2025年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《切線的判定與性質(zhì)綜合解答題》考前沖刺訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，△48。內(nèi)接于。。，2B是。。的直徑，過點(diǎn)。作交O。于點(diǎn)。，垂足為

M.連接CD、AD,AD與BC交于點(diǎn)、E,在OD的延長線上取一點(diǎn)N,使4ONB=4ADC.

⑴求證：BN是。。的切線；

⑵若。。的直徑為5,sin^BAD=求ED的長.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，。。與力B相切于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)、E,F,DG

是。。的直徑，弦GF的延長線交4c于點(diǎn)口，且GH14C.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若DE=2,求HF的長.

3.如圖，以AABC的邊4B為直徑作。。分別交AC,BC于點(diǎn)、D,E,過點(diǎn)E作EF14C,垂

足為凡EF與2B的延長線交于點(diǎn)G.

(1)以下條件：

①K是劣弧8。的中點(diǎn)：

@CF=DF；

(3)AD=DF.

請從中選擇一個能證明EF是O。的切線的條件，并寫出證明過程:

⑵若EF是是。。的切線，且4F=4,AB=6,求BG的長.

(2)如圖2,。8為O。的直徑，過點(diǎn)C作O。的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E,若CE||AB,CD=6,

求陰影部分的面積.

5.如圖，已知D是。。上一點(diǎn)，4B是直徑，NB4D的平分線交。。于點(diǎn)E,。。的切線BC交

(1)求證：CD為。。的切線.

(2)若=2,

①若4EIICD,貝！JBC=.

②作AAE。關(guān)于直線。E對稱的AFE。，連接BF,BE,當(dāng)四邊形BEOF是菱形時，求CE的長.

6.如圖，48是。。的直徑，。,0在。。上，且8C=C0,過點(diǎn)。作CEL40,交4。的延長

線于點(diǎn)E,交的延長線于點(diǎn)足

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若=6,AE=4.8,求CF的長;

(3)若AB=4ED,求cosN力BC的值.

7.我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角"曾是數(shù)

學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易

操作工具一一三分角器，圖1是它的示意圖，其中4B與半圓。的直徑BC在同一直線上,

且4B的長度與半圓的半徑相等；DB與4C垂直于點(diǎn)B,DB夠長.使用方法如圖2所示,

若要把AMEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過NMEN的頂點(diǎn)E,點(diǎn)、4在邊EM

上，半圓。與另一邊EN恰好相切，切點(diǎn)為F,貝帕8,E。就把乙MEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明.請你根據(jù)已知和求證，寫出證明過程.

已知：如圖2,點(diǎn)4,B,0,C在同一直線上，EB1AC,垂足為點(diǎn)B,AB=BO,EN與半

圓。相切于點(diǎn)F.

求證：zl=z2=z3.

8.如圖，在RtAABC中，Z4CB=90°,AB=5cm,AC=4cm,動點(diǎn)E從點(diǎn)4出發(fā)，沿AC方

向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,以AE為直徑作。0,與4B交于點(diǎn)D,連接DE.設(shè)運(yùn)動時間為

t(s)(0<t<2),解答下列問題：

(l)t取何值時，BE平分N2BC；

(2)設(shè)ADCE的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑶是否存在某一時刻t，使CD與。。相切？若存在，求出t的值；若不存在說明理由.

9.如圖，已知△ABC中，4B=BC,點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，連接2D,以AD為直徑畫。。,

與邊交于點(diǎn)E,與4C邊交于點(diǎn)尸，EF=AF,連接。￡

⑴求證：BC是。。的切線；

(2)若BC=10,COSNAFE=|,求4C的長.

10.如圖，4B是。。的直徑，C、。在。。上，且點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，連接CD交力B于

點(diǎn)E,延長BD和C4相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作4G||CD交BP于點(diǎn)G.

⑴求證：直線G4是。。的切線；

(2)若PG-PB=36,求力P的值；

⑶過點(diǎn)P作。。的切線，切點(diǎn)為Q,若PD=mPG,PQ=nAP,求m與n之間的關(guān)系.

11.如圖，是。。的直徑，C,。在。。上兩點(diǎn)，連結(jié)4D,CD.

