2025年中考數學二輪復習：圖形的相似提分刷題練習題

一、相似型

1.如圖，將圖形用放大鏡放大，應該屬于（）.

A.平移變換B.相似變換C.旋轉變換D.對稱變換

2.將等邊三角形，菱形，矩形，正方形各邊向外平移1個單位并適當延長，得到如圖所示的4組圖

形，變化前后的兩個多邊形一定相似的有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

3.一塊矩形綢布的長AB=a米，寬AD=1米，按照圖中所示的方式將它裁成完全相同的三面矩形

彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，那么a的值為（）

A.3B.V3C.3V3D.學

二'平行線平分線段成比例

4.下列四組線段中，不成比例的是（）

A.3,9,2,6B.1,V3,VLV6C.1,2,4,8D.1,2,3,9

5.點把AB分割成AP和PB兩段，如果AP是PB和AB的比例中項，那么下列式子成立的

是（）

APB_V5+1B4P_店TcPB_商TDAP-

'AP~'PB~'AB~'AB~^T~

6.如圖，在△ABC中，D、E分另lj是ZB、4C上的點，DE||BC,BE與CO相交于F,則下列結論一定

正確的是（)

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A

AD_AEDF^_AE_nDF_EF

B.c

AB~ACCF-CEBF~CF

7.如圖，hII%II，3，直線a,b與d%，b分別交于點4B,C和點D,E,F,若AB：BC=

2：3,EF=15,則DE的長是（）

C.4D.10

8.如圖，E是△ABC的中線AD上一點，CE的延長線交AB于點F,若AF=2,ED=3AE,則AB

的長為_________

9.如圖，正方形ABC。的對角線交于點O,乙B4C的平分線交于G,交BC于F,求證：0G=

抑.

BFC

三、相似三角形判定

10.如圖，在△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三

角形與原三角形不相似的是（）

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A

78°

C

R

11.如圖，已知Z1=Z2,那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC?AZDE的是（）

nABAC

A.Z.C=Z..EB.zB=Z.ADED=

AD~DE-ADAE

12.已知：D、E是△力BC的邊48、力。上的點，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4,求證：△

ABC-△AED.

13.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，4、B、C、。均在格點上.

（1）在圖①中，器的值為

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(2)利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在上找一點P,使ZP=3；

②如圖③，在BD上找一點P,使/APBs/CPD.

14.下列圖形中，與如圖所示的△ABC相似的是()

15.如圖，等邊三角形AACB的邊長為3,點P為BC上的一點，點D為AC上的一點，連接AP、

PD,ZAPD=60°.

(1)求證：△ABP^APCD；

(2)若PC=2,求CD的長.

16.如圖，△ABC中，ZBAC是直角，過斜邊中點M而垂直于斜邊BC的直線交C4的延長線于E,交

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AB于D,連接4M.

(1)AABC~AMEC；

(2)AM2=MD-ME.

四、相似三角形的相關證明計算

17.已知，如圖，鐳==第，那么△ABD與ABCE相似嗎？為什么？

18.如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且AB?AC=BD?CE.求證：△

ABDECA.

19.在△ABC中.NC=90。，點D,E分別在BC邊和AC邊上，AD,BE相交于點F.

(1)圖1,若NAEF=NBDF,求證：黑=整

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(2)如圖2.若D為BC的中點，AE=EF.求證：AC=BF；

(3)如圖3.若AE=CD,BD=AC.求/AFE的度數.

20.如圖，四邊形ABCD內接于。O,對角線AC,BD交于點E.

(2)若BD平分/ABC,求證：CD2=DE?DB；

(3)在(2)小題的條件下，若DE=4,BE=2,過圓心。點，作OFLCD于點F,OF=2,求該

圓的半徑長.

21.已知：如圖，在4/呂。中，BD平分乙4BC交4c于D.

A

(2)延長BC至點E,聯結CE、AE,如果ZACE=NEBC,求證：AE=CE.

22.如圖，已知AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,點D、E在邊ZB上，CE2=BE-DE.

