2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之有理數(shù)（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?重慶月考）下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.9B.-8C.0.6D.-n

2.（2025?晉州市模擬）如表是2025年2月我省部分城市日均最低氣溫，其中日均最低氣溫最低的城市是

()

城市石家莊滄州唐山張家口

日均最低氣溫-3℃-4℃-8℃-11℃

A.石家莊B.滄州C.唐山D.張家口

3.（2025?碑林區(qū)校級二模）計(jì)算：5X（-3）=()

A.2B.-2C.15D.-15

4.（2025?隴南模擬）-2025的絕對值是（)

1

A.-2025B.2025D.

J20252025

22-132-2242-3220242-20232

5.（2024秋?番禺區(qū)期末）計(jì)算3+5+--------+???+—()

74047

A.2022B.2023C.2024D.2025

6.（2025?天河區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A3=4,那么點(diǎn)A表示的數(shù)

是（）

AB

A.-3B.-2C.-1D.3

7.（2025?凱里市校級一模）古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里記載了利用算籌實(shí)施“正負(fù)術(shù)”的方法，圖1

表示的是計(jì)算5+（-2）的過程.按照這種方法，圖2表示的過程應(yīng)是在計(jì)算（）

000000000^0000000000^0P0000

0008O

888888888888888888888O8888

88800O

00000000000O00000000000O0O0O00

^OO

88888888880O88888888888Q888

7P.P.P

圖1圖2

A.（-3）+（-4）B.3+（-4）C.（-3）+4D.3+4

8.（2025?天鎮(zhèn)縣模擬）2025年春季新學(xué)期開學(xué)第一天，大同市的最高氣溫為3℃,最低氣溫為-13℃,

則這一天的溫差是（）

A.16℃B.10℃C.-16℃D.-10℃

9.（2025?橋西區(qū)一模）以下是四個(gè)城市中某天某一時(shí)刻的氣溫，其中氣溫最低的為（）

北京濟(jì)南太原鄭州

0℃-2℃-3℃2℃

A.北京B.濟(jì)南C.太原D.鄭州

10.（2025?邯山區(qū)校級一模）如圖，不完整的數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，分別表示和1-x,且點(diǎn)A在點(diǎn)B

左側(cè)，則x的值可以是（）

AB

______II?

4—a1-x

2

A.-3B.-1C.0D.2

二.填空題（共5小題）

11.（2025?西城區(qū)校級模擬）令"為正整數(shù).我們給出如下定義：

定義:n的“弱二進(jìn)制分解”指的是將n寫成若干2的幕次的和的形式,且相同幕次的項(xiàng)至多出現(xiàn)兩個(gè).例

13=23+21+21+2°,13=22+22+21+21+2°,就是13的兩個(gè)不同的弱二進(jìn)制分解，我們分別用記號13

=（1021）w2和13=（221）皿來表示這兩種分解.在這個(gè)記號中，從右往左數(shù)的第左位上的數(shù)字表示

”的弱二進(jìn)制分解中含有的2bl的個(gè)數(shù)，右下角的“w2”中的“w”是英文單詞“we女”的首字母，注

意二進(jìn)制分解是一種特殊的弱二進(jìn)制分解.

（1）寫出11的一種不同于二進(jìn)制分解的弱二進(jìn)制分解：11=（）卬2；

（2）如果一個(gè)數(shù)只有一種弱二進(jìn)制分解，我們便稱其為“閑愁數(shù)”.則前m個(gè)“閑愁數(shù)”的和為

（用含小的式子表示）.

12.（2025春?西城區(qū)校級月考）“北京八中好聲音”彰顯了八中學(xué)子的音樂素養(yǎng)，是八中素質(zhì)教育的一種

體現(xiàn)，為了更好的準(zhǔn)備節(jié)目，學(xué)校提供場地供學(xué)生進(jìn)行彩排.現(xiàn)有A,B,C,D,E五個(gè)節(jié)目需要彩排.所

有演員到場后節(jié)目彩排開始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長（單位：疝〃）如下：

節(jié)目ABCDE

演員人數(shù)686113

彩排時(shí)長1051558

已知每位演員只參加一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場時(shí)間是指第一個(gè)彩排節(jié)目開始到這位演員參演的節(jié)目彩

排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場時(shí)間等其它因素）.

