2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：三角形綜合

一、單選題

1.如圖，在RtZXABC中/C=90。，按以下步驟作圖：①分別以點A,B為圓心，以大于的長為

2

半徑作弧，兩弧相交于點N；②作直線MN交于點D,連接AO.若CD=3,BC=8,則A3的

長為（）

A.4B.5C.4A/2D.46

2.如圖，在等腰三角形A5C中，AB=AC,NBAC=120o,E是AC邊的中點，則sinNEBC的值為（）

AVf'R幣r近n5幣

A.D.C.D.---

551414

3.圖1是實驗室利用過濾法除染的裝置圖，圖2是其簡化示意圖，在圖2中，若AB〃CD,AC//OD,

圖1圖2

A.50°B.60°C.70°D.80°

4.如圖，3D為VABC的角平分線，且班＞=3C,E為8。延長線上一點，BE=BA,過E作

于點尸，則下列結(jié)論：①。為AC的中點；②△AEC為等腰三角形；③BE平分NFEC；④

BA+BC=2BF.其中正確的結(jié)論有（）

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ASCD的頂點A,。分別在了軸正半軸和負(fù)半軸上，頂點C在了

3

軸正半軸上，直線的表達(dá)式為y=-x-3,連接AC,則aAOC的面積為（）

4

4

6.如圖，在AABC中，AB=AC,以為直徑的圓。分別與A3、AC相交于點E、凡若tan/EOF=],

S

則—的值為（）

bABOE

二、填空題

7.如圖，在網(wǎng)格中有格點4、B、C,連接AB、AC,貝han/54C=

8.如圖，正方形與正六邊形的中心點0重合，頂點在點A,2處重合，。。與AC交于點若0D=2,

則DF蕓的值為.

9.如圖，在RtAAOB中，NAQB=90。，AB=10,03=8,點C在以。為圓心，3為半徑的圓上運

動，連接AC、BC,則;AC+BC的最小值為.

10.如圖，直角三角形ABC中，ZCAB=90°,AC=4,AB=3,點P為平面內(nèi)一動點，PC=1,連

接族，點。是線段的中點，則線段A。的最小值為—，最大值為.

11.VABC是等腰直角三角形，正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)火0°<8<90。）后，連接RC,BD,

如圖所示，再延長8。交于G,以下結(jié)論中：①BD=CF；②BDLCF；③當(dāng)AB=4,AD=也

時，BG=^-,正確的是（填序號）.

5

c

12.如圖，點DE分別在線段A3,BC上，連接AE,CD相交于點R若NA=30。，NC=20。，/3=55。，

則ZEFD的度數(shù)為

A

13.如圖，在VABC中，NR4c=120。，點。在邊BC上，BD=1,AD=2,將線段A￡＞繞著點A逆

時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,若點E恰好落在邊BC上，則線段召C的長為.

14.如圖，VABC內(nèi)接于半圓。，NCS4=2NC4B,連接AO并延長，交CB的延長線于點。.若"=35。,

則/ACB=

三、解答題

15.如圖，在等腰VABC中，ZA=30°,AB=AC,沿射線BE折疊VABC,使點A恰好落在的

延長線上的點。處，射線8E與腰AC交于點E.

A

（1）尺規(guī)作圖：作出射線BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖形中，連接。E,若CE=2夜，求線段OE的長.

16.中醫(yī)與其他三大國粹（武術(shù)、京劇和書法）共同構(gòu)成了中國文化的瑰寶.這四大國粹不僅代表了

中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的杰出成就，也承載著千年的智慧與民族精神.圖1為中醫(yī)常用碾藥工具——藥碾,

又名惠夷槽，圖2是從藥碾抽象出來的幾何模型，延長長A3交。。于點C,D,DO,隹于點E,

連接CE,4=N2.

D

AE

圖1圖2

⑴求證：CE為。。的切線.

⑵若OD=10cm,Z2=60°,求OE的長.

17.綜合與實線

如圖1,這個圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周酶算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”,

數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在VABC中，將線段2C繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段8。，作DE工AB交的延長線于點E.

