專題五幾何圖形的性質(zhì)與判定的綜合問題

第07講三角形的綜合問題（思維導(dǎo)圖+8考點(diǎn)+8種題型）

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

03核心精講?題型突破

考點(diǎn)一、全等三角形的性質(zhì)與判定

題型01、全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合

考點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)與判定

題型02、等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合題

考點(diǎn)三、相似三角形的性質(zhì)與判定

題型03、相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

考點(diǎn)四、（尺規(guī)）作圖背景下三角形

題型04、（尺規(guī)）作圖背景下三角形性質(zhì)應(yīng)用

考點(diǎn)五、三角形背景下的軸對(duì)稱問題

題型05、三角形背景下的軸對(duì)稱問題

考點(diǎn)六、三角形背景的旋轉(zhuǎn)問題

題型06、三角形背景的旋轉(zhuǎn)問題

考點(diǎn)七、三角形背景下的平移問題

題型07、三角形背景下的平移問題

考點(diǎn)八、函數(shù)與三角形的綜合問題

題型08、函數(shù)與三角形的綜合問題

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)新課標(biāo)要求命題預(yù)測

1、①理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、在中考中，全等三角形主要以選擇題、

角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。填空題和解答題的簡單類型為主，常結(jié)

②探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推合四邊形綜合考查.

論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和。等腰三角形重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上

③證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考

④理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以

對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。等腰三角形為特征總結(jié)的.而數(shù)學(xué)中考

2、掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是

三角形三角形全等。比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但

⑥掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ停?/p>

角形全等。所以等腰三角形結(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸

②掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全題的幾率特別大，所占分值也是比較多，

等。屬于是中考必考的中等偏上難度的考

證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相

等的兩個(gè)三角形全等。直角三角形在中考中一直是較為重要的

理解角平分線的概念，探索并證明角平分線的性質(zhì)幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，常考

定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，考點(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，

@理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂特別是含特殊角的直角三角形，加是考

直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線察的重點(diǎn)出題類型可以是選擇填空題這

段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的類小題，也可以是各類解答題，以及融

點(diǎn)在線段的垂直平分線上。合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背

@理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形景進(jìn)行拓展延伸結(jié)合以上考察形式，需

的版定理:要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有

等腰三角形的兩個(gè)底角相等；底邊上的高線、中線關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，

及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定以及特殊直角三角形常考的考察方向。

定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。探索

等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于

60%探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等

的三角形（或有一個(gè)角是60。的等腰三角形）是等

邊三角形。

理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的

性質(zhì)定理：

直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半。掌握有兩個(gè)角互余的三角形

是直角三角形。

探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些

簡單的實(shí)際問題。

@探索并掌握判定直角三角形全等的"斜邊、直角

邊"定理。

了解三角形重心的概念。能用尺規(guī)作圖：已知三邊、

兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊

及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜

邊作直角三角形。

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

題型01、全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合

核心精講?題型突破

考點(diǎn)一、全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

題型01、全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

真題研析

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在VABC中，A8=AC=2g,NBAC=120。，點(diǎn)。，E都在邊BC上,

ZZME=60°.若BD=2CE,則DE的長為（）

A.3+6B.3A/3-3C.2若-1D.3石-4

2.（2023?浙江臺(tái)州?中考真題）如圖，銳角三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上，連

接BE,CD.下列命題中，假俞博是（）.

A.若CD=3E,則ZDCB=NEBCB.若NDCB=NEBC,則CD=3E

C.若&D=CE,則NOCB=N￡BCD.若NDCB=NEBC,則8D=CE

3.（2023?浙江?中考真題）如圖，在VAOB與△<%>￡>中，ZA=ZC,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得

△AOB94COD.

4.（2023?浙江衢州?中考真題）已知：如圖，在VABC和/比產(chǎn)中，B,E,C,尸在同一條直線上.下面四

個(gè)條件：?AB=DE；?AC=DF-③BE=CF；?ZABC=ZDEF.

（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得AABC公△DEF（寫出一種情況即可）;

(2)在(1)的條件下，求證：△ABC四△DEF.

命題預(yù)測

5.(2025?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在VA3C中，ZB=40°,ZC=25°,過點(diǎn)A作凡DI3C,垂足為。，延

長D4至E.使得AE=AC.在邊AC上截取詼=AB,連結(jié)EA

(1)求/及LF的度數(shù).

