板塊二十與三角形、四邊形有關的計算

方法突破1全等構造

典例精講

技巧一"一線兩直角"T構"一線三直角"全等

[例1]（2022武漢中考）如圖，在RfABC中，ZACB=90。,AC>BC,,分別以△ABC的三邊為邊向外作三

個正方形ABHL,ACDE,BCFG,連接DF.過點C作AB的垂線CJ,垂足為J,分別交DF,LH于點I,K.若Q=5,CJ=4,則四

邊形AJKL的面積是.

技巧二張角相等（蝶形）一構"手拉手”全等

【例2]如圖，在△ABC中,AB=AC.D為△ABC外一點,且NBDC=NBAC=120。..若BD=4CD,AD

=2遍，則AC的長為.

技巧三"SA"一構"SAS”全等

【例3】如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F分別是線段OBQA上的一點.若.AE=BF.AB

=5,AF=1,BE=3,則BF的長為.

典題精練

技巧四隱"一線兩等角“一構"一線三等角“全等

1.（2024青山區）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,zBAD=NBCD=60°,AE1BCJ_BC于點E.若BC=11,C

D=3,則BE的長為.

技巧五隱夾半角-構旋轉全等

2.（2024漢南區）如圖，在△ABC中,.NB=30°?D是BC邊上一點，且ZDAC=60。“若BD=2,CD=2次,，則A

B的長為.

技巧六"長短手"（等腰+逆等線）一構"X"型全等

3.（2024武漢模擬）如圖，等邊三角形ABC的邊AB上有一點P,過點P作PE回AC于點E,Q為BC延長線上一

點且AP=CQ,連接PQ交AC于點D.若DE=2,則BC的長為

技巧七共端點等線段一構旋轉全等

4.（2023武漢二調）如圖,D是△4BC內一點，z/BDC=90。,BD=CD,AB=20,AC=21,AD=受，則BC

的長是

A

方法突破2相似構造

典例精講

技巧一隱垂直T構"垂十字"型相似

[例1]（2020武漢中考）如圖折疊矩形紙片ABCD,使點D落在AB邊上的點M處EF為折痕,AB=1,AD=

2.設AM的長為t,用含t的式子表示四邊形CDEF的面積是.

技巧二共頂點等角-構旋轉型相似

【例2】（2023漢陽區）如圖，在AABC中,AB=AC/BAC=120°,點D在CB的延長線上，點E在BC上，目N

DAE=120°.若AB=2V3,DB=3,則CE的長為.

A

DBEC

典題精練

技巧三分點件點）+平行一構"A（X）”型相似

1.（2024武漢中考改）如圖，在四邊形ABCD中,ADllBC,E是AB的中點,F是BC上一點EF與BD相交于點G,

△BEG/BFG的面積分別記為SiS.若.4D=kBF,,則用含k的式子表示苦勺值是

32

B-C

技巧四"一線兩等角“一構"一線三等角"型相似

2.（2024武昌區）如圖，在AABC中,AB<BC,BD為△28C的角平分線，G為A4BC的內心，過點G作EF_LB

D分別交AB,BC于點E,F.若AE=3,FC=6“則EF的長為.

方法突破3圖形變換

典例精講

技巧一平移變換一拼接線段

［例1］如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,線段EF在邊AB上，且EF=1,G是AD的中點，連接GE,CF.若NAEG

=NBFC,GE+CF=3魚則矩形ABCD的面積為.

技巧二旋轉變換一構"手拉手"型

【例2】如圖，在RfABC中/ABC=9（T,AB=3,BC=5,E是平面內一點，且AE=2而，連接CE以CE為斜邊

作等腰直角三角形CDE.F是AE上的一點，連接BD,BF,且NFBD=45。,貝!JAF的長為.

典題精練

技巧三平移變換一構特殊圖形

1.（2024重慶改）如圖,D是等邊AABC的邊BC上的一動點（（BD<CD）,,點D關于直線AB的對稱點為E,

F是AD上的一動點，且NEFD=60。,,延長EF交AC于點G,則黑Ilk的值為--------

A

BD

技巧四翻折變換一構二倍角

2.（2024漢陽區）如圖，在四邊形ABCD中,BD_1.CD.若.AB=7,CD=12,zABD=2/BCD,2zBAC+zACB=

90。,,則AC的長為.