(1)求證：乙DCE=45°；

(2)當4c=3,4D=2BD時，求DE的長.

五、相似三角形實際應用

23.數學課外活動小組的同學們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度(如圖)，

點。為沙坑底面所在圓的圓心，S為其頂點，甲同學直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上，當他位于

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B時，其視線恰好經過沙坑坑沿圓周上一點a看到坑底S（甲同學的視線起點C與點A,點s三點共

線），為了求得圓錐形坑的深度（圓錐的高），該同學列出了如下表達式，其中錯誤的是（）

AOA_OS_ROA_AB_「AC__BC_nOA_AB_

AB~BCOS~JCAS~OS~BC~~0S

24.雨過天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鮮空氣，廣場上E處有一處積水，如圖，若小李站在D處

距積水2米，他正好從水面上看到距他約10米的前方一棵樹的頂端A的影子.已知點D、E、B在

同一直線上，ABXBD,CDXBD,小李的眼睛到地面的距離CD為1.6米，求樹AB的高.（NCED

=ZAEB,積水水面大小忽略不計）

25.如圖1所示的是古代一種可以遠程攻擊的投石車，圖2是投石車投石過程中某時刻的示意圖，

GP是杠桿，彈袋掛在點G,重錘掛在點P,點A為支點，點D是水平底板BC上的一點，AD=AC

=3米，CD=3.6米.

（1）投石車準備時，點G恰好與點B重合，此時AG和AC垂直，則AG=米.

（2）投石車投石瞬間，AP的延長線交線段DC于點E,若DE；CE=5：1,則點G的上升高

度為米.

26.矩形ABCD中，點P在對角線BD上（點P不與點B重合），連接AP,過點P作PELAP交直

線BC于點E.

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DAD

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當AB=BC時，猜想線段PA和PE的數量關系：；

(2)如圖2,當ABWBC時.求證：蓋=器

(3)若AB=8,BC=10,以AP,PE為邊作矩形APEF,連接BF,當PE=1V41時，直接寫

出線段BF的長.

27.如圖，在AABC中，AACB=90°,AB=10,AC=6,正方形DEFG的頂點D、G分別在

邊AC、BC上，EF在邊AB上.

(1)點C到AB的距離為.

(2)求DE的長.

28.如圖，在AABC中，ADLBC于點。，正方形MG"的四個頂點都在△ABC的邊上，若

BC=6cm,AZ)=4c/“，貝U正方形EPG/f的邊長是cm.

29.小明家的客廳有一張直徑BC為1.2米，高0.8米的圓桌，在距地面2米的A處有一盞燈，BC

的影子為DE,依據題意建立平面直角坐標系，其中D點坐標為(2,0),則點E的坐標

是O

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30.已知：如圖，在AABC中，4B=4C,點。、E是邊BC上的兩個點，且BD=DE=EC,過點C作

CFIIAB交TIE延長線于點F,連接尸。并延長與力B交于點G.

(1)求證：AB=4BG；

(2)連接4。，如果NZDG=NB,求證：AC2=2CD2.

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答案解析部分

L【答案】B

【知識點】軸對稱的性質；平移的性質；圖形的相似；旋轉的性質

【解析】【解答】解：根據相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不

相同，所以屬于相似變換。

故答案為：Bo

【分析】平移變換只會改變圖形的位置，方向、大小、形狀都不變改變；相似變換不會改變圖形的

形狀、但大小、會發生改變；旋轉變換會改變圖形的位置、方向，但不會改變圖形的大小與形狀；

對稱變換會改變圖形的方向及位置，但不會改變圖形的形狀、大小；用放大鏡將圖形放大，屬于圖

形的形狀相同，大小不相同，從而即可做出判斷得出答案。

2.【答案】C

【知識點】圖形的相似

【解析】【解答】解：???等邊三角形，正方形，菱形的邊長都相等，

經過平移后，等邊三角形，正方形，菱形的對應邊成比例，對應角相等，

等邊三角形，正方形，菱形變化前后的兩個多邊形一定相似，

矩形變化前后雖然對應角相等，但是對應邊不一定成比例，即矩形變化前后兩個多邊形不一定相

似，

.?.變化前后的兩個多邊形一定相似的有3組，

故答案為：C.

