專項突破提升（二）

因中的最值問題因與函數的綜合

建議用時：90分鐘滿分:110分

一、圓中的最值問題

1.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,4）,3（—4,4）,C（-6,2）都

在。M上，則原點。到。“上一點的最短距離為（A）

A.2V5—2

C.2D.2V5+2

解析：如圖，分別作AB,3C的垂直平分線，其交點即為點

由圖可知點M的坐標為（一2,0）,

：.OM=2.

VA（0,4）,：.AM=y/22+42=2VS.

原點。到。M上一點的最短距離為2遙一2.

2.（4分）已知線段AB=4,點C為平面上一點.若NACB=30。，則線段AC的最

大值是（C）

A.4B.4V3

C.8D.2V6+2V2

解析：如圖，以A3為邊作等邊三角形。4s作△ABC的外接圓。。

VAOAB為等邊三角形,

：.0A=0B=AB=4.

"：ZACB=30°,

??.當AC為外接圓。。的直徑時，AC最大，最大值為8.

3.（4分）如圖，在RtZXAB。中，ZAOB=90°,ZB=6Q°,OA=6,。。的半徑

為1,點尸是邊A3上的動點，過點P作。。的一條切線尸。（點。為切點），則

切線長PQ的最小值是（A）

A.2V2B.3

C.2V3D.4

解析：如圖，連接OQ.

,.?PQ與。。相切于點Q,

半徑OQLPQ.

：.ZPQO=9Q°.

?圓的半徑為1,

PQ=JPO2-OQ2=^PO2-1.

??.當P。最小時，PQ最小，即當P0LA3時，P。最小.

VZB=60°,/.ZA=90°-ZB=30°.

：.PO的最小值為工。4=^X6=3.

22

，PQ的最小值是，32—1=2V2.

4.（4分）如圖，。。的半徑OR,弦A3于點E,C是。。上一點，AB=U,CE

的最大值為18,則ER的長為（

A.8B.6

C.4

解析：如圖，連接OA.

的半徑OR,弦A3于點E,AB=12,

1

.\AE=-AB=6.

2

當C,O,E在同一條直線上時CE最長，設半徑為r,則OE=18—r.

在RtAAOE中，OE2=O^-AE2,

即（18一廠）2=/一62,解得廠=10.

.*.OE=18-10=8,

EF=OF-OE=10-8=2.

5.（4分）如圖，直線機是正五邊形A3CDE的一條對稱軸，點尸是直線機上的

動點，當3P+CP的值最小時，N3PC的度數是（C）

第5題圖

A.36°B.54°

C.72°D.108

解析：如圖.由直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸可知，點C與點、D關于直

線機對稱，連接3。交直線機于點P,連接PC,此時P3+PC的值最小.

五邊形ABCDE是正五邊形,

：.BC=CD,ZBCD=(5-2)X180°=108°.

5

???ZBDC=ZCBD=180O-108°=36O.

2

"：PC=PD,：.ZPCD=ZPDC=36°.

ZBPC=2ZPDC=12°.

6.（4分）如圖，0M的半徑為4,圓心〃的坐標為（6,8）,P是。航上的任意一

點,PALPB,且以，尸3與x軸分別交于A,3兩點.若點A,3關于原點。對

稱,則AB長的最小值為（

A.6B.8

C.12D.16

解析：如圖，連接。P.

'CPALPB,：.ZAPB=90°.

'：A0=B0,：.AB=2P0.

若要使A3取得最小值，則尸。需取得最小值，連接0M,交。”于點P,當點

P位于點P位置時，0p取得最小值，過點〃作龍軸于點Q,則。。=6,

MQ=8,

：.OM=10.

'：MP'=4,：.0P'=6.

：.AB=2OP'=12.

7.（4分）定義：一個圓分別與一個三角形的三條邊各有兩個交點，且所截得的三

條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”.現有一個斜邊長為2的等腰直角三角

形，當“等弦圓”最大時，這個圓的半徑為（B）

A.—B.2-V2

2

C.V2-1D.2V2-2

解析：如圖，當“等弦圓”。。最大時，經過等腰直角三角形的直角頂點C,

連接C。并延長交A3于點￡連接OE,DK.

"：CD=CK=EQ,ZACB=90°,

：.ZCOD=ZCOK=90°,DK過圓心0,CfUAB.

,:AC=BC,ZACB=9Q°,AB=2,

：.AC=BC=42,AF=BF=CF=-AB=1.

2

設。。的半徑為r,

/.CD=Vr2+r2=y/2r=EQ,OF=l~r,OE=r.

'：CF±AB,：.EF=QF=^r,

整理，得/一4r+2=0,

解得n=2+奩，n=2-V2.

'：OC<CF,

...r=2+&不符合題意，舍去，

.?.當“等弦圓”最大時，這個圓的半徑為2一四.

8.（4分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,0c的半徑為

1,點P是斜邊A3上的點，過點P作。C的一條切線PQ（點。是切點），則線段

PQ的最小值為五.

