2025年中考數學總復習《二次函數綜合題》專項測試卷(附帶答案)

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1.如圖，已知直線>=-x+c交X軸于點B,交y軸于點C,拋物線丁=江+匕尤+3經過點4-1,0),與直線

y=-x+c交于8、C兩點，點尸為拋物線上的動點，過點P作PELx軸，交直線BC于點下，垂足為E.

(2)當點尸位于拋物線對稱軸右側時，點。為拋物線對稱軸左側一個動點，過點。作。軸，垂足為點

D.若四邊形DEPQ為正方形時求點尸的坐標；

(3)若△PQF是以點尸為頂角頂點的等腰直角三角形時，請直接寫出點尸的橫坐標.

2.如圖，拋物線y=—N+b尤+。與x軸相交于4(-1,0),B(5,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限內取一點C,作C。垂直x軸于點。，鏈接AC,且A￡>=5,C￡>=8,將MAACZ)沿x軸向

右平移機個單位，當點C落在拋物線上時，求機的值；

(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E,點尸是拋物線對稱軸上一點.試探究：在

拋物線上是否存在點。，使以點8、E、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點。的坐標；

3.如圖，已知拋物線)二-^+岳:+::與丫軸相交于點人(0,3),與尤正半軸相交于點2,對稱軸是直線

X=1.

(1)求此拋物線的解析式以及點2的坐標.

(2)動點M從點。出發，以每秒2個單位長度的速度沿無軸正方向運動，同時動點N從點。出發，以每

秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動.過動點M作x軸的

垂線交線段于點。，交拋物線于點尸，設運動的時間為/秒.

①當f為何值時，四邊形0MPN為矩形.

②當/>0時，ABOQ能否為等腰三角形？若能，求出f的值；若不能，請說明理由.

4.如圖，已知拋物線y=N-5x+4與無軸交于點A和點2(點A在點2的左側)，與y軸交于點C.

(1)求A、B、C三點的坐標；

⑵如圖1,若點尸是線段BC上的一個動點(不與點2,C重合)，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點

連接O。，當線段尸。長度最大時，判斷四邊形。CP。的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是OC的中點，過點。的直線與拋物線交于點E,且/。在

y軸上是否存在點「使得△8EF為等腰三角形？若存在，求點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

5.如圖，二次函數y=x?+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為

(-3,0),經過B點的直線交拋物線于點D(—2,-3).

(1)求拋物線的解析式和直線BD解析式；

(2)過x軸上點E(a,0)(E點在B點的右側)作直線EF〃:BD,交拋物線于點F,是否存在實數a使四

邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

6.如圖，拋物線過點A(0,1)和C,頂點為D,直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B(6,0),

平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E,與直線AC交于點F,點F的橫坐標為羊，四邊形BDEF為平

行四邊形.

(1)求點F的坐標及拋物線的解析式；

(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當APAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的

最大值；

(3)在拋物線的對稱軸上取一點Q,同時在拋物線上取一點R,使以AC為一邊且以A,C,Q,R為頂點

的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標.

(備用圖)

7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=or2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C(0,3).且

點A的坐標為(-1,0),點8的坐標為(3,0),點尸是拋物線上第一象限內的一個點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)連PO、PB,如果把APOB沿。2翻轉，所得四邊形POHB恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存

在點Q,使AQAB與APOB相似？若存在求出點0的坐標；若不存在，說明理由；

(3)若(2)中點。存在，指出△與△尸。8是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標.

8.如圖所示，二次函數y=-/+2x+〃z的圖象與無軸的一個交點為4(3,0),另一個交點為B,且與V軸交

于點C.

(2)求點8的坐標；

(3)該二次函數圖象上有一點。(x,y)(其中尤>0,y>0),使S△9=S^ABC，求點。的坐標；

(4)若點P在直線AC上，點。是平面上一點，是否存在點。，使以點A、點、B、點尸、點。為頂點的四

邊形為矩形？若存在，請你直接寫出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

9.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：>="2+法+<:與無軸相交于A,B兩點，頂點為。(0,4),

48=4血，設點/(楊，0)是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180。，得到新的拋物線C.

(1)求拋物線C的函數表達式;

(2)若拋物線C，與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求他的取值范圍.

