2025年中考數學總復習《圖形運動與二次函數》專項測試卷（帶答案）

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1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,3C=8,點￡是邊A￡＞上的動點，連結CE,以CE為邊作矩形CEFG（點，

G在CE的同側），且CE=2EF,連結

⑴如圖1,當點E為A￡＞邊的中點時，點8,E,尸在同一直線上，求防的長.

（2）如圖2,若/BCE=3O。，設CE與BF交于點K.求證：BK=FK.

（3）在點E的運動過程中，防的長是否存在最大（小）值？若存在，求出防的最值；若不存在，請說明理由.

2.如圖，VA3C中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函數y=：（左r0,尤＞0）的圖象與48交

于點。（北4）,與8c交于點E.

⑵點P為反比例函數y=￡（%wO,尤＞0）圖象上一動點（點尸在。,E之間運動，不與。,E重合），過點P作尸也〃

交y軸于點過點P作PN〃x軸，交BC于點N,連接求APMN面積的最大值，并求出此時點尸的坐標.

3.如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊OC在無軸上，ZAOC=60°,OC的長是一元二次方程Y-4x-12=0

的根，過點C作x軸的垂線，交對角線08于點。，直線AO分別交x軸和y軸于點尸和點E,動點M從點。以每

秒1個單位長度的速度沿0。向終點。運動，動點N從點B以每秒2個單位長度的速度沿FE向終點E運動.兩點

同時出發，設運動時間為，秒.

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y

(1)求直線AD的解析式.

(2)連接MN,求△〃區的面積S與運動時間f的函數關系式.

⑶點N在運動的過程中，在坐標平面內是否存在一點Q.使得以A,C,N,。為項點的四邊形是矩形.若存在,

直接寫出點0的坐標，若不存在，說明理由.

4.如圖1,拋物線y=o?+bx+3("0)與x軸交于A(-1,O),3(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(2)點P在拋物線上，點。在無軸上，以3C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標;

⑶如圖2,拋物線頂點為。，對稱軸與x軸交于點E,過點K(l,3)的直線(直線K。除外)與拋物線交于G,H兩

點，直線。G,分別交x軸于點M,N.試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,E是AD上一點，AE=2,尸是43上的動點，連接￡F,G是EF

GF

上一點，且三=左(左為常數，左。0)，分別過點尸、G作A3、取的垂線相交于點P,設AF的長為工,尸尸的

EF

長為九

⑴若左=；,工=4,則y的值為

⑵求y與X之間的函數表達式;

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(3)在點/從點A到點8的整個運動過程中，若線段CD上存在點尸，則上的值應滿足什么條件？直接寫出左的取值

范圍.

6.如圖1,拋物線y="2+2x+c,交x軸于A、B兩點,交V軸于點C,尸為拋物線頂點，直線跖垂直于x軸于

圖1圖2

(1)求拋物線的表達式；

(2)點尸是線段BE上的動點(除8、E外)，過點尸作x軸的垂線交拋物線于點。.

①當點尸的橫坐標為2時，求四邊形ACED的面積；

②如圖2,直線AD,分別與拋物線對稱軸交于"、N兩點.試問，+是否為定值？如果是，請求出這

個定值；如果不是，請說明理由.

7.如圖，平行四邊形ABC。中，DB=2A/3,AB=4,AD=2,動點E,尸同時從A點出發，點E沿著ATD—B的

路線勻速運動，點E沿著的路線勻速運動，當點E,E相遇時停止運動.

9

(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為］秒時，設CE與。/交于

點、P,求線段改與CP長度的比值；

(2)如圖2,設點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為班個單位每秒，運動時間為尤秒，44斯的面積為y,求

y關于x的函數解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

(3)如圖3,H在線段AB上且AH=g/￡B,M為。F的中點，當點E、尸分別在線段A。、A8上運動時，探究點E、F

在什么位置能使并說明理由.