(1)【觀察想知】如圖2,通過觀察，線段AB與。E的數(shù)量關(guān)系是一；

(2)【問題解決】如圖3,連接C。并延長交A3的延長線于點R若4?=2,AC=6,求V3L甲的面

積;

⑶【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交3。于點N,求tan/BOV.

18.如圖1,VABC是邊長為8cm的等邊三角形，Q,D分別為邊2C,AC的中點，點M從。出發(fā)，

以g'cm/s的速度沿ZM向A運動，過M作族〃3C,分別交A3,AC于點E,F■,同時，點尸從

3出發(fā)，以4cm/s的速度沿54向A運動，設(shè)運動時間為r(s)(0VfW1.5).

(1"為何值時，戶在-4FE的角平分線上？

(2)設(shè)四邊形尸Q/石的面積為Sen?,求S與/的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如圖2,將△APQ沿PQ折疊，A的對應(yīng)點為4,是否存在某一時刻入使得4落在跖上？若存在,

求出/的值；若不存在，請說明理由.

19.在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,P為邊BC上一點,點8與點E關(guān)于直線AP對稱，過點3作

的垂線，交線段C4的延長線于點O,連接。E交直線AP于連接BE,CE,設(shè)=

①求NACE的大小(用含。的式子表示)；

②請用等式表示線段EH,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)45°<a<90°時,請直接寫出線段EH,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

20.某臨街商鋪想做一款落地窗以展示商品，為防止商品久曬受損，需保證冬至日正午時分太陽光不

能照進(jìn)落地窗.如圖，已有的遮陽棚AB=130cm,遮陽棚前段下擺的自然垂直長度BC=30cm,遮

陽棚的固定高度AD=240cm,

圖2

⑴如圖1,求遮陽棚上的點B到墻面AO的距離;

（2）如圖2,冬至日正午時，該商鋪所在地區(qū)的太陽的高度角約是60°（光線EC與地面的夾角），請通

過計算判斷該商鋪的落地窗方案是否可行.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)退之.73）

《2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：三角形綜合》參考答案

題號123456

答案DCABBC

1.D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)

和定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得是A3的垂直平分線，

DA=DB,

?：CD=3,BC=8,

：.DA=DB=5,AC=^DA1-CD2=4>

AB=y/AC2+BC2=475，

故選：D.

2.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，過點AE作人￡>，8C跖，8(?交2。于點

D,F,設(shè)CE=2a,則可得求得即可解答，熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點AE作ADL8C,跖，3c交于點"尸，

設(shè)CE=2a,

?.?E是AC邊的中點，

AC=AB=4a,

?：AB=AC,ZBAC=120°,

:.BD=CD,ZC=30°f

FC=EC-cos30°=V3a,DC=AC?cos30°=2扃,EF=EC-sm300,

BF=BC-CF=2DC-CF=36a,

根據(jù)勾股定理可得BE=^BF2+EF2=2幣a，

故選：C.

3.A

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握平行線的性質(zhì).

利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出/ODC的度數(shù)，在依次利用平行線的性質(zhì)即可求

解.

【詳解】解：ZDOC=80°,

ZODC=ZOCD=1(180°-ZDOC)=50°,

?/AC//OD,

:.ZACD^ZODC^50°,

'：AB//CD,

ZBAC=ZACD=50°,

故選：A.

4.B

【分析】易證△AB。2△班C,可得ZBCE=/BDA,AD=￡C可得①正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可

求得NDCE=NDAE,可得②正確，證明RLBEG名Rt△班F(HL),則③不正確，根據(jù)③可求得④正

確.本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①???5。為VABC的角平分線，

：.ZABD=ZCBD,

???在和AEBC中,

BD=BC

</ABD=/CBD,

BE=BA

：.AABD且△EBC(SAS),

???AD=CE,

不能得出。為AC的中點；

故①不符合題意；

???&)為VABC的角平分線，BD=BC,BE=BA,

???/BCD=/BDC=ZBAE=NBEA,

?；AABD沿AEBC,

：.ZBCE=ZBDA,

Z.BCE+ZBCD=Z.BDA+Z.BDC=180°,

則/BCEn/BCD+NDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD^ZBEA,

，NDCE=NDAE,

“比為等腰三角形，

故②符合題意；

過E作EGL3C于G點，

是/ABC的角平分線30上的點，且EF_LAB,

AEF=EG（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）,

,：在Rt^BEG和RtABEF中，

jBE=BE

[EF=EG'

/.（HL）,

:.BG=BF,ZABE=NCBE,ZFEB=NBEG>NBEC

：.BE平分ZFEG；BE不平分NFEC；

故③不符合題意；

在RtAC￡G和RUAEF中，

（EF=EG

\AE=CE'

RtACEG=RtAA￡F（HL）,

AF=CG,

：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.