(3)如圖2,尸是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點尸在拋物線C上的對應點P,

設M是C上的動點，N是上的動點，試探究四邊形PMPN能否成為正方形？若能，求出相的值；若不

10.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=Y+Zzx+c的圖象與無軸交于A、B兩點，2點的坐標為(3,

(2)連接PO,PC,并將APOC沿y軸對折，得到四邊形尸OPC.是否存在點P,使四邊形尸。PC為菱

形？若存在，求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)當點尸運動到什么位置時，四邊形A8PC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面

積.

11.二次函數y=￡+法+。(。工0)的圖象與X軸交于點4(3,0),與y軸交于點3(0,-3),P、。為拋物線上

的兩點.

⑴求二次函數的表達式；

(2)當尸、5兩點關于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點。的坐標；

(3)拓展設問：點C是平面直角坐標系中的■點，當點M在第四象限內的拋物線上時，是否存在點使得

以4C、B、/為頂點的四邊形是以A3為邊的矩形？若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由.

12.如圖，二次函數了=-3/+云+。的圖象經過A(2,0),B(0,-6)兩點.

(1)求這個二次函數的解析式及頂點坐標；

(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C,連接BA,BC,求△ABC的面積.

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在一點P.使得以0、B、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由.

13.如圖，二次函數＞=/+法+’的圖象交*軸于點4(-3,0),3(1,0),交y軸于點C.點P("M是x軸上

的一動點，尸軸，交直線AC于點M,交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數的表達式;

(2)①若點P僅在線段AO上運動，如圖1.求線段的最大值；

②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q,使以M,N,C,Q為頂點的四邊形為菱形.若存在,

請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線丁=-1■龍2+4x與x軸正半軸的交點，點B在拋物線上，其

橫坐標為2,直線A3與y軸交于點C.點V、尸在線段AC上(不含端點)，點Q在拋物線上，且平行于

x軸，尸。平行于y軸?設點P橫坐標為加.

(1)求直線43所對應的函數表達式.

⑵用含m的代數式表示線段尸。的長.

(3)以PQ、QM為鄰邊作矩形尸0MN,求矩形PQM7V的周長為9時加的值.

15.已知拋物線G：y=(〃-+1卜2-。〃+1)%-1與X軸有公共點.

(1)當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

(2)將拋物線G先向上平移4個單位長度，再向右平移”個單位長度得到拋物線G(如圖所示)，拋物線G與

x軸交于點A,8(點A在點2的右側)，與y軸交于點C.當OC=OA時，求〃的值；

(3)。為拋物線G的頂點，過點C作拋物線C2的對稱軸/的垂線，垂足為G,交拋物線G于點E,連接8E

交/于點尸.求證：四邊形CDE尸是正方形.

參考答案

1.(1)拋物線的解析式為y=-/+2x+3；(2)四邊形DEPQ為正方形時點尸的坐標為(行,2斯-2)和

(2+店-2君-2)；⑶點尸的橫坐標為2或一1或m空或生平.

【分析】(1)先由二次函數解析式求出C點坐標，進而求出一次函數解析式，再求出B點坐標，最后把A、

B坐標代入拋物線解析式解方程即可；

(2)四邊形DEP。為正方形時，PQ=PE,PQ〃尤軸，且P、。兩點關于對稱軸對稱，設出P點坐標，表示

出P。、PE,解方程即可；

(3)由△PQF是以點尸為頂角頂點的等腰直角三角形，可得/QPQNPE8,即尸Q〃x軸，可得P、。兩點

關于對稱軸對稱，設尸?,-產+2/+3),用f分別表示0、/坐標即可，最后根據PQ=PF列方程計算即可解題.

【詳解】(1)拋物線、=狽2+桁+3經過點C,則點C坐標為(0,3),

代入，=一%+。可得c=3,則直線BC的解析式為y=-x+3.

直線8C經過點8,則點B坐標為(3,0)

將點A(-l,0)、8(3,0)代入拋物線y=ax2+bx+3

解得a=—l,b=2

拋物線的解析式為k--+2尤+3.

b

(2)拋物線的對稱軸為彳=-==1.

2a

:四邊形DEPQ為正方形，=PQ//X軸.

???點。與點P關于直線x=1對稱.

設點尸/+2/+3),貝!|PQ=2(/—1),PE—^—t~+2z+3|.