(2)求證：EF=BC.

6.(2025?浙江杭州?一模)如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形

ABC和等邊三角形CDE,與BE交與點(diǎn)。、AD與BC交于點(diǎn)P、BE與CD交于點(diǎn)Q.

(1)AD=BE；

(2)CPQ是等邊三角形

7.(2023?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在VABC中，AOAB,射線AO平分4AC,交BC于點(diǎn)、E,點(diǎn)廠在邊AB

的延長線上，AF^AC,連接EF.

C

(1)求證：△AEC絲△AEF.

⑵若/AEB=50。，求ZB印的度數(shù).

8.(2023?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，在VABC中(AB<BC),過點(diǎn)C作CD〃AB,在CD上截取CD=C3,

CB上截取CE=M,連接￡>E,DB.

(1)求證：ABC空ECD.

(2)若ZA=90°,AB=3,CD=5,求8。的長.

考點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

題型02、等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

真題研析

9.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是VABC邊AB,AC的中點(diǎn)，連接BE,DE.若

AAED=NBEC,DE=2,則郎的長為

10.（2023?浙江?中考真題）如圖，在VABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)、E,ZB=ZADB.若

AB=4,則。C的長是.

11.（2022?浙江嘉興?中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在橫線上—填上

一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件.

A

A

12.（2023?浙江湖州?中考真題）如圖，在VABC中,AB=AC,4。人8C于點(diǎn)。，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連

結(jié)。E.已知BC=10,AD=12,求的長.

13.（2023?浙江寧波?中考真題）在4x4的方格紙中,請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

（1）在圖1中先畫出一個(gè)以格點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形上4B,再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的△PAS'.

（2）將圖2中的格點(diǎn)VABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A'3'C.

命題預(yù)測

14.（2024?浙江寧波?一模）如圖，在三角形ABC中，過點(diǎn)5,A作BOLAC,AE1BC,BD,AE交于

點(diǎn)尸，若/54C=45。，AD=5,CD=2,則線段8尸的長度為（）

A

L5

A.2B.3^2-2C.3D.-

15.（2024.浙江.模擬預(yù)測）如圖，在等邊VABC中，過點(diǎn)A作AD〃5C,在射線AD上取一點(diǎn)尸，連接依

和尸C.設(shè)登的最大值為。，最小值為。，則必的值為（）

A.1B.-C.BD.J3

33

16.（2025?浙江寧波?一模）如圖，在ABC中，BD1AC于點(diǎn)D,BD=1,/A=45。，4=30。，則

17.（19-20八年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD,BE

平分/ABC交AC于點(diǎn)E.

（1）過點(diǎn)E作EF〃3C交AB于點(diǎn)R求證：FB=FE.

⑵若NC=36。，求NMD的度數(shù).

18.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中，AC>AB,在AC上取點(diǎn)。使得AD=AB,連結(jié)BO,

過點(diǎn)A作AELBD,垂足為E,延長AE交BC于點(diǎn)b，連結(jié)OF.

D

E

BFC

(1)求證：VBDR為等腰三角形；

⑵若/C=30。，ZG4F=45°,DF=2,求AB的長.

19.(2021.浙江杭州.模擬預(yù)測)如圖，在VA2C中，AB=AC,ADIBC^D,作OE1AC于E,尸是A8中

點(diǎn)，連EF交AD于點(diǎn)G.

⑴求證：AD2=ABAE;

(2)若AB=5,AE=4,求DG的值.

20.(2024.浙江.模擬預(yù)測)如圖，VABC是等腰三角形，AB=AC.設(shè)/BAC=c.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段A3上，若/ACD+NB4c=45。，求/DCS的度數(shù)(用含。的代數(shù)式表示).

(2)如圖2,已知AS=AC=3。.若NAB￡>+NBAC=18O。，過點(diǎn)B作郵工AD于點(diǎn)H,求證：BH=^BC.

21.(2022?浙江寧波?一模)如圖，VABC中，ZB=ZC=30°,"EF=3O。，且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn).將NDE尸

繞點(diǎn)￡旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OE與線段相交于點(diǎn)P,射線E尸與射線C4相交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.