故④符合題意；

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了直角坐標(biāo)系，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識.先根據(jù)

〉=*.3求出￡>（0,-3）,C（4,0）,利用勾股定理求出C。，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD=5,進(jìn)而

求出。4=2,根據(jù)%10c=：OAOC,即可求解.

3

【詳解】解：令尤=0,貝lJy=-3,令y=0,則0=:%—3,

4

解得：x=4,

￡>（0,-3）,C（4,0）,

?.0D=3,OC=4,

?.CD=doif+OC2=行+42=5,

???四邊形ABC。是菱形，

AD=CD=5,

OA=AD-OD=5-3=2,

??/■A/iUL=—2OA?OC=—2x2x4=4,

故選：B.

6.C

【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，等弧對等角，解三角形及勾股定理，理解題意，作出輔助

線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

過點E作E￡>_LOR,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出—=/ACB,確定彘=&，利用平行線分線

段成比例得出跖〃3C,設(shè)即=4蒼。。=3無，結(jié)合圖形得出所=2氐，再由平行線間距離相等及

三角形面積求解即可.

【詳解】解：過點E作EDLOE,如圖所示：

，NABC=NACB,

??BF=CE，

???

??BE=CF，

???BE=CFf

：.AE=AF,

.AEAF

.AEAF

**AB-AC?

：.EF//BC,

4

tmZEOF=-,

3

設(shè)ED—4x,OD=3x,

OE=OB=5x,DF=5x-3x=2x,

EF=yjED2+DF2=20，

...S?F_EF_2加,

S?BOEBO5

故選：c.

7.1

3

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

過點A作AEL5C于點E,過點2作8DLAC于點，由題意得：BC=2,AE=2,AB=AC=^5,

然后利用面積法求出3。的長，從而在RtZXASO中利用勾股定理求出的長，最后利用銳角三角函

數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：過點A作AE_L5c于點E,過點B作血，AC于點D,

由題意得：BC=2,AE=2,AB=AC=Vl2+22=y/5，

S^c=^BCAE=^ACBD,

—x2x2=—xy/sBD,

22

.?.BD=,

5

'：BD±AC,

.?.在RtAABD中，AD=yJAB2-BD2=^~,

4A/5

tanNBAC=—=,

AD述3

4

故答案為：—.

8.

2

【分析】過點/作切，AO,根據(jù)正方形與正六邊形的性質(zhì)可得OA=OD=2,4=60。,N2=45。，得

出/2=/3=45°,m=",設(shè)。//=無，則。尸=2%,AH=FH=43x,^^OA=OH+AH=y/3x+x=2,

求出x,得出。尸，再求出。R,即可求解.

【詳解】解：過點尸作可，AO,

36001

根據(jù)正方形與正六邊形的性質(zhì)可得OA=OD=2,Z1==60°,Z2=-x90°=45°,

???Z2=Z3=45°,AH=FH,

設(shè)。”=%，則。/=2%,

.??FH=^2x)2-x2=6x,

AH=FH=A，

***OA=OH+AH=y/3x+x=29

2

解得一可］,

OF=2x=-^—=26-2,

V3+1

DF=2-(2A/3-2)=4-2V3,

.DF4-2也2-6(2-@(若+1)__73-1

,?OF~2^/3-2V3-1-(73-1)(73+1)-一2

故答案為：

一

【點睛】該題考查了正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)等知識點，解

題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

【分析】本題考查求最值問題，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，在Q4上取一點E,

使得OE=L5,先證將‘AC轉(zhuǎn)化為CE,從而求得（AC+BC的最小值.解題關(guān)鍵是

22

構(gòu)造出VCOE^VAOC由性質(zhì)轉(zhuǎn)換等量關(guān)系.

