2025年江西省南昌市高考數學一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.二項式3+1）5的展開式中，X的系數為（）

A.-10B.-5C.10D.5

2.已知復數Z滿足2+22=6+〃，貝！12=（）

A.2+，B.2—iC.1—2，D.1+2，

3.設0：0<a<1，q-.關于x的方程A/Wsinc+cos/=a有實數解，則p是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知/（乃=|￡—&/<°，則方程/⑶=8所有的根之和為（）

I2,優》0

A.1B.2C.5D.7

5.已知｛Q/為等比數列，若Q2+4Q4=4Q3，則已九｝的公比q=（）

A.-2B.2C.--D.i

22

6.直線V=與圓力2+/一27一3=o交于4,3兩點.Q川=通，貝1」|。引=（）

A.漁B.C,D.

5555

7.我們約定：若兩個函數的極值點個數相同，并且圖象從左到右看，極大值點和極小值點分布的順序相同,

則稱這兩個函數的圖象“相似”.已知/（，）=/—3/+（,—i）2,則下列給出的函數其圖象與4=/（乃的

圖象“相似”的是（）

A.y=x2B.y=—x2C.y=x3—3xD.y=—x3+3/

2

8.已知雙曲線C：/—&7,=i的左、右焦點分別為Fi，F2,尸為雙曲線。第一象限上一點，//？用的角

24

2

平分線為/,過點。作「用的平行線，分別與F6,I交于M,N兩點，若眼N|=1PF2],則△PF1F2的

o

面積為（）

A.20B.12C.24D.10

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

第1頁，共16頁

9.現從甲、乙兩名射擊運動員中選擇一人參加大型選拔賽，各進行了10次射擊，射擊成績（單位：環）如表

所示：

次數12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

依據該次選拔賽成績，下列說法中正確的是（）

A.甲的平均成績高于乙的平均成績

B.預計對于平均成績較差，穩定發揮水平就能獲得冠軍，則選擇乙參加比賽

C.預計對手平均成績9.2環，則選擇乙參加比賽

D.預計對手平均成績8.8環，則選擇甲參加比賽

10.如圖，平行六面體—4氏的體積為6,點P為線段上D、

的動點，則下列三棱錐中，其體積為1的有（）A二h/

A.三棱錐P—GCO/y\P//

B.三棱錐P-BiDiD/蘆…

C.三棱錐P—OiBQ

D,三棱錐P-DXAC

11.己知/（/）是R上的連續函數，滿足V/，neR有+y）+f（x—y）=f8）f（y）,且/⑴=1,則下

列說法中正確的是（）

A./(0)=0B./3）為偶函數

C./（/）的一個周期為6D.（|,0）是的一個對稱中心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合A={劍足，＜1},B={0,1,2,3,4}.則4nB的元素個數為.

13.已知等差數列{廝}各項不為零，前〃項和為斗，若5n=所與+1，則句3=.

14.三角形是常見的幾何圖形，除了我們已經學習的性質外，三角形還有很多性質，如：

性質1：△46。的面積S=-ACsinA=；4月-AdtanA；

性質2：對于△ABC內任意一點P,有福?NF+豆百?巨B+CN?戲=%那就+就?瓦？+。注?優;

性質3：△48。內存在唯一一點P,使得/_PAB=2PBe=APCA=a,這個點尸稱為△ABC的“勃

羅卡點”，角a稱為△43。的“勃羅卡角”.

若△/口。的三邊長分別為1,1,、口根據以上性質，可以計算出△4BC的“勃羅卡角”的正切值為.

第2頁，共16頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△A3。中，角N,B,C的對邊0,6、c成公差為2的等差數列.

(1)若△AB。為銳角三角形，求。的取值范圍；

(2)若7sin4=3sinC,求△48。的面積.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P—48。中，PAL平面NBC,AB=BC=1，ZABC=120%PA=AC，D為PC

的中點.