8.如圖，在RtA4BC中，ZACB=9(r,AB=5cm,BC=3cm,將VABC繞點A按逆時針方向旋轉90。得到VM>E,

連接CO.點P從點2出發，沿54方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從點A出發，沿AD方向勻速運動，

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速度為lcm/s.PQ交AC于點R連接CP,EQ.設運動時間為心)(0<f<5).解答下列問題:

(1)當EQLA。時，求r的值;

⑵設四邊形PC。。的面積為S(cm?),求$與/之間的函數關系式;

(3)是否存在某一時刻K使尸。〃。？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

9.如圖，在VABC中，NACB=90。，ZA=30°,AB=6cm.動點尸從點A出發，以2cm/s的速度沿邊A3向終點B

勻速運動.以以為一邊作/板=120。，另一邊尸。與折線AC-CB相交于點Q,以尸。為邊作菱形PQAW,點N

在線段尸8上.設點P的運動時間為x(s),菱形PQMN與VA3C重疊部分圖形的面積為Wen?).

(1)當點。在邊AC上時，P。的長為_cm；(用含x的代數式表示)

(2)當點/落在邊BC上時，求x的值；

(3)求，關于尤的函數解析式，并寫出自變量》的取值范圍.

10.如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2,ZBCD=120°,對角線AC與3。相交于點。，點E是對角線3。上一動

點，連接CE,將線段CE繞點C順時針旋轉120。得到CF,連接。F，跖，點G是線段跖的中點.

⑴求證：BE=DF；

⑵求AOGE面積的最大值；

(3)當△。bG為等腰三角形時，直接寫出線段助的長.

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11.如圖，VABC中，AC=BC,ZACB=9Q",其中A（-2,0）,C（6,0）.

(1)直接寫出線段A3的中點。的坐標；

k

(2)反比例函數y=—(左K0,x>0)的圖象過點￡),與BC交于點E,求上的值；

X

⑶點尸為(2)中反比例函數圖象上一動點(點尸在。，E之間運動，不與。，E重合)，過點尸作尸加〃AB,交》軸

于點過點P作PN〃尤軸，交BC于點、N,連接MN,求APMN面積的最大值，并求出此時點P的坐標.

12.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=3cm,BC=5cm,AC=4cm,對角線AC、3。交于點O.動點、P

從點A出發，沿方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點。從點。出發，沿0c方向運動，速度為lcm/s.連接

PQ交BD于點、E；過尸作尸延長尸河交3D于點N.設運動時間為(s)(0</<2.5),解答下列問題：

(1)當r為何值時，四邊形為矩形？

⑵設四邊形PNC。的面積為S(cm?),求$與/的函數關系式;

(3)是否存在某一時刻，使點N在/AC3的平分線上？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

13.如圖，VABC是等腰直角三角形，ZA=90°,AB=6,點P沿折線AfC向終點C運動，在AB上的速度

為每秒2個單位長度，在BC上的速度為每秒20個單位長度.過點P作/>￡>_!_AC于點，以“為邊向右側作矩

形PDEF,且=設點尸的運動時間為t秒，矩形PDEF和VA3c重疊部分圖形的面積為S.

(備用圖)

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⑵當矩形尸。砂和VA3c重疊部分的圖形為四邊形時，求S關于f的函數解析式，并寫出f的取值范圍.

14.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，△OAB是等腰直角三角形，NO8A=90。，頂點A(4,0),點8在第一

象限，正方形OCDE的頂點后(-2,0),點C在＞軸的正半軸上，點。在第二象限.

(1)填空：點8的坐標為，點。的坐標為;

⑵將正方形OCDE沿x軸向右平移，得到正方形O'C'D'E',點。、C、D、E的對應點分別為。'、C、DkE'.設

OO'=t,正方形O'C'D'E'與△(1鉆重疊部分圖形的面積為S.

①當點C與點8重合時，求f的值；

②求s關于/的函數關系式，并寫出r的取值范圍.

15.在平面直角坐標系中，。為原點，點4(6,0),點3在＞軸的正半軸上，ZABO=30°,ABCO是等邊三角形，

點C在第二象限.

(1)填空：如圖①，點8的坐標為,點C的坐標為；

(2)將ABCO沿x軸向右平移得到VB'C'O',點、B,C,O的對應點分別為B',C',O'.