【詳解】解：如圖，在。4上取一點E,使得OE=1.5,連接BE,

VZAOB=90°,AB=10,03=8,

O4=V102-82=6

：OC=3,OA=6,OE=1.5

.OEPC1

"OC^OA^2

,/ZCOE=ZAOC,

：.NCOE^NAOC,

,CEPC1

"AC^OA~2'

CE=-AC,

2

在ABCE中，BC+CE>BE,

/.3C+CE最小值為BE的長度，

^AC+BC的最小值等于BE的長度，

在RLBOE中，BE=>]OB2+OE2=A/82+1.52=,

2

.?.[AC+BC的最小值回1.

22

故答案為：叵.

2

10.23

【分析】本題考查了中位線的應(yīng)用，直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，三角形邊長關(guān)系，取

的中點連接利用三角形邊長關(guān)系即可求解，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，取BC的中點。，連接

根據(jù)勾股定理可得BC=^AC2+AB2=5，

:.AD=-CB=-,

22

根據(jù)三角形邊長關(guān)系可得A。+。。2A。，

.??點。在線段上時，線段的最小，最小值為g-；=2,

點。在線段AZ）的延長線上時，線段4。的最大，最大值為：+；=3,

故答案為：2；3.

11.①②

【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中

線的性質(zhì)等知識，對③的判斷是比較難，判斷出點G的運動路徑后問題則迎刃而解.根據(jù)等腰直角

三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)易得AA4Z涇AC4F（SAS）,從而易得①②正確；取的中點。，連接

OG、OA,則由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得OG是BC的一半，即為定值，故可得點G的運動

路徑是以O(shè)為圓心OG長為半徑一段圓弧上運動，從而BG的長度不是固定的，因此可對③作出判定.

【詳解】解：：四邊形是正方形，

/.AD=AF,ZDAF=ADAC+Z.CAF=90°,

是等腰直角三角形，ZBAC^90°,

：.AB=AC,

：.ZBAD+ZDAC=90°,

：.ZBAD=ZCAF,

：.ABAD^AC4F（SAS）,

:.BD=CF,ZDBA=ZFCA,

設(shè)BG與AC交于點貝!]NBM4=NCMG,

ZFC4+ZCMG=ZDBA+ZBMA=90°,

"GM=90°,

BD1CF,

故①②均正確；

如圖，取BC的中點O,連接OG、OA,

,/BG.LCF,ABJ.AC,

：.OG、Q4分別是RtAG3C、ABC斜邊上的中線，

OG=OC=-BC,

2

在RtA4BC中，由勾股定理得2C=0AB=4五，

OG=OC=2垃,

則點G在以。為圓心2忘為半徑的一段圓弧上運動，其中點A為此弧的一個端點，

所以BG的長變化的，不可能是定值，

故③不正確，

故答案為：①②.

12.105°

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì).根據(jù)NDFE=NA+Z4DF,NDFE=NA+NAT方求解即可.

【詳解】解：：NC=20。，AB=55°,

：.ZADF=ZB+ZC=55°+20°=75°,

,?NA=30°,

Z.DFE=ZA+ZADF=300+75°=105°.

故答案為：105。.

13.4

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及線段長度的計算,通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形，

利用角度關(guān)系和線段長度關(guān)系建立方程求解.

【詳解】解：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)后的圖形將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

.??VADE為等邊三角形，

ZADE=ZAED=60°,AD=AE=DE=2,

：.ZB+Z.BAD=60°,Z.BDA=ZAEC=120°,

ZBAC=120°,

ZB+ZC=60°,

NBAD=/C,

：.AABD^ACAE,

,ADBD

"CE"AE'

CE=4.

故答案為：4.

14.105

【分析】本題主要考查了圓周角定理、同弧所對的圓周角相等、三角形內(nèi)角和、二元一次方程組的應(yīng)

用等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

如圖：^ZCAB=x,ZOAB=y,則NCBA=2x,由如圖：設(shè)=尤，ZOAB=y,貝l|/CBA=2x

可得/BOC=2x、ZCEA=ZCBA=2x,NBCE=NBAE=x、ZECA90°；然后根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理列方程組求解即可.