(1)求證：BDLAC;

(2)求BD與平面PAB所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知/(工)=a;In(a;-1)—ax(a€R).

(1)若/(c)在定義域上單調遞增，求。的取值范圍；

(2)若9=/(2)有極大值加，求證：m<-4.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：《+(=1(0>5>0)的離心率6=4，過點P(4,0)作直線/與橢圓C交于/,2兩點(4在

2上方)，當/的斜率為一：時，點/恰與橢圓的上頂點重合.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知設直線MB的斜率分別為島，k2,設的外接圓圓心為E.點8關于x軸的

對稱點為。.

⑶求比+用2的值；

儂)求證：MELPD.

第3頁，共16頁

19.(本小題17分)

通過拋擲骰子產生隨機數列｛%｝,具體產生方式為：若第卜(卜=1,2,3「“，n)次拋擲得到點數

浪=1,2,3,4,5,6),則四=心記數列｛廝｝的前〃項和為S〃，X。為必除以4的余數.

(1)若n=2,求$2=4的概率；

(2)若n=2,比較P(X2=0)與P(X2=3)的大小，說明理由;

⑶若n=20，設(/+/++/4+/+/產=M+瓦工_|_歷/-----1_仇20儲叫試確定該展開式中各項

系數與事件&=j(jGN+,j&120)的聯系，并求X2O=0的概率.

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：3+1)5的展開式中，X的系數為Ct」4=5.

故選：D.

利用二項式定理可求得答案.

本題考查二項展開式的通項與項的系數的求法，為基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：設z=a+bi(a,bCR),

則z=a-瓦，

'：z+2z=6+i9

：,a+bi+2(a-bi)=3a-bi=6+i,即｛,解得Q=2,b=-1,

則2=2-5.

故選：B.

根據已知條件，結合共甄復數的定義，以及復數的概念，即可求解.

本題主要考查共輾復數的定義，以及復數的概念，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：若關于x的方程，sin/+cosI=Q有實數解，

由\/3sinx+cosx=2sin(力+—)G[—2,2],

6

則—2WQ(2,

因為@1)g[-2,2],

故p是q的充分不必要條件.

故選：A.

先結合輔助角公式及正弦函數性質求出鄉對應的范圍，然后結合充分必要條的定義即可判斷.

本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：當出＜0時，

令出2-2劣=8，

即/一2N—8=0，

第5頁，共16頁

解得x=-2；

當a;》0時，

令2H=8,

解得工=3，

所以方程/（乃=8的根為3,-2,

所以所有根之和為1.

故選：A.

求出方程的所有根，即可得答案.

本題考查了函數與方程思想，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：｛廝｝為等比數列，。2+4。4=4。3，

,,,a^q+4向『=4伙］2,

4/—4q+1=0,

解得｛麗｝的公比q

故選：D.

利用等比數列的性質求解.

本題考查等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

6.【答案】C

（y=2x03

【解析】解：聯立（22c。c，整理可得：5/—2/—3=0,解得，=—三，/=1，

Ix+y-2x-3=05

36

即（―十一三）或（1,2）,

55

?6

因為Q川=所以8（—三,一工）,

0O

所以|。引=/（—|）2+（—|）2=?.

故選：C.

聯立直線與圓的方程，可得交點的坐標，再由|0旬的長度，可得點3的坐標，進而可得|。引的長度.

本題考查直線與圓相交的點的坐標的求法，屬于基礎題.

7.【答案】C

第6頁，共16頁

【解析】解：/'（工）=^—ec+2（，—1）,

知/⑴=0，

令尸⑶=0得e，=（e—2）z+2.

由圖知存在3<0,

當/C（一00,磔）時，f\x）>0,/（非）單調遞增;

當ce（如,1）時,/（x）<0,/（①）單調遞減；當a；e（1,+oo）時，f'（x）>0,/（，）單調遞增.