類型突破1中點的運用

典例精講

技巧一中點+"中點”一構中位線

【例1】如圖,D為AABC內的一點,E為AC的中點連接DE,=90。,,且NABD=NEDC.若DE=3,BC=1

0,則AB的長為.

技巧二中點+直角-構中位線+斜邊上的中線

【例2】（2024武漢中考改）如圖，在四邊形ABCD中，AD\\BC,^BCD=是AB的中點點F在BC上,

EF與BD交于點G,△ABDACBD的面積分別記為SQ?.若BG=GF,S1=g廁點勺值為.（結果用含

Dr

k的式子表示）

技巧三等腰+直角T（隱中點）構斜邊上的中線

【例3】如圖，在四邊形ABCD中,AD=3,CD=4/ABC=NADC=9（T,BD=BC,則AB的長為.

技巧四中點+平行一構"X"型全等

[例4]（2024宜昌）如圖,E是菱形ABCD的邊AB的中點,F是邊AD上一點，連接EC,EF若AE=3,EF=

2AF=4“則CE的長為.

典題精練

1.（2024山東四市）如圖,E為口ABCD的對角線人（：上的一^^<=5（￡=1,連接口￡并延長至點F,使EF=DE,

連接BF,則BF的長為.

技巧五中點十等腰一構"三線合一"

2.（2023東西湖區）如圖,F為MBC的邊BC上一點,D為AC的中點,BA=BC=6,CA=CF=4,連接DF,則DF的

長為.

A

D

BFC

技巧六中線倍長（中心對稱）一構"X"型全等

3.（2024洪山區）如圖，在AABC中/C=45°,D是AB的中點，點E,F分別在邊BC,AC上，且NEDF=90°,連接EF.

若AF=3VXEF=5,則BE的長為.

技巧七中點+限直角一構斜邊上的中線

4.（2023重慶）如圖在正方形ABCD中,0為對角線AC的中點,E為正方形內一點連接BE,且BE=BA,連接CE

并延長，與NABE的平分線交于點F,連接OF.若AB=2,則OF的長為.

類型突破2角平分線的運用

典例精講

技巧一隱角平分線+"雙垂"一構雙全等

【例1］如圖，在四邊形ABCD中,AC=AD/ADB=NACB=30。,若.BD=5,BC=3,3，則AB的長為

技巧二角平分線+垂直一構"三線合一"（等腰）

【例2】（2023武昌區）如圖在SBC中,AB<BC,BD平分團BD于點D,連接CD.若tanzBAC=2,

AB-AC=15,!J1I|ABCD的面積為.

典題精練

技巧三角平分線為軸一構翻折型全等

1.（2024包頭）如圖,在菱形ABCD中,，NABC=60°,AB=6,,E是對角線AC上的一點，FF0AB于點F,連

接DE.若CE=AF廁DE的長為,

技巧四角平分線十"平行"一構等腰三角形

2.如圖，在RfABC中,NBAC=901D是BC邊上的一點，連接AD,將△2CD沿AD所在直線折疊，點C恰好

落在邊AB上的點E處.若DB=2V5,D￡=逐，則BE的長為.

典例精講

技巧一知特殊角一等角代換構直角

【例1】如圖，在AABC中,AB=AC=4/BAC=120°,點D,E在邊BC上，且NDAE=60°.若tan4ME=|,則B

D的長為.

技巧二發現特殊角T構直角三角形

【例2】（2023貴州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,力。=百,E為矩形內一點，且NBAE=75°/BCE=60°,

則CE的長為.

典題精練

技巧三共邊二倍角一延長構等腰三角形

1.如圖，在四邊形ABCD中,NBCD=9（T,AB=AC=5,BC=6,且.N4DB=2/CBD貝UAD的長為.

技巧四軸對稱（翻折）一構二倍角

2.（2023武漢外校）如圖，在RfABC中/ABC=90°,D是AB上一點，且4CD=2/BCD.若AD=26,BD=1L則

BC的長為.