(1)如圖1,點(diǎn)P是力C延長線上一點(diǎn)，N4PB=N4DC,求證：BP與。。相切；

⑵如圖2,點(diǎn)G在CD上，OF14C于點(diǎn)F,連接力G并延長交。。于點(diǎn)H,若CD為。。的直徑,

乙CGB=乙HGB,BG=2OF=6,

①求證：AO=4G；

②求。。半徑的長.

12.如圖，PA為。。的切線，N為切點(diǎn)，過點(diǎn)/作。P的垂線4B,垂足為C,交0。于點(diǎn)8,

延長B。與。。交于點(diǎn)。，連接PD交42于點(diǎn)E.

⑴求證：PB為。。的切線;

(2)求證：PB2=PCP0；

⑶若NBPD=3N2PD,求空的值.

PE

13.已知，如圖，AABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)。在邊BC上，。。是AABC的外接圓,

AE||BC,AE=BD.

(2)如圖1,連接。。，若CE=2小,求0。長度；

(3)如圖2,作2FIICE,與BC交于點(diǎn)G,與O。交于點(diǎn)F,若ND4F=求4尸長度.

14.如圖，2B是O。的直徑，AB=6,P是O。上異于點(diǎn)力,8的一動點(diǎn)，連接24,PB,

過點(diǎn)/作射線.4C1P4c為射線力C上一點(diǎn)，連接PC.

(1)若PB=4,求PA的長；

【深入探究】若在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，始終有tanNPS=W.

(2)如圖1,若2C=g,求證：直線PC與。。相切；

(3)如圖2,連接。C,設(shè)。。=小，求加的取值范圍.

15.已知2B是。。的直徑，4c是弦，NB4C的角平分線交。。于點(diǎn)。，。石1"于反

圖1圖2

(1)如圖1,求證：DE是。。的切線；

(2)如圖1,若力B=13,AC=5,求ED的長;

(3)如圖2,過點(diǎn)8作。。的切線，交2。的延長線于尸，若ED=DF=x,AD=y,求(的值.

16.如圖，已知RtAABC中，^ACB=90°,4。平分N82C,交BC于點(diǎn)。，以48上某一點(diǎn)。為

圓心作。。使O。經(jīng)過點(diǎn)4和點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接ED并延長交AC的延長線于點(diǎn)尸.

(1)判斷直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AE=12,CF=3,求BE的長；

⑶在(2)的條件下，求陰影區(qū)域的面積.

17.如圖，點(diǎn)。是△4BC的邊BC上一點(diǎn)，以CD為直徑的。。切于點(diǎn)E,BF140交力。延

長線于點(diǎn)尸，且NFBC=Z_C4F.

⑴求證：AC是。。的切線;

(2)若4C=6,BC=8.

①求。。的半徑；

②連接CF,求BF的長.

18.如圖，4B為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，D為雇的中點(diǎn)，連接CD交力B于點(diǎn)E,連接4C,

BC,BD,點(diǎn)F在射線力B上，5.FE=FC,tanzBCF=|.

(1)求證：FC為。。的切線；

(2)若BC+AC的值為6VL求線段CD的長；

⑶設(shè)A/IBC的面積為S,猜想空券的值是否為定值？若為定值，請求出該定值，若不為定值，

請說明理由.

19.知：如圖1,4B是O。的弦，點(diǎn)C是。。的半徑。B的延長線上一點(diǎn)，將AA8C翻折得到

△ABC',交半徑OB于點(diǎn)。.

⑴求證:BC||0A.

(2)若"與。。相切.①如圖2,點(diǎn)。落在。。上，求sinC的值.

②如圖3,若。4=10,AB=12,求ABDC'的面積.

20.已知△ABC,點(diǎn)。在BC的延長線上，CD=4,以CD為邊，在△ABC的同側(cè)作正方形CDEF,

經(jīng)過￡、廠兩點(diǎn)作。。且與CD邊相切于點(diǎn)G,連接4。，點(diǎn)尸是4。邊的中點(diǎn)，

BCGDBCGD

圖1圖2

⑴求。。的半徑；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在。。上，連接CP,若CP=CG,求證：CP是。。的切線;

⑶如圖2,若4B=BC=m,且NB=60。，連接0G交4。于點(diǎn)H,設(shè)￡=y,

DH

①求y與"2的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)點(diǎn)P在O。上時，求y的值.

