2025年中考數學復習難題速遞之概率（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?花溪區模擬）一個袋中裝有9個紅球，8個白球，7個黑球，10個黃球，每個球除顏色外都相同.任

意摸出一個球，以下事件中，可能性最小的是（）

A.摸出一個紅球B.摸出一個白球

C.摸出一個黑球D.摸出一個黃球

2.（2025春?沛縣月考）下列事件中，是必然事件的是（）

A.買一張電影票，座位號是3的倍數

B.擲一枚骰子，擲出點數是奇數

C.367人中有兩人的生日相同

D.一名射擊運動員每次射擊的命中環數

3.（2025?伊川縣一模）國產動畫電影《哪吒2》在全球上映后引發強烈反響.

小偉購買了《哪吒2》電影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片，他將卡片背面

朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰從中隨機抽取兩張，則他抽到的兩張紀念卡片恰好是“哪

吒”和“敖丙”的概率是（）

哪吒熬丙太乙真人申公豹

1

D.-

8

4.（2025?揚州校級一模）下列說法錯誤的是（）

A.在揚州“三九四九冰上走”是必然事件

B.對“神舟十九號”載人飛船發射前的零部件檢查，采用全面調查的方式

C.在大量重復實驗中，隨著試驗次數的增加，隨機事件發生的頻率一般會越來越接近概率

D.在“吾輩當自強，唯我少年強”的演講比賽中，通常采用去掉一個最高分和最低分，然后計算平均

分的辦法，是因為平均數易受極端數據的影響

5.（2025?碧江區一模）某小組在“用頻率估計概率”的試驗中，統計了某種結果出現的頻率，繪制了如

圖所示的折線圖，那么最符合這一結果的試驗是（）

A.擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”

B.擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數是6

C.在一副撲克中隨機抽取一張，抽到的牌是紅桃

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍球各1個，每個球除顏色外其余均相同，從中隨機摸出一個球，是黃

球

6.（2025?中寧縣二模）在元旦游園晚會上有一個闖關活動：將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、

等邊三角形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任

意翻開2張，如果翻開的圖形都是中心對稱圖形，就可以過關.那么一次過關的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.—

5555

7.（2025?石家莊一模）小亮與同學組隊玩尋寶游戲，在某個環節，小亮面前有A,B兩組箱子（如圖），A

組有3個箱子，其中1個箱子中裝有重要線索；B組有2個箱子，其中1個箱子中裝有重要線索.小亮

要從A,3兩組箱子中各選一個箱子去獲得線索，則小亮一條線索都沒有得到的概率為（）

A組B組

8.（2025?鋼城區一模）”過新年，掛新燈，家家戶戶樂融融”，掛燈籠是我國各地新年的一個傳統習俗、

如圖，欣欣從A,B,C三個燈籠中隨機選擇兩個掛在門口，則選擇A和C兩個燈籠的概率為（）

懸掛點：：懸掛點

2

D.-

3

9.（2025?湖北模擬）下列事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.打草驚蛇D.水到渠成

10.（2025?尉氏縣一模）“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五

大發明”.小明購買了“二十四節氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的

兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，

則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

1112

A.-B.-C.一D.—

2683

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?萬州區月考）萬州是一座歷史悠久的濱湖城市，不僅有迷人的風景，還有令人垂涎的美食,

萬州格格、萬州雜醬、萬州烤魚更是無數游客必須的打卡美食.甲、乙、丙三人相約來到萬州旅游，三

人分別從萬州格格、萬州雜醬、萬州烤魚三種美食中隨機選擇一種美食品嘗，甲、乙、丙三人同時選擇

萬州烤魚的概率為.

12.（2025?合肥一模）將分別寫有“你”“好”“合”“肥”漢字的四張除漢字外均相同的卡片（每張卡片

上只有一個漢字）放入一個不透明的袋子里，每次摸之前先均勻攪拌，隨機摸出一張卡片，不放回，再

隨機摸出一張卡片，兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的概率為.

13.（2025春?北硝區校級月考）為慶祝西南大學附屬中學110周年，該校準備舉辦音樂慶典活動，現從音

樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，恰好選中一個男生和一個女生的概率

是.

14.（2025?新撫區模擬）A,B,C,。四名選手參加賽跑，賽場共設1,2,3,4四條跑道，選手以隨機抽

簽方式決定各自的跑道，則A,B兩位選手抽中相鄰跑道的概率為.