類型突破4列函數式

典例精講

技巧一共線共端點線段之比一構"X（A）”型相似

[例1]（2024武漢中考）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙應是由四

個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD.直線MP交正方的兩邊于

點E,F,記正方形ABCD的面積為A正方形MNPQ的面積為Sz.若BE=kAE（k>l）,則用含k糧子表小鄙值是

$2一

技巧二翻折的對應角相等T導全等或相似

【例2】（2023武漢中考）如圖,DE平分等邊MBC的面積，折疊.△BDE得到hFDE,AG分別與DF,EF相交于

點G,H.若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的長是

典題精練

技巧三軸對稱（翻折）一線段相等列方程

1.（武漢中考）如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點D落在邊AB上的點M處，EF為折痕，AB=1,AD=2.設A

M的長為t,用含t的式子表示四邊形CDEF的面積是.

技巧四"三垂直"一構"一線三直角"相似

2.（2024研口區）如圖，在正方形ABCD中,E,F分別在AB,BC邊（不含端點）上運動，滿足AE=2BF,正方形EFG

H的邊HG所在直線交AD于點I,交BC于點J,記四邊形AEHI的面積為SJFGJ的面積為S2,zBEF為a,用

含a的三角函數的式子表示金的值是

32

實踐操作1動態圖形與分類討論

典例精講

類型一圖形狀態變化的分類討論

【例】（2024河南改）定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.如圖，在RbABC

中，4=90。,48=3,8。=4,，分別在邊BC,AC上取點M,N,使四邊形ABMN是鄰等對補四邊形.當該鄰等對補

四邊形僅有一組鄰邊相等時，BN的長為.

典題精練

類型二旋轉方向不明的分類討論

1.（2023綏化）在等腰三角形ABC中，4=120。,48=2.將AABC繞點B旋轉45。得到△不BC,（點A與

不對應），延長。不交直線BC于點D,則力力D的長為.

類型三動點位置不明的分類討論

2.（2024上海）在。4BCD中，/4BC是銳角，將CD沿直線I翻折，使得點C,D的對應點（C；D都恰好落

在直線AB上.若4。':力&8。=1:3:7,則cosN4BCC的值為.

實踐操作2圖形拼接

典例精講

【例】（2024東湖高新區）如圖L在RfABC中，/4CB=90。缶。<BC）,四邊形ACDE,四邊形CBFG都是正

方形，過C,B兩點將正方形CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向分割成四部分，把這四個部分與正方形AC

DE,AABC一起拼成圖2,點H在BP上.若翳=澗tanzBAC的值為.

典題精練

類型一方案選擇+相似

1.（2024青山區）如圖，將一個邊長為8的正方形紙片沿圖中的3條裁切線剪開后，恰好能拼成一個鄰邊不相等

的矩形.若裁切線AG的長為10,則裁切線MN的長是.

類型二面積關系+方程

2.（2024研口區）如圖1,四邊形ABCD紙片滿足.AB\\CD,CD<AB,AD1AB,AD=8,BC=10把該紙片折疊，

折疊后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的正方形EFGH（如圖2），則CD的長是.

板塊二十與三角形、四邊形有關的計算

方法突破1全等構造

典例精講

技巧一“一線兩直角”一構“一線三直角”全等

【例1】（2022武漢中考）如圖，在RtAABC中,/ACB=9（F,AC>BC,分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方

形ABHL,ACDE,BCFG,連接DF.過點C作AB的垂線CJ,垂足為J,分別交DF,LH于點I,K.若CI=5,CJ=4廁四邊形

AJKL的面積的80.

解:過點D作DMLCI,交CI的延長線于點M,過點F作FN±CI于點N.

AACJ^ACDM,ABCJ^ACFN,AJ=CM,DM=CJ=NF=4,

ADMI^AFNI,DI=FI,MI=NI,VZDCF=90°,

；.DI=FI=CI=5,在RtADMI中，MI=<D12-DM2=V52-42=3,

NI=MI=3,AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-Nl=5-3=2,

；.AB=AJ+BJ=8+2=10,：四邊形ABHL為正方形,AL=AB=10,

四邊形AJKL為矩形，，四邊形AJKL的面積為ALAJ=10x8=80.