（1）若兩個(gè)節(jié)目不能同時(shí)彩排，本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，應(yīng)按順序彩排才

能使這34名演員等待總時(shí)間最短；

（2）為節(jié)約學(xué)生的時(shí)間，將場地分成兩部分可供學(xué)生同時(shí)彩排兩個(gè)節(jié)目，則這34名演員等待總時(shí)長最

少為min.

13.（2025春?研□區(qū)月考）我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄的二十四節(jié)氣如圖所示，從夏

至到冬至“號長”逐漸變大，相鄰兩個(gè)節(jié)氣“號長”變化的量均相同.若秋分的“辱長”是7.5尺，霜

降的“署長”是9.5尺，則小雪的“署長”是_________尺.

色牛逐漸變

春分

/雨水驚段0清明谷雨、

60小滿

PS冷

秋分

那長逐漸變大

二十四節(jié)氣

14.（2025?鹿邑縣一模）定義一種新運(yùn)算*,規(guī)定運(yùn)算法則為：（租，n均為整數(shù)，且,"W0）.例：

2*3=23-2X3=2,則（-2）*2=.

15.（2025春?西城區(qū)校級月考）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛(wèi)生、整理床鋪、更換客用物品、檢

查設(shè)備共四個(gè)步驟某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：①“打掃衛(wèi)生”只能由甲完

成；每間客房“打掃衛(wèi)生”完成后，才能進(jìn)行該客房的其他三個(gè)步驟，這三個(gè)步驟可由任意工作人員完

成并可同時(shí)進(jìn)行；②一個(gè)步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進(jìn)行其他步驟;

③每個(gè)步驟所需時(shí)間如表所示：在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需

要分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要分鐘.

步驟打掃衛(wèi)生整理床鋪更換客用物品檢查設(shè)備

所需時(shí)間/分鐘9764

三.解答題（共5小題）

32

16.（2025春?楊浦區(qū)校級月考）（1）計(jì)算：-x（4.2-120%）---0.4；

（2）求x的值：6：1^=X：50%；

41

(3)已知：a：力=于2彳，b：c=3.2：4,求出b：c,

17.(2025?蜀山區(qū)校級一模)【問題呈現(xiàn)】我們知道，1+2+3+…+幾=嗎西，那么如何求必+23+33+

-+M3的值？

【觀察思考】請你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系：

【歸納猜想】

(1)13+23+33+43+53=；

(2)13+23+33+43+-+?3=J

【拓展應(yīng)用】

(3)求113+123+133”+2。3的值.

。

。

。

。?????

。

。

??。????

。

。

??。????

。

。

。

。

。????

。

。

。

。

。????

???OOO

。

。

。

。

。????

??9000?????????

o?????oOO?????????

...oooooo????

???oooooo?????

???

?

???

?

O???oooooo?

J=13_1_2i=^2II33332

，II+N，]+2+3—614-24-34-4=10

18.(2025?萬全區(qū)一模)【發(fā)現(xiàn)】兩個(gè)差為4的正整數(shù)的積與4的和總是某個(gè)正整數(shù)的平方.

【計(jì)算】

(1)一個(gè)數(shù)為3,另一個(gè)數(shù)為7,它們的差為4,則3X7+4是正整數(shù)的平方.

(2)若較小的正整數(shù)是小算出這兩個(gè)正整數(shù)的積與4的和，并說明該數(shù)是哪個(gè)正整數(shù)的平方.

【延伸】兩個(gè)差為6的正整數(shù)的積與。的和始終為某個(gè)數(shù)的平方，若較小的正整數(shù)為加求。的值.

19.(2025?邢臺一模)琪琪用刻度尺按如圖所示的方式畫一數(shù)軸(刻度尺上1c機(jī)為數(shù)軸上的1個(gè)單位長度)，

數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C恰好分別與刻度尺上的刻度值“4cm”“0cm”和“7cm”對應(yīng).

BAC

(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,則點(diǎn)B表示的數(shù)應(yīng)為，點(diǎn)C表示的數(shù)應(yīng)為

(2)若點(diǎn)A與C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點(diǎn)8表示的數(shù)；

(3)若點(diǎn)A,B,C表示的三個(gè)數(shù)的和為2,試求數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)刻度尺上的刻度值.

mn

20.(2024秋?襄都區(qū)期末)規(guī)定三角形框_△”表示abc,方框“I__________I"表示/'+儼.