①如圖②，設。O'=f,與ATVO重疊部分的面積為S,當與AABO重疊部分為五邊形時，

"O',3'C',C'O'分別與AR3。相交于點E,￡G,X,試用含有f的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍;

②連接AB'、OC,當AB'+OC'取得最小值時，求點C'的坐標(直接寫出結果即可).

16.在平面直角坐標系中，。為原點，平行四邊形。4BC的頂點4(3,4),C(4,0),矩形。EFG的頂點

D（0,l）,E（0,3）,F（-3,3）.

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圖①圖②

⑴填空：如圖①，點8的坐標為，點G的坐標為；

(2)如圖②，將矩形DEFG沿水平方向向右平移/個單位長度，得到矩形。E'F'G',點。，E,F,G的對應點分別為

點》,E,F',G',矩形DE尸G'與平行四邊形Q4BC重疊部分面積為S.

①若0</<5,且矩形。'E&'G'與平行四邊形Q46C重疊部分為五邊形時，試用含有r的式子表示S,并直接寫出，

的取值范圍；

②當2VY6時，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

參考答案

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,3C=8,點E是邊上的動點，連結CE,以CE為邊作矩形CEFG(點，

⑴如圖1,當點E為AD邊的中點時，點8,E,廠在同一直線上，求防的長.

(2)如圖2,若/3CE=30。，設CE與BF交于點K.求證：BK=FK.

(3)在點E的運動過程中，防的長是否存在最大(小)值？若存在，求出跖的最值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴6忘

(2)見解析

(3)存在，最小值竺f,最大值2月

【分析】⑴當點E在AD的中點時可得AB=AD=ED=OC=4,則IBE和是等腰直角三角形，分別求出

3E和跖的長，然后根據線段的和差即可解答；

(2)如圖：過8作3K_LEC交EC于M■，由ZBCE=30°可得=gBC=4=A8,即可得到RtAABE^Rt△3KE(HL)

得至“ZAEB=NBEM=NCBE,推出BC=CE,再由CE=2砂得到=,最后證明ABHK注AFEK,然后根據

全等三角形的性質即可證明結論；

(3)如圖：過點尸作A3的垂線，交A3延長線于點過點E作的平行線交于點N,交于點P.設

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AE^x,BF=y.然后證明△尸可得尸尸=2,PE=4-gx,根據勾股定理可得M2+破2,進而得到

y2=g]x_|j+l|i,然后根據二次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解：：矩形ABCD中，AB=4,BC=8

：.AB=CD=4,BC=AD=8,ZA=ZADC=90°,AD//BC

:點E在AD的中點

，AB=AE=ED=DC=4

BE=CE=4五,NA￡B=45°

??,點8、E、尸在同一直線上

JZAEB=ZFED=45°

???ZF=90°

?**ED=4=y/2EF

EF=2V2

BF=BE+EF=642-

(2)證明：如圖：過3作交EC于"

?:AD〃BC

:?/BCE=/CED,ZAEB=ZCBE

9：/BCE=30。

：.BH=-BC=4=ABZBCE=ZCED=30°

2f

?；BE=BE

RtAABE=Rt^BEH(HL)

ZAEB=ZBEH

：.ZAEB=ZBEH=ZCBE

：.BC=CE

;CE=2EF

：.EF=-CE=-BC=BH

22

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???ZFEC=ZBHE=90°,ZEKF=ZHKB

:.ABHK^AFEK（AAS）

：.BK=FK.

（3）解：存在，所的最小值呼，最大值2月.

如圖：過點尸作的垂線，交延長線于點過點E作的平行線交2C于點N,交MF于點P.則

設人工二乂⑶尸二丁.

,??四邊形ABCD和四邊形跖GC都是矩形

ZFPE=ZENC=ZFEC=90°

ZPEF+ZPFE=90°,ZPEF+ZNEC=90°

:.ZPFE=ZNEC

,//FPE=/ENC=9伊

:APEFS^NCE

FEPFPE0n1_PF_PE

ECENNC248-x

:.PF=2,PE=4--x

2

???在中，BF2=MB2+MF2

即y2=(4+4_J_j+(2+x)2=—x2-4x+68=-fx——+必^,

I2J44l5)5

當尤=g時，y有最小值為羽叵.