15.（2025?北屯市一模）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小

相同.若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向右轉的概率是.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?浙江模擬）在2024年巴黎奧運會上，我國體育健兒頑強拼搏、奮勇爭先、不負使命，勇奪40

枚金牌.為了致敬奧運健兒，弘揚體育精神，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽.學校隨機抽取了40名學生

一分鐘跳繩的次數進行調查統計，并根據調查統計結果繪制了統計表和統計圖（如圖）.

一分鐘跳繩次數的頻數表

等級次數頻數

不合格80?1104

合格110Wx<14010

良好140?170a

優秀170?20012

請根據上述信息，解答下列問題：

（1）求a的值，并把一分鐘跳繩次數的頻數分布直方圖補充完整.

（2）若該校有800名學生，估計該校學生一分鐘跳繩次數達到合格及以上的人數為.

（3）在本次比賽結果為“優秀”等級的學生中，有4位同學一分鐘跳繩的次數達190次以上，其中男

生和女生各占一半，現準備從這四位同學中選2位參加比賽.請用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2

位同學恰好性別不同的概率.

一分鐘跳繩次數的頻數直方圖

次數

17.（2025?市南區校級模擬）青島市舉行帆船知識競賽，某校需要從A、2兩個小組中選擇一個小組參加，

現設計了如下的游戲來確定參賽隊伍，具體規則如下：把四個完全相同的乒乓球標上數字1,2,3,4,

然后放到一個不透明的袋中，評委老師從袋中隨機摸出兩個球，若摸出的兩個球上的數字之和為奇數,

則A組去，否則8組去.請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規則是否公平.

18.（2025?宿遷校級一模）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“喜”“氣”“洋”“洋”的四個小球，

除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“喜”的概率為;

（2）甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲取出的兩個球上

的漢字至少有一個是“洋”的概率.

19.（2025春?南京月考）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20個，這些球除顏色外其余

完全相同.小穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不

斷重復上述過程，下表是實驗中的部分統計數據：

摸球的次數〃1020501002004005001000

摸到白球的次數相4710284597127252

m

摸到白球的頻率一0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

n

（1）請估計：當“很大時，摸到白球的頻率將會接近（精確到0.01）;

（2）試估算盒子里白球有個；

（3）某小組進行“用頻率估計概率”的試驗，符合這一結果的試驗最有可能的是（填寫所

有正確結論的序號）.

①從一副撲克牌（不含大小王）中任意抽取一張，這張牌是“紅桃”.

②擲一個質地均勻的正方體骰子（面的點數分別為1到6）,落地時面朝上點數“小于3”.

③投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上.

④甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產生一名幸運觀眾，正好抽到甲.

20.（2025?烏魯木齊一模）為提升學生的文化認同感，弘揚中華民族傳統文化，某校舉辦了“詩意校園?

魅力詩詞”古詩詞知識競賽.現從八、九年級的學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績進行整理、描

述和分析（分數用x表示，總分為100分，共分成四組：A.60Wx<70；8.70Wx<80；C80W尤<90；

D90WxW100,其中分數不低于80為優秀）.下面給出部分信息：

八年級20名學生的競賽成績為：

67,69,72,72,75,77,78,79,85,85,86,90,91,92,92,92,95,96,98,99.

九年級20名學生的競賽成績在C組中的數據是：83,83,88,88,88,89.

八、九年級所抽學生的競賽成績統計表

年級八年級九年級

平均數84.584.5

中位數85.5a

眾數b88

優秀率60%C%

根據以上信息，解答下列問題：

(1)上述圖表中，a=,b=,c=；

(2)根據以上數據分析，你認為該校八、九年級中哪個年級學生的古詩詞競賽成績較好？請說明理由

(寫出一條理由即可)；

(3)賽后，學校準備從九年級學生中競賽成績位于前四名的甲乙丙丁4人中隨機選取2人作古詩詞積

累的經驗交流，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選中的2人恰好是丁和乙的概率.

九年級所抽學生的競賽成績扇形統計圖

2025年中考數學復習難題速遞之概率（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CCCABCBBBB

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?花溪區模擬）一個袋中裝有9個紅球，8個白球，7個黑球，10個黃球，每個球除顏色外都相同.任

意摸出一個球，以下事件中，可能性最小的是（）

A.摸出一個紅球B.摸出一個白球

C.摸出一個黑球D.摸出一個黃球

【考點】可能性的大小；隨機事件.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】C

【分析】根據袋中四種顏色球的個數的多少即可得出答案.