X(一00,4)g(如1)1(l,+oo)

f'3+0-0+

極小值

于⑺T極大值/（必）T

/⑴

對于選項C,y=x3—3x,y'=3or2—3=3(a;—l)(a:+1),

與/（c）一樣，從左向右看先有極大值，再有極小值，符合題意.

故選：C.

根據題目所給定義求解即可.

本題考查導數的綜合運用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：因為雙曲線。：/—"=1,所以a=l,b=2娓，c=5,

24

因為PN平分/F1PF2,所以/F?PN=4MPN,

又MNIIPF2,且過。點，

第7頁，共16頁

所以4MNP=NFzPN=NMPN,且M為P—的中點，

2

所以|VN|=|A/P|=也理，又眼N|=1|P弱，設上司=力，

O

Af

則|PFi|=\MP\+\MF]\=2|MN|=

o

4ff

所以盧局―|P6|=W-t=W=2a=2,所以t=6,

oo

所以|P國=1=6,|PFi|=/=8,又間福=2c=10,

所以|P四2+|p碼2=因理2,所以PFJPF2，

所以△。凡凡的面積為:x6x8=24.

故選：C.

根據雙曲線的幾何性質，角平分線的性質，勾股定理，三角形面積公式，即可求解.

本題考查雙曲線的幾何性質，焦點三角形面積的求解，屬中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于N,甲的平均成績為誕=吃(7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)=8.5,乙的平均成績為

方乙=上(8+9+7+8+10+74-10+10+7+10)=8.6,

則甲的平均成績低于乙的平均成績，N錯誤；

對于3,由數據分析，甲成績的波動比較小，成績更穩定，而乙成績的波動較大，成績不穩定，

由于對手平均成績較差，穩定發揮水平就能獲得冠軍，則應該選擇甲參加比賽，8錯誤；

對于C,甲的10次成績中，大于9.2環的有1次，而乙有4次大于9.2,

若對手平均成績9.2環，則選擇乙參加比賽，C正確；

對于。，甲的10次成績中，大于8.8環的有6次，而乙有5次大于9.2，

若對手平均成績8.8環，則選擇甲參加比賽，。正確.

故選：CD.

根據題意，由平均數的計算公式分析/,分析數據的波動大小判斷8,分析甲、乙成績大于9.2和8.8的次數,

判斷。和。，綜合可得答案.

本題考查數據平均數、波動大小的分析，考查運算求解能力，是基礎題.

10.【答案】ACD

第8頁，共16頁

【解析】解：記平行六面體AB。。-的體積為/=6，

對于/,由平行六面體的性質，415//平面。

故點P到平面OiOCCi的距離等于點B到平面DiDCCi的距離，

故Vp-C-iCD=VB-CJCZ)=|><^=1,故/正確；

對于3,因為VP—氏。1。=]VP-BiDiDB，底面面積固定，點P在線段413上位置不同，高不同，故體積不為

定值，故2錯誤；

對于C,因為小48,平面OQU平面。1耳。，故人田〃平面。1場。，

點尸到平面的距離等于點2到平面場。的距離，

故Vp-DiBtC=VB-DBC=VDi-BCBx=〈X〈V=1,故C正確;

對于。，因為AiR〃OOi，41旦《平面。14。，OQu平面。p4C,故A/〃平面04。，

點P到平面0P4。的距離等于點B到平面0P4。的距離，

故Vp-DiAC=VB-D1AC=VDi-BCA=1X=1,故。正確.

故選：ACD.

根據線面平行的性質，將動點到面的距離轉換成定點到面的距離，利用等體積法依次求解即可.