【分析】對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似，據此逐一判斷即可.

3.【答案】B

【知識點】圖形的相似

【解析】【解答】解：如圖所示，

11

由題后得AB-a,AE—

?.?使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,

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.AD_AE

^AB=AD

;.l_3，

a-T

解得a=或-百（舍去），

a=V3，

故答案為：B.

【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構建方程求解即可。

4.【答案】D

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：A.2X9=3X6,不符合題意；

B.lxV6=V3xV2;不符合題意；

C.lx8=2x4,不符合題意；

D.lX9H2X3,符合題意；

故答案為：D.

【分析】利用四條線段成比例，用各選項中最長的線段和最短的線段之積等于另兩條線段的乘積，

可得到不成比例的選項.

5.【答案】D

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：?..點P把線段AB分割成AP和PB兩段，AP是PB和AB的比例中

項，

???根據線段黃金分割的定義得：第=也

ADL

故答案為：D.

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段

分割叫做黃金分割，它們的比值與1叫做黃金比.

6.【答案】B

【知識點】平行線的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定與性

質

【解析】【解答】解：「OE||BC,

???Z-ADE=Z.ABC,

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???Z.A=Z.A,

??.△ADEABC,

...瑞啜,故A錯誤；

???DE||BC,

???瑞噎，故B正確;

???DE||BC,

???Z.EDF=Z-BCF,

???Z-DFE=Z-CFB,

??.△DEFCBF,

,DF_DE

'~CF=BC9

由4ADE八ABC知第=瞪,

.?.器=槳，故C錯誤；

CFAC

由ADEFCBF知黑=器，故D錯誤；

故答案為：B.

【分析】由平行線的性質可得NADE=NABC,證明△ADEs^ABC,根據相似三角形的性質可判斷

A；根據平行線分線段成比例的性質可判斷B；由平行線的性質可得NEDF=/BCF,證明

△DEF-ACBF,根據相似三角形的性質可判斷C、D.

7.【答案】D

【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例

【解析】【解答】解：口21“3,AB-.BC=2：3,EF=15,

?AB_DEanDE_2

??阮=而'即宣=?

：.DE=10,

故答案為：D.

【分析】根據平行線分線段成比例的性質可得差=普，代入數據計算即可.

8.【答案】14

【知識點】三角形的角平分線、中線和高；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例

【解析】【解答】解：如圖所示，過D點作DH〃CF交AB于點H,

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AAF：FH=AE：ED=1：3,

???FH=3AF=3x2=6,

[AD為中線,

ABD=CD,

,.?DH〃CF,

???BH=HF,

???BH=FH=6,

???AB=AF+FH+HB=2+6+6=14.

故答案為：14

【分析】過D點作DH〃CF交AB于點H,利用平行線分線段成比例定理得AF：FH=AE：ED=

1：3,從而求得FH=6,再利用AD為中線及DH〃CF推出BH=HF,從而得出BH=6,再通過AB

=AF+FH+HB代入數據計算即可求解.

9.【答案】證明：過O作0PlicF交融于點P,

??,正方形力BCD的對角線交于點O,且。P||CF,

：.^ABC=90°,力。=CO,乙OBC=(POB=^BAC=45°,

???BD是4B4C的平分線，

：.Z.BAF=22.5°,

：.Z.BFA=67.5°,

TOP||CF,

：.^BFA=乙OPF=67.5°,

在^OGP中，

乙OGP=180°-45°-67.5°=67.5°

第13頁共35頁

:.乙OGP=乙OPF,

：.0P=OG,

'：AO=CO,OP||CF,

?AP_AO

"PF~CO~1'

：.AP=PF,

：.0P=|CF,

，0G=!(?F,

【知識點】三角形內角和定理；正方形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；角

平分線的概念

【解析】【分析】過點。作OP〃CF,交AF于點P,利用正方形的性質可證得NABC=90。，

AO=CO,ZOBC=ZPOB=ZBAC=45°,利用角平分線的定義可求出NBAF及/BFA的度數，利用

平行線的性質可求出/OPF的度數；再利用三角形的內角和定理求出/OGP的度數，可證得

ZOGP=ZOPF,利用等角對等邊可得到OP=OG；利用平行線分線段成比例定理，可證得PA=PF,

從而可證得結論.