35

-.-0<x<8

...當尤=8時，y有最大值為2后

???在點E的運動過程中，成的長存在最小值呼，最大值2月.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、二次函數

的應用等知識點，正確添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

2.如圖，VA3C中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函數y=々左*0,尤＞0）的圖象與AB交

X

于點。（機4）,與BC交于點、E.

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(1)求加，上的值；

⑵點P為反比例函數y=勺％#0,尤>0)圖象上一動點(點P在，E之間運動，不與。,E重合)，過點尸作孫/〃AB,

交y軸于點M,過點P作PN〃彳軸，交BC于點、N,連接MN,求APMN面積的最大值，并求出此時點尸的坐標.

【答案】(1)〃?=2,%=8

(2)53服最大值是g，此時尸

【分析】本題考查了二次函數，反比例函數，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：

(1)先求出8的坐標，然后利用待定系數法求出直線A3的函數表達式，把。的坐標代入直線A3的函數表達式求

出m,再把D的坐標代入反比例函數表達式求出k即可；

(2)延長N尸交y軸于點。，交A3于點L.利用等腰三角形的判定與性質可得出QM=。尸，設點P的坐標為，,

(2</<6),則可求出Sw二.(6T)4,然后利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解:"(-2,0),C(6,0)

.\AC=8.

又?.?AC=BC

：.BC=8.

?.?ZACB=90°

???點3(6,8).

設直線A3的函數表達式為y=ax+b

/、/、[—2〃+Z?=0

將A(-2,0),3(6,8)代入+得8+6=8

=1

解得,、

[6=2

直線A3的函數表達式為y=x+2.

將點。(加,4)代入丫=尤+2,得m=2.

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.10(2,4).

將0(2,4)代入y=:,得左=8.

(2)解：延長NP交y軸于點。,交A3于點L

?.?獨〃工軸

ZBLN=ABAC=45°,ZNQM=90°.

■：PM//AB

:.ZMPL=ZBLP=45°

:.ZQMP=ZQPM=45°

:.QM=QP.

設點尸的坐標為，，，(2<r<6),則尸Q=r,PN=6-t.

：.MQ=PQ=t.

iii9Q

-''S^PMN=--PN-MQ=-\6~t)-t=--(t-3)+-.

.,.當t=3時，S"MV有最大值g，此時尸卜,。］.

3.如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊OC在無軸上，ZAOC=60P,0c的長是一元二次方程-4尤-12=0

的根，過點C作無軸的垂線，交對角線08于點。，直線AD分別交x軸和y軸于點尸和點E,動點M從點。以每

秒1個單位長度的速度沿向終點。運動，動點N從點廠以每秒2個單位長度的速度沿FE向終點E運動.兩點

同時出發，設運動時間為f秒.

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y

(1)求直線AD的解析式.

(2)連接MN,求△〃區的面積S與運動時間f的函數關系式.

⑶點N在運動的過程中，在坐標平面內是否存在一點Q.使得以A,C,N,。為項點的四邊形是矩形.若存在,

直接寫出點0的坐標，若不存在，說明理由.

【答案】⑴1-冬+S

爭2-9/+12』(0W2@

(2)5=

一等/+%一12追(20<fV4@

(33

(3)存在，點。的坐標是或(6,4月卜

V11)

【分析】(1)過點A作AHLOC于H,解方程可得。。=6,然后解直角三角形求出C。、的和AN的長，得到點

A、。的坐標，再利用待定系數法求出解析式即可；

(2)首先證明AEOD是等邊三角形，求出。0=0尸=4若，然后分情況討論：①當點N在。尸上，即時,

過點N作NP_LO3于P,②當點N在DE上，即2代＜/44代時，過點N作于T,分別解直角三角形求出

NP和行，再利用三角形面積公式列式即可；

(3)分情況討論：①當⑷V是直角邊時，則ov，￡F,過點N作NKLCF于K,首先求出CN,然后解直角三角形

求出CK和NK,再利用平移的性質得出點。的坐標；②當AN是對角線時，則NACV=90。，過點N作于

L,證明NNCR=NNFC,可得CL=FL=3,然后解直角三角形求出NL,再利用平移的性質得出點。的坐標.