圖1備用圖

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C4上時(shí)，

①求證：BPES"Q；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)△AP。為等腰三角形時(shí)，求穿的值.

Dr

22.(2018?陜西西安?一模)如圖，在VABC中，ZACB=90°,ZASC=30°,CDE是等邊三角形，點(diǎn)。在

邊上.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證DE=EB

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在VABC內(nèi)部時(shí)，猜想EO和仍數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在VA3C外部時(shí)，EHLAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作GEAB,交線段AC的延長線于點(diǎn)G,

AG=5CG,BH=3,求CG的長.

23.(2024?浙江紹興?二模)如圖，銳角VABC中，A3=AC,點(diǎn)。在43上，DESAC交AC于點(diǎn)E,連接

CD,NCDE=/B.

(1)特例探索：如圖1,若NA=60。，求NA8的度數(shù)；

(2)類比遷移：如圖2,若NA=a,求NACD的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示);

(3)拓展提升：在圖2中，猜想8。與AE的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

考點(diǎn)三、相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

題型03、相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合問題

真題研析

24.（2023?浙江?中考真題）如圖，點(diǎn)尸是VABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE//AC交于點(diǎn)E,DF//BC

交EP于點(diǎn)F,若四邊形CDEE的面積為6,則VA3C的面積為（）

A.15B.18C.24D.36

25.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，ACD中，AD=M,CD=a,BC工AC于點(diǎn)、C,AC=2BC,則的

最大值為.

26.（2023?浙江衢州?中考真題）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，ZACB=90°（AC<BC）,

四邊形ACDE,CBFG是正方形.過點(diǎn)C,8將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個(gè)方向剪裁成四部分,

并與正方形ACDE,VA3C拼成圖2.

C

G

⑵右而F,則通=

27.（2005?浙江臺(tái)州?中考真題）如圖所示，在4x4的正方形方格中，VABC和』）EF的頂點(diǎn)都在邊長為1的

小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)填空：ZABC=

（2）判斷VABC與DER是否相似？并證明你的結(jié)論.

28.（2022?浙江嘉興?中考真題）小東在做九上課本123頁習(xí)題：“1：&也是一個(gè)很有趣的比.已知線段48

（如圖1）,用直尺和圓規(guī)作上的一點(diǎn)P,使AP：A3=l：后.”小東的作法是：如圖2,以AB為斜邊

作等腰直角三角形ABC,再以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).小

東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”.

圖1B

（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP,點(diǎn)。為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在的上方，構(gòu)造

DPE,使得「DPEsqCPB.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求/CPE的度數(shù).

②如圖4,DE分別交CP,CB于點(diǎn)、M,N,當(dāng)點(diǎn)。為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD<A。），猜想：點(diǎn)N是否為

線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由.

29.（2023?浙江衢州?中考真題）視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行

的“E”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表.

素材1國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個(gè)視力值n,測得對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長灰mm）,

在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖1.

探究1檢測距離為5米時(shí)，歸納w與6的關(guān)系式，并求視力值L2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長.

圖1

素材2圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時(shí)，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角。，視力

值〃與分辨視角。（分）的對(duì)應(yīng)關(guān)系近似滿足“=4（0.5V，W10）.

探究2當(dāng)“21。時(shí)，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對(duì)應(yīng)的分辨視角。的范圍.

素材3如圖3,當(dāng)。確定時(shí)，在A處用邊長為4的I號(hào)“E”測得的視力與在B處用邊長為打的H號(hào)“E”測得的

視力相同.

探究3若檢測距離為3米，求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長.

命題預(yù)測

30.（2025?浙江寧波?一模）如圖，在VABC中，ZACB=90°,/ABC=30。，AC=1,點(diǎn)N是BC邊上

BN

的一點(diǎn)，且—=2,點(diǎn)M是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接以為直角邊，點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在MN

CN

的左側(cè)作等腰直角三角形MVQ,則CQ的最小值是（）

31.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，VA3C中，AB=AC,BC=4,高線AO的長為加，腰AC上的中線

8M的長為"，過M作MVLBC于N點(diǎn)，則"Z，”之間的數(shù)量關(guān)系式為（）

A.rr—m1+16=0B.rrr—4??2+36=0

C.%2+〃2_24=oD.m2+4?2-20=0

32.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，。是VABC的邊48上一點(diǎn)，且AD:O3=2:1,過點(diǎn)。作DE〃BC,交AC

于點(diǎn)、E,取線段AE的中點(diǎn)R連接DF.若止=4,則VABC中AC邊上的中線長為（）

33.（24-25九年級(jí)上?浙江嘉興?期末）如圖，VABC的兩條中線AE,BO相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作印）〃3（7交

AE于點(diǎn)"，則翳的值為

34.（2024?浙江寧波?二模）己知在等腰7ABe中，AB=AC,E是BC的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)8,F是AC

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD〃AB交EF延長線于點(diǎn)。.