.?.2(/-1)=卜產+2/+3|,解得：t=君或"-如(舍去)或t=2+6或y2-石(舍去)

當仁出時，點片(626-2),

當t=2+有時，點P?(2+石，-2逐一2),

/.四邊形DEPQ為正方形時點p的坐標為(&,2A/5-2)和(2+也「2也-2)

(3)點P的橫坐標為2或一1或5+M或5一厲\

22

V尸是以點尸為頂角頂點的等腰直角三角形

，ZQPF=ZPEB=90°

PQ//x軸

...點。與點P關于直線尤=1對稱.

設點+2，+3),則PQ=2?—1),F(t,—t+3)

.?.PF=產+2/+3)—(-t+3)|=\-t2+3t\.

?.?PQ=PF,

???2f2+3小

解得：/=2或1=-1或/=5+炳或仁5一痘

22

綜上所述，點尸的橫坐標為2或一i或小7或皿Z.

22

【點睛】本題是二次函數綜合題，熟記一次函數、正方形、等腰三角形的性質是解題的關鍵，難度一般，

但是計算量比較大，需要注意.

2.(1)y=—N+4x+5(2)機的值為7或9(3)。點的坐標為(-2,-7)或(6,-7)或(4,5)

【分析】(1)由A、8的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

(2)由題意可求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C，，則C，點的縱坐標為8,代入拋物線解析式可

求得C點的坐標，則可求得平移的單位，可求得相的值；

(3)由(2)可求得E點坐標，連接交對稱軸于點過E作EfUx軸于點尸，當8E為平行四邊形的

邊時，過。作對稱軸的垂線，垂足為M則可證得APQN四△EFB,可求得QN,即可求得0到對稱軸的距

離，則可求得0點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得。點坐標；當8E為對角線時，由夙E的坐標可求

得線段BE的中點坐標，設QG,y),由P點的橫坐標則可求得。點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得

Q點的坐標.

【詳解】(1),??拋物線y=-/+bx+c與％軸分別交于A(-1,0),B(5,0)兩點，

f-l-/?+c=0\b=4

c，解得《<,

[-25+5Z?+c=0[c=5

???拋物線解析式為>=一N+4X+5.

(2)?；AD=5,且04=1,

：.OD=6,且C￡>=8,

：.C(-6,8),

設平移后的點。的對應點為C,則C點的縱坐標為8,

代入拋物線解析式可得8=-x2+4x+5,解得x=l或x=3,

???C點的坐標為(1,8)或(3,8),

VC(-6,8),

當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

；.根的值為7或9；

(3)x2+4x+5=-(x-2)2+9,

...拋物線對稱軸為x=2,

...可設尸(2,力,

由(2)可知E點坐標為(1,8),

①當8E為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點過E作EFLx軸于點尸，當BE為平行四邊形的

邊時，過。作對稱軸的垂線，垂足為M如圖，

貝I]ZBEF=ZBMP=ZQPN,

在APON和AEFB中

ZQPN=NBEF

<ZPMQ=ZEFB

PQ=BE

:.△PQN"AEFB(A4S),

：.NQ=BF=OB-OF=5-1=4,

設。(x,y),則QN=\x-2\,

'.\x-2|=4,解得x=-2或x=6,

當x=-2或A6時，代入拋物線解析式可求得y=-7,

點坐標為(-2,-7)或(6,-7)；

②當BE為對角線時，

,：B(5,0),E(1,8),

線段3E的中點坐標為(3,4),則線段P。的中點坐標為(3,4),

設。(x,y),且P(2,f),

；.x+2=3x2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得y=5,

：.Q(4,5)；

綜上可知。點的坐標為(-2,-7)或(6,-7)或(4,5).

3.(1)x=-v:+2.V+3.8點坐標為(3,0)；(2)①；②.

【分析】(1)由對稱軸公式可求得6,由A點坐標可求得c,則可求得拋物線解析式；再令產0可求得8點

坐標；

(2)①用t可表示出ON和OM,則可表示出尸點坐標，即可表示出的長，由矩形的性質可得ON=PM,

可得到關于f的方程，可求得f的值；②由題意可知。8=。4,故當ABO。為等腰三角形時，只能有08=8。

或。。=80,用/可表示出。點的坐標，則可表示出。。和8。的長，分別得到關于f的方程，可求得f的值.