參考答案

1.（1）證明：Ta=CD-

???Z.ADC=Z.ABC

???乙ONB=/.ADC,

???Z.ABC=乙ONB

???0M1BC,

???乙BMN=90°

???乙ONB+Z.NBM=90°,

???/.ABC+乙NBM=90°,即4ZBN=90°

???OB1BN,

???。8是。。的半徑，

??.BN是。。的切線

（2）???4B是。。的直徑，

乙ADB=90°

在RtAADB中，AADB=90°,AB=5,sin/BAD=|

*'?1sin,Zri_BA_r\/4DB=D—口,口3即一B=D—,

AB55

???BD=3

由勾股定理得=AD2+BD2

：.AD=y/AB2-BD2=J52-32=4

OMLBC,。。為O。的半徑，

：?BD=CD

???4BAD=心CAD,

z~\

???CD=CD，

Z.CAD=乙CBD,

???乙BAD=Z.CBD,

???^.ADB=乙BDE=90°,

??.△ADBBDE,

BDAD34

———,即Rn—=一,

EDBDED3

9

??.ED=

4

2.(1)證明：連接A。，過。作。MlAC于點(diǎn)M

??.4。平分NBAC

???O。與ZB相切于點(diǎn)。

???OD1AB

???OM1AC

?..OM=OD=v

??.AC是。。的切線；

(2)解：過點(diǎn)。作ONIG”，垂足為N.

A

得四邊形。M”N為矩形，且FN=：GF

OM=NH

???ODLABfGHLAC

??.Z.GOF=乙DOB=90°一乙B

Z.GFO=4CFH=90°-zC

vAB=AC

???Z-B—Z-C

Z.GOF=Z.GFO

??.GO=GF

又???OF=OG

??.△OGF為等邊三角形

???乙GOF=(DOE=60°

OD=OE

??.△ODE為等邊三角形

OD=DE=r=2

Ii

???FN=-GF=-DE=1,NH=OM=r=2

22

??.FH=NH—FN=1.

3.解：（1）我選擇的條件是第①個；

證明：連接。D,OE,

vBE=DE，

???z.1=z2,

OA—OD,

???z.1+z2=z.i4+z3,

???z.1=z2=Z-A=z3,

???OE||AC,

???EFLAC,

???EF1OE,

??.EF是。。的切線.

或。）我選擇的條件是第②個；

方法1：證明：連接3D,OE,

???2B是直徑，

4ADB=90°

???EF1AC,即NFDB=/LAFE=90°,

BD||EF,

■■CF=DF,

^\CE=BE,

又OA=OB,

OE是△ABC的中位線,

???OE||AC,

???乙OEG=AAFE=90°,

??.EF是。。的切線.

CF=DF,EFLAC,

EF垂直平分線段CD,

CE=DE,

???四邊形力DEB為圓內(nèi)接四邊形,

??.Z.CDE=z.1,

OB=OE,

???zl=z2,

???乙C=z2,

??.OE||AC,

???乙OEG=^AFE=90°,

??.EF是。。的切線.

（2）由（1）可知OE||AC,

??.Z.OEG=^AFE=90。，NGOE=Z.GAFf

GOE?\GAF,

AB=6,

OA=OB=OE=3,

OEOGni-|33+BG

AF~AGf4_6+BG'

解得：BG=6.

4.解：（1）端=&,理由如下:

團(tuán)4。=BC,

^AD=BC-

r-\r-\

團(tuán)AB=CD-

（2）如圖所示，連接。C.

比4。=BC,

^ABD=Z.CDB.

0CE||AB,

^CED=乙ABD.

回。。=OC,

^CDB=ZDCO.

團(tuán)CE為。。的切線，

回。C1CE.

^OCE=90°.

^Z.OCB+2BCE=90°.

團(tuán)DB為。。的直徑，

團(tuán)乙OCB=乙DCO+Z.OCB=90°.

回4OC。=/-BCE.

0Z.CED=乙ABD=Z-CDB=乙DCO=Z-BCE.

團(tuán)BC=BE,CD=CE=6.

在^ODC和△BCE中

NDCO=乙BCE

CD=CE

/CDB=Z-CED

0AODC=△BCE.

汕C=BE=OD=OC.

回。8=OC=BC.

^COB=60°.

設(shè)BC=BE=OD=OC=OB=r,

團(tuán)。E=OB+BE—2r.

^OE2=OC2+CE2,

團(tuán)4r2=72+36

團(tuán)r=2V3.

