2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形與二次函數(shù)》專項(xiàng)測(cè)試卷（帶答案）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為42m.柵欄在安裝過(guò)

程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為x（單位：m）,與墻平行的一邊長(zhǎng)為y（單位：m）,面積為

S（單位:m2）.

H-----------42m-----------H

墻「

x實(shí)驗(yàn)田x

y

⑴直接寫(xiě)出y與尤，S與X之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)X的取值范圍）；

⑵矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到750m2嗎？如果能，求尤的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

2.【問(wèn)題提出】

在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為18m的正方形草坪（如

圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案.

說(shuō)明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r（m）的圓面.噴灑覆蓋率s為待噴灑區(qū)域面積，上為待噴灑

這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【探索發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為9m的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率。=

第1頁(yè)共29頁(yè)

9

（2）如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為彳m的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4,設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為3m

2

的自動(dòng)噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設(shè)計(jì)安裝/個(gè)噴灑半徑均為29m的自動(dòng)噴灑裝置.與（1）中的方案

n

相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由.

（3）如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率。=1.已知

正方形ABCD各邊上依次取點(diǎn)孔G,H,E,4吏得AE=BF=CG=DH,設(shè)AE=Mm）,。。1的面積為乂!!？），求

y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時(shí)r的值.

【問(wèn)題解決】

（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為30m的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率

P=1?（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

3.學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)42m,籬笆長(zhǎng)80m.設(shè)垂直于墻的邊A3

長(zhǎng)為尤米，平行于墻的邊為＞米，圍成的矩形面積為Sn?.

第2頁(yè)共29頁(yè)

AD

⑴求y與與x的關(guān)系式.

(2)圍成的矩形花圃面積能否為750m2,若能，求出X的值.

(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)x的值.

4.工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮A3CDEF中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經(jīng)測(cè)量，AB//DE,與

DE之間的距離為2米，AB=3米，AF=BC=1米，ZA=ZB=90°,ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠師

傅畫(huà)出的裁剪虛線.當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形鐵皮MNG”的面積最大，最大面積是多少？

5.某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分VA3C是等腰三角形，AB=AC,AF:班'=3:4,點(diǎn)G、H、歹分別是邊

AB.AC.的中點(diǎn)；下半部分四邊形3CDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米(圖

中所有黑線的長(zhǎng)度和)，設(shè)=x米，班=＞米.

A

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量尤的取值范圍；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多(窗戶的面積最大)，并計(jì)算窗戶的最大面積.

6.如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設(shè)AE的長(zhǎng)為x,

四邊形EFGH的面積為

第3頁(yè)共29頁(yè)

AHD

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)AE取何值時(shí)，四邊形EFG”的面積為10?

(3)四邊形EFG8的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))的矩形花園，用一道籬笆

把花園分為A,2兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購(gòu)籬笆120米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/<//

AB

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，A,2兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥

每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過(guò)5萬(wàn)元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？

8.如圖，VABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,BC,C4上運(yùn)動(dòng)，滿足AD=3E=CF.

(2)設(shè)AD的長(zhǎng)為x,△/)所的面積為》求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述ADEF的面積隨AD的增大如何變化.

9.如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD,鐵絲恰好全部用完.

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AB

（1）若所圍成矩形框架ABC。的面積為144平方厘米，則的長(zhǎng)為多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

10.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,木柵欄長(zhǎng)47m,在與

墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場(chǎng)面積的最大值.

//[///J/////////////

出入口

11.小明爸爸打算用一塊長(zhǎng)為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮（圖①）制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器（圖②），需要將四

角各裁掉一個(gè)正方形（厚度不計(jì)）.

（1）請(qǐng)你在圖①中畫(huà)出裁剪示意圖，用實(shí)線表示裁剪線，虛線表示折痕；并計(jì)算長(zhǎng)方體底面面積為12dm2時(shí)，裁掉的

正方形邊長(zhǎng)是多少分米？

（2）若所制作的長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)不超過(guò)底面寬的5倍，并將容器外表面進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.25

元，底面每平方分米的費(fèi)用為1元，則裁掉的正方形邊長(zhǎng)是多少分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為多少元？

12.九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課余時(shí)間里，利用一面學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為15米），現(xiàn)用長(zhǎng)為34米柵欄（安

裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同

學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐.設(shè)矩形菜地垂直于墻的柵欄邊長(zhǎng)為x米，面積為S平方米.