技巧二張角相等（蝶形）一構“手拉手”全等

【例2]如圖，在△ABC中,AB=AC,D為△ABC外一點，且.乙BDC=Z.BAC=120。.若BD=4CD,AD=2V3則

AC的長為NV7,

解:在BD上取點E,使BE=CD,連接AE.VZBDC=ZBAC,

ZABE=ZACD.VAB=AC,/.AABE^AACD(SAS),

AE=AD,ZBAE=ZCAD,ZEAD=ZBAC=120°,.\ZADE=

NAED=30°,.,.可求DE=y[3AD=6.設BE=CD=a,貝!]BD=a+6,

...a+6=4a,；.a=2,即BD=8,CD=2過點A作AH_LCD于點H,則

AH=V3,DW=3,CH=5,AC=y/AH2+CH2=(V3)2+52=2V7

技巧三“SA”一構“SAS”全等

【例3】如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F分別是線段OB,OA上的一點.若AE=BF,AB=5,

AF=1,BE=3,貝!]BF的長為_V22.

解在OA上取一點M,使AM=BE=3過點B作BHLOA于點H.

四邊形ABCD是矩形,，ZOAB=ZOBA.VAB=BA,

/.△ABE^ABAM(SAS),.，.BM=AE=BF.VBHXFM,

1-1

???FH=HM=~FM.-：AF=1,AM=3,;FH=：Q4M-4F)=1,AH=2,

..BH2=AB2-AH2=52—22=21,BF=y/BH2+FH2=V22.

典題精練

技巧四隱“一線兩等角”T構“一線三等角”全等

1.（2024青山區）如圖，在四邊形ABCD+.AB=AD,ZBAD=ZBCD=60°,AE±BC于點E.若BC=11,CD=3,則BE的

長為|.it.

解:在CB的延長線上取一點F,連接AF,使/F=60。,連接BD.[[\

卜BE

VAB=AD,ZBAD=ZBCD=60°,.,.AABD是等邊三角形，

/.AB=BD,ZABD=ZF=ZBCD=60°,

可證△ABF^ABDC(AAS),AF=BC=11,BF=CD=3.

1115

AE1BC,???EF=AF-coszF=X-=BE=EF-BF=-

222

技巧五隱夾半角T構旋轉全等

2.(2024漢南區)如圖,在4ABC中,/B=3(F,D是BC邊上一點，且/-DAC=60。“若BD=2,CD=2遍，則AB的

長為—2舊+2.

解:延長BC至點E,使AE=AB.：/B=30o,；./AEB=/B=30o,，/BAE=12(r；|^AABD繞點A逆時針旋轉120。

得到△AEF,連接CF,過點F作FG_LCE于點G由旋轉知/DAF=12(T,AD=AF,：NDAC=60。,；./DAC=NFAC,；.

△ACD^△ACF,/.CF=CD=2V3.??EF=BD=2,ZAEF=ZB=30°,AZFEG=60°,EG=1,FG=WCG=

VCF2-FG2=3,BE=6+2百，，可求AB=~BE=2V3+2.

技巧六“長短手”(等腰+逆等線)-構“X”型全等

3.(2024武漢模擬)如圖.等邊三角形ABC的邊AB上有一點P,過點P作PE_LAC于點E,Q為BC延長線上一

點，且AP=CQ,連接PQ交AC于點D.若DE=2,則BC的長為4.

解作PF〃:BC交AC于點F.VAABC是等邊三角形,PF〃:BC,

ZAPF=ZAFP=ZB=ZACB=60°,AAAPF是等邊三角形,.,.AP=PF,；AP=CQ,，PF=CQ.：ZFPD=ZQ,ZPD

F=ZQDC,/.APFD^AQCD(AAS),FD=CD.?/PE±AC,AP=PF,/.AE=EF,Z.AE+DC=EF+FD,泮D=1AC=2,：.

BC=AC=4.

技巧七共端點等線段一構旋轉全等

4.（2023武漢二調）如圖,D是小ABC內一點/lBDC=90°,BD=CD,AB=20,AC=21,AD=竽，則BC的

長是—V337.

解符△DAC繞點D順時針旋轉90。得到△DEB,BE交AC于點F,連接AE,則乙4DE=90°,BE1AC,DE=

AD=竽,BE=4C=21,.-.AE=<AD2+DE2=13B.vAB2-BF2=AF2=AE2-EF2,：.202-BF2=132-

(21-BF)2,

解得BF=16,.-.AF=yjAB7--BF2=V202-162=12,

.CF=AC-AF21-12=9,BC=VBF2+CF2=V162+92=V337.