【詳解】(1)解：解方程Y—4x-12=0得：%=6,無2=-2

.-.0C=6

:四邊形AOC3是菱形，ZAOC=60°

AOA=OC=6,ZBOC=-ZAOC=30°

2

/.CZ)=OC-tan30°=6x3=26

3

￡>(6,2@

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過點A作于H

???ZAO"=60。

/.OH=-OA=3,AH=OA-sin60°=6x立=3百

22

A（3,3百）

設直線AD的解析式為V=kx+b（k*0）

3k+b=34

代入4卜,3百），。（6,2道）得：＜

6k+b=2^3

U-V3

解得：＜3

b=46

（2）解：由（1）知在RtACOD中，CD=2拒,"OC=30。

OD=2CD=4A/3,ZEOD=90°-ZDOC=90°-30°=60°

??,直線y=-且x+48與y軸交于點石

3

。石=48

OE=OD

△EO。是等邊三角形

Z.OED=/EDO=Z.BDF=60°,ED=OD=473

NOFE=3V=ZDOF

/.DO=DF=4A/3

①當點N在。/上，即0VfV2g時

由題意得：DM=OD-OM=4y/3-t,DN=4?一2t

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過點N作NP_LOB于尸

則NP=Z)N-sinNPZ)N=Z)N-sin60°=(4^-2，x￥=6—?

；.S=；DM.NP=g(46T)(6一網=當產+12.；

②當點N在。E上，即26</44百時

由題意得：DM=OD-OM=4sj3-t,DN=2t-4用

過點N作于T

則NT=DN?sinNNDT=DN-sin60°=(2f-4若)x=G—6

5=：加.村=3(4百-0(后-6)=一爭2+912石；

①如圖，當AN是直角邊時，則OVLEF,過點N作NKJ.W于K

VZNFC=30°,OE=4A/3

；./NCK=60°,OF=y[iOE=n

：.CF=12-6=6

CN=-CF=3

2

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13NK=CN-sin60°=3x^=匹

CK=CNcos600=3x—=—,

2222

將點N向左平移;個單位長度，再向下平移延個單位長度得到點C

22

將點A向左平移，個單位長度，再向下平移逑個單位長度得到點Q

22

A(3,3碼

②如圖，當AN是對角線時，則NACV=90。，過點N作NLLCF于L

VOA^OC,ZAOC=60°

△AOC是等邊三角形

NACO=60°

ZNCF=180°-60°-90°=30°=/NFC

/.CL=FL=-CF=3

2

，2VL=CL-tan3O0=3x^=V3

3

；?將點C向右平移3個單位長度，再向上平移近個單位長度得到點N

將點A向右平移3個單位長度，再向上平移6個單位長度得到點Q

,：A(3,3@

.?.Q(6,4月；

,存在一點。，使得以A,C,N,。為頂點的四邊形是矩形，點。的坐標是土乎或(6,46).

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y

【點睛】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質，解直角三角形，待定系數法的應用，等邊三角形的判定和性質，

含30。直角三角形的性質，二次函數的應用，矩形的判定和性質以及平移的性質等知識，靈活運用各知識點，作出

合適的輔助線，熟練掌握數形結合思想與分類討論思想的應用是解題的關鍵.

4.如圖1,拋物線>=江+弧+3（叱0）與x軸交于A（T,0）,3（3,0）兩點，與y軸交于點C.