【詳解】(1).拋物線y=-爐+4丫+。對稱軸是直線產1,

b

??~~z_77=1，解得b=2,

2x(-1)

???拋物線過A(0,3),

c=3,

拋物線解析式為、=-￡+2工+3,令尸0可得_/+2%+3=0，解得x=-l或x=3,

.'.5點坐標為(3,0)；

(2)①由題意可知0N=3t,OM=2t,

在拋物線上，

.?.尸(2/,-4t2+4t+3),

,/四邊形OMPN為矩形，

ON=PM,

3

，3/=-4產+4/+3,解得仁1或?=-：(舍去)，

當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形;

②(0,3),B(3,0),

OA=OB=3,且可求得直線AB解析式為y=-x+3,

.?.當f>0時，OQK)B,

：.當小B。。為等腰三角形時，有。2=。2或。0=2。兩種情況，由題意可知OM=2t,

Q(2t,-2/+3),

；?0Q=J(2ff+(~~2t+3產=<8/一12,+9,BQ=^(-2r+3)2+(-2?+3)2=72|2r-3|,又由題意可知0<r<l,當

OB=QB時,則有e|2f-3|=3,解得仁6+：忘(舍去)或上。一臺.

__________3

當。。=2。時，則有加一⑵+9=&吐3|,解得/="

綜上可知當/的值為/答或|■時，△80。為等腰三角形.

4.⑴點A(1,0),點8(4,0),點C(0,4)

(2)平行四邊形，理由見解析

25

(3)存在；F(0,1)或(0,-1)或(0,—)

8

【分析】(1)令尤=0和y=0,解方程可求解；

(2)設點尸的坐標為(x,-x+4),則點。的坐標為(尤，x2-5x+4),則PQ=(-x+4)-(x2-5x+4)=

-x2+4x,進而求解；

(3)當NDQE=2NODQ,則則直線AQ和直線QE關于直線。X對稱，進而求出點E

的坐標為(5,4),再分BE=BF、BE=EF、8/=后/三種情況，分別求解即可.

【詳解】(1)解：對于y=N-5x+4,令y=0,貝！］0=N-5x+4,

；.X7=4,X2—1,

.,.點A(1,0),點8(4,0),

令x=0,則y=4,

.,.點C(0,4)；

(2)解：四邊形。CPQ為平行四邊形，理由如下:

:點8的坐標為(4,0),點C(0,4),

設直線BC的表達式為y^kx+b,

4k+b-0

則

6=4

k=-l

解得

6=4

直線BC的表達式為y=-x+4,

設點尸的坐標為(尤，-x+4),則點。的坐標為(x,x2-5x+4),

貝!]PQ=(-x+4)-(x2-5尤+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4,

V-KO,

故尸。有最大值，

當x=2時，P。的最大值為4=C。，

：.PQ=CO,PQ//OC,

四邊形OCPQ為平行四邊形；

(3)解：：。是OC的中點，點C(0,4),

點。(0,2),

由(2)知：當尤=2時，P。的最大值為4,

當x=2時，y=x2-5x+4=-2,

：.Q(2,-2),

由點。、Q的坐標，同理可得，直線DQ的表達式為y=-2x+2,

過點。作Q8,無軸于點

貝|JQH〃C。，故

而/

：.ZHQA=ZHQE,

則直線AQ和直線QE關于直線Q8對稱,

設直線QE的表達式為y=2x+r,

將點Q的坐標代入上式并解得r=-6,

/.直線QE的表達式為y=2x-6,

聯立y=x2-5x+4得，

Jy=2x—6

[y=x2-5尤+4

[x=5Ix—2

解得“或.(不合題意，舍去),

3=4〔y=-2

工點E的坐標為(5,4),

設點歹的坐標為(0,m),

：.BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

BF2=m2+42=m2+16，

EW=(m-4)2+52,

當⑶后二班7時，即16+源=17,解得加=±1；

當8片=_￡/時，即25+(m-4)2=17,方程無解；

25

當BF=石產時，即16+^2=25+(m-4)2,解得加=一；

8

25

故點尸的坐標為(0,1)或(0,-1)或(0,—).

8

【點睛】此題是二次函數的綜合題，主要考查了二次函數圖象的性質，拋物線上點的坐標的特征，一次函

數圖象的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，函數的最值，利用點的坐標表示出相應線段的長度

是解題的關鍵.