【解答】解：由題意知，袋中黑球個數最少，

所以摸出一個黑球的可能性最小，

故選：C.

【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握可能性大小的概念.

2.（2025春?沛縣月考）下列事件中，是必然事件的是（）

A.買一張電影票，座位號是3的倍數

B.擲一枚骰子，擲出點數是奇數

C.367人中有兩人的生日相同

D.一名射擊運動員每次射擊的命中環數

【考點】隨機事件；倍數.

【專題】數據的收集與整理；推理能力.

【答案】C

【分析】根據隨機事件與必然事件的定義逐項分析即可得解.

【解答】解：根據隨機事件與必然事件的定義逐項分析判定如下：

A、是隨機事件，不符合題意；

B、是隨機事件，不符合題意；

C、367人中有兩人的生日相同，是必然事件，符合題意；

是隨機事件，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了事件的分類，熟練掌握相關定義是解此題的關鍵.

3.（2025?伊川縣一模）國產動畫電影《哪吒2》在全球上映后引發強烈反響.

小偉購買了《哪吒2》電影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片，他將卡片背面

朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰從中隨機抽取兩張，則他抽到的兩張紀念卡片恰好是“哪

吒”和“敖丙”的概率是（）

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】C

【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及兩人抽取到哪吒和敖丙的結果數，再利用概率公式可得出

答案.

【解答】解：把“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片分別記為A、B、C、D,列表

如下:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共有12種等可能的結果，其中兩人抽取到哪吒和敖丙的結果有：（A,B）,（B,A）,共2種,

21

所以他抽到的兩張紀念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率是一=一,

126

故選：C.

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關鍵.

4.（2025?揚州校級一模）下列說法錯誤的是（）

A.在揚州“三九四九冰上走”是必然事件

B.對“神舟十九號”載人飛船發射前的零部件檢查，采用全面調查的方式

C.在大量重復實驗中，隨著試驗次數的增加，隨機事件發生的頻率一般會越來越接近概率

D.在“吾輩當自強，唯我少年強”的演講比賽中，通常采用去掉一個最高分和最低分，然后計算平均

分的辦法，是因為平均數易受極端數據的影響

【考點】利用頻率估計概率；全面調查與抽樣調查；隨機事件.

【專題】統計與概率；應用意識.

【答案】A

【分析】根據隨機事件、全面調查與抽樣調查、利用頻率估計概率進行判斷即可.

【解答】解：A、在揚州“三九四九冰上走”是隨機事件，不是必然事件，故符合題意；

B,對“神舟十九號”載人飛船發射前的零部件的檢查，采用全面調查的方式，故不符合題意；

C、在大量重復試驗中，隨著試驗次數的增加，隨機事件發生的頻率一般會越來越接近概率，故不符合

題意；

。、在“吾輩當自強，唯我少年強”的演講比賽中，通常采用去掉一個最高分和最低分，然后計算平均

分的辦法，是因為平均數易受極端數據的影響，故不符合題意.

故選：A.

【點評】此題考查了隨機事件、全面調查與抽樣調查、利用頻率估計概率，熟知以上知識是解題的關鍵.

5.（2025?碧江區一模）某小組在“用頻率估計概率”的試驗中，統計了某種結果出現的頻率，繪制了如

圖所示的折線圖，那么最符合這一結果的試驗是（）

A.擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”

B.擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數是6

C.在一副撲克中隨機抽取一張，抽到的牌是紅桃

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍球各1個，每個球除顏色外其余均相同，從中隨機摸出一個球，是黃

球

【考點】利用頻率估計概率；頻數（率）分布折線圖.

【專題】統計與概率；運算能力.

【答案】B

【分析】根據折線統計圖可知，隨著試驗次數的增多頻率穩定在（M5以上，0.2以下，通過計算各選項

的概率，由此即可求解.

【解答】解：由題意可得：概率穩定在0.15以上，0.2以下，據此分析如下：

A、擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”的概率是0.5,不符合題意；

一>1

B、擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的面點數是6的概率是:a0.17,符合題意；

6

1

C、在一副撲克中隨機抽取一張，抽到的牌是紅桃的概率是一=0.25,不符合題意；

4

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍球各1個，每個球除顏色外其余均相同，從中隨機摸出一個球，是黃

1

球的概率是］?0.33,不符合題意；

故選：B.