本題主要考查棱錐體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于4,定義域為R的函數/0)滿足：\/x>yeR,f(x+y)+f[x-y)=/(x)/(y),且于1)=1,

令y=0,有2/⑶=/(0)/㈤,即/⑶[/(O)—2]=0恒成立,

必有/(0)=2,/錯誤；

對于3：令Z=0,則/僅)+/(—9)=/(0)/?),即/?)+/(—幼=2/?),變形可得:于5=A—y),

則/(Z)是偶函數，故2正確；

對于C,對任意X,yeR,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x—y),

令y=1，可得/⑶"1)=/(2+1)+/(/—1),即/(2+1)+/(N一1)=/(/),

變形可得f(c+2)+f(x)=f8+1),

聯立可得：/(/+2)+/儂-1)=0,即加+3)+/(切=0,

則有f[x+6)=-f(x+3)=/(a;),

則/(2)為最小正周期為6的函數，C正確；

第9頁，共16頁

對于。，由于13+3)+/3)=0,/3)為偶函數,則/(，+3)+/(—比)=0,

故(|,0)是/(①)的一個對稱中心，。正確.

故選：BCD.

根據題意，利用特殊值法分析N和比由函數周期性的定義分析C,結合函數奇偶性和對稱性的性質分析，

綜合可得答案.

本題考查抽象函數的奇偶性和周期性的判斷，注意賦值法的應用，屬于中檔題.

12.【答案】2

【解析】解：A={rr|In?<1}={rr|O<x<e},B={0,1,2,3,4),

則4nB={1,2}.

故答案為：2.

先求出集合力,然后結合集合交集運算即可求解.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

13

13.【答案】y

【解析】解：等差數列{廝}各項不為零，前〃項和為S0,Sn=anan+1,

：.ai=ai&2，解得02=1，

電+1=a2a3=&3，

-的=2d=1,d=；,

…,1113

?13=?2+lid=1+—=—?

13

故答案為：y.

利用等差數列的性質求解.

本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

14.【答案】遛

3

【解析】解：由題意，不妨設AB=AC=1,BC=\/3'則NBAC=120°>AABC=Z.ACB=30°,

設△48。的“勃羅卡角”為a,則NPAB=NPBC=NP04=a，APAC120°-a,

APCB=30°-a，NPBA=30°—a，

PAABQ1T1z-y

在△PAR中，由正弦定理可得：———r=^—,所以=―r,

sm(30°—a)sm150°sm(30°—a)

，.,PAAC,「/sina

在△P4C中t，由正弦定理可得：-7=^-^-,可得。人二:訪亦一r,

sm(30°—a)sm150°sm(120°—a)

第10頁，共16頁

smasma

所以即sin(30°-d)=sin(120°-d),

sin(30°—a)sin(120°—a)

所以30°—。+120°—a=180°，解得a=30。，

所以tana=

3

故答案為：VI.

3

不妨設43=4。=1，禽，則乙84。=120°，=乙4CB=30°，設△AB。的”勃羅卡角

為。，則APAB=4PBe=APCA=a，則APAC=120°-a，APCB=30°—a，NPBA=30°-a，

在中，由正弦定理求得尸/,在△P4C中，由正弦定理求得PN,由此求得tana.

本題考查了平面向量的數量積運算，也考查了三角形的面積計算與三角恒等變換，是中檔題.

15.【答案】解：：(1)因為a,6,c是公差為2的等差數歹U,

所以b=a+2,C=Q+4,

所以Q+(Q+2)〉(a+4),則Q〉2,

其次，因為△AB。為銳角三角形，

7T

所以最大角Ce(0,5),

所以cos。〉0,則十一〉0,

2ab

所以。2</+必，即。2一%—12〉0,解得Q〉6；

(2)因為7sin4=3sin。

由正弦定理可得7a=3c,

即7Q=3(Q+4),解得a=3,則b=5,c=7,

a2+b2—c21

所以cosC

2ab2'

V3_15A/3

所以S4ABe-absinC=-x3x5x

2224

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

第11頁，共16頁

16.【答案】解：(1)證明：取NC的中點為E,連接DE,

因為。為尸C的中點，所以0石〃P4,

因為P4_L平面/8C，所以。EJ_平面/8C,

所以DELAC，因為AB=BC=1,所以BEL4C，

因為DECBE=E，所以47,平面3DE,且RDu平面8。￡，

所以80,4。；

(2)以點/為坐標原點，以直線/尸分別為x,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為AB=BC=1，NABC=120°，PA=AC，