/////////>/////////////

ADDdDDDDDD

DDdDDDdD

_____1I___________1I____

B1111C

⑴直接寫(xiě)出S與x間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)尤的取值范圍）；

⑵圍成的菜地面積能達(dá)到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)x的值是多少時(shí)，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？

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13.如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為38m.柵欄在安裝過(guò)

程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為無(wú)（單位：m）,與墻平行的一邊長(zhǎng)為y（單位：m）,面積

為S（單位：m2）.

■<38ma

墻

X實(shí)驗(yàn)田X

y

⑴直接寫(xiě)出y與尤，S與x之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)尤的取值范圍）；

（2）當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

14.在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形

花園ABCD（籬笆只圍AB、3c兩邊），設(shè)=x米.

（1）求花園的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在P處有一棵樹(shù)與墻8、AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)；（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)）

①若花園的面積為192m"求x的值；

②求花園面積S的最大值.

15.如圖，學(xué)校在教學(xué)樓后搭建了兩個(gè)簡(jiǎn)易矩形自行車車棚，一邊利用教學(xué)樓長(zhǎng)60m的后墻，其他的邊用總長(zhǎng)70m

的不銹鋼柵欄圍成.左右兩側(cè)各開(kāi)一個(gè)1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形.另外，在距離后墻8m外，還規(guī)

劃有機(jī)動(dòng)車停車位.

機(jī)動(dòng)車停車位

（1）若設(shè)車棚寬度AB為AHI,則車棚長(zhǎng)度BC為m；

⑵設(shè)自行車車棚面積為S（m2）,車棚寬度AB為x（m）,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍;

（3）學(xué)校調(diào)研教職工及學(xué)生的需求后，現(xiàn)決定對(duì)車棚進(jìn)行擴(kuò)建.在不對(duì)后墻進(jìn)行改造的情況下，若希望擴(kuò)建后車棚面

積不小于405m,是否有必要改動(dòng)機(jī)動(dòng)車停車位的位置規(guī)劃？但機(jī)動(dòng)車停車位E尸向外最多移動(dòng)2m,如有必要，請(qǐng)

給出具體方案；如無(wú)必要，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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16.工人師傅要將如圖所示的矩形ABCD分割成甲、乙、丙3塊，用來(lái)填充不同材質(zhì)的產(chǎn)品.已知AS=2BC=40m,

點(diǎn)E,尸分別在AD和CO上，AE>DE,且力尸=2DE.設(shè)AE=xm.

（1）設(shè)甲、乙兩塊材料的面積之和為S,求S與x之間的函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)AE取何值時(shí)，甲，乙兩塊材料的面積之和為325m②？

（3）丙部分面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，用總長(zhǎng)為48的籬笆，圍成一塊一邊靠墻的矩形花圃一道垂直于墻的籬笆跖將矩形ABCD分成

兩個(gè)矩形?E和EFCD.墻的最大可用長(zhǎng)度為21m.籬笆在安裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗.設(shè)矩形花圃與墻垂直的

2

一邊長(zhǎng)為x（單位：m）,與墻平行的一邊長(zhǎng)為（單位：m）,面積為S（單位：m）.

<-----------21m--------------->

AED

Br

⑴直接寫(xiě)出y與x,s與x之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)x的取值范圍）；

（2）矩形花圃的面積S能達(dá)至IJl80m2嗎？如果能，求2C的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形花圃的面積S最大？最大面積是多少？

參考答案

1.如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80nl的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為42m.柵欄在安裝過(guò)

程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為無(wú)（單位：m）,與墻平行的一邊長(zhǎng)為y（單位：m）,面積為

S（單位：m2）.

H-----------42m------------H

墻

x實(shí)驗(yàn)田x

y

（1）直接寫(xiě)出y與x,S與尤之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)x的取值范圍）；

⑵矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到750m2嗎？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

【答案】⑴y=80-2x,S=-2/+80x

(2)x=25

第7頁(yè)共29頁(yè)

(3)當(dāng)x=20時(shí)，實(shí)驗(yàn)田的面積S最大，最大面積是800n?

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算工的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)2x+y=80,求出，與x的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出S與x的函數(shù)解析式；

(2)先求出x的取值范圍，再將S=750代入函數(shù)中，求出x的值；

(3)將S與x的函數(shù)配成頂點(diǎn)式，求出S的最大值.