【點評】本題主要考查隨機事件的概率以及用頻率估計概率，理解折線圖中橫軸與縱軸的關系，掌握概

率的計算方法是解題的關鍵.

6.（2025?中寧縣二模）在元旦游園晚會上有一個闖關活動：將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、

等邊三角形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任

意翻開2張，如果翻開的圖形都是中心對稱圖形，就可以過關.那么一次過關的概率是（）

【考點】列表法與樹狀圖法；等邊三角形的性質；菱形的性質；中心對稱圖形.

【專題】概率及其應用；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】c

【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的情況，其中一次過關的情況有12種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：正方形、圓、平行四邊形、菱形是中心對稱圖形，

將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、等邊三角形、菱形的卡片分別記為A、B、C、。、E,

畫樹狀圖如下：

開始

ABCDE

zW./TV./TVx//v

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20種等可能的情況，其中一次過關的情況有12種，

123

，一次過關的概率為￡=

205

故選：C.

【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及中心對稱圖形.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可

能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

7.（2025?石家莊一模）小亮與同學組隊玩尋寶游戲，在某個環節，小亮面前有A,B兩組箱子（如圖），A

組有3個箱子，其中1個箱子中裝有重要線索；8組有2個箱子，其中1個箱子中裝有重要線索.小亮

要從A,8兩組箱子中各選一個箱子去獲得線索，則小亮一條線索都沒有得到的概率為（）

A組B組

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】統計與概率；數據分析觀念.

【答案】B

【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式計算即可.

【解答】解：設A組3個箱子為4,A2,43,其中4箱子中裝有重要線索；2組2個箱子為6,比，

其中81箱子中裝有重要線索.

ABB

共有6種等可能的情況數，其中一條線索都沒有得到的有2種，

,_21

概率是二=

63

故選：B.

【點評】本題考查了畫樹狀圖法求概率，根據畫樹狀圖法求概率即可，熟練掌握以上知識點是解題的關

鍵.

8.（2025?鋼城區一模）“過新年，掛新燈，家家戶戶樂融融”，掛燈籠是我國各地新年的一個傳統習俗、

如圖，欣欣從A,B,C三個燈籠中隨機選擇兩個掛在門口，則選擇A和C兩個燈籠的概率為（）

懸掛點懸掛點

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】B

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中選擇A和C兩個燈籠的結果有兩種，再利用概率公

式即可得出答案.

【解答】解：從A,B,C三個燈籠中隨機選擇兩個掛在門口，作樹狀圖如下：

開始

C

/\

AB

共有6種等可能的結果,其中選擇A和。兩個燈籠的結果有兩種,

21

選擇A和C兩個燈籠的概率為-=

63

故選：B.

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關鍵要明確：樹狀圖法可以不重復不遺漏

的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總

情況數之比.

9.（2025?湖北模擬）下列事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.打草驚蛇D.水到渠成

【考點】隨機事件.

【專題】統計與概率.

【答案】B

【分析】根據“必然事件指在一定條件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發

生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件”，進行逐項判斷

即可.

【解答】解：根據“必然事件指在一定條件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定

不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件”，

A、守株待兔，是隨機事件，故不符合題意；

B.水中撈月，是不可能事件，故符合題意；

C.打草驚蛇，是必然事件，故不符合題意；

D.水到渠成，是必然事件，故不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，正確記憶相關知識點是解題關鍵.

10.（2025?尉氏縣一模）“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五

大發明”.小明購買了“二十四節氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的

兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，

則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.一

2683

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】B

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的

結果有2種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票分別記為A、B、C、D,

畫樹狀圖如下，

BCDACDABDABC

由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，其中小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的結果有

2種,

21

小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是一=

126

故選：B.

【點評】本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以

上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?萬州區月考）萬州是一座歷史悠久的濱湖城市，不僅有迷人的風景，還有令人垂涎的美食,

萬州格格、萬州雜醬、萬州烤魚更是無數游客必須的打卡美食.甲、乙、丙三人相約來到萬州旅游，三

人分別從萬州格格、萬州雜醬、萬州烤魚三種美食中隨機選擇一種美食品嘗，甲、乙、丙三人同時選擇

萬州烤魚的概率為1.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】三

27

【分析】先作樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到兩人同時選中萬州烤魚的結果數，最后依據概

率計算公式求解即可.