⑴求EF:DF的值；

（2）連接AE,若ZDEA=NB,BE=2,求AE的值.

35.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ASC中，ZC=90°,過點(diǎn)E作ED_LAB,垂足為O.

⑴若AB=10,AC=8,AE=5,求AO的長；

（2）連接8E,若CEBsCBA,且CE=1,AE=3,求DE的長.

36.（2018?浙江杭州?一模）如圖，在VABC中，AO是角平分線，點(diǎn)E在邊AC上，且AD?=鉆.筋，連接.

37.（22-23九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在Rt.ABC中，ZACB=90°,CD是VABC的中線，作A^_LCD

于尸，作FE〃BC交BD于E.

（1）求證：AACF^ABAC；

（2）若AC=10,CF=6,求5D及砂的長.

38.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，D,E為,GCF中G歹邊上兩點(diǎn)，過。作ABCP交CE的延長線于

點(diǎn)A,AE=CE.

⑴求證：ADEWCFE；

(2)若比)=1,GB=2,BC=3,求AB的長.

考點(diǎn)四、（尺規(guī)）作圖背景下三角形性質(zhì)綜合應(yīng)用

題型04、（尺規(guī)）作圖背景下三角形性質(zhì)綜合應(yīng)用

真題研析

39.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖，在VABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交48,AC

于點(diǎn)。，E.分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于goE長為半徑畫弧，交于ZB4c內(nèi)一點(diǎn)連結(jié),并延長，交.BC

于點(diǎn)G.連結(jié)DG,EG.添加下列條件，不能使5G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.ZDGB=ZEGCD.AG=AC

命題預(yù)測

41.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）如圖，已知NAO3=90。，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，能得出ZAOC=45。的是（）

A.①③B.①②C.②③D.①②③

42.（2024?浙江杭州.二模）利用尺規(guī)作圖，過直線A3外一點(diǎn)P作已知直線48的平行線.下列作法錯(cuò)誤的

43.（2022?浙江衢州?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,ZB=36°.分別以點(diǎn)4C為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D,E,作直線OE分別交AC,BC于點(diǎn)EG.以G為圓心，GC長為半

徑畫弧，交BC于點(diǎn)H,連結(jié)AG,A”.則下列說法專肯誤的是（)

A.AG=CGB.ZB=2ZHAB

C.CAH^BAGD.BG2=CGCB

44.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABC。中，AB=2BC,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CB長

為半徑作弧交AC于點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心，AE長為半徑作弧交A3于點(diǎn)廠,。“與CP相交于點(diǎn)G,則

45.（2025?浙江寧波?一模）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)叫做格點(diǎn)，VABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

（1）在VABC的邊48上找到一點(diǎn)。，連接C。，使得..AC。的面積與△BCD的面積之比為3:2,請(qǐng)僅用無

刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，并保留作圖跡.

⑵在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)E（E點(diǎn)不同于A、B、C）,連接AE、BE,使得ZAEB=2ZACB,請(qǐng)僅用

無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，并保留作圖痕跡.

46.（2024?浙江溫州三模）如圖，在7x5的方格紙AB8中，請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且線

段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)A,B,C,。重合.

圖I圖2

（1）在圖1中畫一條格點(diǎn)線段GH,使G,”分別落在邊上，且G”與族互相平分；

（2）在圖2上畫一條格點(diǎn)線段MN,使N分別落在邊AB,CD上，且要求分成為1:2兩部分.

47.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中，AB=AC,LAC于。.

（1）尺規(guī)作圖：作線段BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)冗（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)連結(jié)C/,判斷NDHC和NA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

48.(2023?浙江溫州?一模)如圖，在8x8的方格紙中，P,。為格點(diǎn)，VABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要

求畫圖.(注：圖1,圖2在答題卷上.)