方法突破2相似構造

典例精講

技巧一隱垂直一構“垂十字”型相似

【例1】（2020武漢中考）如圖折疊矩形紙片ABCD,使點D落在AB邊上的點M處,EF為折痕,AB=1,AD=2.

設AM的長為t,用含t的式子表示四邊形CDEF的面積是二-%+1.

44

解:連接DM,過點E作EGXBC于點G股DE=x=EM廁EA=2-x,(2-x)2+t2=x2,%+1,

DE^~+1,由折疊得EFXDM,VEG±AD,.-.AADMAGEF,：.黑=||,vEG=AB=1,FG=/,???CG=DE=

t2?「2i14-2i

1+L；.?.CF=---t+l,.：S^cDEF=-^F+DEyCD=---t+l.

技巧二共頂點等角-構旋轉型相似

[例2]（2023漢陽區）如圖，在△ABC中,AB=AC,NBAC=120。,點D在CB的延長線上，點E在BC上，且/D

AE=120。若AB=2遍,DB=3,則CE的長為.

解:在AC上取一點F,使EF=EC,貝！］NEFC=/C=/ABC=30o,/ABD=/AFE=15(r,CF=V3EF.VZDAE=ZBA

C=120°,ZDAB=NEAF,；.AABD^AAFE,AB=BDF.設EF=EC=a，貝！1等=：,.?.4尸=穿戶CF=WEF=

yj3a,2?。+>j3a=2V3,a-g即CE—

典題精練

技巧三分點(中點)+平行->構“A(0型相似

1.（2024武漢中考改）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,E是AB的中點,F是BC上一點,EF與BD相交于點G,

△BEG，ABFG的面積分別記為S1,S2若AD=kBF,則用含k的式子表示的值是（

解:過點E作EM〃AD,交BD于點M,則ABEM△BAD,=士設BF=a，則AD=kBF=ka,EM=-

ADBA22

iFGFM-kaiq」FG1

4D=-ka,：-ADWBC,.：EM||BC，.必EMGAFBG,.：-=-=^=-k..：=-=-k.

技巧四“一線兩等角”一構“一線三等角”型相似

2.（2024武昌區）如圖，在△ABC中,AB<BC,BD為&ABC的角平分線,G為△ABC的內心，過點G作EFXBD

分別交AB,BC于點E,F.若AE=3,FC=6廁EF的長為_6VL.A

解:連接AG,CG.：BD平分/ABC,；.可設NEBG=NFBG=a.

VEFXBD,/.ZEGB=ZFGB=90°,.\ZBEG=ZBFG=90°-a,B匕~~'

.*.BE=BF,.*.EG=FG,VG是△ABC的內心,；.NAGC=/AEG=/CFG=90°+a,.-.AAEG=KGFC,

GFFC

EG-GF^AE-FC=3x6=18,；.EG=GF=3V2,/.EF=EG+FG=6V2

方法突破3圖形變換

典例精講

技巧一平移變換一拼接線段

［例1］如圖在矩形ABCD中,AB=2AD,線段EF在邊AB上，且EF=1,G是AD的中點，連接GE,CF.若/AEG

=NBFC,GE+CF=3或貝U矩形ABCD的面積為8.

解：在CD上截取CH=EF=1,連接HE并延長交DA的延長線于點G1則可證四邊形EFCH是平行四邊形,

HE//CF,HE=CF,ZBFC=ZBEH=ZAEG'=ZAEG,A可證△AEG之△AEG',AG'=AG,G'E=GE,GE+CF=G'E+

HE=G'H=3/.設AD=2x,則AB=DC=4x,DG'=3x,DH=4x-1,..在RtAG'DH中，（3x）2+（4x_i）2=（3

V2）,，即225x2-8%-17=0,.-.x=1（負值已舍）,...AD=2,AB=4,.?.矩形ABCD的面積為8.

技巧二旋轉變換一構“手拉手”型

【例2】如圖，在RtAABC中,NABC=9（T,AB=3,BC=5,E是平面內一點，且AE=2低連接CE以CE為斜邊作

等腰直角三角形CDE.F是AE上的一點，連接BD,BF,且/FBD=45。,則AF的長為斗.

解將△BDC繞點D順時針旋轉90。得到△HDE延長HE交BC于點G,連接BH.

,/AHDE^ABDC,；.ZEHD=ZCBD,EH=BC=5,HD=BD.