回s陰影=SAOCE—s扇形OCB=[X2百x6—攀=一2小

5.(1)證明：IBBC是。。的切線，

SBC1OB,

回NOBC=90°,

ME是NB4D的平分線，

團(tuán)N￡ME=乙BAE,

又回乙。。￡=2乙DAE,乙BOE=2乙BAE,

團(tuán)乙。OE=乙BOE,

又由OD=OB,OC=OC,

[?]△ODC08c(SAS),

^ODC=Z.OBC=90°,

又SD是。。上一點(diǎn)，

回CD為O。的切線；

(2)解：①OCDIIAE,001CO,

回。。1AE,

0AD=DE>

^/-AOD=乙DOE=4BOE,

又El乙4。0+乙DOE+/.BOE=180°,

0ZXOD=乙DOE=乙BOE=60°,

回NBC。=30°,

SBC=?OB=--AB=V3,

故答案為：V3；

②如圖所示:

回四邊形BEOF是菱形，

團(tuán)BE=OE=1,Z.EOB=LEBO,

國4EOB+乙BCE=90°,(EBO+乙CBE=90°,

^Z-BCE=乙CBE,

團(tuán)CE=BE=1.

6.(1)證明：如圖，連接。C,4C,

團(tuán)BC=CD,

0BC=CD-

^Z-OAC=Z-EAC.

團(tuán)。C=。4

??.Z.OCA=Z-OAC,

團(tuán)/。。/=Z.EAC,

回。C||AE,

團(tuán)CELAD,

0CE10C,

又0C是半徑，

??.EF是。。的切線；

(2)團(tuán)。C||AE,

0AFCOFEA

OCOF3OF

???一=——,nn即——=--，

AEAF4.80F+3

解得。F=5.

在Rt△OCF中，CF=yJOF2-OC2=V52-32=4；

(3)TEF是。。的切線,

???乙OCF=90°,

CE是直徑，

???乙E=/-ACB=90°,

???Z.EDC+^ADC=180°,^ABC+^ADC=180°,

???乙EDC=Z-ABC,

CDE?匕ABC

.CD_AB

,,DE-BC，

???AB=4ED,CD=BC,

.BC_AB

?*,,

^ABBC

4

I

???BC=-AB

2f

4“BC1

???cosZ-ABC=—=

AB2

7.解：vEB1AC,

???Z-EBA=Z.EBO,

XvAB=BO,

/.△EAB三△EOC(SAS),

???zl=z2,

???EN與半圓。相切于點(diǎn)F,

???OFLEN,

BO—FO,

???Rt△EBO=RtAEFO(HL),

???z2=z3,

zl=z2=z3.

8.(1)解：由題意得：乙4cB=90°,AB=5cm,AC=4cm,AE=2tcm,CE=(4—2t)cm,

???4E是O。的直徑，

???Z.ADE=90°,

在RtAABC中，BC=7AB2-AC2=V52-42=3(cm),

???乙ADE=AACB=90°,AEAD=^BAC,

???AAEDS^ABC,

DEBCanDE3

???—=——,即一=

AEAB2t5

DE=11cm,

???乙BDE=乙BCE=90°,

???當(dāng)DE=CE時，BE平分/ABC,

*'?—t=4—23

解得」=1

4

.?.當(dāng)t=9時，BE平分“BC；

4

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作DG1/C于點(diǎn)G,

g

???AD=-tcm,

???DG1AE,AD1DE,

AE-DG=AD-DE,即2t

24

???DG=—tcm,

25

2

y=S^DCE=lcE-DG=-=-^t+^t-,

(3)解：存在某一時刻t,使CD與。。相切.理由如下：

如圖，過點(diǎn)。作DG1AC于點(diǎn)G,

由(1)(2)知：AE—2tcm,OA—OD=tcm,OC=(4—t)cm,AD=|tcm,AG=||t

24

cm,DG=—tcm,

25

327

OG=AG-OA=—t-t=—t,

2525

32

??.CG=OC-AG=4-—t,

25

DG1AC,

???CO與。。相切，

???乙CDO=90°,

???Z-DGO=(CDO,

乙DOG=Z-COD,

ODGs、OCD,

7,

,OG_oo_t

??—,岡J—,

ODOCt4-t

解得：t=g

o

.,.當(dāng)t=J時，CD與O。相切.