/A23

例如：算式__________1=(-1)X19X3-(24+31)=-57-(16+3)=-5779=-

76.

已知：算式/-3__________I,其中方框中缺少了一個(gè)數(shù)字，用表示.

(1)若?表示3.

①求已知中的算式的值;

(2)如果已知中的算式的值為-白，直接寫出?表示的數(shù).

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之有理數(shù)（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ADDBBBBACA

一.選擇題（共10小題）

1.（2025春?重慶月考）下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.9B.-8C.0.6D.-n

【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較.

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】A

【分析】根據(jù)“正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小”解答即可.

【解答】解：：9>0.6>-TT>-8,

???其中最大的數(shù)是9.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是熟練掌握正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

2.（2025?晉州市模擬）如表是2025年2月我省部分城市日均最低氣溫，其中日均最低氣溫最低的城市是

（）

城市石家莊滄州唐山張家口

日均最低氣溫-3℃-4℃-8℃-11℃

A.石家莊B.滄州C.唐山D.張家口

【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較；正數(shù)和負(fù)數(shù).

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】D

【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大，其值越小比較出四個(gè)城市平均最低氣溫

的大小即可得到答案.

【解答】解：：-11<-8<-4<-3,

其中日均最低氣溫最低的城市是張家口.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)比較大小以及正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握正負(fù)數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?碑林區(qū)校級二模）計(jì)算：5X（-3）=（）

A.2B.-2C.15D.-15

【考點(diǎn)】有理數(shù)的乘法.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘，進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：5X（-3）=-15,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

4.（2025?隴南模擬）-2025的絕對值是（）

11

A.-2025B.2025C.D.-------

20252025

【考點(diǎn)】絕對值.

【答案】B

【分析】根據(jù)絕對值的定義即可解決問題.

【解答】解：由題知,

-2025的絕對值是2025.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值，熟知絕對值的定義是解題的關(guān)鍵.

22-132-2242-3220242-20232

5.（2024秋?番禺區(qū)期末）計(jì)算--------+---+-^―+-+

354047

A.2022B.2023C.2024D.2025

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)算式，得到每個(gè)加法算式結(jié)果為1,再根據(jù)共有2023個(gè)算式，即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=1+1+=+…+黯

Du/4U4*/

=1+1+1…+1

2023,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是觀察每個(gè)算式的特征來計(jì)算.

6.(2025?天河區(qū)校級一模)如圖，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A3=4,那么點(diǎn)A表示的數(shù)

是()

A.-3B.-2C.-1D.3

【考點(diǎn)】數(shù)軸；相反數(shù).

【專題】幾何直觀.

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)所表示數(shù)的特征及相反數(shù)的定義即可解決問題.

【解答】解：由題知，

因?yàn)辄c(diǎn)A,2在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，

所以點(diǎn)A表示的數(shù)與點(diǎn)B表示的數(shù)之和為0.

又因?yàn)?8=4,且點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，

所以點(diǎn)A表示的數(shù)為-2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)軸及相反數(shù)，熟知數(shù)軸上的點(diǎn)所表示數(shù)的特征及相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.(2025?凱里市校級一模)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里記載了利用算籌實(shí)施“正負(fù)術(shù)”的方法，圖1

表示的是計(jì)算5+(-2)的過程.按照這種方法，圖2表示的過程應(yīng)是在計(jì)算()

^^0000000p0P0000

000000000000000O

988888O

888888888888888888O8O8888

000O

000000000000O0O00

00000000000O0O

20O8888888888Q8O8O88

88888888889^.QP

/7P

圖1圖2

A.(-3)+(-4)B.3+(-4)C.(-3)+4D.3+4

【考點(diǎn)】用數(shù)字表示事件；有理數(shù)的加法；數(shù)學(xué)常識.

【專題】實(shí)數(shù)；推理能力.

【答案】B

【分析】由圖1可以看出白色表示正數(shù)，黑色表示負(fù)數(shù)，再觀察圖2即可列式.

【解答】解：由題意得，圖1,黑色表示負(fù)數(shù)，白色表示正數(shù)，

則圖2表示的是在計(jì)算3+（-4）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是理解圖1表示的計(jì)算.