10.【答案】C

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項

錯誤；

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

D、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選C.

【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

".【答案】C

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：：/仁/2,

.\ZBAC=ZDAE,

A、VZC=ZE,ZBAC=ZDAE,

.*.△ABCADE,故A不符合題意；

B、VZBAC=ZDAE,ZB=ZADE,

第14頁共35頁

.*.△ABC^AADE,故B不符合題意；

C、VZBAC=ZDAE,瑞=器

.?.△ABC與△ADE不相似，故C符合題意；

D、VZBAC=ZDAE,瑞=%，

ABC^AADE,故D不符合題意；

故答案為：C

【分析】由Nl=/2可證得/BAC=NDAE,要使△ABCs^ADE,可以添加另外兩組對應角中的

一組對應角相等，可對A,B作出判斷；利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，可對C,

D作出判斷.

12.【答案】證明：在XABC和AAED中，

'：AB=8,AC=6,AE=4,AD=3

._4_?XD_3_?

,?近=8=2'AC=6=Z'

.AE_AD

"'AB~~AC'

"J^LBAC=LEAD,J.hABC-SAED.

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【分析】利用已知邊的長，可知親=器，再利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相

似，可證得△ABCS^AED.

13.【答案】(1)|

(2)解：①如圖2所示，

點P即為所要找的點；

②如圖3所示，點P即為所要找的點,

第15頁共35頁

【知識點】勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：（1）圖1中，

VAB//CD,

.PD_CD_1

--PA=AB=3,

故答案為京

（2）在網格圖中，AB=V32+42=5

①如圖2所示，連接CD,交AB于點P,

VBC/7AD,

.AP_AD_3AP_3

,,BP=CB=2'5^AP=2

解得：AP=3

.?.點P即為所要找的點；

②如圖3所示，作點A的對稱點A，，

連接AC,交BD于點P,

：AB〃CD,

.*.△APB^ACPD.

.?.點P即為所要找的點.

【分析】（1）根據平行線分線段成比例的性質可得第=黑，據此計算；

（2）①利用勾股定理可得AB,根據平行線分線段成比例的性質可得第=綜=票%=今求出

DrC.D/iU-C.rL

AP,據此解答；

②作點A的對稱點A，，連接A，C,交BD于點P,則AAPBs^CPD.

14.【答案】C

【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：：AB=AC=6,

第16頁共35頁

AZB=ZC=75°,

???ZA=180°-ZB-ZC=30°,

A、如圖所示，DE=DF=5,

i

?&E=Z.F=1(180°-(EDF)=52.5°,

.DE_DF_5

UUAB=AC=6'

■:乙A豐乙D,

??.△ABC與ADEF不相似，故A選項不符合題意;

B、如圖所示，DE=DF=EF=5,

Z-E=Z-F=Z-D=60°,

.DE_DF_5

tuAB=AC=69

■:jA中乙D,

???△ABC與ADEF不相似，故B選項不符合題意;

C、如圖所示，DE=DF=5,

第0頁共35頁

.DE_DF_5

''AB=AC=e>'

?.Z=AD=30°,

ABC^ADEF,故C選項符合題意;

D、如圖所示，DE=DF=5,

i

."E=乙F=^(180°-乙EDF)=70°，

.DE_DF_5

''AB^AC^6'

"：/_A豐Z￡>,

.?.△ABC與△DEF不相似，故D選項不符合題意;

故答案為：C.