【詳解】解：如圖：設(shè)=ZOAB^y,則/CBA=2x,

AZBOC=2x,ZCEA=ZCBA=2x,ZBCE=ZBAE=x,

：VABC內(nèi)接于半圓O,

：.ZECA=90°,

ZCEA+ZEAC=ZCEA+ZCAB+ZOAB,即3x+y=90°①,

Z.D+AEAC^ADCA=180°,即2y+x=55°②，

…(x=25°

①②聯(lián)立：解得：\1CO,

[y=i5。

ZACB=ZBCE+ZECA=15°+90°=105°.

故答案為：105.

15.(1)見解析

(2)2A/3+2

【分析】題目主要考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作出輔助線，

綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意作的平分線即可；

(2)過點C作CFLDE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱圖形的性質(zhì)得出

ZABC=XACB=75°,ZA=ZD=30°,再由三角形外角的性質(zhì)得出NDEC=45。，利用等腰直角三

角形的性質(zhì)得出EF=CF=2,再由正切函數(shù)求解即可.

【詳解】⑴解：作—WD的平分線，交AC于點E,射線BE即為所求；

(2)過點C作CFLDE,如圖所示：

:等腰VA2C中，ZA=30°,沿射線BE折疊VABC,使點A恰好落在3c的延長線上的點。處,

/.ZABC=ZACB=75°,ZA=ZD=30°,

/DEC=75°-30°=45°,

ZECF=/DEC=45°,

EF=CF,

,?*CE=272，

，EF=CF=2,

CF

tan/￡>=,

DF

，DF=2A/3,

，DE=2y/3+2.

16.⑴見解析

(2)20cm

【分析】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，含30。的直角三角形.熟練掌握

切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖，連接OC.由OD=OC,可得/D=NOCD.由NAED=90。，可得/￡>+/2=90。.貝！j

/OCD+N1=90。，即NOCE=90。，OC±CE,進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)由題意可求/O￡C=N71ED-，CE4=30。，則OE=2OC=2OZ)=20cm.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC.

圖2

：OD=OC,

：.ZD^ZOCD.

?/DOLAE,

：.ZAED=90°,

：.ZD+Z2=90°.

'/4=N2,

NOCD+11=90°,

ZOCE=90°,即OC_L,

又?:OC是半徑，

.?.”為0。的切線.

(2)解：vZ2=60°,Z1=Z2,

NCEA=180。——Z2=60°,

：./OEC=ZAED-/CEA=30°,

OE=2OC=2OD=20cm,

，OE的長為20cm.

17.(1)AB=DE

⑵1。

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形知識,

靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

(1)利用“一線三垂直”證AABC%EBD(AAS)即可得證；

(2)先證=BE=AC,再證aDEFsAaF可求成長度，然后即

可求出V瓦加的面積；

(3)如圖，過N作腦V_LAE于點M,即MZV〃AC、A?V〃DE,易證AEMNSAEAC和ABMN^ABED,

、.BN

從而建立關(guān)于MN的方程，求出MN的長度，再證明△5MNsZ\C4B,利用相似三角形的性質(zhì)求"

BC

BN

值，根據(jù)tanN3CN==即可解答.

nC

【詳解】(1)解：,?,線段5c繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

,BC=BD,ZCBD=90°,

???ZBCA=ZDBE=90°-ZABC,

,/ZA=ZE=Z90°,

.??△⑷3C%EBD(AAS),

：.AB=DE；

故答案為：AB=DE；

(2)解：,??線段5C繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

，BC=BD,ZCBD=90°,

???ZBCA=ZDBE=90°-ZABC,

,/ZA=ZE=Z90°,

:.△ABC^AEBD(AAS),

:.DE=AB=2,BE=AC=6,

.\AE=AB+BE=8f

???ZDEB+ZA=180。，

:.DE//AC,

：.ADEF^^CAF,

DEEF即尹EF

解得：EF=4,

,AC-AFEF+8

...BF=BE+EF=10,

.,'△BDF=；BF.DE=10.