8.（2025?天鎮(zhèn)縣模擬）2025年春季新學(xué)期開學(xué)第一天，大同市的最高氣溫為3℃,最低氣溫為-13℃,

則這一天的溫差是（）

A.16℃B.10℃C.-16℃D.-10℃

【考點(diǎn)】有理數(shù)的減法；正數(shù)和負(fù)數(shù).

【專題】應(yīng)用題；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，大同市的最高氣溫為3℃,最低氣溫為-13℃,溫差=最高氣溫-最低氣溫，代入

數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解答】解：3-（-13）=16（℃）.

答：這一天的溫差是16℃.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法、正數(shù)和負(fù)數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是用減法計(jì)算.

9.（2025?橋西區(qū)一模）以下是四個(gè)城市中某天某一時(shí)刻的氣溫，其中氣溫最低的為（）

北京濟(jì)南太原鄭州

0℃-2℃-3℃2℃

A.北京B.濟(jì)南C.太原D.鄭州

【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較；正數(shù)和負(fù)數(shù).

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】C

【分析】“根據(jù)正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小”，即可得到答案.

【解答】解：：-3℃<-2℃<0℃<2℃,

???以上四個(gè)城市中其中氣溫最低的為太原，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)比較大小，掌握比較有理數(shù)大小的方法是關(guān)鍵.

41

10.（2025?邯山區(qū)校級一模）如圖，不完整的數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，分別表示二一和1-X,且點(diǎn)A在點(diǎn)B

左側(cè)，則x的值可以是（）

AB

______ii>

4—%1—x

2

A.-3B.-1C.0D.2

【考點(diǎn)】數(shù)軸.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】A

4*3c

【分析】根據(jù)數(shù)軸得出——<1-%,求出x的取值范圍，即可解答.

2

4—X

【解答】解：由數(shù)軸可知，一<l-x,

2

4-x<2-2x,

解得：x<-2,

的值可以是-3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸、解一元一次不等式，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?西城區(qū)校級模擬)令”為正整數(shù).我們給出如下定義：

定義:n的“弱二進(jìn)制分解”指的是將n寫成若干2的幕次的和的形式,且相同幕次的項(xiàng)至多出現(xiàn)兩個(gè).例

如13=23+21+21+2°,13=22+22+21+21+2°,就是13的兩個(gè)不同的弱二進(jìn)制分解，我們分別用記號13

=(1021)也和13=(221)皿來表示這兩種分解.在這個(gè)記號中，從右往左數(shù)的第左位上的數(shù)字表示

n的弱二進(jìn)制分解中含有的2bl的個(gè)數(shù)，右下角的“卬2”中的“w”是英文單詞“weak”的首字母，注

意二進(jìn)制分解是一種特殊的弱二進(jìn)制分解.

(1)寫出11的一種不同于二進(jìn)制分解的弱二進(jìn)制分解：11=(1011或211)1V2；

(2)如果一個(gè)數(shù)只有一種弱二進(jìn)制分解，我們便稱其為“閑愁數(shù)”.則前m個(gè)“閑愁數(shù)”的和為2"計(jì)1

-in-2(用含機(jī)的式子表示).

【考點(diǎn)】有理數(shù)的乘方；列代數(shù)式.

【專題】新定義；推理能力.

【答案】1011或211；2m+1-m-2.

【分析】理解新定義的內(nèi)容，按定義內(nèi)容求解即可.

【解答】(1)11=23+21+2°,11=22+22+21+2°,

故11=(1011)川2或(211)w2,

故答案為：1011或211；

(2)若一個(gè)數(shù)只有一種弱二進(jìn)制分解，如1=2°,3=21+2°,7=22+21+2°,

諸如此類每一次幕都有且只能出現(xiàn)一次，

故前加個(gè)“閑愁數(shù)”的和為〃?X20+(/77-1)X21+-+lX2ml=2m+1-m-2,

故答案為：2"1-m-2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了新定義、有理數(shù)的乘方等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

12.(2025春?西城區(qū)校級月考)“北京八中好聲音”彰顯了八中學(xué)子的音樂素養(yǎng)，是八中素質(zhì)教育的一種

體現(xiàn)，為了更好的準(zhǔn)備節(jié)目，學(xué)校提供場地供學(xué)生進(jìn)行彩排.現(xiàn)有A,B,C,D,E五個(gè)節(jié)目需要彩排.所

有演員到場后節(jié)目彩排開始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(單位：相加)如下：

節(jié)目ABCDE

演員人數(shù)686113

彩排時(shí)長1051558

已知每位演員只參加一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場時(shí)間是指第一個(gè)彩排節(jié)目開始到這位演員參演的節(jié)目彩

排開始的時(shí)間間隔(不考慮換場時(shí)間等其它因素).