【解答】解：設分別用A、8、C表示萬州格格、萬州雜醬、萬州烤魚，甲、乙、丙三人分別從萬州格

格、萬州雜醬、萬州烤魚三種美食中隨機選擇一種美食品嘗，作樹狀圖如下：

開始

丙ABCABCABCABCABCABCABCABCABC

由樹狀圖可知，一共有27可能性的結果數，其中他們同時選中萬州烤魚的結果數有1種，

1

???他們同時選擇萬州烤魚的概率為六，

27

故答案為：一.

27

【點評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法.

12.（2025?合肥一模）將分別寫有“你”“好”“合”“肥”漢字的四張除漢字外均相同的卡片（每張卡片

上只有一個漢字）放入一個不透明的袋子里，每次摸之前先均勻攪拌，隨機摸出一張卡片，不放回，再

隨機摸出一張卡片，兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的概率為--

-6-

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】--

6

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的結果數，再利用

概率公式可得出答案.

【解答】解：根據題意畫樹狀圖如下：

你好肥你好合

由樹狀圖可知：共有12種等可能的結果，其中選到“合肥”的結果數為2,

.21

:?P（兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”）=^2=6,

故答案為：

6

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵.

13.（2025春?北硝區校級月考）為慶祝西南大學附屬中學110周年，該校準備舉辦音樂慶典活動，現從音

3

樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，恰好選中一個男生和一個女生的概率是一.

-5-

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

3

【答案】--

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結果與恰好選中一個男生、一個女生的結果數，再由概率公式求解即

可.

【解答】解：從音樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，作樹狀圖如下：

開始

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

由圖可知，共有20種等可能的結果，其中選取的2個學生恰好是一個男生和一個女生的結果有12種，

123

???選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的概率為：—=

205

3

故答案為：—.

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法：概率=所求

情況數與總情況數之比.

14.（2025?新撫區模擬）A,B,C,￡＞四名選手參加賽跑，賽場共設1,2,3,4四條跑道，選手以隨機抽

1

簽方式決定各自的跑道，則A,8兩位選手抽中相鄰跑道的概率為:.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】j.

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中A、B兩位選手抽中相鄰跑道的結果有6種，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

234134124123

由圖可知，共有12種等可能的結果，其中A、2兩位選手抽中相鄰跑道的結果有(1,2),(2,1),(2,

3),(3,2),(3,4),(4,3),共6種，

...A、B兩位選手抽中相鄰跑道的概率為e=工，

122

故答案為：

【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題

是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

15.(2025?北屯市一模)經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小

相同.若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向右轉的概率是--

-9-

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】見試題解答內容

【分析】列表得出共有9種等可能的情況，其中至少一輛車向右轉的結果有5種，再由概率公式求解即

可.

【解答】解：列表如下:

左直右

左左左左直左右

直左直直直直右

右左右直右右右

共有9種等可能的情況，其中至少一輛車向右轉的結果有5種，

至少一輛車向右轉的概率是3

9

故答案為：

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關

鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?浙江模擬）在2024年巴黎奧運會上，我國體育健兒頑強拼搏、奮勇爭先、不負使命，勇奪40

枚金牌.為了致敬奧運健兒，弘揚體育精神，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽.學校隨機抽取了40名學生

一分鐘跳繩的次數進行調查統計，并根據調查統計結果繪制了統計表和統計圖（如圖）.

一分鐘跳繩次數的頻數表

等級次數頻數

不合格80^x<1104

合格no&V14010

良好140<x<170a

優秀170Wx<20012

請根據上述信息，解答下列問題：

（1）求。的值，并把一分鐘跳繩次數的頻數分布直方圖補充完整.

（2）若該校有800名學生，估計該校學生一分鐘跳繩次數達到合格及以上的人數為，.

（3）在本次比賽結果為“優秀”等級的學生中，有4位同學一分鐘跳繩的次數達190次以上，其中男

生和女生各占一半，現準備從這四位同學中選2位參加比賽.請用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2

位同學恰好性別不同的概率.

一分鐘跳繩次數的頻數直方圖

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖.