(3)解：如圖，過N作肱V_LAE于點M,即ACV〃AC,MN//DE

c

:?AEMNSgC,ABMN^ABED,

.MN_EMMN_BM

一~\C—~EA，DE—~BE，

.MN_EM

??=，

68

4

:.EM=—MN,

3

4

:.MN飛MN,解得：MN=絲,

廣一^13

?:MNLAE,NCBD=90。,ZA=90°,

...ZMBN+ZMNB=90°,ZMBN+ZABC=90°,

:.ZMNB=ZABC,

：.ABMNs^CAB

.BNMN_9

??瓦一海-3

7BN9

「.tan/BCN=----=—.

BC13

9

故答案為：—.

4

18.⑴§s

(2)8=舟-4?+8指

⑶存在，。為左避s時，點A恰好落到班'上

2

【分析】(1)如圖1,由題意得：尸3=4f,￡>知=打，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可得4。=4君,

AM=4』-后，再證明△A￡F也是等邊三角形，貝IAE=EF,由面積法可知：FP=AM=46-&,

最后由AB=AP+JBP=8列方程即可解答；

(2)如圖2,過點。作QGLA2于G,過點、E作EH人BC于H,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)

和勾股定理計算QG,EF,AP的長，利用S=S4ABe—S^APQ—S梯形5EFC即可解答；

(3)如圖3,由折疊得：AQ=A'Q=4,AP=AP=8—4，NP4Q=NPAQ=60。，證明AAEPSAQR4，，

可得A'E=2(2T>,A尸=4,根據(jù)EF=8-2/列方程即可解答.

【詳解】⑴解：如圖1,由題意得：PB=4t,DM=后,

/VABC是等邊三角形，。是的中點，且邊長為8,

A

PZ\

ADLBC

o\c

圖1

.-.AD=y/82-42=45

/.AM=AD-DM=4君-疝，

EF〃BC,

.\AD±EF,ZAEF=ZB=60°,ZAFE=ZC=60°,

ZkAEF也是等邊三角形，

:.AE=EF,

QPB平分，AFE,

:.PF±AE,

S.=-EFAM=-AEFP,

皿FF22

:.FP=AM=4y[3-y/3t,

在RtAAPb中，ZPAF=60°,

AFP=30°,

AP=4—tf

???AB=8,

4—t+4,—8,

■:土

■'3'

(2)解：如圖2,過點。作QGLAB于G,過點E作EH,BC于H,

生

E/A/\FQ是AC的中點,

BHD

圖2

:.AQ=CQ=4f

在Rt^AGQ中，NGA。=60。，

/.ZAQG=30°f

AG=^AQ=2fGQ=273,

???AB=8,BP=4t,

AP=8—4/,

在RtzXB石〃中，/3=60。，EH=DM=@,

.?./BEH=320,

BH=t,BE—2t,

,\AE=8-2t=EF9

,,S=S&ABC-S、APQ~S梯形BEFC

=-x8x4V3--(8-40x2>/3--(8-2f+8)x/3r

222>

=舟-4?+8G；

(3)解：存在某一時刻f,使得4落在跖上，

如圖3,由折疊得：42=A'Q=4,AP=AP=8-4t,NPAQ=NPAQ=60。,

ZPAF=ZAEF+NEPA'=ZPA'Q+ZQA'F,ZAEF=ZPAQ=60°,

圖3

■.ZQA'F=ZEPA,

:NPEA'=NQH'=60°,

AA'EP^AQFA',

A'EEPA'P

~QF~~^F~~^Q，

,A'E2t8-4r

'4-2t~^F~4,

2t

;A'E=2(2-02,ArF=——，

2—t

.?EF=A'E+A'F=8-2t,

2(2—z)2H------=8—2/,

(2-力2-j------=4-t

2—tf

(2-t)(t2-3t)+t=0,

vO<^<1.5,

【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形相似，等邊三角形，三角形折疊的性質(zhì)，四邊形

的面積的計算方法，并與方程相結(jié)合，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)時間和速度表示出線段的長，也是難點.

19.（1/1）45。+。；②DE=