(1)若兩個(gè)節(jié)目不能同時(shí)彩排，本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，應(yīng)按E順序彩排

才能使這34名演員等待總時(shí)間最短；

(2)為節(jié)約學(xué)生的時(shí)間，將場地分成兩部分可供學(xué)生同時(shí)彩排兩個(gè)節(jié)目，則這34名演員等待總時(shí)長最

少為105min.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】DfBfA--CfE；105.

【分析】(1)根據(jù)題意本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，按照人數(shù)排列和彩排時(shí)間排列，即可求解；

(2)人數(shù)較多的是節(jié)目2,D,故2,。同時(shí)進(jìn)行，其次人數(shù)較多的是A,C,進(jìn)而計(jì)算等待總時(shí)長，

即可求解.

【解答】解：(1)根據(jù)題意應(yīng)按。-B-A-C-E順序彩排才能使這34名演員等待總時(shí)間最短；

故答案為：DfBfA--CfE.

(2)將場地分成兩部分可供學(xué)生同時(shí)彩排兩個(gè)節(jié)目，

人數(shù)較多的是節(jié)目3,D,故2,。同時(shí)進(jìn)行，其次人數(shù)較多的是A,C,

按照B-C順序，則等待時(shí)間分別為：6X5+3X(10+5)=75加“，6X5=30加小

75+30=105加小

故答案為：105.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

13.（2025春?研□區(qū)月考）我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄的二十四節(jié)氣如圖所示，從夏

至到冬至“號長”逐漸變大，相鄰兩個(gè)節(jié)氣“號長”變化的量均相同.若秋分的“辱長”是7.5尺，霜

降的“署長”是9.5尺，則小雪的“署長”是11.5尺.

號上逐漸莖少

春分

/雨水驚接0清明谷雨、

60小滿

/小罟

120大耳

標(biāo)長逐漸變大

二十四節(jié)氣

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)常識.

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】11.5.

【分析】根據(jù)相鄰兩個(gè)節(jié)氣署長減少或增加的量相同，觀察從冬至到夏至號長變化次數(shù)即可求出相鄰兩

個(gè)節(jié)氣辱長減少或增加的量，從而可得立夏的署長.

【解答】解：???相鄰兩個(gè)節(jié)氣署長減少或增加的量均相同，從秋分到霜降暑長變化2次，

...相鄰兩個(gè)節(jié)氣辱長減少或增加的量為（9.5-7.5）4-2=1（尺），小雪的號長為9.5+2X1=11.5（尺），

故答案為：11.5.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出相鄰兩個(gè)節(jié)氣號長減少或增加的

量.

14.（2025?鹿邑縣一模）定義一種新運(yùn)算*,規(guī)定運(yùn)算法則為："均為整數(shù)，且加W0）.例：

2*3=23-2X3=2,貝1J（-2）*2=8.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)定義，得（-2）*2=（-2）2-2X（-2）=8,解得即可.

【解答】解：（-2）*2=（-2）2-2X（-2）=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)新定義計(jì)算，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2025春?西城區(qū)校級月考）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛(wèi)生、整理床鋪、更換客用物品、檢

查設(shè)備共四個(gè)步驟某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：①“打掃衛(wèi)生”只能由甲完

成；每間客房“打掃衛(wèi)生”完成后，才能進(jìn)行該客房的其他三個(gè)步驟，這三個(gè)步驟可由任意工作人員完

成并可同時(shí)進(jìn)行；②一個(gè)步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進(jìn)行其他步驟;

③每個(gè)步驟所需時(shí)間如表所示：在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需

要26分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要43分鐘.

步驟打掃衛(wèi)生整理床鋪更換客用物品檢查設(shè)備

所需時(shí)間/分鐘9764

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】26；43.