【詳解】(1)解：???2x+y=80

.\j=—2x+80

S=xy

S-x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)vy<42

二.—2%+80442

.\x>19

:.19<x<40

當(dāng)S=750時(shí)，-2尤2+80元=750

x2-40x+375=0

(%-25)(%-15)=0

/.x=25

.?.當(dāng)x=25m時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到750m2；

(3)S=-2x2+80x=-2(/-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800

.?.當(dāng)x=20m時(shí)，S有最大值800m2.

2.【問(wèn)題提出】

在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為18m的正方形草坪(如

圖1)中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案.

說(shuō)明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率s為待噴灑區(qū)域面積，人為待噴灑

S

【數(shù)學(xué)建模】

第8頁(yè)共29頁(yè)

這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【探索發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為9m的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率Q=

9

（2）如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4,設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為3m

的自動(dòng)噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設(shè)計(jì)安裝/個(gè)噴灑半徑均為'm的自動(dòng)噴灑裝置.與（1）中的方案

n

相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由.

（3）如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率0=1.已知

正方形ABCD各邊上依次取點(diǎn)RG,H,E,使得AE=BF=CG=DH,設(shè)AE=x（m）,0Q的面積為y（n?）,求

y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時(shí)「的值.

圖6

【問(wèn)題解決】

（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為3點(diǎn)m的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率

2=1?（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

【答案】（1）￡;（2）不能，理由見(jiàn)解析；（3）y=g（尤-9）?+竺；當(dāng)y取得最小值時(shí)廠=2也；（4）9

4222

第9頁(yè)共29頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)定義，分別計(jì)算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

(2)根據(jù)(1)的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

(3)根據(jù)勾股定理求得羽廠的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論可得當(dāng)圓為正方形的外接圓時(shí)，面積最小，則求得半徑為30m的圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為6,

進(jìn)而將草坪分為9個(gè)正方形，即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)噴灑半徑為9m時(shí)，噴灑的圓面積5=下/=TTX92=8brm2.

22

正方形草坪的面積S=a=18=324m2.

故噴灑覆蓋率2="=?=「.

s3244

(2)對(duì)于任意的“，噴灑面積⑥="乃(2)2=81^2,而草坪面積始終為324m2.

n

因此，無(wú)論“取何值，噴灑覆蓋率始終為9.

這說(shuō)明增加裝置個(gè)數(shù)同時(shí)減小噴灑半徑，對(duì)提高噴灑覆蓋率不起作用.

(3)如圖所示，連接所

圖6

k

要使噴灑覆蓋率。=1,即要求乙=1,其中S為草坪面積，左為噴灑面積.

...0Q,002，oo3,0。4都經(jīng)過(guò)正方形的中心點(diǎn)。

在RaA￡F中，EF=2r,AE=x

'：AE=BF=CG=DH

AF=18-x

在RIAAEF中，AE2+AF2=￡F2

4產(chǎn)=必+(18-尤y

.2d+(18-x)2

??y=Ttr=---------------7i

4

第10頁(yè)共29頁(yè)

兀/八\28171

=-(x-9)+--

2V72

???當(dāng)x=9時(shí)，y取得最小值，此時(shí)4/=9?+9?

解得：廠=述

2

(4)由(3)可得，當(dāng)0。1的面積最小時(shí)，此時(shí)圓為邊長(zhǎng)為9m的正方形的外接圓

則當(dāng)r=3V5m時(shí)，圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為比x2x30=6m

2

1Q_

而草坪的邊長(zhǎng)為18m,二=3,即將草坪分為9個(gè)正方形,將半徑為30m的自動(dòng)噴灑裝置放置于9個(gè)正方形的中心，

6

此時(shí)所用裝置個(gè)數(shù)最少

.,?至少安裝9個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率0=1

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與圓綜合問(wèn)題，二次函數(shù)的應(yīng)用；本題要求我們先理解和計(jì)算噴灑覆蓋率，然后通過(guò)調(diào)

整噴灑裝置的數(shù)量和噴灑半徑來(lái)分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個(gè)特定的條件下找出噴灑面積和噴灑半徑之間的

函數(shù)關(guān)系.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即如何將噴灑覆蓋率的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算

和函數(shù)求解問(wèn)題.同時(shí)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，需要靈活運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，如圓的面積公式，正方形面積公式，

以及函數(shù)解析式求解等.最后，還需要注意將數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題的解決方案.