⑵點P在拋物線上，點。在x軸上，以8,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

⑶如圖2,拋物線頂點為。，對稱軸與x軸交于點E,過點K（l,3）的直線（直線除外）與拋物線交于G,H兩

點，直線DG,。〃分別交無軸于點M,N.試探究￡71介硒是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

【答案】⑴y=-無2+2x+3

（3）定值，理由見詳解

【分析】（1）將4（-1,。），3（3,0）兩點代入拋物線的解析式即可求解；

（2）根據P,。的不確定性，進行分類討論：①過C作CP〃工軸，交拋物線于4,過<作[9〃BC,交x軸于Q-

可得力=3,由-f+2x+3=3,可求解；②在x軸的負半軸上取點。2,過。2作。2鳥〃8。，交拋物線于心，同時

使Q6=8C,連接C&、BP2,過舄作EDLx軸，交x軸于D,%=-3,即可求解；③當8c為平行四邊形的對

角線時，在①中，只要點。在點8的左邊，且滿足=也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；

/、/o、/c\[m+n=2—k

（3）可設直線G/f的解析式為y=Mx—l）+3,G（m,-m2+2/77+3）,H（n,-n2+2n+3）,可求，再求

vnn,=—K

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直線OG的解析式為y=-(機-1卜+根+3,從而可求E〃二1—7|,同理可求硒，即可求解.

【詳解】(1)解：:拋物線,=融2+陵+3(〃。0)與兀軸交于人(一1,0),3(3,0)兩點

Jq-Z?+3=0

[9?+3Z?+3=0

\a——1

解得/0

[b=2

故拋物線的解析式為y=+2*+3.

(2)解：①如圖，過C作CP〃x軸，交拋物線于《，過A作片。〃BC,交x軸于0

二.為=3

一尤2+2x+3=3

解得：占=2,x2=0

4(2,3)；

②如圖，在X軸的負半軸上取點。2,過Q?作&鳥〃3C,交拋物線于鳥，同時使Q2=3C,連接C2、BP2,過鳥

作ED_Lx軸，交x軸于。

/CBQ?=

在ACBQ?和A鳥。2^中

第17頁共59頁

BQ

<ZCBQ2=ZP2Q2B

CB=P2Q2

ACBQ咨A￡Q#(SAS)

：.P2D=CO=3

yp2=-3

一x~+2尤+3=—3

解得：%=1-幣,x,=1+^7

③當8C為平行四邊形的對角線時，由①知，點。在點8的左邊，且8。=8。=2時，也滿足條件，此時點尸的坐

標仍為（2,3）；

綜上所述：尸的坐標為（2,3）或（1-/-3）或（1+近,-3）.

（3）解：是定值

理由：如圖，???直線GH經過K（l,3）

二可設直線GH的解析式為y=左"-1）+3

第18頁共59頁

?二G、”在拋物線上

???可設G（機，—加N+2機+3）,"（七2+2〃+3）

二.左（%—1）+3=—%2+2%+3

整理得：x?+（左一2）x—左二0

/.xx=m,x2=n

m+n=2—k

mn=—k

當犬=1時，）=—12+2x1+3=4

??D（1,4）

設直線OG的解析式為＞=%科+4,則有

mk[+4=—m2+2m+3

kx+b1=4

k=

解得{

b{=m+3

「?直線。G的解析式為y=-（加一1）1+m+3

當y=0時，一（加一1）%+/+3=0

m+3

解得:x=----

m-1

:.M3,0

m-1

-ym+3

:.EM=1--------

4

m-1

4

同理可求：EN=——

n-1

EM-EN=----------

m—1n—1

16

mn-（m+n）+l

16

-k-（2-k）+l

第19頁共59頁

=16；

當G與H對調位置后，同理可求￡4人加=16；

故的定值為16.

【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合問題，待定系數法求函數解析式，求函數圖象與坐標軸交點坐標,

動點產生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數的關系，理解一次函數與二次函數圖象的交點，與對應一元二

次方程根的關系，掌握具體的解法，并會根據題意設合適的輔助未知數是解題的關鍵.

5.如圖，在矩形ABC3中，AB=10,BC=6,E是AQ上一點，AE=2,尸是A3上的動點，連接所，G是砂

GF

上一點，且y二%(%為常數，左。0)，分別過點尸、G作A3、跖的垂線相交于點P,設AF的長為x,P廠的

EF

長為y.