【分析】根據等腰三角形的性質可得/B=NC=75。，利用內角和定理可得NA=30。，根據等腰三角形

的性質求出各個選項中三角形的頂角、底角，然后利用相似三角形的判定定理進行判斷.

15.【答案】（1）證明：?.?等邊三角形ABC,

.\ZB=ZC=60°,

?/ZAPD=60°,

.,.ZAPB+ZCPD=120°,

在小APB中，ZAPB+ZBAP=120°,

.\ZBAP=ZCPD,

?.△ABP^APCD；

（2）解：等邊三角形邊長為3,PC=2,

由（1）得AABPs/^pcD,

第18頁共35頁

BP_AB

CO-PC'

.1_3

.,.CD=j.

答：CD的長為|.

【知識點】等邊三角形的性質；相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】(1)利用“一線三等角”證明三角形相似即可；

(2)利用相似三角形的性質可得黑=罌，再將數據代入求出CD的長即可。

16.【答案】(1)證明：?.?ZBAC是直角，ME1BC,

：.^BAC=4EMC=90°,

WC=ZC,

△ABCMEC；

(2)證明：V△ABC?△MEC,

/.Z-E=4B,

?.?點M為直角△ABC斜邊的中點，

：.MA=MB,

'?/.MAD=乙B,

:.乙E=^MAD,

"：^AMD=^EMA,

：.△MADMEA.

.AM_MD

??砥一加

：.AM2=MD-ME.

【知識點】相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】(1)利用兩組角相等的三角形相似的判定方法求解即可；

(2)先證明△MADSAMEA,可得黑=需，再化解可得AM?=MD

MEAM

17.【答案】解：???錯=嘉=第，

DUDD匕U

?.△ABC^ADBE,

???NABC=NDBE,

???ZABC-NDBC=NDBE-ZDBC,

第19頁共35頁

即/ABD=NCBE,

..AB_BC

'BD~BE'

.AB_BD

''BC-BE'

.*.△ABD^ACBE

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【分析】先根據三組對應邊的比相等的兩個三角形相似判斷△ABCs^DBE,得到

ZABC=ZDBE,則NABD=/CBE,再利用比例性質由鐳=器得到需=器，于是根據兩組

對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷△ABDSACBE.

18.【答案】證明：:?△ABC是等邊三角形，

.\ZABC=ZACB=60°,

A180°-ZABC=180°-ZACB,

ZABD=ZECA,

5L'：AB-AC=BD.CE,

.AB_BD

''EC"CA，

；.△ABD^AECA.

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【分析】先求出ZABC=ZACB=60°,再求出NABD=NECA,最后證明求解即可。

19.【答案】（1）證明：連接DE,

VZAEF=ZBDF,即NAEB=NBDA,

；.A、E、D、B四點共圓，

.,.ZABD+ZAED=180°,

VZCED+ZAED=180°,

；.NCED=NABD,

又/C公共，

?.△CED^ACBA,

第20頁共35頁

.CD_AC

"CF-BC;

(2)證明：延長AD到G,使DG=AD,

為BC的中點，

；.BD=CD,

XZBDG=ZCDA,

BDG^ACDA,

；.NG=NCAD,BG=CA,

：AE=EF,

.\ZAFE=ZCAD,

VZAFE=ZBFG,

ZG=ZBFG,

；.BF=BG=AC,即AC=BF；

(3)解：過點A作AM〃:BC,在AM上截取點M,使AM=AC,再過點M作MNLBC于點N,連

接出BM,ME,如圖：

VAM/7BC,ZC=90°,MNXBC,

四邊形AMNC是矩形，

又AM=AC,

二四邊形AMNC是正方形，

第21頁共35頁

；.AM=MN=AC=CN,

VBD=AC,則BD=CN,

；.BN=CD,

VAE=CD,

；.AE=BN=CD,

：AM=MN=AC,ZMAE=ZMNB=ZACD=90°,

△MAE/AMNB/AACD,

；.EM=MB=AD,ZAME=ZBMN,

ZNME+ZAME=90°,

.,.ZNME+ZBMN=90°,即/BME=90。，

AAMEB是等腰直角三角形，

；.NMBE=45°,

：AM〃BD,AM=CN=BD,

四邊形AMBD是平行四邊形，

；.NAFE=/MBE=45°,

.?.NAFE的度數為45°.