3.學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)42m,籬笆長(zhǎng)80m.設(shè)垂直于墻的邊A3

長(zhǎng)為尤米，平行于墻的邊為丁米，圍成的矩形面積為Sn?.

⑴求，與無(wú),S與x的關(guān)系式.

⑵圍成的矩形花圃面積能否為750m2,若能，求出尤的值.

(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)x的值.

【答案】⑴y=80-2X(194X<40)；S="+80元

⑵能，x=25

(3)S的最大值為800,此時(shí)x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：

(1)根據(jù)AB+BC+CD=80可求出》與尤之間的關(guān)系，根據(jù)墻的長(zhǎng)度可確定x的范圍；根據(jù)面積公式可確立二次函

數(shù)關(guān)系式；

(2)令5=750,得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

第11頁(yè)共29頁(yè)

(3)根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值即可.

【詳解】(1)解：,??籬笆長(zhǎng)80m

，AB+5C+CD=80

?.,AB=CD=x9BC=y9

:.%+y+%=80,

y=80-2x

???墻長(zhǎng)42m

???0v80—2元<42

解得，19<x<40

y=80—2x(l9<x<40)；

又矩形面積S=3。AB

二y.無(wú)

=(80-2x)x

=—2x2+80x；

(2)解：45=750,貝!J—2爐+80%=750

整理得：X2-40X+375-0

此時(shí)，A=Z?2-4ac=(-40)2-4x375=1600-1500=100>0

所以，一元二次方程/-40尤+375=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

圍成的矩形花圃面積能為750m2；

._-(-40)±7100

"%=2'

..%=25,x?—15,

V19<%<40

x=25；

(3)解：S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800

V-2<0,

，S有最大值

又19Vx<40

...當(dāng)x=20時(shí)，S取得最大值，此時(shí)5=800

即當(dāng)x=20時(shí)，S的最大值為800

第12頁(yè)共29頁(yè)

4.工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮ABCDEF中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經(jīng)測(cè)量，AB//DE,與

DE之間的距離為2米，AB=3米，AF=BC=1米，NA=N3=90。，ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠師

傅畫(huà)出的裁剪虛線.當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形鐵皮MNGH的面積最大，最大面積是多少？

【答案】當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為15米時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是2胃5平方米

48

［分析］連接CF,分別交M7于點(diǎn)尸，交GN于點(diǎn)。，先判斷出四邊形ABCF是矩形,從而可得ZEFC=ZDCF=45°,

再判斷出四邊形AMPF和四邊形BCQN都是矩形，從而可得PM=AF=BC=QN=l米,

AM=PF,BN=CQ,MHYCF,GN±CF,然后設(shè)矩形MVGH的面積為了平方米，MH=GN=x米,貝!］

4〃=叨="一1)米，3N=GQ=(x-1)米，利用矩形的面積公式可得)關(guān)于x的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：如圖，連接CP,分別交于點(diǎn)P,交GN于點(diǎn)。

/.AF||BC

?.?AF=5C=1米

二四邊形ABCF是平行四邊形

又?.?ZA=4=90°

二四邊形ABCF是矩形

ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB

■：ZBCD=ZAFE=135°

:.ZEFC=ZDCF=45°

四邊形MNG"是矩形

MH±AB,GN±AB,GN=MH

第13頁(yè)共29頁(yè)

二四邊形4WPF和四邊形BCQN都是矩形

:.PM=AF=BC=QN=1^,AM=PF,BN=CQ,MH±CF,GN±CF

和RtAQCG都是等腰直角三角形

:.PH=PF,GQ=CQ

:.AM=PH,BN=GQ

設(shè)矩形A￡VG”的面積為y平方米，MH=GN=x米,則4W=PH=（x—l）米，3N=Gg=（尤一1）米

AB=3米

:.MN=AB-AM-BN=（5-2x）^z

:.y=MH-MN=x（5-2x）=-2^x-^+y

又AB與。E之間的距離為2米，AF=BC=1米

/.l<x<2

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)14x43時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)?<x42時(shí)，y隨X的增大而減小

44

則當(dāng)時(shí)5，y取得最大值，最大值為2三5

48

525

答：當(dāng)出的長(zhǎng)度為了米時(shí)，矩形鐵皮MNGH的面積最大，最大面積是七平方米.