所以8(1,0,0),P(0,0,通)，C(*g,0)，

則居，苧，殍),所以初=(1,??)，

平面PAB的法向量為元=(0,1,0),

所以cos<r?>='BD-Tt_丁_73

|國同|—1x1—4

【解析】(1)先證平面再根據線面垂直的性質定理即可得證;

(2),建立空間直角坐標系，求出平面尸的法向量，利用向量法求解即可.

本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題.

第12頁，共16頁

力

17.【答案】解：⑴因為尸Q)=ln(a;-1)+——a,

設s(c)=F(x)=ln(±-1)H------a,

x—1

〃、11x—2

因為1<2<2時，"(,)<(),f(c)單調遞減;

x〉2時，d(￡)>o,r(c)單調遞增，

所以〃％in=r⑵=2-a，

因為/(2)在定義域上單調遞增，

所以「⑶》0恒成立，

所以2—a?0,即aW2.

(2)由(1)可知，當?/=/0)—加有兩個不同的零點時，a〉2,

此時廣⑶min=/")=2—。<0，

且2T1時-⑺—>+oo,X一+oo時f\x)—>+oo,

所以尸3)=0,則7=叼，X=a?2(l<<2<x2)>

其中ln(?—1)+-'彳=a(〃=1,2),

Xi-l

因為1<4<叼時,[(乃>0,因為單調遞增;

為<2</2時，尸⑶<0,/(2)單調遞減；

，〉政時，[(c)>0,/(2)單調遞增，

所以刀=為為八/)的極大值點，則機=/(21).

且/(叫)=司皿的—1)—a]=a；i[ln(a；i—1)—ln(a；i—1)---——

設。⑵=一三(1</<2)，則，(乃=/)]；)>0,

所以9(乃在(1,2)單調遞增，

所以g(x)<g⑵=-4,即加<-4.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：⑴易知直線I：y=一%+1,

因為b=l，￡=/_,,

解得Q=2,

第13頁，共16頁

2

則橢圓C的標準方程為T之+/=1；

4

⑵⑴設直線/的方程為6=加沙+4,4(如明),B(x2,yj,

x=my+4

x22,消去工并整理得(?7?2+4)02+8?7?^+12=0,

{「。=1

,.—8m12

由韋達定理得+沙2=,.，V1V2=2-，

m2+4m2+4

而I、ILL陰?改工2yl+6四2-(陰+敵)

所以比+k=-----+-----二-7----五7-----n—，

2Xi—1徵一1(力1—1)(^2—1)

12—8m

因為為統+xyi-僅1+v/2)=2m眥2+3(譏+y)=2mx+3x],彳=0,

2277?/+4777/+4

所以-智斗普罕二。,

(71—1)(12—1)

⑻易知M4垂直平分線方程為y-^=—2二-巴好),

zyi/

日口xi-134小

即g=---——X+t—^,①

V18陰

同理得MB垂直平分線方程為？/=-9二+舞，②

V28y2

因為比+%=0,

0,

所以3

即金+金=。，

yiV2

—o,口二3*3舄3/11,、、3(vi+V2)/,、

?+?^2to=-+-=-(-+--h+y2))=-.^-(l-W2))

角星得VE=|*"“I_眥2),

4V1V2

②-①得'"2陰一…'二素”二2+3—譏)),

明沙22加沙2

因為直線N3過點P(4,0),

所以kp4=kpB>

yiV2

m即----7=----p

a：i—472-4

整理得立四2-改陰=4(儂-yi)，

所以4E=；(l+?/l?/2)，

第14頁，共16頁

—8m

3(勿+儀)3/+4

則kME=