【分析】根據(jù)題意列出算式求出甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需要的時(shí)間即可；按照題目要求讓甲

完成四間客房的打掃衛(wèi)生工作，同時(shí)乙，丙完成另外三項(xiàng)工作，最后一間客房的另外三項(xiàng)工作由甲、乙、

丙同時(shí)完成，計(jì)算出時(shí)間即可.

【解答】解：根據(jù)題意可知甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需要的時(shí)間為：9+7+6+4=26（分鐘），

甲先完成第1間客房的衛(wèi)生打掃工作，然后乙完成第1間客房的更換客用物品和檢查設(shè)備，丙完成再等

2分鐘，開始第1間客房的更換客用物品和檢查設(shè)備，乙完成后再進(jìn)行第2間客房整理床鋪工作，完成

后再等1分鐘，開始第3間客房的更換客用物品和檢查設(shè)備，丙完成第2間客房工作后，馬上再完成第

3間客房整理床鋪工作，當(dāng)甲完成第四間客房打掃衛(wèi)生工作后，三個(gè)人同時(shí)完成剩余的三項(xiàng)工作，這樣

所需要的時(shí)間為：

4X9+7=43（分鐘），

即最少需要43分鐘.

故答案為：26；43.

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意找出最優(yōu)方案是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

32

16.(2025春?楊浦區(qū)校級月考)(1)計(jì)算：-X(4.2-120%)-+0.4；

(2)求x的值：6：11=%：50%；

(3)已知：a：&=2],b：c=3.2：4,求〃：b：c.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；比例的性質(zhì)；解比例.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

_24

【答案】(1)—；(2)x=5；(3)64：180：225.

152

2

【分析】(1)先將120%轉(zhuǎn)化為1.2,0.4轉(zhuǎn)化為g,再利用有理數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)運(yùn)用比例的基本性質(zhì)(兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積)來解答即可；

(3)先求出〃：b的整數(shù)比，再把匕的份數(shù)化成一樣即可.

【解答】解：(1)原式=1X(4.2—1.2)—母+1

3025

=5X3-3X2

_9_5

=5-3

2

=15;

(2)6.-11=x：50%,

,6_1

6-5=X'2,

61

-%=-x6,

52

解得：％=|;

(3)由條件可得Z?：c=3.2：4,

41

:.a：b=^：2；=16：45=64：180,b：c=3.2：4=4：5=180：225,

???a：b：c—64：180：225.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解比例，比例的基本性質(zhì).熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

17.(2025?蜀山區(qū)校級一模)【問題呈現(xiàn)】我們知道，1+2+3+…+幾=盛產(chǎn)，那么如何求好+23+33+

…的值？

【觀察思考】請你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系：

【歸納猜想】

(1)13+23+33+43+53=225；

(2)13+23+33+43+-+n3=_[n(^l_1)]2_；

【拓展應(yīng)用】

求3333的值.

(3)11+12+13+-+20。??。。。????

???。。。????

???OOO。。。。。。????

???OOOooooooeee*

???OOOooooooee??

o00OOO??????????

o00OOO??????????

o00OOO??????????

??????????

/=/53=32/+2433=6253+才出武

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)225；(2)廣”、2；(3)41075.

【分析】(1)根據(jù)前四個(gè)圖直接推出結(jié)論，即可；

(2)由(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得13+23+33+-+/=(1+2+3+?+”)2,即可.

【解答】解：⑴"=12,

13+23=(1+2)2,

13+23+33=(1+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2

13+23+33+43+53=152=225；

故答案為：225；

(2)由(1)發(fā)現(xiàn)：

13+23+33+-+M3

=(1+2+3+…+〃)2

=廣（幾+1）］2.

故答案為：聲警

(2)原式=尸+23+33+…+2()3-(13+23+33+-+103)

=(1+2+3+-+20)2-(1+2+3+-+10)2

=[20(20+1)]2_[10(10+1)^

=41075.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：圖形的變化類，得出規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問

題是解本題的關(guān)鍵.

18.(2025?萬全區(qū)一模)【發(fā)現(xiàn)】兩個(gè)差為4的正整數(shù)的積與4的和總是某個(gè)正整數(shù)的平方.