48

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分VABC是等腰三角形，AB^AC,AF:BF^3A,點(diǎn)G、H、尸分別是邊

AB.AC.BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形3CDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米（圖

中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)=x米，8E=y米.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積.

【答案】（i）y="g[o<x<Fj

（2）當(dāng)x=q時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為三.

第14頁(yè)共29頁(yè)

【分析】（1）由可表示出〃,MN,CD的長(zhǎng)，由AF=無(wú)，A尸尸=3:4可表示出3C,AF,AB,AC,FG,

的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出》與X之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）根據(jù)（1）中相關(guān)數(shù)據(jù)列出函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】（1）:四邊形5CDE是矩形

BC//DE

丁BE//IJ//MN//CD

：.BE=IJ=MN=CD=y.

9：AB=AC,/是邊的中點(diǎn)

ABC=DE=2x,AFIBC

*.*AF:BF=3:4

AF^—

4

AB=AC=y]BF2+AF2=—

4

??,點(diǎn)G、H、尸分別是邊A3、AC的中點(diǎn)

1

FG=FH=-AB=—

28

4）；=16-2xx2-—x2-—x2--

844

,?4y=16———

.417X

..y=4-------

8

L17x八

4------->0

,?18

x>0

A0<x<—

17

（2）設(shè)面積為S

ricc（41_3x

貝IjS=2x14——l+—x2xx—

=8x--x2

2

:?當(dāng)x=9時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

第15頁(yè)共29頁(yè)

6.如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設(shè)AE的長(zhǎng)為x,

四邊形ERG”的面積為九

BFC

⑴求y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)AE取何值時(shí)，四邊形EFG”的面積為10?

(3)四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=2x2-8x+16(0Wx44)

⑵當(dāng)AE取1或3時(shí)，四邊形EFG”的面積為10；

⑶存在，最小值為8.

【分析】(1)先證出四邊形瓦為正方形，用未知數(shù)x表示其任一邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積公式即可解決問(wèn)題;

(2)代入y值，解一元二次方程即可；

(3)把二次函數(shù)配方化為頂點(diǎn)式，結(jié)合其性質(zhì)即可求出最小值.

【詳解】(1)解：,??在正方形紙片ABCD上剪去4個(gè)全等的直角三角形

:.ZAHE=ZDGH,NDGH+NDHG=90。,HG=HE,

QZEHG=180°-ZAHE-ZDHG

NEHG=90°,四邊形EFG”為正方形

在△AEH中，AE=x,AH=BE=AB-AE=4-x,ZA=90°

HE2=AE2+AH2=x2+(4-尤了=2x2-8x+16

正方形EFGH的面積y=HE-=2x2-8x+16；

QAE,不能為負(fù)

.-.0<x<4

故，關(guān)于無(wú)的函數(shù)表達(dá)式為y=2Y-8x+16(0Wx44)

(2)解：令y=10,得2f_8x+16=10

整理，得/-4元+3=0

解得％=1,x2=3

第16頁(yè)共29頁(yè)

故當(dāng)AE取1或3時(shí)，四邊形EFGH的面積為10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面積y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4)；

.?.當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值8,即四邊形EFGH的面積最小為8.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，對(duì)于第三問(wèn)，只需把二次函數(shù)表達(dá)式配方化為頂

點(diǎn)式，即可求解.

7.某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))的矩形花園，用一道籬笆

把花園分為43兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購(gòu)籬笆120米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，A,8兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥

每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過(guò)5萬(wàn)元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？

【答案】(1)長(zhǎng)為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米

⑵最多可以購(gòu)買1400株牡丹

【分析】(1)設(shè)長(zhǎng)為X米，面積為y平方米，則寬為汽三米，可以得到y(tǒng)與X的函數(shù)關(guān)系式，配成頂點(diǎn)式求出函

數(shù)的最大值即可；

(2)設(shè)種植牡丹的面積為a平方米，則種植芍藥的面積為(1200-a)平方米，由題意列出不等式求得種植牡丹面積

的最大值，即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)長(zhǎng)為X米，面積為>平方米，則寬為汽三米

y=xxI』；"=_g爐+40%=_g(1_60)2+1200

???當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值是1200

此時(shí)，寬為17上0—產(chǎn)r=20(米)

答：長(zhǎng)為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米.

(2)解：設(shè)種植牡丹的面積為。平方米，則種植芍藥的面積為(1200-a)平方米

由題意可得25x2a+15x2(1200-a)V50000

解得：a<700

第17頁(yè)共29頁(yè)

即牡丹最多種植700平方米

700x2=1400（株）

答：最多可以購(gòu)買1400株牡丹.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.