O

(1)在圖1中畫出VABC平移后的格點(diǎn)三角形，使得點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是線段尸。的中點(diǎn).

(2)在圖2中畫出VABC平移后的格點(diǎn)cOE尸，點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，E,F,DEF滿足以

下兩個(gè)條件：

①直線DE經(jīng)過線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)；

②三個(gè)頂點(diǎn)均不落在線段尸。上.

49.(2024?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測)如圖是6義6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),

7ABe的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)將VABC先向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，畫出平移后的AMC.

(2)點(diǎn)。為邊3C與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，試用無刻度的直尺找出點(diǎn)。關(guān)于AB對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)內(nèi)

50.(2024?浙江.一模)如圖，將線段A8繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)至80,點(diǎn)。恰好落在射線AC上，分別以點(diǎn)A3為圓

心，大于線段AB的一半長為半徑畫弧,過兩弧的交點(diǎn)作直線交射線AC于點(diǎn)E,連結(jié)跳，量得ZDBE=75。,

則2A的度數(shù)是.

C

D,

五、

考點(diǎn)五、三角形背景下的軸對(duì)稱問題

題型05、三角形背景下的軸對(duì)稱問題

真題研析

51.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在紙片VABC中，/C=90。,N3=60。，點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上,

且將VADE沿DE折疊，使點(diǎn)4落在邊BC上的點(diǎn)F處，則B￡>:CE=（）

A.3:2B.73:2C.2#）:3D.4:3

52.（2023?浙江杭州?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,ZA<90°,點(diǎn)REr分別在邊AB,BC,CA±.,

連接DE,EF,FD,已知點(diǎn)8和點(diǎn)/關(guān)于直線DE對(duì)稱.設(shè)空=左，^AD=DF,則三=_________（結(jié)果

ABFA

用含左的代數(shù)式表示）.

53.（2023?浙江紹興?中考真題）（1）一副直角三角尺如圖1所示，中間各有一個(gè)直徑為4cm的圓洞，現(xiàn)將三

角尺a的30。角的那一頭插入三角尺。圓洞內(nèi)，如圖2所示.則三角尺。通過三角尺，圓洞的那一部分的最大

面積為cm2.（不計(jì)三角尺的厚度）

（2）如圖3,矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿直線PE將V/4PE翻折，點(diǎn)A落

在點(diǎn)尸處.已知AB=6,A￡>=4,連結(jié)C￡CE.

①當(dāng)4尸=4時(shí)，CF=

②當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，4尸=

圖1

命題預(yù)測

54.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形ABCD中,AB=A￡)=6,BC=14,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線

段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)FE,將ABEF沿EF折疊得到△GEF.在點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，若射線FG

與上底AD相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）

55.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿尸。，初V折疊，頂點(diǎn)A,B,C,D的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',C,力，點(diǎn)9與6重合，點(diǎn)A恰與3C,的交點(diǎn)重合.若CD=2,大加=3,

則的長為（）

C

A.12cmB.3石+5cmC.575cmD.15cm

56.（2024?浙江寧波?二模）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F

分別在邊AC,上，AE=1,將VADE,VBDF分別沿DE,。尸翻折使得A與4重合，8與9重合，

美BE,則BF=.

57.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在RtZvlBC中，ZABC=90°,ABAC=60°,BC=2^/3,。是3C上一點(diǎn)，連

接AD,將AWC沿AD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在平面內(nèi)，連接BC'.若BC〃AC,則△”（?'的面積

為____________________.

58.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn),

點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿OE所在直線把VBDE翻折到的位置，交A3于點(diǎn)尸，若A3,為直

59.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，在直角三角形紙片ABC中，/C=90,AC=6,BC=8,點(diǎn)。在邊

BC±,以AD為折痕，將△ABD折疊得到VAB'D,與邊BC相交于點(diǎn)E.若△DE笈為直角三角形，則

8。的長是

60.（2024?浙江紹興.模擬預(yù)測）如圖，在中，ZACB=9Q°,AB=9,tanB=2,點(diǎn)。在邊AB上,

點(diǎn)E在邊AC上，將VABC沿著折痕DE翻折后，點(diǎn)A恰好落在線段2c的延長線上的點(diǎn)尸處，如果

ZBPD=ZA,那么折痕DE的長為.