5.(l)y=x2+2x-3,y=x—1(2)存在實數a=3,使四邊形BDFE是平行四邊形

【分析】(1)把A、D兩點的坐標代入二次函數解析式可得二次函數解析式中b,c的值，讓二次函數的y

等于0求得拋物線與x軸的交點B,把B、D兩點代入一次函數解析式可得直線BD的解析式.

(2)得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進而根據

y=—3求得合適的a的值即可.

【詳解】解：(1)將A(—3,0),D(—2,—3)的坐標代入y=x?+bx+c得,

9-3b+c=0b=2

{4-2b+c=-3,解得:(=-3

???拋物線的解析式為y=x?+2x—3.

由x2+2x—3=0,得：xi=—3,X2=l,/.B的坐標是(1,0).

設直線BD的解析式為y=kx+b,則

k+b=0k=l

-2k+b=-3'解得:{b=-l

直線BD的解析式為y=x-l.

(2)?..直線BD的解析式是y=x—l,且EF〃:BD,

，直線EF的解析式為：y=x-a.

若四邊形BDFE是平行四邊形，貝l]DF〃x軸.

???D、F兩點的縱坐標相等，即點F的縱坐標為一3.

2

由p=x+2x-3得丫2+Qa+i)y+a+2a-3=0,解得：y=-伽+1)±,13心.

y=x-a2

令一(2@+1)土a1￡^=一3,解得：2尸1,a2=3.

2

當a=l時，E點的坐標(1,0),這與B點重合，舍去；

.??當a=3時，E點的坐標(3,0),符合題意.

?,?存在實數a=3,使四邊形BDFE是平行四邊形.

6.(1)(*布，-y=-X2+2V3X+1(2)(1代，2)；普百(3)Q[G，-學],區[一1?，一

336122413/133/

或Q(6，-10),R(三百，-三)

【分析】(1)由待定系數法求出直線AB的解析式為y=-3x+l,求出F點的坐標，由平行四邊形的性質

3

得出-3a+l=ga-8a+l-(-1),求出a的值，則可得出答案；

(2)設P(n,-n2+273n+l),作PP」x軸交AC于點F,則P(n,-@n+l),得出PP，=-田+工6?

33

由二次函數的性質可得出答案；

(3)聯立直線AC和拋物線解析式求出C(173,-g),設Q(代，m),分兩種情況：①當AQ為對角

線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可.

【詳解】解：(1)設拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(a#)),

VA(0,1),B(50),

設直線AB的解析式為y=kx+m,

J6k+m=0

[m=1

解得3，

m=l

直線AB的解析式為y=-

:點F的橫坐標為迪，

3

?''F點縱坐標為-土叵+1=-?，

333

4L1

二?F點的坐標為(—73,--

又??,點A在拋物線上，

.*.c=l,

對稱軸為：x=-3=6,

2a

Ab--273a,

???解析式化為：y=ax2-2^ax+L

???四邊形DBFE為平行四邊形.

???BD=EF,

-3a+l=-a-8a+l-(--

33

解得a=-1,

工拋物線的解析式為y=-x2+2^x+l；

(2)設P(n,-n2+2^n+l),作PP_Lx軸交AC于點P,

則P(n,-0+1),

3

.?.PP=-n2+—V3n,

3

SAABP=|OB?PP'=-^?2+-n=-走(〃一Z道］+"君，

22226J24

當n=—^/3時，zkABP的面積最大為二6,此時P(—\/3,—).

624612

［石+1

(3)??,3,

y=—x2+2^/3x+1

.*.x=0或x=-^3,

3

c(—Vs,--)f

33

設Q(5m),

①當AQ為對角線時，

**.R(i—^3,mH—),

33

TR在拋物線y=-(x-V§y+4上，

m+—=-1——+4,

解得m=-y,

②當AR為對角線時,

TR在拋物線y=-(X-^/3)2+4上,

解得m=-10,

Q(退，-10),R(--A/3,——).

33

綜上所述，Q[g,J,R^_JA/3,-~；或Q(g,-10),R(^君,-三).

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征,

平行四邊形的性質等知識，熟練掌握二次函數的性質及方程思想，分類討論思想是解題的關鍵.