8.如圖，VABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,BC,C4上運(yùn)動(dòng)，滿足AD=BE=CF.

（2）設(shè)4）的長(zhǎng)為x,ADEF的面積為》求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述ADEF的面積隨AD的增大如何變化.

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）y=3fI-3君*+4/

（3）當(dāng)2Vx<4時(shí)，ADEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，ADEF的面積隨AD的增大而減小

【分析】（1）由題意易得=ZA=ZS=60°,然后根據(jù)“SAS”可進(jìn)行求證；

（2）分別過(guò)點(diǎn)C、尸作FGJ.AB,垂足分別為點(diǎn)H、G,根據(jù)題意可得鼠既=4豆，AF=4-x,然后

可得PG=3（4-X）,由（1）易得AADF%BE*ACFE,則有SA〃=SBEO=SCFE=3X（4-X），進(jìn)而問(wèn)題可求

2\/△/\Ur4b匕DACFC41

解；

（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】（1）證明：???VABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4

■:AD=BE=CF

:.AF=BD=CE

在AADF和ABED中

AF=BD

<ZA=ZB

AD=BE

；?AADF均BED（SAS）；

第18頁(yè)共29頁(yè)

(2)解：分別過(guò)點(diǎn)C、尸作8,AB,FGJ.AB,垂足分別為點(diǎn)X、G,如圖所示:

在等邊VA3C中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=4

C/7=AC-sin60°=25/3

S=-AB-CH^4y/3

△ADRCr2

設(shè)AD的長(zhǎng)為x,則AD=3E=CF=x,AF=4-x

/?

/?FG=AF-sin60°=^-(4-x)

i巧

AZ)FG=X4-X

S.ADF=274T()

同理(1)可知AADF咨ABED^ACFE

S

^ADF=S、BED=S、CFE=~^~X(4~X)

AD￡F的面積為y

SS2

y=AABC~^^ADF=4A/3-^^-X(4-X)=^^-X-3A^X+4A/3；

(3)解：由(2)可知：>=轉(zhuǎn)爐-3氐+4月

-4

T同__3\/3_

.??4=2”>0,對(duì)稱軸為直線"=—一訪=/

42x空

4

...當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)尤<2時(shí)，y隨x的增大而減小；

即當(dāng)2<x<4時(shí)，△/)砂的面積隨的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，ADE尸的面積隨AD的增大而減小.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的

綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD鐵絲恰好全部用完.

第19頁(yè)共29頁(yè)

AB

D'------------------lC

（1）若所圍成矩形框架ABC。的面積為144平方厘米，則的長(zhǎng)為多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

【答案】（1）42的長(zhǎng)為8厘米或12厘米.

（2）150

【分析】（1）設(shè)A3的長(zhǎng)為x厘米，則有"》=巴產(chǎn)厘米，然后根據(jù)題意可得方程巴安?尤=144,進(jìn)而求解即可；

（2）由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S,則有S=若空?尤=-|（尤-10『+150,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可

進(jìn)行求解.

【詳解】（1）解：設(shè)的長(zhǎng)為x厘米，則有4。=色9厘米，由題意得：

整理得：爐―20%+96=0

解得：石=8,%=12

0<x<20

答：A8的長(zhǎng)為8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABC。的面積為S平方厘米，則有:

?60-3%32”3/>,2

S=----------x=—x+30尤=—(x-10)+150

222、,

3

—<0,且0<%<20

2

...當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，即為S=150；

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系.

10.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,木柵欄長(zhǎng)47m,在與

墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場(chǎng)面積的最大值.

第20頁(yè)共29頁(yè)

出入口

【答案】288m2

【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（立25）,則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為47-2r+%1,設(shè)雞場(chǎng)面積為加化根據(jù)矩形面積公

式寫(xiě)出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（超25）,則與墻垂直的一邊長(zhǎng)4為7—匕r-山I-1m,設(shè)雞場(chǎng)面積為yn?

t22

根據(jù)題意，得y=2+1=-^x+24x=-；（x-24）+288

當(dāng)后24時(shí)，y有最大值為288

，雞場(chǎng)面積的最大值為288m2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式.