⑴若A=x=4,則y的值為；

⑵求y與x之間的函數表達式；

(3)在點/從點A到點8的整個運動過程中，若線段CO上存在點P,則上的值應滿足什么條件？直接寫出左的取值

范圍.

【答案】⑴5

k

(2)y=—x2+2k

3

(3)—<^<1

26

AFFG

【分析】(1)根據ZA￡F=NFFG,得cosN尸尸G=cosNAEF,則一=—,代入計算即可；

EFPF

AFFFGF

(2)利用△A￡Fs^GEP,得——=——,再由J=左，得GF=kEF,即可證明結論；

GFPFEF

12

(3)根據點尸在CO上，可得左=丁］，再由點G在族上，可得左<1,進而解決問題.

x2+4

【詳角軍】(1)解：:EFJ.AD

：.ZAFE=90。

???四邊形A5CD是矩形

???ZA=90°

ZA-bZAFP=180°

第20頁共59頁

：.AD//FP

：.ZAEF=ZPFG

'：AE=2,AF=x=4

-'-EF=V22+42=2A/5

..1

.Kz--

2

FG=-EF=45

2

VcosZPFG=cosZAEF

.AE_FG

??EF~PF

.2一非

**2^5-PF

JPF=5

故答案為：5；

(2)解：ZAFE+ZGFP=90°,ZAFE-^-ZAEF=90°

：.ZAEF=ZGFP

又〈ZA=/PGF=90。

???AAEFs^GFP

,AEEF

**GF-PFJ

在Rt^AEF中，AE=2,AF=x

EF=ylAE2+AF2=722+x2=，4+f

*GF

又?不7=/

EF

GF=kEF=ky/4+x2

2v4+x2k(2k2…

—r=-----------BoPny=—(x2+4)=—x2+2k；

y2,/2

(3)解：若點尸在CO上，則y=PP=3C=6

由(2)得左=2)/

x+4

.,_12

??K一~

f+4

.??點F從點A到點B運動

A0<x<10

第21頁共59頁

A4<A:2+4<104

3p3

A——<Z:<3

26X2+426

又TG是所上一點

：.k<l

3

26

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角函數等知識，熟練掌握相似

三角形的判定與性質是解題的關鍵.

6.如圖1,拋物線y=o?+2x+c,交x軸于A、8兩點，交》軸于點C,尸為拋物線頂點，直線跖垂直于x軸于

圖1圖2

⑴求拋物線的表達式；

⑵點尸是線段BE上的動點（除3、E外），過點尸作尤軸的垂線交拋物線于點O.

①當點尸的橫坐標為2時，求四邊形ACFD的面積；

②如圖2,直線AD,8。分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點.試問，磯f+助是否為定值？如果是，請求出這

個定值；如果不是，請說明理由.

【答案】（1）丫=--+2戈+3

⑵①4；②是，定值為8,理由見解析

【分析】（1）由當時，-1WXW3,可知無i=-l,3=3是㈤？+2x+c=0的兩根，代入方程可得4C從而得解;

（2）①把x=2代入拋物線解析式可得。點坐標，再x=0代入拋物線解析式可得C點坐標

從而得知線段CD〃x軸，利用配方法可知點尸坐標，從而利用SmACFD=S^FCD+5AAe0=；CD（?-%）求面積；

②設。卜〃,-加+2機+3n1<加<3）,用待定系數法求出直線AD與直線8。的解析式，再令x=l得加，yN,從而得

出ME,AE的長，從而得到NE+ME是定值8.

【詳解】（1）解：：當》20時，-1<%<3

第22頁共59頁

???再二-1,%=3是/+2%+c=0的兩根,A(-1,0),5(3,0)

ftz—2+c=0

\9a+6+c=0

Q=-1

解得:

c=3

???拋物線的表達式為：y=-f+2x+3；

(2)①把x=2代入y=—f+2x+3得：y=3

「?。(2,3).

又當％=0,y=3

C(0,3)

「?線段CD〃x軸.