【知識點】相似三角形的判定與性質；三角形的綜合

【解析】【分析】(1)連接DE,證明A、E、D、B四點共圓，推出NCED=NABD,證明

△CED^ACBA,即可得出結論；

(2)延長AD到G,使DG=AD,證明ABDG/Z\CDA,再利用等角對等邊即可得出結論；

(3)過點A作AM〃BC,在AM上截取點M,使AM=AC,再過點M作MNLBC于點N,連接出

BM,ME,證明四邊形AMNC是正方形，推出△MAE/^MNB/^ACD,再證明AMEB是等腰直

角三角形，四邊形AMBD是平行四邊形，即可得出/AFE的度數。

20.【答案】(1)證明：\?元=DC,

；.NDAE=NCBE,

VZAED=ZBEC,

AED^ABEC；

(2)證明：YBD平分NABC,

；.NABD=NCBD,

"：AD=AD,

；.NABD=NACD,

第22頁共35頁

AZCBD=ZACD,

VZEDC=ZCDB,

.*.△DEC^ADCB,

.CD_DE

^DB~CD'

.\CD2=DB*DE；

(3)解：連接OD,如圖:

,.?DE=4,BE=2,

???BD=6,

由(2)知CD2=DB?DE,

ACD2=6X4=24,

：.CD=2V6,

VOFXCD,

???F是CD的中點，

DF=iCD=V6,

VOF=2,

；.OD=JoF2+DF2=J22+（V6）2=Vio，

即。o的半徑是V10.

【知識點】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）根據圓周角定理可得NDAE=NCBE,根據對頂角的性質可得NAED=NBEC,

然后根據相似三角形的判定定理進行證明；

（2）根據角平分線的概念可得/ABD=NCBD,由圓周角定理得/ABD=NACD,貝|

ZCBD=ZACD,證明ADECs^DCB,然后根據相似三角形的性質進行證明；

（3）連接OD,則BD=6,由（2）知CD2=DB?DE,代入求出CD的值，根據垂徑定理可得DF,然

后利用勾股定理進行計算.

第23頁共35頁

21.【答案】(1)證明：過點C作CH||AB交BD的延長線于點H.

?:BD平分乙ABC，Z-ABD=Z.DBC.

■:CHIIAB,:?乙ABD=CH,：.^DBC=zH,：.BC=HC.

,ADAB,ADAB

?:CH

IIAB'U，CD=CH*^~CD='BC*

(2)證明:■:乙ABD=^DBC,乙ACE=LEBC,

：.^ABD=LACE.

■:乙ADB=LEDC,/.△ABDsApcD.

,ADBD

99ED=~CD?

■:乙ADE=Z^BDC,/.△ADEs2BDC.

：./LEAD=(DBC,：./_ACE=^EAD,：.AE=CE.

【知識點】平行線的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定與性

質；角平分線的概念

【解析】【分析】(1)過點C作CH〃AB交BD的延長線于點H,根據平行線的性質和角平分線的定

義得出/DBC=NH,從而得出BC=HC,根據平行線分線段成比例定理得出器=罌，即可得出

AD_AB

~CD~BC;

(2)先證出△ABDs^ECD,得出爵=罌，從而證出△ADES/XBDC,得出NEAD=NDBC,從

而得出NACE=NEAD,即可證出AE=CE.

22.【答案】(1)證明：力CB=90。，AC=BC,

：.AABC=ABAC=45°

VCE2=BE-DE

?絲_竺

??麗一西

又,：乙DEC=乙CEB,

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△DEC?XCEB,

"DCE=乙CBE=4ABC=45°,

BPZDCE=45°；

(2)解：如圖，過點D作。N14C于點N,

：.^AND=90°,

"：^DAN=45°,

...△ADN是等腰直角三角形，

?：DN||BC,AD=2BD,

.AD_AN_2

"'AB~~AC~3

"：AC=3,

:.BC=AC=3,AB=3V2,AN=DN=2,CN=1.