61.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）在等邊三角形ABC外側(cè)作直線AP,點(diǎn)3關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為O,連接C。,

交AP于點(diǎn)E,連接BE.

（1）依題意補(bǔ)全如圖；

⑵若/R4B=20。，求/ACE；

（3）若0。＜/2鉆＜60。，用等式表示線段。E,EC,C4之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

62.（16-17八年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的正方形中，點(diǎn)4

3、C在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在圖中畫出與ABC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的△A5'C'；

（2）三角形ASC的面積為二

（3）以AC為邊作與VABC全等的三角形，則可作出一個(gè)三角形與，ABC全等;

（4）在直線/上找一點(diǎn)P,使PCBPCB的周長最短（在圖中作出點(diǎn)尸）.

考點(diǎn)六、三角形背景的旋轉(zhuǎn)問題

題型06、三角形背景的旋轉(zhuǎn)問題

真題研析

63.（2023?浙江嘉興?中考真題）一副三角板ABC和DEF中,

ZC=ZD=90°,48=30。，ZE=45°,BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊8C與所重合，8與AB相

交于點(diǎn)G（如圖1）,此時(shí)線段CG的長是,現(xiàn)將.DEF繞點(diǎn)C（可按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,

邊防與A3相交于點(diǎn)H,連結(jié)在旋轉(zhuǎn)0。至U60。的過程中，線段掃過的面積是.

命題預(yù)測

64.（2024.浙江.模擬預(yù)測）如圖，在VABC中,ZACB=60°,將線段AC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20。，點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。正好在邊AB上，則N3的度數(shù)為（）

D.25°

65.（2024.浙江溫州.模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)4（-1,0）,3（0,2）,6與A關(guān)于y軸對(duì)稱,連結(jié)43,現(xiàn)將線段

A3以H點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AE,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)笈的坐標(biāo)為（）

C.（4,1）D.（3,2）

66.（2023?浙江寧波?三模）如圖，將VABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)66。，得到VADE,若點(diǎn)。在線段的延長

線上，則N3的大小是（）

55°C.57°D.58°

67.（2024?浙江溫州?三模）如圖，VABC為等腰直角三角形,ZC=90°，將其繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，

得到CDE,連接AE、BD,則些=（）

AE

A.BB,92

C.73-1D.-

325

68.（2024?浙江寧波?二模）如圖VABC與VADE均為等腰直角三角形，AD=^AB=a,直線瓦）與直線CE

交于點(diǎn)尸，在VABC與VAOE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過程中，尸到直線BC的距離的最小值為（）

7

C.—yfiaD.—

64

E

A

P

69.（17-18九年級(jí)下?全國?單元測試）如圖，已知正方形ABC。的邊長為2,如果將線段8。繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)

后，點(diǎn)。落在CB的延長線上的以處，那么tan/B4D'等于.

70.（23-24九年級(jí)上?北京西城?期中）在VABC中，ZABC=90°,AB=BC.將VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

（0°<a<180°）,直線C3與直線OE交于點(diǎn)尸，點(diǎn)B尸間的距離記為正，點(diǎn)E,P間的距離記為跖.給

出下面四個(gè)結(jié)論：①斯的值一直變大；②取的值先變小再變大；③當(dāng)。。<?<90。時(shí)，彼-EF的值保持

不變；④當(dāng)90。<a<180。，3尸-EF的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

71.（2024?浙江.二模）如圖，在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3C=1,點(diǎn)。在邊2C上運(yùn)動(dòng)，連接AD,

將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，交斜邊于點(diǎn)E.則點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長

為.

72.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AC^BC,。是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD,將AD

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AE,連結(jié)BE,BE交AD于G,交AC于點(diǎn)八

A

(1)若CD=CF,貝han/FBC=

(2)若CD=BD,貝!JtanNE=_.

73.(2024?浙江杭州.模擬預(yù)測)在RtAABC中，M是斜邊48上的一點(diǎn)，將線段跖I繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至位

置，點(diǎn)C,。在直線A3的同一側(cè).

(1)當(dāng)M是A3的中點(diǎn)時(shí)，連接ADBD.