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4

「?尸(L4)

S[L|邊形c4=S5CD+^/\ACD=3。3f)=4;

第23頁共59頁

直線AD\y=kxx+bx,BD:y=k2x+b2

因此可得：

fO=—k,+Zzfo=3ko+偽

<2或42

\-m+2m+3=k{m+b{\-m+2m+3=k2m+b2

k1=3-m、k2=-l-m

解得:4=3一〃產

b2=3m+3

?二直線AD：y=(3一根)%+(3-m)

BD:y=—(m+l)x+3(m+1).

令犬=1得坨=6-2根，yN=2m+2

:.ME=6-2m,NE=2m+2

:.NE+ME=8.

【點睛】本題考查二次函數與一次函數綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數法等知識，掌握待定系數法和面積

求法是解題的關鍵.

7.如圖，平行四邊形A8C。中，DB=2^/3,AB=4,AD=2,動點E,尸同時從A點出發，點E沿著A—。—8的

路線勻速運動，點尸沿著的路線勻速運動，當點E，尸相遇時停止運動.

第24頁共59頁

9

(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為4個單位每秒，當運動時間為1秒時，設CE與。F交于

點P,求線段EP與CP長度的比值；

(2)如圖2,設點E的速度為1個單位每秒，點B的速度為后個單位每秒，運動時間為尤秒，//斯的面積為y,求

y關于x的函數解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

(3)如圖3,以在線段AB上且M為。尸的中點，當點E、尸分別在線段A。、A2上運動時，探究點E、F

在什么位置能使EM=HM.并說明理由.

FP4

【答案】(1)券=3

|x2（0<x<2）

；當A孚時,y的最大值為2+即

(2)y關于x的函數解析式為y="----x+—x+—x\2Vx?

4---22

\

6+2^^l—x—<x<2^3

7

(3)當所〃時，能使理由見解析

AF1AD2

【分析】(1)延長。尸交Q5的延長線于點G,先證得△詆?△/G,可得)="三，根據題意可得A斤?A斤

FBBG3

2

j,可得到CG=3,再證明△PDES/^PGC,即可求解；

(2)分三種情況討論：當g啟2時，E點在上，尸點在AB上；當2WxV延時，E點在8。上，尸點在AB上；

3

當逑＜尤42君時，點E、尸均在8。上，即可求解；

3

(3)當以時，能使理由：連接。H,根據直角三角形的性質，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，延長。尸交CB的延長線于點G

圖1

:四邊形ABCD是平行四邊形

CG//AD

：.AAFD~ABFG

第25頁共59頁

.AFAD

**BG

__2

??,點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為4個單位每秒，運動時間為§秒

?\AF=—,AE=—

33

VAB=4,AD=2

44

:?BF=—,ED=-

33

8

.3=2

**4BG

3

???CG=3

'：CG//AD

:APDEs^PGC

.EP_ED

**PC-GC

.EP4

??-=一；

PC9

(2)解：根據題意得：當g爛2時，E點在AO上，尸點在AB上，此時AE=x,AF

*/DB=2A/3,AB=4,AD=2

?*-AD1+BD1=AB1

???△ABO是直角三角形

..ADI

?AB~2

：.ZABD=30°

：.ZA=60°

如圖，過點工作￡耳，互交于〃

EH=AEsin60°=—x

2

y=—xAFxEH=-xy/3xx^-x=—x2;

2224

第26頁共59頁

???當%>0時，y隨X的增大而增大

此時當x=2時，y有最大值3；

當2VxV逑時，E點、在BD上,尸點在AB上

3

如圖，過點E作上交于N,過點。作m/LW交于則EN〃OW

根據題意得：DE=x-2

BE=2y/3+2-x

在RfAABD中，DM^AD-sinA=y/3,AM=1

,:EN〃DM

：ABENsABDM

,EN_BE

"DM~BD

.EN_2+2y/3-x

,?G-2A/3

EN=l+y/3--x

2

y=—xAFxEN=—x(43x)x(1+^3-—x)=-—x2++x

'22242

此