'：AD=2BD,

:.BD=y/2,

在RtACCN中，DC=>JDN2+CN2=V5,

由（1）可知△DECCEB

■DEDC75

"'CE=BC=^

設OE=y[Sx,CE=3%,

.3x_V5

解得：久=磔，

4

,nz7rp5魚

【知識點】勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定與性質;

等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）由題意可得△ABC為等腰直角三角形，ZABC=ZBAC=45°,由已知條件可得

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CE2=BEDE,變形可得嘉=空，證明ADECs/MZEB,然后根據相似三角形的性質進行證明；

DDLC

(2)過點D作DNLAC于點N,則AADN是等腰直角三角形，根據平行線分線段成比例的性質可

得

器=給=1結合AC的值可得BC、AB、AN、DN、CN的值，由AD=2BD可得BD,根據

勾股定理可得DC,設DE=V5X,CE=3X,然后根據相似三角形的性質進行計算.

23.【答案】D

【知識點】相似三角形的應用

【解析】【解答】解：?.?點O為沙坑底面所在圓的圓心，S為其頂點，

：.S010A,

?.?甲同學直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上，

ACB1AB,

：.^SOA=AABC=90°,

???視線起點C與點A,點S三點共線，

：.AOAS=ABAC,

：.AABC，AAOS,

.OA_OS^_AS

??麗—阮一宿

即理=零，黑=錯，黑=黑，故ABC不符合題意；

ZiDDL.UJDL.AdC/D

無法判斷箓=弟，故D符合題意.

DC.L/D

故答案為：D.

【分析】證明/ABCs/AOS,利用相似三角形的對應邊成比例逐一判斷即可.

24.【答案】解：VABXBD,CDXBD,

，CDE=NABE,

又：/CED=/AEB,

CDE^AABE,

.AB_BE

''CD^DE'

日口

憶48F10

解得AB=8米，

故樹AB的高為8米.

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【知識點】相似三角形的應用

【解析】【分析】根據垂直的概念可得NCDE=NABE=90。，由已知條件可知NCED=NAEB,證明

ACDE-AABE,然后根據相似三角形的性質進行計算.

25.【答案】(1)4

(2)12+8^/5

【知識點】勾股定理；相似三角形的應用；解直角三角形的其他實際應用

【解析】【解答】解：(1)如圖，連接AB,過A點作AFLBC于F,

G

圖2

：AD=AC=3米，CD=3.6米，CF=DF=1.8米，

-"-AF=VXC2-CF2=2.4，

,:乙B+乙4cB=90°,^CAF+^ACB=90°,

:.乙B=^CAF,

'：AAFB=AAFC=90°,

：.^AFB-ACFA,

.AF_BF

??不F'

：.BF=2.42+1.8=3.2,

'-AB=yjAF2+BF2=4，

.?.AG的長為4米.

故答案為：4.

(2),：DE：CE=5/1,

A(3.6-CE)；CE=5：1,

CE=0.6,

：.EF=FC—CE=1.8-0.6=1.2,

在RtAAEF中，AE=y/AF2+EF2=，

.AF2V5

smAAEF=AE=-'

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,*EM=4H—g-，

,...Ar?廠z6V^、2,y/S12+8\/^

??MNR=ME?smZ-AEF=(A4+-g-)x—g—=，

故點G上升的高度為12+8^.

故答案為：12+8^.

圖2

【分析】(1)連接AB,過A點作AFLBC于F,根據等腰三角形的性質可得CF=DF=L8米，利用

勾股定理求出AF,根據同角的余角相等可得NB=NCAF,證明△AFBs^CFA,根據相似三角形的

性質可得BF,然后利用勾股定理進行計算；

(2)根據DE：CE=5：1可得CE=0.6,則EF=FC-CE=1.2,利用勾股定理求出AE,根據三角函數的

概念可得MN,據此解答.