ZBDH=90°,.\ABDH是等腰直角三角形,NBGH=NBDH=90。，

乙HBD=45°=NFB。,...點F在BH上NABC=90°,；.AB〃EH,

典題精練

技巧三平移變換一構特殊圖形

1.(2024重慶改)如圖,D是等邊△ABC的邊BC上的一動點(BD<CD),點D關于直線AB的對稱點為E,F是A

D上的一動點，且/EFD=60。,延長EF交AC于點G,則等勺值為一等

DE3

解:過點B作BQ〃EG,分別交AD,AC于點P,Q,則/BPD=/EFD=60。,連接BE.

AABC是等邊三角形,二ZABD=ZC=60°,AB=BC.VZBPD=ZBAD+ZABQ=ZABQ+ZCBQ=60°,.\ZBA

D=ZCBQ,AABD^ABCQ,.".BD=CQ=BE.：ZEBD+ZC=120°+60°=180°,ABE〃AC,/.四邊形EBQG是平彳亍四

邊形,GQ=BE=CQ,即CG=2BE.A

技巧四翻折變換一構二倍角------\

DUC

2.（2024漢陽區）如圖,在四邊形ABCD中,BD_LCD.若AB=7,CD=12,NABD=2/BCD,2NBAC+/ACB=90。,則AC

的長為20.

解:將△BCD沿BC翻折得至[BCF,；.CF=CD=12,NBCF=/BCD,/CBF=

ZCBD.VZABD=2ZBCD,/.ZABD=ZDCF.VZBDC=ZF=90°,

AZDCF+ZDBF=180°,.\ZABD+ZDBF=180°,.\A,B,F三點共線，n

：.ZBAC+ZACF=90°.2ZBAC+ZACB=90°,ZBAC=ZBCF,

.^.△FCBs△FAC,.^.CF2=FB?FA.設FB=x,貝!]FA=x+7,.\x（x+7）=122,\

y

：.x=9或x=-16（舍去）AF=16,.-.AC=y/AF2+CF2=20.

類型突破1中點的運用

典例精講

技巧一中點+“中點”一構中位線

【例1】如圖,D為AABC內的一點,E為AC的中點，連接DE,NBDC=90。,且NABD=/EDC.若DE=3,BC=10,

則AB的長為8.

解:取BC的中點O,連接EO,DO,延長ED交AB于點F.VE是AC的中點,.，.€?〃人8,0￡=jAB.VZBDC=90°,

ZEDC+ZBDF=90°,XVZABD=ZEDC,.\ZABD+ZBDF=90°,.\ZAFE=90°,AZOED=ZAFE=90°.VZBDC=9

0°,BC=10,0是BC的中點，OD==5,.-.OE=<OD2-DE2=V52-32=4,二AB=2OE=8

BO

技巧二中點+直角-構中位線+斜邊上的中線

【例2】（2024武漢中考改）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,NBCD=9（）o,E是AB的中點點F在BC上,EF

與BD交于點G,AABD,ACBD的面積分別記為St,S2.若BG=GF,S1=g,則事勺值為一三;一.（結果用含k的

Dr

式子表示）

解:取BD的中點H,連接EH,CH.VZBCD=90°,.,.CH=BH,.\ZHBC=ZHCB.,ZBG=FG,ZGBF=ZGFB=ZHC

B,；.EF〃CH.：E是AB的中點,AD〃BC,；.EH〃AD〃BC,EH=^AD,...四邊形EFCH是平行四邊形,CF=EH=|

AD.BC=m.S]=kS2,-CD=k-mBC?CD,AD=km.t.CF=|km,BF=BC-CF=（1—，）m,

AD_km_2k

BF7n2-k.

技巧三等腰+直角一（隱中點）構斜邊上的中線

【例3】如圖，在四邊形ABCD中,AD=3,CD=4,NABC=NADC=9（r,BD=BC,則AB的長為V5.

解:延長DA交CB的延長線于點AC.VBD=BC,AZBDC=ZBCD.VZADC=90o,.\ZBDC+ZADB=

ZBCD+ZE=90°,ZADB=ZE,/.BD=BE=BC.ZABC=90°,；.AE=AC=^AD2+CD2=5,/.DE=AD+AE=

8,CE=^DE2+CD2=4V5BC=^CE=20.AB=<AC2-BC2=V5.