o

9.(1)證明：財。為O。的直徑,

^AED=90°

國BA=BC

^BAC=乙BCA

0FF=AF

回乙BAC=/LFEA

回43cA=Z.FEA

國乙DEF=Z.DAC

^DAC+4BCA=^DEA+^AEF=90°

固4。1BC

回BC為。0的切線

（2）MC為。。的切線

^ADE+乙BDE=90°

國乙B+（BDE=90°

回ZJ5=乙ADE

Q

BcosZ-AFE=-

5

3

國cos乙B=-

國BD=6

由勾股定理得，AD=8

MC=10

^DC=10-6=4

由勾股定理得，AC=4^5

10.(1)證明：囿43是團(tuán)。的直徑,

團(tuán)乙4cB=90°,

^BCD+4DCA=90°,

團(tuán)點(diǎn)4是金的中點(diǎn)，

^ACD=44DC,

團(tuán)4G||CD,

^DAG=Z.ADC=4ACD,

^BAD=乙BCD,

^BAD+ADAG=90°,^/LBAG=90°,

團(tuán)直線GZ是團(tuán)。的切線；

(2)^AG||CD,

團(tuán)/PAG=Z.ACD,

團(tuán)/PAG=乙ABP,

團(tuán)IP=乙P,

0AAPGfBPA,

APPG

回--=--,

BPPA

回PG?PB=AP2=36,

團(tuán)4尸=6(負(fù)值舍去)；

(3)過點(diǎn)P作國O的切線PQ,連接AQ,CQ,OQ,過點(diǎn)。作。F1/Q,交AQ于點(diǎn)F,交CQ于

點(diǎn)H,如圖所示：

^CQF+^QHF=90°,^CQF+^AQP=90°,

團(tuán)=/-AQP,

回。F1ZQ,

團(tuán)/QOF=(ACQ,

團(tuán)4ACQ=乙AQP,

團(tuán)乙尸=乙P,

[?]△APQfQPC,

型=絲，

PCQP

胤4尸?PC=QP2,

回AG||CD,PD=mPG,

團(tuán)PC=mPA,

團(tuán)PQ=nAP,

團(tuán)代入ZP?PC=QP2得：AP-mPA=

0m=n2.

11.(1)解：如圖1,連接BC,

團(tuán)4B是。。的直徑，

^\z.ACB=90°,

^ABC+/-BAC=90°,

回448c=4。，AAPB=/.ADC,

^ABC=乙APB,

0ZP+/.PAB=90°,

^ABP=90°,

團(tuán)OB是。。的半徑，

團(tuán)BP與。。相切；

(2)①如圖2,連接BC,BH,作BM1CD于M,AN1CD于N.

圖2

回。尸_LZC于點(diǎn)產(chǎn)，

[?L4F=CF=-AC

2

團(tuán)CD,AB是直徑，

回。/=0D=0C=OB,

^BC=20F=6,BC||OF,

團(tuán)44。。=乙BOC,

團(tuán)△Z。。三△BOC(SAS),

回/。=BC=2OF=6,

團(tuán)。4=OB,乙AON=乙BOM,乙ANO=乙BMO=90°,

^AON三△BOM(AAS),

團(tuán)。M=ON,AN=BM,

^\Z-CGB=Z.HGBf

國乙OGH=2乙CGB,

團(tuán)BC=BG=6,

^\Z-GCB=Z-BGCf

團(tuán)/BOG=Z.OCB+乙OBC=2/LGCB,,

團(tuán)/BOG=乙OGH,

團(tuán)乙4OG=乙4G。，

比4。=AG；

②設(shè)。M=ON=a,

團(tuán)4N1OG,AO=AG,

團(tuán)ON=NG=a,

團(tuán)BG=AD,BM=AN,乙AND=乙BMG=90°,

回Rt△BMG=RtAZND(HL),

團(tuán)MG=DN=3a,OD=OA=OB=OC=4a,

團(tuán)BM=yJOB2-OM2=V15a,

在中，WC2=BM2+CM2,

036=15a2+9a2,

團(tuán)a>0,

0a=—,

2

HMG=CM=3a=迪，

2

團(tuán)OG=2a=V6,

0C￡>=2X+V6=4V6,

0O。半徑的長為2&.