第8題圖

解析：如圖，連接CP,過點C作CPUA3于點P.

是。。的切線，ACQ±PQ,

：.PQ=Jcp2_CQ2=7cp2-1.

當CPLA3時，CP最小，則PQ最小.

VZACB=90°,NA=30。，：.ZB=60°.

：.CP'=BC-sinB=2Xy=V3.

：

.PQ的最小值為J（g）2_1=V2.

9.（4分）如圖，在正方形鐵皮A3CD上，以點A為圓心剪下一個圓心角為90。的

扇形，剩余部分剪一個半徑為廠的圓形，使之恰好圍成一個圓錐.若AC=5+V2,

則r的最大值是1

第9題圖

解析：???2口=嘴”,

AAP=4r.

當。。與網和3C,DC都相切時，廠最大，如圖，過點。作0EL3C于點E,

則OE=r.

DC

?四邊形A3CD為正方形，

：.ZOCE=45°,：.0C=V2r.

.*.4r+r+V2r=5+V2,解得r=l,

即r的最大值是1.

10.(4分)如圖，。。的半徑為2cm,弦AB=2舊cm,點C是弦A3所對的優

弧寸方上的一個動點，則圖中陰影部分的面積之和的最小值是(4兀一3K)

cm2.(結果保留7i)

解析：設點P為優弧俞的中點.連接PO并延長交A3于點E,則PELAB,A

P到A3的距離最大，當點C與點P重合時陰影部分的面積之和最小，

.".AE=BE=y/3cm.

如圖，連接。4.

QO的半徑為2cm,AE=V3cm,ZAEO=9Q°,

：.OE=y/OA2-AE2=J22-(V3)2=l(cm).

.*.PE=2+l=3(cm).

.?.圖中陰影部分的面積之和的最小值為7iX22-|x2V3X3=(4rt-3V3)cm2.

11.(4分)如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,NA4c=30。，BC=4,。是半徑

為4的。A上一動點，連接CD,E是CD的中點.當點。落在線段AC上時，

BE的長度為2店：若點。在OA上運動，當3E取最大值時，3E的長度是

6

第11題圖

解析：如圖，連接3D

在RtZXABC中，ZABC=90°,ZBAC=30°,BC=4,

：.AC=2BC=8,ZC=60°.

VOA的半徑為4,：.AD=4.

：.CD=4.：.CB=CD.

：.△BCD是等邊三角形.

E是CD的中點，BE±CD.

,：ZC=60°,/.BE=yBC=2V3.

如圖2,取AC的中點N,連接AD,EN,BN.

1

'：AN=NC,：.BN=jAC=4.

'：AN=NC,DE=EC,

：.EN=-AD=2.

2

：.BN—ENWBEWBN+EN.

.,.4-EW4+2.

...2W3EW6.

...BE的最大值為6.

12.(12分)(1)如圖1,在平面直角坐標系中，A(4,0),3(0,-3),以點3為圓

心、2為半徑的。3上有一動點P,連接AP,。為AP的中點，連接OC,求OC

的最小值；

⑵如圖2,點A,3的坐標分別為A(2,0),3(0,2),點C為坐標平面內一點，

BC=1,M為線段AC的中點，連接。求0M的最大值.

解：⑴如圖,取點。(一4,0),連接PD,連接3。交。3于點E.

是AP的中點，。是AD的中點,

：.OC是△APD的中位線./.OC三PD.

VOD=4,OB=3,：.BD=5.

當點P與點E重合時，PD最小為5—2=3,

故OC的最小值為1.5.

(2)如圖，以點B為圓心，1為半徑作。3,在點0的左側取OD=OA=2,連接

CD.

"：BC=1,.?.點C在。3上.

'：AM=CM,OD=OA,

：.OM是△ACD的中位線.

1

：.OM=-CD.

2

當0M最大時，CD最大,當。，B,C三點共線時，0M最大.

?：0B=0D=2,ZB0D=9Q°,

：.AB0D是等腰直角三角形.

/.BD=V2BO=2V2..\CD=2V2+1.

.?.0M的最大值是四+點

13.（8分）如圖，A3是。。的直徑，AB=10,C,E為圓上的兩點，過點C作

CDLAB于點D,過點E作EFLAB于點F,CD=3,EF=4,H為AB上一動

點，連接HC,HE,求HC+HE的最小值.

DHO

解：如圖，延長CD交。。于點N,連接NE交AB于點H,過點N作NMLEF

交ER的延長線于點連接。C,0E.

?直徑A3,CD,：.AB垂直平分CN.

??.點C,N關于A3對稱，NH=CH.

...此時CH+EH的值最小.

CH+EH=NH+EH=NE.

"：AB=10,：.0C=0E=5.

'：CD=3,EF=4,

：.OD-VOC2-CD2-4,

OF=y/OE2-EF2=3.

：.FD=3+4=1.

"：CDLAB,EFLAB,NM±FM,

...四邊形MNDF是矩形.