技巧四中點+平行一構“X”型全等

［例4］（2024宜昌）如圖,E是菱形ABCD的邊AB的中點,F是邊AD上一點.連接EC,EF.若AE=3,EF=2AF

=4,貝［|CE的長為工

解：延長FE交CB的延長線于點M.：四邊形ABCD是菱形，

AB=BC,AD〃BC.：E是AB的中點,AAEF^ABEM,

/.ME=EF=4,MB=AF=2,/.MC=MB+BC=8,

MB2ME41A,,人CEME

???—=一=—=一=一，???△MnBDCE△MEC,???一=—=2Q,

ME4MC82EBMB

；.CE=2EB=6.

典題精練

1.（2024山東四市）如圖,E為口ABCD的對角線AC上的一點，AC=5,CE=1,,連接DE并延長至點F,使EF=

DE,連接BF廁BF的長為3.

解:連接BD交AC于點0.：四邊形ABCD是平行四邊形,

0D=OB,OA=0C=^AC=j,.-.OE=OC-CE=|.

???EF=DE,OE=|BF,BPBF=2OE=3.AB

技巧五中點十等腰一構“三線合一”

2.（2023東西湖區）如圖,F為AABC的邊BC上一點,D為AC的中點,BA=BC=6,CA^CF==4,連接DF,則

DF的長為等.

解:連接BD,過點D作DEXBC于點E.：BA=BC,AD=CD=2,；.BD_1_人（2.由4DECs^BDCl^、CD2=CE-CB

,=I，=CF-C￡=4-1=與由DF2-EF2=CD2-CE?得DF=第.

3.（2024洪山區）如圖,在仆ABC中,/C=45*D是AB的中點，點E,F分別在邊BC,AC上，且/EDF=90。,連接EF.

若4F=3也,EF=5,則BE的長為1.

解:延長FD至點M,使DM=DF,連接ME,MB,則EM=EF=5,易證△BDM之△ADF,；.BM_LAF,

=3VX過點M作MN_LBC于點N,則NMBN=/C=45。，,,人

,MN=BN=—BM=3,.-.NE=VM￡2-MN2=4,BE=NE—BN=.

技巧七中點+隱直角-構斜邊上的中線

4.（2023重慶）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC的中點，E為正方形內一點，連接BE,且BE=BA,

連接CE并延長，與/ABE的平分線交于點F,連接OF.若AB=2,則OF的長為V2.

解:連接AF.：四邊形ABCD是正方形,.?.AB=BE=BC,/ABC=90c>,AC=V2AB=2VI，NBEC=/BCE,設/CB

E=a,貝!］乙BEC=|（180°-a）=90°-|cr,ZABE=90°-a,VBF平分/^ABE,：.乙EBF=2（90。-a）=45。一|a,；.

乙BFE=ZBEC-ZEBF=45°.VAABF^AEBF（SAS）,AZBFA=ZBFE=45°,

ZAFC=90°.VO是AC的中點，OF=j/lC=V2.

類型突破2角平分線的運用

典例精講

技巧一隱角平分線+“雙垂”T構雙全等

【例1］如圖，在四邊形ABCD中,AC=AD,/ADB=/ACB=30。,若BD=5,BC=3,則AB的長為亨.

解:過點A分別作直線BC,BD的垂線，垂足分別為M,N,AAAMC^AAND,AM=AN,MC=ND,AAABM^A

ABN,BM=BN,設BM=BN=x，則ND=5-x,MC=3+x,5-x=3+x,二x=1,MC=4,

???^ACB=30°,AM=^-MC=AB=<AM2+MB2="冬二

技巧二角平分線+垂直一構“三線合一”（等腰）

［例2］（2023武昌區）如圖，在△ABC中,AB<BC,BD平分/ABC,ADJ_BD于點D,連接CD.若tanZBAC=2,A

B.AC=15，!0I|ABCD的面積為哈

解:延長AD交BC于點E,過點C作CHXAB于點H.tanzBXC=罪=2,...可設CH=2a,則AH=a,AC=

V5a,???CH=^-AC,.-.S&ABC=\AB-CH=￡x卓?4B?AC=x手x15=30：4ABD=乙EBD,乙ADB=

乙EDB=90°,BD=BD,AAABD^AEBD,AD=ED,SAmE=SAmA,SAcmx=SAOA,.\SAND=|SAANC=3V5

典題精練

技巧三角平分線為軸一構翻折型全等

1.（2024包頭）如圖在菱形ABCD中,/ABC=6（F,AB=6,E是對角線AC上的一點EFLAB于點F,連接DE.若C

E=AF,則DE的長為NV7.