7.(l)y=-x2+2x+3

(2)存在，(1,5)或(1,-5)

⑶(3,0)或:。]

【分析】(1)根據待定系數法求解析式即可；

(2)根據拋物線的對稱性以及菱形的對稱性求得。點的坐標；

(3)根據(2)的結論找到位似中心，分類討論，根據相似的性質即可求解.

【詳解】(1)A(-1,。)、B(3,。)、C(0,3)在拋物線y=aN+6x+c上，

a-b+c=0

＜9。+36+c=0,

c=3

6Z=-1

解得＜b=2.

c=3

...拋物線的解析式為＞=-N+2x+3；

(2)根據題意。為對稱軸上的點，尸為02的垂直平分線上的點,

B(3,0)

13

則/=5(O+3)=Q

當X=g時，y=_191+3+3=?；

設直線PB的解析式為y=mx+n,

3m+n=0

則有，315,

—m+n=——

124

5

m--

解得

...直線PB的解析式為尸-1x+y.

\?拋物線的對稱軸為X=-J■方=1,

2x（-1）

515

..XQ=1,yQ=--X1+—=5,

.,.點Q的坐標為（1,5）

根據對稱性點。坐標還可以為（1,-5）.

（3）①如圖，由（2）可得△QABs△POB,△QA8與△尸。8位似，則=

AQHPB

又4。,。尸交于點8,則位似中心為點8,點8的坐標為（3,0）.

②如圖，若當。點坐標（1,-5）時，設尸。與x軸的交點為。，則位似中心為

由（2）QAB^△POB,則ZP30=/QBA,

AQ//PB

△PBDsAQAD

.PBBD

,,而一而

又△QABSDOB

PBOB

,AQ-BA

BDOB

'AD~AB

???哈力，0（L-5）,A（-1,0）,8（3,0）

.3—J3

a+14

9

解得a=}

一9

則當0點坐標（1，-5）時，位似中心。坐標為（7，0）；

—9

綜上所述，位似中心坐標為（3,0）或（7，0）

【點睛】本題考查了二次函數與相似三角形的性質與判定，翻折的性質，菱形的性質，位似圖形的性質,

掌握以上知識是解題的關鍵.

8.（1）m=3;（2）點B的坐標為（一1,0）；（3）點￡＞的坐標為（2,3）；（4）存在，。"1,一2）,02（3,4）

【分析】（1）直接將A的坐標代入二次函數解析式可求出m,從而得到二次函數的解析式；

（2）令y=0,解方程得B點坐標；

（3）由SAABD=SAABC,同底等高的兩個三角形面積相等，所以只要4ABD的AB邊上的高與OC相等即可,

則由拋物線的對稱性可得D的坐標；

（4）分AB是矩形的邊或對角線兩種情況，通過畫圖，利用數形結合法求解即可.

【詳解】解：（1）將（3,0）代入二次函數解析式＞=-/+2*+根，

#-32+2x3+m=0.

解得，m=3.

（2）二次函數解析式為y=-V+2x+3,

令y=0,得一/+2》+3=0.

解得x=3或x=-l....點B的坐標為（-1,0）.

(3)?S^ABD=^AABC，點D在第一象限,

.?.點C、O關于二次函數對稱軸對稱.

..?由二次函數解析式可得其對稱軸為x=l,點C的坐標為(0,3),

，點。的坐標為(2,3).

(4)在>=--+2戈+3中，令x=0,得y=3,貝IJC(0,3),

設直線AC的解析式為：y—kx+b,則反+6=0,b=3,解得左=-1,

...直線AC的解析式為：y=-尤+3,

如圖，

Q

若AB為矩形的對角線，

OC3

VtanZPAB=—=-=1,

OA3

AZPAB=45°,PA=PB,矩形A尸3Q是正方形

由尸。=AB,及PQ，AB,PQ平分AB,得尸(1,2),2(1,-2),

若AB為矩形的邊，

同理可得/PAB=45。，矩形A8PQ'是正方形，

由3尸」AB,AQVAB,89=40，=鉆得「(-1,4),0(3,4),

綜上所述，存在，。(3,4)使4B、尸、Q能構成矩形.

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查的是一次函數的性質、矩形的性質、面積的計算等，其中第(4)

問要注意分類求解，避免遺漏.

1_.___

9.(1)y=--x2+4；(2)2<m<242;(3)m=6或m=-3.