12.(1)證明：如圖，連接。4

"???P4為。。的切線,

???0A1AP,

???"4。=90°,

???OP1AB,

BC=AC,

???。尸是48的垂直平分線,

??.PB=PA,

0A=OB,OP=0P,

.*.△POB三△POA(SSS),

???乙PBO=2LPAO=90°,

???OB1PB,

??.28是。0的切線；

(2)證明：由(1)得，

乙PBO=90°,OPLAB,

???乙PCB=(PBO=90°,

Z-BPC=Z.OPB,

PBC?匕POB,

.PB_PC

,?=,

POPB

???PB2=PC?PO；

(3)解：如圖，連接力D,

BA

D

由(1)知：LPOB=LPOA,

???乙BPO=Z-APO,

(BPD=3Z.APD,

??.ABPC+/-CPE=3匕APD,

??.AAPC+^APC-Z.APD}=34APD,

??.AAPC=2乙APD,

???Z-DPO=Z-APD,

v80是。。的直徑，

???乙BAD=90°,

???AD1AB,

由(2)知：OPlABf

???AD\\0Pf

DfQD

.'ZDP°=LADE,WCEFDAE,-=-=1，

???Z-DPO=4DPA,

???Z-ADE=/,DPA,

??.AD=AP=PB,

設(shè)。C=a,貝!JPB=AD—2a,PC=x,

由(2)得：PB2=PC,0P,

???(2a)2=x(x+a),

V17-1-V17-1

X]--CL,%2=---------a（舍去）,

2

“Vi7-i

???PC=-------a,

2

DE_AD_2a_V17+1

??PE~PC~后一%-4.

2

13.(1)證明：作直徑與BC交于點(diǎn)〃,

圖1

0XB=AC,

r-\r-x

回AB=AC>

回BM=CM，

^BAH=/.CAH,

SAH1BC,BH=CH,

SAE||BC,

固4M1AE,

而AM是直徑，

回AE與。。相切；

(2)解：連接。B,

圖1

設(shè)。。半徑為丁，

團(tuán)=6,BH=CH,

團(tuán)BH=3,

團(tuán)在中，AB=5,

團(tuán)由勾股定理得：AH=4,

團(tuán)。”=4-r,

團(tuán)在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2+OH2=BO2

032+(4—r)2=r2,

解得：r=總

o

257

團(tuán)。”=4一處=」

88

團(tuán)4E1AM,

^MAC+Z.CAE=90°,

^Z-BAM=/.CAM,

^BAM+Z.CAE=90°,

而NR4M+乙ABD=90°,

團(tuán)乙48。=Z.CAE,

又朋E=BDfAB=AC,

回△48。=△G4E(SAS),

^\AD—CE—2A/5,

團(tuán)在RtAADH中，DH=y/AD2-AH2=J(2A/5)2-42=2,

在RtAODH中，則DH2,OH=AH-AO=4：

88

回。。=yJOH2+DH2=J(02+22=等；

(3)解：連接MC,MF,CF,OF,OB,CO,OF與MC交于點(diǎn)K

圖2

0XF||CE,AE||BC,

回四邊形4ECG是平行四邊形,

0CG=AE=BD,AGCE=AD,

=CH,

WH=GH,

團(tuán)/H平分皿1G,

即々DAG=24AH,

又乙DAF=2Z-BAD,

^Z-BAD=Z-DAH,

而在平行四邊形AECG中，/-CAG=^LACE,

而NBA。=乙/CE,

^CAG=乙BAD=Z.DAH=Z.FAHf

回MF=CF,

團(tuán)/MOF=LCOF,

團(tuán)。C=OM,

團(tuán)4K1MC,

回ZM是直徑，

^ACM=90°,

回。K||AC,

又點(diǎn)。為AM中點(diǎn)，點(diǎn)K為MC中點(diǎn)，

15

WK=-AC=-,

22

在Rt^OKM中，OM=r=至，

8

ISMK=70M2-0K2=J管了一（§2=多

在RtAMKF中，KF=OF-OK

828

0MF2=MK2+KF2=借了+02=答，

在RtAAMF中，AM=2OM=2x—=—,

88

MF=7AM2_加=伯2一吧=也便.