11.小明爸爸打算用一塊長(zhǎng)為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮（圖①）制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器（圖②），需要將四

角各裁掉一個(gè)正方形（厚度不計(jì)）.

圖①圖②

（1）請(qǐng)你在圖①中畫(huà)出裁剪示意圖，用實(shí)線表示裁剪線，虛線表示折痕；并計(jì)算長(zhǎng)方體底面面積為12dm2時(shí)，裁掉的

正方形邊長(zhǎng)是多少分米？

（2）若所制作的長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)不超過(guò)底面寬的5倍，并將容器外表面進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.25

元，底面每平方分米的費(fèi)用為1元，則裁掉的正方形邊長(zhǎng)是多少分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為多少元？

【答案】（1）裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm；

（2）裁掉的正方形邊長(zhǎng)為2.5dm時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12.5元.

【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系，表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)

鍵.

（1）由題意可畫(huà)出圖形，設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm,則題意可列出方程，可求得答案；

（2）由條件可求得x的取值范圍，用x表示出總費(fèi)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，可求得答案.

【詳解】（1）解：如圖所示：

L_l___________________U

II

II

II

II

II

hI-------------------Id

第21頁(yè)共29頁(yè)

設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm,由題意可得:

（10-2x）（6-2x）=12

解得：x=2或x=6（舍去）.

答：裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm；

（2）解：設(shè)總費(fèi)用為y元

則y=（10-2尤）（6-2尤）+0.25x[2x（10-2x）+2x（6-2x）]

=2X2-24X+60

=2（X-6）2-12.

XV10-2x<5（6-2x）

x<2.5.

'：a=2>0

...當(dāng)x<6時(shí)，y隨x的增大而減小

...當(dāng)x=2.5時(shí)，y取得最小值，最小值為12.5.

答：裁掉的正方形邊長(zhǎng)為2.5dm時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12.5元.

12.九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課余時(shí)間里，利用一面學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為15米），現(xiàn)用長(zhǎng)為34米柵欄（安

裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同

學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐.設(shè)矩形菜地垂直于墻的柵欄邊長(zhǎng)為x米，面積為S平方米.

/////////>/////////////

ADDdDDDdDD

DDDDDDdD

________ii___________________ii________

⑴直接寫(xiě)出S與x間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)x的取值范圍）；

⑵圍成的菜地面積能達(dá)到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)x的值是多少時(shí)，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？

【答案】（1）S=-3￡+36X

⑵能，x=9

（3）元=7時(shí)，圍成菜地的面積最大，最大面積是105平方米

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；

（1）由題意易得該圖形的長(zhǎng)為（34+2-3x）米，然后根據(jù)面積公式可進(jìn)行求解；

（2）由題意易得-3/+36x=81,然后進(jìn)行求解方程即可；

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(3)由題意易得7〈x<12,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：由題意得：S=x(34+2—3x)=-3爐+36尤；

(2)解：依題意得：-3爐+36元=81,整理得：尤2-12尤+27=0

解得：%=3,%=9；

當(dāng)x=3時(shí)，36-3x=27>15,不符合題意，舍去；

當(dāng)x=9時(shí)，36-3x=9<15,符合題意

.?.當(dāng)x=9時(shí)，圍成的菜地面積為81平方米.

(3)解：：墻的最大可用長(zhǎng)度為15米

.-.0<BC<15,BP0<36-3x<15

解得74x<12

根據(jù)題意得：S=-3x2+36x=-3(x-6)2+108

V-3<0

.?.當(dāng)x=7時(shí)，S有最大值，最大值為105

.?.尤=7時(shí)，圍成菜地的面積最大，最大面積是105平方米.

13.如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為38m.柵欄在安裝過(guò)

程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為無(wú)(單位：m),與墻平行的一邊長(zhǎng)為y(單位：m),面積

為S(單位：m2).

?38ma

墻

X實(shí)驗(yàn)田X

y

⑴直接寫(xiě)出y與尤，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫(xiě)x的取值范圍)；

(2)當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

【答案】(l)y=-2x+80,S=-2X2+80X

(2)當(dāng)x=21m時(shí)，S有最大值798m2

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算x的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)2x+y=80,求出V與x的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出S與x的函數(shù)解析式；

(2)將S與x的函數(shù)配成頂點(diǎn)式，先求出尤的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值.

【詳解】(1)解：由題意得：2x+y=80

.?.y=—2x+80

S=xy

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/.S=x（-2x+80）=-2x2