.

5.4TC

6.28.7

解析：由題意得笠署-黃=36,

OA-OC=—^28.7（米）.

7T

..AC=OA-OC=28.7米.

解析:..點C,D分別為OA,OB的中點，OC=OD=^OA=|m.

NCOD=90。,；.SAC”=初?OD=那X卡(m2).

ZZZZo

c90ml2nf2\

S沏=S扇幽。B_SAC。。=C—>2-

8.C

9.B解析：由題意知，y是x的一次函數設y與x的關系式為y=kx+b,

?.?當x=l時,y=6;當x=2時,y=10,

1k+b=6,

F/c+b=10,

解得4-2

，y與x的關系式為y=4x+2,

.?.當y=8時,4x+2=8,

解得x=1.5、

即當圓柱容器中液面高度達到8cm時是9:30.

10.511.88H

12.90

解析：設圓錐的母線長為I,圓錐側面展開圖的圓心角是n°,

?.?側面積為36n,

.■.TTX3X|=36TT,

解得1=12,

717TX122

???36TT=---------

360

解得n=90,

二圓錐側面展開圖的圓心角是90°.

13.V3

解析:；多邊形ABCDEF是正六邊形，NB4尸==魚竽㈣=120°,AB=AF,

6

1

ZAFB=ZABF=jx(180°-120°)=30°,

同理/EFD=30°,

NBFD=120°-30°-30°=60°.

如圖，過點A作AG_LBF于點G,則BG=FG,

在RbAFG中,FG=AF-cos30°=V33

???BF=2FG=6V3,

設圓錐的底面圓的半徑為r,則2nr=駕警，

loU

r=V3.

方法總結..

本題考查正多邊形的性質，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個內角的度數，進而求出扇形的圓心角的

度數,過點A作AG^BF,求出BF的長,再利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,進行求解即可.準確判斷扇形弧

長為圍成圓錐的底面周長是解決問題的關鍵.

14.C解析:連接OD,OE,

?.AB=AC,

.?.zABC=zC=70°,

-,OE=OB,

.-.zOEB=zABC=70o,

.,.zOEB=zC,

.-.OEllAC.

在SBC中,NA+NABC+NC=180°,

zA=180A-zABC-zC=180°-70°-70-=40°.

OA=OD=^1AB=5.0E\\AC,

..NA=NADO=40°=NDOE,

???力的長度為警=￥■

15.D解析：如圖，連接AC,由題意易知AC必過兩弧公共點，AC=2AD=8。AB=V/IC2-BC2=

V82-41=4打S肉逆=S即0-1SU=4x48-)X42=168-8兀，故選D.

,,o

16.A1|?lyT：.zACB=90/AC=BC=47AB=42AC=4V2,

根據題意得AB=AB=4V2,NBAB'=90。,S=S,,

L-ABCLABC

:陰影部分的面積=S-BC+—s-s,=s—S

有用CABAABC甲胭AB電甲C

_90TTX（4V2）2907rx42

—360360

=8n-4n

=4TI.

17.A解析：設圓錐的底面半徑為r尺，由米堆底部的弧長為8尺、可得ix2nr=8，解得r=

4n

???r2x-1x—16x5L=一80T平TT方■>I尺--1X)，

27171

，這個米堆遮擋的墻面面積為3方尺.

18.C解析:?.?曲線DA1B1GD1A2…是由多段90。的圓心角所對的弧組成的，并且每一段弧的半徑依次比前一

段弧的半徑長

13

AD=AA1=-,BA1=BB]=1,CB】=CC^=-,DC^=DD1=2,

i_

ADr=AA2=2+5,BA2=BB2=2+1,

3

CB2=CC2=2+"。2=DD2=2+2,

BAn=BBn=2（71-1^1,

??弓瓜A2024B2034的半徑?BA2024=BB2024=2x(2024T)+1=4047.

弧A2024B2024的長=^7X40477T=4°：77r.

19.20n

20.3OOOn

.lS?ia=S*a???-S11aBec

_100兀。。2_100兀。。2

—360360

_1007TX1202_1007TX602

—360360

=30007r(cm2).

21.V15

解析：設扇形的母線長為1cm,

,:圓錐的底面半徑是1cm,

二圓錐的底面周長是2ncm,即側面展開圖的弧長是2ircm,則鬻=2兀，解得1=4,

loU

由勾股定理得，圓錐的高—V42-I2=V15(cm).

22.11n

解析：陰影部分的面積為竺陪-丹嘉=4°”霏j)=117r(爪2).

23.3V3

解析：由題意知，圓錐底面圓的直徑AB=4,

故底面周長等于4n,

設圓錐側面展開后的扇形圓心角為n°,根據底面周長等于展開后扇形的弧長得4兀=需，解得n=120,

所以展開圖中NASC=120°+2=60。，

因為SA=SB/ASB=60。，

故三角形SAB為等邊三角形，

X-.C為SB的中點,

所以ACLSB,在直角三角形SAC中,SA=6,SC=3,根據勾股定理得AC=3b,所以螞蟻爬行的最短路程為3V3.

24.11-2

解析:?.?NACB=9(T,AC=BC=2,二.NA=NABC=45。，

-BC及以邊BC為直徑的半圓圍成的扇形的面積=?x兀x1="，扇形CAE的面積=嚕絲="

ZZ3o(JZ

1

^LABC=&xACxBC=2,

???陰影部分的面積=BC及以邊BC為直徑的半圓圍成的扇形的面積+扇形CAE的面積-△ABC的面積,

,陰影部分的面積=［兀+3兀-2=7T-2.

25.2TT/3

解析：連接0E,OF,由題意可知，四邊形AOMD是矩形/EOM=NFOM,則0M=AD,DM=\CD.

過點E作0M的垂線，垂足為P,

貝！IEP=DM=^CD.

因為OE=OM=AD,CD=AD,

所以EP=\OE.

在RbEOP中，

FP1

sin/EOP=—=

OE2

所以NEOP=30°,

貝！INEOF=30°x2=60",

所以EF的長度為弓詈=尊

IBUD

26.8TI

解析:過點C作CM±AB于點M,則AM=BM=\AB=<3,

?.?六條等弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點。，

ZA0B=—=60°,

6

?.OA=OB,

■.MOB是正三角形，

..點O是MOB的內心,

二㈤B=4B4==6。。=30。,

zACB=2zAOB=120°,

在RbACM中,AM=V3,zCAM=30°,

AM

???AC—=2,

cos30°