【答案】（1）14,作圖見解析;

（2）720人；

2

（3）

3

【分析】（1）用總人數減去其他等級人數即可求解。值，然后補充統計圖即可;

⑵用全校總人數乘以樣本中一分鐘跳繩次數達到合格所占的比例求解即可；

（3）列表求得所有等可能的結果，找出滿足條件的可能結果數，然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由題意得，a=40-4-10-12=14,

補充圖如下：

一分鐘跳繩次數的頻數直方圖

估計該校學生一分鐘跳繩次數達到合格的人數約800x=720（人）,

故答案為：720；

（3）列表如下：

男1男2女1女2

男1（男1，男2）（男b女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2

女1（女1,男1）（女1,男2）（女1,女2）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女2,女1）

共有12種等可能的結果，其中選出的2位同學恰好性別不同的結果有84種，

o2

選出的2位同學恰好性別相同的概率為

【點評】本題考查的是列表法與樹狀圖法，頻數分布表和頻數分布直方圖、用樣本估計總體，理解題意，

找準有效信息是解答的關系.

17.（2025?市南區校級模擬）青島市舉行帆船知識競賽，某校需要從A、2兩個小組中選擇一個小組參加，

現設計了如下的游戲來確定參賽隊伍，具體規則如下：把四個完全相同的乒乓球標上數字1,2,3,4,

然后放到一個不透明的袋中，評委老師從袋中隨機摸出兩個球，若摸出的兩個球上的數字之和為奇數,

則A組去，否則B組去.請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規則是否公平.

【考點】游戲公平性；概率公式；列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】這個游戲規則不公平，說明見解析.

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能出現的結果，其中兩球數字之和為奇數的結果有8種，兩球數字

之和為偶數的結果有4種，再由概率公式求出A組去的概率和3組去的概率，然后比較即可.

【解答】解：這個游戲規則不公平，理由如下:

畫樹狀圖如下:

開始

234342423

和345356457567

共有12種等可能出現的結果，其中兩球數字之和為奇數的結果有8種，兩球數字之和為偶數的結果有

4種，

AA組去的概率=白=奈B組去的概率=白=

21

,.?一豐一，

33

???這個游戲規則不公平.

【點評】本題考查了游戲的公平性、列表法與樹狀圖法以及概率公式，判斷游戲公平性需要先計算每個

事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

18.（2025?宿遷校級一模）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“喜”“氣”“洋”“洋”的四個小球，

除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“喜”的概率為-;

-4-

（2）甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲取出的兩個球上

的漢字至少有一個是“洋”的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】（1）--

4

【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中球上的漢字剛好是“喜”結果有1種，利用概率

公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結果數以及甲取出的兩個球上的漢字至少有一個是“洋”的結果數，再

利用概率公式可得出答案.

【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中球上的漢字剛好是“喜”結果有1種，

，球上的漢字剛好是“喜”的概率為士

4

,,-,1

故答案為：

4

（2）列表如下：

喜氣洋洋

喜（喜，氣）（喜，洋）（喜，洋）

氣（氣，喜）（氣，洋）（氣，洋）

洋（洋，喜）（洋，氣）（洋，洋）

洋（洋,喜）（洋,氣）（洋，洋）

共有12種等可能的結果，其中甲取出的兩個球上的漢字至少有一個是“洋”的結果有：（喜，洋），（喜,

洋），（氣，洋），（氣，洋），（洋，喜），（洋，氣），（洋，洋），（洋，喜），（洋，氣），（洋，洋），共10

種，

105

???甲取出的兩個球上的漢字至少有一個是“洋”的概率為一=

126

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關鍵.

19.（2025春?南京月考）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20個，這些球除顏色外其余

完全相同.小穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不

斷重復上述過程，下表是實驗中的部分統計數據：

摸球的次數”1020501002004005001000

摸到白球的次數加4710284597127252

m

摸到白球的頻率一0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

n

（1）請估計：當"很大時，摸到白球的頻率將會接近0.25（精確到0.01）；

（2）試估算盒子里白球有個；

（3）某小組進行“用頻率估計概率”的試驗，符合這一結果的試驗最有可能的是①④（填寫所

有正確結論的序號）.

①從一副撲克牌（不含大小王）中任意抽取一張，這張牌是“紅桃”.

②擲一個質地均勻的正方體骰子（面的點數分別為1到6）,落地時面朝上點數“小于3”.

③投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上.

④甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產生一名幸運觀眾，正好抽到甲.

【考點】利用頻率估計概率.

【答案】（1）0.25；

（2）5；

（3）①④.

【分析】（1）由表中〃的最大值所對應的頻率即為所求；

（2）根據白球個數=球的總數X得到的白球的概率，即可得出答案；

（3）試驗結果在0.67附近波動，即其概率尸處0.67,計算三個選項的概率，約為0.67者即為正確答案.

【解答】解：（1）由表可知，若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的頻率將會接近0.25；

故答案為：0.25；

（2）根