【分析】(1)由題意拋物線的頂點。(0,4),A(2及，0),設拋物線的解析式為y=〃/+4,把A(20，

0)代入可得由此即可解決問題;

1

(2)由題意拋物線C的頂點坐標為(2m,-4),設拋物線C的解析式為y=5(%-2間92_4,由

124

y=——x+4

I,，消去y得到/-2府+2加-8=0,由題意，拋物線C'與拋物線C在y軸的右側有兩個不

y=5(x-2機)--4

(-2m)2-4(2/7?2-8)>0

同的公共點，則有2/77>0,解不等式組即可解決問題;

2m2-8>0

(3)情形1,四邊形PMPW能成為正方形.作PEL無軸于E,軸于由題意易知P(2,2),當

△是等腰直角三角形時，四邊形PMPN是正方形，推出尸尸ZPFM=9Q°,易證APFE絲AFMH,

可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,可得M(〃?+2,m-2),理由待定系數法即可解決問題；情形2,如圖，四

邊形尸MPN是正方形，同法可得M(%-2,2-機)，利用待定系數法即可解決問題.

【詳解】(1)由題意拋物線的頂點C(0,4),A(20，0),設拋物線的解析式為y=aY+4,把A(20，

0)代入可得.=-L,

2

/.拋物線C的函數表達式為y=~x2+4.

1

(2)由題意拋物線C，的頂點坐標為(2m,-4),設拋物線C，的解析式為〉=](》-2根y9-4,

,12,

y=——x'+4

由12，

y=—^x-2m)"-4

消去y得至(Ix2-2〃zx+2”?2-8=0,

(-2m)2-4(2；7j2-8)>0

由題意，拋物線C，與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有<2m>0,

2m2-8>0

解得2〈根<2后，

，滿足條件的m的取值范圍為2<m<20.

(3)結論：四邊形PMPW能成為正方形.

理由：1情形1,如圖，作PEL尤軸于E,MHLx軸于H.

由題意易知P(2,2),當△是等腰直角三角形時，四邊形PMPW是正方形，."/=尸加，ZPFM=90°,

易證△PFE0AFMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,：.M(m+2,m-2),二?點M在y+4上，

19

m-2=--(m+2)+4,解得機二Jpf-3或-而-3(舍棄)，:?加二JI7-3時，四邊形PA/PN是正方形.

情形2,如圖，四邊形PMPN是正方形，同法可得“(m-2,2-m),

11?

把M(m-2,2-m)代入y=-5Y+d中，2-m=--(m-2)+4,解得小=6或0(舍棄)，

???根=6時，四邊形PMP'N是正方形.

10.(1)y=V-2了-3；(2)存在這樣的點，此時P點的坐標為(馬粵，-|)；(3)尸點的坐標為(g,

-：15)，四邊形ABPC的面積的最大值為7二5.

48

【分析】(1)將2、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

(2)由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POPC為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此

可求出尸點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出尸點的坐標；

(3)由于△A3C的面積為定值，當四邊形A2PC的面積最大時，ABPC的面積最大；過P作y軸的平行線，

交直線BC于。，交x軸于R易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線3c

的解析式求出。、P的縱坐標，即可得到P。的長，以尸。為底，8點橫坐標的絕對值為高即可求得ABPC

的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與尸點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊

形ABPC的最大面積及對應的P點坐標.

【詳解】(1)將夙。兩點的坐標代入＞=/+析+°,得

9+3Z?+c=0b=-2

解得

c=-3c=-3

二次函數的解析式為y=x2-2x-3.

(2)存在點P,使四邊形尸。PC為菱形；.

設尸點坐標為(x,尤2么-3),PP咬CO于E.

若四邊形POP'C是菱形，則有PC=PO；.

連接PP,則尸E_LC。于E,

VC(0,-3),

：.CO=3,

又：OE=EC,

OE=EC=—.

2

.3

?1；

3

.'.x2-2x-3=—,

2

解得、=如何/2="巫(不合題意，舍去).

1222

...存在這樣的點，此時尸點的坐標為(紀叵，

22

(3)過點P作y軸的平行線與8C交于點。，與交于點R設(x,x2-2x-3),

設直線BC的解析式為：y=kx+d,

d=-3

3k+d=0

k=l

解得:

d=-3

???直線BC的解析式為y=x-3,

則。點的坐標為(x,x-3)；

當0=N-2X-3,

解得：Xl=-1,X2=3,

：.AO=lfAB=4,

S四邊形ABPC=SaABC+SaBPQ+SaCPQ.