\V87648

14.解：（1）???AB是。。的直徑，P是O0上異于點(diǎn)4B的一動點(diǎn)，

???4APB=90°,

在RtAP4B中，由勾股定理，得PH=VAB2-PB2=V62-42=2有;

(2)證明：如圖1,連接。尸,

AC1PA,tanZ-PCA=y/3,AC=V3,

??.Z.PCA=60。,PA=AC?tan60°=3,

??.Z.APC=30°,

???AB是。。的直徑，AB=6,

OA=OP=3,

.?.OA=OP=PA=3,

.?.△aop是等邊三角形，

???/.APO=60°,

???^.APO+4Ape=60°+30°=90°,即NCP。=90°,

OP1PC,又。P是。。的半徑，

??.PC是。。的切線，即直線PC與。。相切；

（3）如圖2,過點(diǎn)/作射線4。1AB,作射線OD使得N40D=60°,射線2D與。D交于點(diǎn)

連接。P,DP,則在RtAA。。中，

AD=OA-tanZ/lOD=OA-tan60°=V3OX,

tan/.PCA=y]3,AC1PA,

：.PA=43AC,

PAADB

—=v3,

ACOA

???乙PAC=/-DAO=90°,

???/.PAC+乙PAO=乙DAO+APAO,即NCA。=/.PAD,

CAOPAD,

把="=百，

COAO

PD=V30C,

AB—6,

OA-3,

22

在Rt△AOD中，AD=V304=3百,OD=VOX+AD=J3?+(3回2=6)

在APOD中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得|OD-OP|WPDWOD+OP,

|6-3|<V3OC<6+3,即3WV3m<9,

V3<m<3A/3；

15.(1)證明：如圖所示，連接。。，

團(tuán)。A=OD,

團(tuán)乙。4。=Z.ODA,

團(tuán)O/平分

^Z-EAD=Z-BAD,

回乙4。。=Z.EAD,

回。。||AE,

0ZE+乙ODE=180°,

團(tuán)OE1AC,

回4E=90°,

團(tuán)4。DE=90°,

又回。。是。。的半徑，

團(tuán)。E是。。的切線；

圖1

（2）解：如圖所示，連接OD,BC交于F,

回4B是直徑，

回乙4cB=/.BCE=90°,

SBC=7AB2-AC?=12,

又回NE=乙FDE=90°,

回四邊形ECFD是矩形，

ODE=CF,MFD=90°,

0CF=BF=-BC=6,

2

團(tuán)OE=CF=6；

(3)解：如圖所示，連接BD,

團(tuán)48是直徑，

^BDA=乙BDF=90°,

0ZF+Z.FBD=90°,

阪4平分NBAC,

^Z-EAD=Z-BAD,

團(tuán)BF是。。的切線，

^ABF=90°,

0ZF+/.FAB=90°,

^\Z-EAD-Z-BAD=乙FBD,

團(tuán)Z_E=Z-BDF=90°,ED=FD,

[?]△AED=△BOF(AAS),

比4。=BF,

團(tuán)BO?=AB2-AD2=BF2-DF2,AB2=AF2-BF2,

^\AF2-BF2-AD2=BF2-DF2,

E（XD+DF）2-AD2-AD2=AD2-DF2,

0DF2+AD-DF-AD2=0,即DE?+AD-DE-AD2=Q

畸）Y-1=。，

設(shè)X

況2+[-1=0,

解得t=^或"-萼（舍去）,

脛=匹匚，

AD2

團(tuán)ED=DF=x,AD=y,

求=也=3=西

xDEV5-12?

16.(1)證明：直線BC與。。相切，理由如下:

???4。平分MAC,

Z.BAD=Z.CAD,

OA=OD,

???乙BAD=4ODA,

Z.ODA=Z.CAD,

??.OD||AC,

???^ACB=90°,

???Z.ODB=AACB=90°,

???OD1BC,

??.BC是。。的切線；

(2)?.,ZE是。。直徑，

???/.ADE=90°,

???AD1EF,

???AO平分NBZC,AE=12,

/.AE=AF=12,

???CF=3,

.'.AC=9,

在RtZkADF中，AACD=90°,

???Z-FDC+乙ADC=Z-CAD+(ADC,

???Z.FDC=Z-CAD,

???乙DCF="CD=90°,

??.△DCF~XACD,

.CD_CF

??AC~CD9

??.CD2=AC-CF,

CD=3A/3,

+z/-/inCD36V3

tanzCXZ)=—=——=——，

AC93

??.Z.CAD=30°,

???乙BAD=30°,

???乙B=90°-LBAC=30°,

在&△ABC中，AC=9,

AB=18,

???BE=18-12=6；

(3)vODIBC,ZB=30°,OD=-AE=6,

2

BD=6A/3,

???S^BOD=Ix6x6A/3=18V3,

???乙BAD=30°,

???(BOD=60°,

c607TX62,

"S扇形EOD=360=6兀，

S陰影=18V3—67r.