：.MN=FD=1,FM=DN.

直徑AB，CN,：.DN=CD=3.

：.FM=3.：.EM=4+3=1.

：.AMNE是等腰直角三角形.

:.NE=70

...HC+HE的最小值為7a.

14.（8分）如圖，在扇形A03中，ZAOB=120°,0A=2,R是筋的中點，D,E

分別為線段。3,A3上的點，連接DE,EF,當ER+ED的值最小時，求圖中陰

影部分的面積.

解：如圖，當￡E,。三點共線且EDL03時，ER+ED的值最小，連接。匕

BF.

：點F是端的中點，ZAOB=120°,

11

/.ZBOF=-ZAOB=-X120°=60°.

22

'：OF=OB,...△03R是等邊三角形.

1

：：

?FD_LOB,.OD=BD=-2OB=1.

：.DF=VOF2-OD2-V22-l2=V3.

"：OA=OB,ZAOB=120°,

：.ZOBA=ZOAB=30°.

...但tan30。?341=?

nnr260TIX222IT

??S扇形OFB

3603603

S^ODF=-OD?DF=ixixV3=—,

222

S^DEB=-DB?DE=-X1X西=3.

2236

.c_c_c_c_如V3如2V3

■■3陰影—〉扇形0EB、叢ODF、ADEB-------------------------------------------------

2633

二'圓與函數的綜合

15.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A,5在函數y=?左>0,x>0）的圖象

上，分別以點A,3為圓心，1為半徑作圓，當。A與x軸相切、03與y軸相切

時，連接AB,AB=3<2,則左的值為（C）

A.3B.3V2

C.4D.6

第15題圖

解析：由題意可知A”,1）,B（l,k）.

VAB=3V2,，2（左一1尸18.

.?.a-1）2=9,解得上=一2或左=4.

'：k>0,：.k=4.

16.（4分）如圖，。”的圓心〃在一次函數y=|x+3位于第一象限中的圖象上,

0M與y軸交于C,。兩點.若。”與x軸相切，且CD=2VTL則。”的半徑

是（C）

第16題圖

A.押5B.5或6

C子或6D.5

解析：如圖，設圓與x軸相切于點K,連接MK,MC,過點〃作MH,CD于點

H,則MK±0K.

：ZKOH=90°,

?.四邊形OKMH是矩形，MH=OK.

?.?點M在一次函數y=|x+3位于第一象限中的圖象上，

，設點”的坐標是(a,|a+3),

*2

：.MH=OK=a,CM=MK=-a+3.

5

■:MHLCD,CD=2VII,

.*.CH=|CD=VTT.

"：MC2=MH2+CH2,

2

.?.(|Q+3)=6Z2+(VT1)2,

6Z=5或u=—,

8

07

：.MK=6或MK=—.

8

???OM的半徑是6或4.

8

17.(4分)如圖，0c的圓心C的坐標為(1,1),半徑為1,直線/的表達式為y

=一5+3,點P是直線/上的動點，點。是。C上的動點，則PQ的最小值是

(C)

C.--1D.--V2-1

55

解析：如圖，過點C作CP,直線/于點P,交。C于點Q,此時PQ的值最小.

設直線y=-|x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,連接BC,AC,作CMLOA

于點M,作CNJL0B于點N.

**>=—1-A-+3,

：.A(6,0),3(0,3).

OA=6,OB=3.

/.AB=V62+32=3V5.

?.?四邊形OMCN是正方形，

I.OM=ON=1.

.".AM=OA—OM=6—1=5,BN=OB—ON=3—1=2.

設PC=d,PB=m,則AP=AB-PB=3V^—m.

'：BN2+CN2=BC2=PB2+PC2,AM2+CM2=AC2=AP2+PC2,

22+l2=m2+J2,52+l2=(3V5—m)2+t/2,

解得機=W，［=￥?

的半徑為1,

：.PQ=PC~CQ=^—1.

18.(4分)如圖，在坐標平面內，矩形AOCD的頂點A(0,2),C(4,0),。(4,2),

拋物線1經過點Q(a,4),P(b,4),。2的半徑為1.當圓心P在拋物線

上從點P運動到點Q,則在整個運動過程中，OP與矩形AOCD只有一個公共

點的情況共出現3次.

解析：由題意知拋物線y=f—1與x軸的交點為(-1,0),(1,0),與y軸的交

點為(0,-1).

由圖形可知當。P在AD上方與AD相切時，OP與矩形AOCD只有一個公共點.

當點尸運動到(0,—1)時，OP與矩形AOCD只有一個公共點；

當點尸運動至|(一1,0)時，0P與矩形AOCD只有一個公共點.

'：OA=2,

.?.(DP在AD與OC中間時，不存在滿足條件的。P,

故OP與矩形AOCD只有一個公共點的情況共出現3次.

19.(12分)如圖，。。的直徑A3=8,AM和3N是。。的兩條切線，DE與。