=1AB'OC+1QP-BF+1QP-OF.

=；x4x3+：(-X2+3X)X3.

3

當x=1時，四邊形A8PC的面積最大.

此時尸點的坐標為(：，-當，四邊形48PC的面積的最大值為會

248

11.(1)y—%2—2x—3；

⑵嗚，-

9

(3)C(4,-1).

【分析】(1)利用待定系數法求二次函數的表達式即可.

⑵拋物線的對稱軸為直線x=l,點P、8關于拋物線對稱軸對稱，得出點P(2,-3),設。

2

根據勾股定理得。尸+尸。2=。。2并代入數值，可求出即可求得點。的坐標.

⑶設M(加，療,得出0＜加＜3,AB2=32+32=18,AM2=(/w-3)2+(m2-2?1-3)-,

BM2=m2+(m2-,分別代入AB?+41〃=和AB?+3"=AM?中，即可求出機=1和點M的值,

設點C(x,x-5)構圖后，再利用勾股定理可得點C的坐標.

【詳解】(1)解：:?二次函數y=/+bx+c的圖象與x軸交于點4(3,0),與＞軸交于點川0,-3),

.f32+3/?+c=0

-'[c=-3

[b=-2

解得二，

二次函數的表達式為y=/-2x-3；

(2)解:△。尸。是以點P為直角頂點的直角三角形時，ZOPg=90°.

y=x2—2x—3=(x—l)2—4,

???拋物線的對稱軸為直線尤=1,

:點尸、8關于拋物線對稱軸對稱，5(0,-3),

二點尸(2,-3),

設Q(〃,“2-2"-3),

ZOPQ=90°,

：.OP2+PQ2=OQ2,

：.(0-2)2+(0+3)2+(2-n)2+(-3-n2+2n+3)2=n2+(n2-2n-3)2,

整理得：3/一8〃+4=0,

2

解得&=1，%=2(舍去)，

“2

??ft—,

3

（3）解：存在，設加（加，療一2〃一3）,其中0<m<3,AB2=32+32=18,AM2=（m-3^+（m2-2m-3）2,

BM2=m2+（n^—2mj,

①當AB?+AA/2=BA/?時，即18+（小一3『+（--2加—3）=m2+（m2-2mj,

m2-m-6=0,

（m+2）（m-3）=0,

解得加=—2（舍）或加=3（舍）；

②相+即心川!/時，

即18+療+（蘇-2川=（m-3）2+^m2—2m—3）,

?*?m2-m=0,

解得根=0（舍）或根=1,

設AB所在直線的一次函數關系式為丁=履+〃左WO）

又???點4（3,0）,點5（0,—3）,

.jO=3k+b

1=k

解得

—3=b

???AB所在直線的一次函數關系式為y=x-3

???四邊形AO/B為矩形,

：.AB//MC

???可設MC所在直線的一次函數關系式為丁=%+"

將點〃(1,T)代入丁=%+"中，

即T=l+幾

解得n=-5

...MC所在直線的一次函數關系式為y=元-5,

設點C(x,x-5),可構圖如下，過點“作X軸的平行線MF,過點C作y軸的平行線Cf,交"F于點尸,

VZBOA^ZCFM^90°,AO=BO=3,MF=x-l,CF=（x-5）-（-4）=x-l

?1-AB=7CM2+OB2=732+32=3A/2，CM=y/CF2+MF2=72（%-1）

:四邊形ACMB為矩形，AB=CM=36

.\72（X-1）=3A/2,

解得：x=4,

...點C（4,-l）,

綜上所述，C(4,-l).

【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的表達式，二次函數的圖象和性質，矩形的性質，勾股定

理，因式分解法解一元二次方程，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

12.(1)(4,2)；(2)6；(3)存在，Pi(2,6),P2(2,-6)

【分析】(1)題利用待定系數法求出解析式；

(2)以AC為三角形的底，。8為三角形的高，求出三角形的底與高就可以求出，三角形面積；

(3)分兩種情況討論即可.

【詳解】解：(1)將A(2,0)、B(0,-6)兩點代入則：

-2+2Z?+c=0b