①如圖1,求403的大小;

②如圖2,已知點(diǎn)。和邊AC上的點(diǎn)E滿足連接CD.求證：BD=CD.

(2)如圖3,當(dāng)時(shí)，在線段加取一點(diǎn)G,連接BG并延長交AC的延長線于點(diǎn)孔當(dāng)四邊形CMGP

是平行四邊形時(shí)，若△ACW的面積為8,BCGM=12,求平行四邊形CMG廠的面積.

74.(23-24八年級(jí)下?廣東佛山?期中)綜合與實(shí)踐

如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種機(jī)械裝置，BC在地面上，所在等腰直角三角形ABC是固定支架，機(jī)械臂AD可以

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，同時(shí)機(jī)械臂可以繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，已知ZR4C=90。，AD=6,DM=2.

(1)如圖2,把機(jī)械臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E處，連結(jié)DE,當(dāng)/AEC=135。,

①連接C。，探究8E與CO的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)CE=7時(shí)，求BE的長

（2）如圖3,機(jī)械臂A、D、M三點(diǎn)共線，AM//BC,此時(shí)機(jī)械臂A"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105。，機(jī)械臂一端恰好落

在3C邊上，標(biāo)記為點(diǎn)N,求支架的長.

75.（2024?浙江杭州?三模）綜合與實(shí)踐

L—，_—__＜_/

囹1圖2

【問題情境】

（1）如圖1,在9x9的方格紙中，每個(gè)小方格的邊長為1.ABC為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），將ABC

繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到qDBE,點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng).

①請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉邪匆螽嫵?ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的圖形.

②求點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E所經(jīng)過的路程.（結(jié)果保留兀）

【深入探究】

（2）如圖2,ABC中，點(diǎn)C在A3右側(cè)，NC=90。，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到DBE,連接

AD.已知］!=狂0＜左＜1）.求tan/C4D的值.（用含有人的代數(shù)式表示）

三角形背景下的平移問題

考點(diǎn)七、三角形背景下的平移問題

題型07、三角形背景下的平移問題

真題研析

76.（2022?浙江嘉興?中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓

意是同心吉祥.如圖，將邊長為2cm的正方形A8CD沿對(duì)角線8。方向平移1cm得到正方形48C。，形

成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)。，￡之間的距離為（）

A'

1

CC

A.1cmB.2cmC.（及一l）cmD.（2及一l）cm

77.（2023?浙江溫州?中考真題）如圖，在2x4的方格紙ABC。中，每個(gè)小方格的邊長為1.已知格點(diǎn)尸，請(qǐng)

按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

/'?■-_■*r-:：

BC

（1）在圖中畫一個(gè)等腰三角形PEF,使底邊長為近，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)廠在AD上，再畫出該三角形繞矩形

ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

⑵在圖中畫一個(gè)Rt△尸QR,使NP=45。，點(diǎn)。在8C上，點(diǎn)R在AD上，再畫出該三角形向右平移1個(gè)單

位后的圖形.

命題預(yù)測

78.（2024?浙江臺(tái)州.二模）如圖，將三角形ABC（AC>AB）沿BC方向平移得到DEF,使BE=3BC,DE

與AC交于點(diǎn)以下關(guān)于四邊形DMCF和四邊形周長的說法，正確的是（）

A.周長之差可由（AC-AB）值確定

B.周長之和可由（AC+AB）值確定

C.周長之差可由（AC-AB+3C）值確定

D.周長之和可由（AC+AB+3C）值確定

79.（2024?浙江溫州?二模）如圖，在5x6的方格紙中，已知格點(diǎn)VABC和格點(diǎn)請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)三角形

（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

圖2

（1）在圖1中，畫出VABC平移后的圖形，使M為其中一邊的中點(diǎn).

（2）在圖2中，畫出與VABC成中心對(duì)稱的圖形，使M為其中的一個(gè)頂點(diǎn).

80.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面

3(2,-4),C(5,-3).

（1）將VABC先向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到△ABC-畫出兩次平移后的△AB。一并寫

出點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）畫出△A8G繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△右與G,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長.（結(jié)果保留萬）

81.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）【問題情境】

在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，老師給出了如圖1所示的一張矩形紙片ABCD,其中AB=8,BC=6.如圖2,

將