26.【答案】(1)PA=PE

(2)解：過點P作PMJ_AB于M,PN_LBC于N,如圖2所示：

圖2

.四邊形ABCD是矩形,

；.AD=BC,CD=AB,AD±AB,CD±BC,ZABC=90°,

二四邊形MBNP是矩形，

；.NMPN=90°,

VPEXAP,

AZAPE=90°,

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ZAPM+ZMPE=90°,ZEPN+ZMPE=90°,

；.NAPM=NEPN,

ZAMP=ZENP=90°,

；.△APMS/XEPN,

.PA_PM

""PE='PN

VPM±AB,PN±BC,AD±AB,CD±BC,

；.PM〃AD,PN〃CD,

.*.△BPM^ABDA,△BPN^ABDC,

.PM_BPPN_BP

"AD~BD'CD~BD'

.PM_PN

''AD=CD'

.PM_AD_BC

-'PN=CD=AB

.PA_BC

''PE=AB

（3）線段BF的長為警或焉等

【知識點】全等三角形的判定與性質；全等三角形的應用；勾股定理的應用；正方形的判定與性質；相似

三角形的應用

【解析】【解答】（1）線段PA和PE的數量關系為：PA=PE,理由如下：

過點P作PM_LAB于M,PN_LBC于N,如圖1所示：

?四邊形ABCD是矩形，AB=BC,

四邊形ABCD是正方形，

.?.ZABC=90°,BD平分NABC,

；.PM=PN,

二四邊形MBNP是正方形,

；.NMPN=90°,

VPEXAP,

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???NAPE=90。，

???NAPM+NMPE=90。，ZEPN+ZMPE=90°,

???NAPM=NEPN,

(^APM=乙EPN

在^APM和^EPN中，［PM=PN,

LAMP=乙ENP=90°

.*.△APM^AEPN(ASA),

???PA=PE,

故答案為：PA=PE；(3)連接AE、PF交于Q,連接QB,過點A作AOLBD于O,

①當P在O的右上方時，如圖3所示：

圖3

由(2)得,P"-BC_10-5

田母?PE~AB-~8-4

；.PA=jPE=^x^V41=V41

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AD=BC=10,/BAD=90°,

；.BD=yjAB2+AD2=782+102=2V41

VAOXBD,

「△ABD的面積=^BDxAO=^ABxAD

ABxAD_8x10_40V41

BD-2聞—41

,**tanNABD=AO_AD

JO=AB

40V41“

_10

解得：BO=32產

由勾股定理得：OP=北42—協="—岬：=察

；.BP=BO+OP=V41

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?.?四邊形APEF是矩形，

；.NAEP=90°,AE=PE,QA=QE=QP=QF,

2

2_41

；.PF=AE=Jp/2+PE2=(V41)+

VZABE=90°,

；.QB=1AE=QE,

；.QA=QE=QP=QF=QB,

.?.點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑,

.,.ZPBF=90°,

；.BF=JPF2_BP?=J借「一(同『

②當P在O的左下方時，如圖4所示：

則BP=BO-OP=23同,

41

同理可得：點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑,

???NPBF=90。，

；.BF=JPF?—BP?=’(蜀2_(今箸)=緩箸

綜上所述，當PE=^V41時，線段BF的長為空或空犧.

故答案為：生箸或卷答

【分析】(1)過點P作PMLAB于M,PNLBC于，根據正方形的性質，可證得PM=PN,ZAPM

=ZEPN,即可證得△APM/△EPN,得到PA=PE(2)過點P作PM_LAB于M,PN_LBC于N,

根據矩形的性質可證得/APM=/EPN,再證明△APMsAEPN,得到矍=器再證明

ABPM-ABDA,△BPN-ABDC,得到相似比黑=磊，器=需，即可得出篇=器

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(3)①當P在O的右上方時，由