解:連接BE.1.'四邊形ABCD是菱形,AB=AD=BC,AC平分/BAD,△ABE△ADE（SAS）,BE=DE.VZAB

C=60°,.\AABC是等邊三角形,NEAF=60°,AC=AB=6.設CE=AF=a，則.AE=2a,EF=V3a,AC=AE+CE=2a+a=6,

a=2,，AF=2,EF=2V3,BF=AB-AF=4,DE=BE=VFF2+BF2=（2V3）2+42=2A/7.

技巧四角平分線十“平行”一構等腰三角形

2.如圖在RtAABC中,NBAC=9（r,D是BC邊上的一點，連接ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好

落在邊AB上的點E處.若DB=2?DE=低則BE的長為口_.

解:過點C作CF〃AB,交AD的延長線于點F,則NF=NDAE.由折疊知,DE=CD=V5,ZDAE=ZCAF,.\ZF=ZC

CF

AF,CF=CA.*.*CF〃AB,L：：：：…；/

CDFFD4.耳=黑=卷=；.可設CF=CA=a，則AB=2a,1

ADDL）zvbZ；/\

AEB

2

.?.在RtAABC中，a2+(2a)2=(3A/5)a=3(負值已舍),，AC=AE=3,AB=6,，BE=AB-AE=3.

類型突破3角度問題

典例精講

技巧一知特殊角一等角代換構直角

【例1】如圖,在小ABC中,AB=AC=4,NBAC=120。,點D,E在邊BC上，且/DAE=60。.若tan"4E=*則BD

的長為2遍-|.

解:過點A作AG_LBC于點G.：AB=AC=4,NBAC=12(r,；.AG=|AB=,BG=與AB=2W/CAG=^BAC=

oooo

60°=Z,DAE,Z-DAO-/-CAE,tanZ-DAG=tanZ,CAE=:.DG=-A,G=BD—BG—DG=2

2

技巧二發現特殊角-構直角三角形

[例2]（2023貴州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,E為矩形內一點，且/BAE=75o,/BCE=60。,

則CE的長為_V3-1_.

解:過點A作AGUE,交CE的延長線于點G,連接AC」.?四邊形ABCD是矩形,

__Df

BC=AD=V3,zB=90°,tan^BAC=絲=信?.zBXC=60°,Z.ACB=30"

AB

???AC=2AB=2「?,ZBAE=75°,ZBCE=60°,AZCAE=15°,ZACE=30°,

AAEG=45°,AG=EG=|/1C=1,CG=V3XG=V3,?-.CE=CG-EG=43

典題精練

技巧三共邊二倍角一延長構等腰三角形

1.如圖，在四邊形ABCD中,NBCD=9(T,AB=AC=5,BC=6,且.UDB=2NCBD,貝!]AD的長為早.

解:延長AD,BC交于點Q,過點A作AE±BC于點E.VAB=AC=5,BC=6,.\BE=EC=^BC=3,.-.AE=

y/AB2-BE2=4.v4ADB=4CBD+BZQ=2ZCBD,.\ZCBD=ZQ,ADB=DQ.VZBCD=90°,.\BC=CQ=6,?1?EQ

=9,AQ=yjAE2+EQ2=V97.CD〃幅.嚼=窘=1,AD==季

技巧四軸對稱（翻折）一構二倍角

2.(2023武漢外校)如圖，在RtAABC中,NABC=9(T,D是AB上一點，且/ACD=2/BCD.若AD=26,BD=11廁B

C的長為工

解:將△BCD沿CD翻?折得至以ECD,延長DE交AC于點F.由翻折知DE=BD=1l,NDEC=NFEC=/B=90。，

ZDCE=ZBCD.VZACD=2ZBCD,.\ZDCE=ZFCE,.*.ADCE^AFCE,.,.EF=DE=11,DF=22.

ACAD7

ZADF+ZBDE=ZBDE+ZBCE=180°,ZADF=ZBCE=2ZBCD=^ACD,ADF△ACD,：.—=—=—=