17.(1)證明：0BF120,

0ZBFO=90°,

回NFBC=NC4F,乙COA=4FOB,

SAACO=乙BFO=90°,

回。C1AC,

回4c是。。的切線；

(2)解：①回AC=6,BC=8,^LACB=90°,

EL4B=<AC2+BC2=10,

連接OE,如圖所示：

回47與4E都為。。的切線,

團(tuán)4c=AE=6,

團(tuán)BE=AB-AE=4,

在RtZkBOE中，設(shè)。。=。￡*=7，則有。8=8—7，由勾股定理得（8—丁下=產(chǎn)+42,解得

r=3,即圓的半徑為3；

②延長/C、8/相交于點(diǎn)G,如圖所示:

.*AFLBG,

??.Z.AFG=^AFB=90°,

???AC與AE都為。。的切線，

???OC1AC,OE1AE,OC=OE,

Z.CAO=Z-EAO,

在△/■口△”好,

A.CAO=AEAO

AF=AF,

^AFG=乙AFB=90°

??.△AFGwZkAFB(ASA),

團(tuán)4G=AB=10,BF=GF,

團(tuán)CG=BE=4,

在RtABCG中，4BCG=90°,貝|BG=VBC2+CG2=V82+42=4西,

0BF=|BG=2V5.

18.解:(1)如圖，連接。C,

???AD=BD，

???Z-ACD=乙BCD,

??,ZB為。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???"CD+乙BCD=90°,

又???^ACD=乙BCD,

AACD=乙BCD=45°,

???FE=FC,

???Z-FCE=Z.FEC,

又?：乙FCE=2BCF+乙BCD,Z.FEC=^0AC+Z.ACD,(ACD=^BCD,

??.Z_BCF=Z-OAC,

???OA=OC,

?，?Z-OCA=Z.OAC,

又???(BCF=Z.OAC,

???乙BCF=Z.OCA,

又???Z.OCA+Z.BCO=乙ACB=90°,

???乙BCF+乙BCO=90°,

??.M)CF=90°,

???OC1FC,

???FC為。。的切線；

(2)過點(diǎn)。作。Giac于點(diǎn)G,連接a。,

由(1)得N04C=乙BCF,

tanzBCF=

2

AtanAOAC-

2

???乙ACB=90°,

???tanZ-OAC

AC2

設(shè)BC=m,AC=2m(m>0)

AB=y/BC2+AC2=yjm21+(2m)2=V5m,

r~\o

vAD=BD，

???AD=BD,

???AB為O。的直徑，

?-?4ADB=90°,

??.AD=BD*=^=—m,

V2V22

???BGlACf/LACD=45°,

??.Z.CDG=乙ACD=45°,

???CG=DG,

設(shè)CG=DG=x,則AG=AC-CG=2m-x,

DG1AC,

??.DG2+AG2=AD2,

???x2+(2m—%)2=(手機(jī))，

???x2+x2—4mx+4m2=-mz,

2

(2%—m)(2x—3m)=0,

m_p.3

???X=-^-m,

???4DAG>Z-ADG,

DG>AGf

**.CG>AG9

???x>2m—x,

x>m,

3

???x=-m,

2

3

???CG=DG=-m

31

AG=2m--m=-m

22

???OG1AC,

CD=y/CG2+DG2=J(|m)2+(|m)2=乎加

???BC+AC=6A/2,

???m+2m=6V2,

???m=2V2,

CD=^x2V2=6；

(3)是定值，理由如下：

過C作C”14B于點(diǎn)H,連接。D,

D

由(2)得BC=m,AC=2m,AB=V5m,CD=>0),

Z.ACB=90°,CHLAB,

■■S^ABC=IAC-BC=IAB-CH,

ACBC2m-m2遙

???CH=---------=—p—=——m,

ABV5m5

???AD=BDfOA=OB=1AB,

???ODLAB.

在△DE。和中,

乙DOE=乙CHE=90°,Z.DEO=MEH,

乙DOE=(CHE=90%Z.DEO=MEH

DEOCEH,

1y/5

DE_OD_2AABn_