【計(jì)算】

(1)一個(gè)數(shù)為3,另一個(gè)數(shù)為7,它們的差為4,則3X7+4是正整數(shù)5的平方.

(2)若較小的正整數(shù)是小算出這兩個(gè)正整數(shù)的積與4的和，并說明該數(shù)是哪個(gè)正整數(shù)的平方.

【延伸】兩個(gè)差為6的正整數(shù)的積與a的和始終為某個(gè)數(shù)的平方，若較小的正整數(shù)為相，求a的值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)5；

(2)(ZJ+2)2；a=9.

【分析】(1)根據(jù)乘方的定義解決此題；

(2)根據(jù)完全平方公式解決此題.

【解答】解：(1)3X7+4=25.

故答案為：5；

(2)由題意得，另一個(gè)較大的正整數(shù)為附+4,

這兩個(gè)正整數(shù)的積與1的和為w(力+4)+4=層+4〃+4=(w+2)2,

延伸：這個(gè)較小的正整數(shù)為，小則較大的正整數(shù)為〃什6,

'.m(771+6)+a=n?'+6m+a,

(m+3)2=in2+6m+9,

.'.a=9.

【點(diǎn)評】本題主要考查乘方、完全平方公式，熟練掌握乘方的定義、完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵.

19.(2025?邢臺一模)琪琪用刻度尺按如圖所示的方式畫一數(shù)軸(刻度尺上1cm為數(shù)軸上的1個(gè)單位長度)，

數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C恰好分別與刻度尺上的刻度值“4a〃”“0CM”和“7”/'對應(yīng).

BAC

(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,則點(diǎn)8表示的數(shù)應(yīng)為-6,點(diǎn)C表示的數(shù)應(yīng)為1；

(2)若點(diǎn)A與C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點(diǎn)8表示的數(shù)；

(3)若點(diǎn)A,B,C表示的三個(gè)數(shù)的和為2,試求數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)刻度尺上的刻度值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法；數(shù)軸；相反數(shù).

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)-6,1；

(2)-5.5；

(3)3.

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出答案即可；

(2)根據(jù)題意得到點(diǎn)A表示的數(shù)為-1.5,即可得到答案；

(3)設(shè)點(diǎn)2表示的數(shù)為x,則點(diǎn)A,C表示的數(shù)分別為x+4,x+7,列出一元一次方程進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,則點(diǎn)B表示的數(shù)應(yīng)為-6,

點(diǎn)C表示的數(shù)應(yīng)為-2+3=1；

故答案為：-6,1；

(2)由條件可知：點(diǎn)A表示的數(shù)為-1.5,點(diǎn)2表示的數(shù)為-1.5-4=-5.5；

(3)設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x,則點(diǎn)A,C表示的數(shù)分別為x+4,尤+7,

依題意，得x+(x+4)+(x+7)=2,

解得x=-3.

.?.原點(diǎn)對應(yīng)刻度尺上的刻度值為3.

【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)軸，解一元一次方程，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

A門

表示方框表示

20.(2024秋?襄都區(qū)期末)規(guī)定三角形框abc,“1__________1”F+y".

/A23

例如：算式/193\」_________=(-1)X19X3-(24+3])=-57-(16+3)=-57-19=-

76.

A：■

已知：算式/—3+1_________1,其中方框中缺少了一個(gè)數(shù)字，用“■”表示.

(1)若■表示3.

①求已知中的算式的值;

2■

93

②直接寫出的值;

(2)如果已知中的算式的值為-白，直接寫出■表示的數(shù).

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】新定義；實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)①-克；②-18；(2)2.

【分析】(1)根據(jù)新定義運(yùn)算代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)新定義列方程解答即可.

【解答】解：(1)①由題意得：

2X(-3)X1-?(92+33)=-64-(81+27)=-6+108=一表;

②由①得：

(92+33)+[2X(-3)Xl]=-18；

(2)設(shè)“■”為x,則:

2X(-3)X14-(92+3X)=一余，

92+3A=90,

3X=9,

解得x=2.

即■表示的數(shù)為2.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，新定義，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)

1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“-叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+號

叫做它的符號.

2、。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù).

3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量.具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，

一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.

2.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù).(一般取右方

向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

3.相反數(shù)

(1)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

(2)相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0夕卜，互為相反數(shù)的兩

個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

(3)多重符號的化簡：與