壓軸專題07隱圓問題

背；技法全歸納

知識考點與解題策略

考點一：定點定長作圓

已知平面內一定點力和一動點3若48長度固定，則動點8的軌跡是以力為圓心，絲長為半徑的圓（如圖）

（依據：圓的定義，圓是平面內所有到定點的距離等于定長的點的集合）.

類型1:

如圖①，若OA=OB=OC,則點A,B,C均在。O上.

圖②圖①圖③圖④

如圖②，若點B到點A的距離為定值，則點B在。A上.

類型2:

如圖③，當涉及折疊時，在矩形ABCD中，點E是邊AB上的定點，點F是邊BC上一動點（不與

點B重合），將△BEF沿EF折疊得到AB，EF,則點B，的運動軌跡是以點E為圓心，BE長為

半徑的一段圓弧（如圖③虛線圓弧）.

類型3:

如圖④，當涉及旋轉時，點A為定點，將AABC繞點A旋轉得到△AB'C，，則點B（C）的

運動軌跡是以點A為圓心，AB（AC）長為半徑的一段圓弧（如圖④虛線圓弧）.

考點2:定弦對定角

模型引入：如圖①，中，46的長度為定值（定弦），頂點C為動點（定弦的同一側），且NC度數

為定值（定角），根據其特征，我們把這樣的模型稱為定弦對定角模型.

在AABC中，AB的長為定值，NC為定角度.

（1）如圖①，當NCV90。時，點C的軌跡為優弧ACB（不與點A,B重合）；

(2)如圖②，當NC=90。時，點C的軌跡為。O(不與點A,B重合)；

圖②

(3)如圖③，當NC>90。時，點C的軌跡為劣弧AB(不與點A,B重合).

困③

結論：

當AC=BC時，點C到AB的距離最大，且此時△ABC的面積最大

考點3:四點共圓

類型一：

如圖①②，在以A,B,C,D四點構成的四邊形中，NACB=NADB=90。.

C

困①困②

結論：點A,B,C,D在以AB為直徑的圓上

依據：直徑所對的圓周角為90。

類型二：

如圖③，在四邊形ABCD中，ZACB=ZADB<90°.

-----------

圖③

結論：點A,B,C,D在同一個圓上

依據：同弧所對的圓周角相等

曾典題固基礎

例題1如圖，AB是：。的直徑，AB=4,點C為。上一點，ZABC=60°,點P為。上一動點，點、D是

AP的中點，求CD的最小值.

3

例題2如圖，在平面直角坐標系中，直線y=^x-3分別與x軸、y軸相交于點A、B,點、E、尸分別是正方

形。4C。的邊。￡?、AC上的動點，S.DE=AF,過原點。作垂足為連接貝

面積的最大值為（）

13+50

C.6+3夜

2~

練」新題型特訓

1.（24-25九年級上?江蘇泰州?期末）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E是正方形ABCD內的動點，點

P是BC邊上的動點，S.ZEAB=ZEBC.連結AE,BE,PD,PE,則PD+PE的最小值為（）

A.2713-2B.4>/5-2C.473-2D.2715-2

2.（24-25?江蘇宿遷?階段練習）正方形ABCD中，AB=4,點E、P分別是CQ、8C邊上的動點，且始終滿

足DE=CF,DF,AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角”8G使得NA//G=90。，連接班/.則

88的最小值為（）

A.2y[5-2B.275+2C.曬-近D.710+72

3.（24-25江蘇徐州階段練習）如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=40，點P在以斜邊AB為直徑的

半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（）

A.2岳+4B.2兀C.4逝+2D.4萬

4.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）已知正方形ABC。邊長為2,點E是正方形43邊上的動點，點尸在

邊BC上，^.BF=AE,線段AF、￡史相交于點連接CM,則點E從點A運動到點8的過程中，線段人江

掃過的面積是.

5.（24-25九年級下?江蘇南京?階段練習）如圖，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E為A3中點，F為直線BC

上動點,B、G關于EF對稱,連接AG,點P為平面上的動點,滿足ZAPB=|ZAGB,則DP的最小值

6.(24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習)如圖，點A,B的坐標分別為A(6,0)，3(0,6),C為坐標平面內一點,

BC=2五,M為線段AC的中點，連接OM,當0W取最大值時，點M的坐標為.

7.如圖，。。的直徑A8為2,C為。。上的一個定點，NA3C=30。，動點尸從A出發，沿半圓弧的向2

點運動(點尸與點C在直徑的異側)，當P點到達8點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂

線CD交PB的延長線于點D,連接AD,則線段AD的最大值為.

8、如圖，已知VABC,外心為0,BC=18,Zfi4c=60。，分別以A3,AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD

與AACE,連接BE,CO交于點尸，則。尸的最小值是.

9、如圖，在四邊形ABCZ)中，ZBAD^ZBCD^90°,NACZ)=30。，A￡>=2,E是AC的中點，連接DE,

則線段DE長度的最小值為

B

10、如圖，AB是半圓O的直徑，點O在半圓。上，AB=13,AO=5,C是弧8。上的一個動點，連接AC,

過。點作于”.連接在點C移動的過程中，8〃的最小值是

11、如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2,若尸為△ABC內一動點，且滿足NACP,則點P運動的

路徑長為.

12、如圖，矩形A8CD中，AB=8,BC=12,以。為圓心，4為半徑作。Z),E為。。上一動點，連接AE,

以AE為直角邊作RfAAER使/E4F=90。，tanZA￡F=1,則點尸與點C的最小距離為

13、(24-25?江蘇南通?階段練習)如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點，尸是線段BC

上的動點，將AEBF沿EF所在直線折疊得到AEBF,連接B。，則的最小值是.

14.問題發現：

(1)如圖①，點A和點8均在。。上，且乙4。8=90。，點P和點。均在射線AM上，若/AP8=45。，則

點P與。。的位置關系是」若NAQBV45。，則點。與。。的位置關系是一

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形ABCO中，ABLBC,ADLDC,ZDAB=U5°,且AB=1,AD=2日點、P是

2C邊上任意一點.

(2)當NAP￡)=45。時，求2尸的長度.

(3)是否存在點尸，使得最大？若存在，請說明理由，并求出8尸的長度；若不存在，也請說明理

圖③

15、問題發現

圖(1),在△0W和。CD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=35。，連接AC,BD交于點、M.

①把的值為；②NAMB的度數為.

BD

(2)類比探究

圖(2),在△OA3和"OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC,交2D的延長線于

1

點M,請計算AC上的值及的度數；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若00=2,AB=8,將OCD繞點。在平面內旋轉一周.

①當直線。C經過點B且點C在線段80上時，求AC的長；

②請直接寫出運動過程中加點到直線距離的最大值.

16、如圖①，在等腰RfABC和等腰Rr3DE中，NBAC=NBDE=90°,AB=AC,BD=DE,E為BC的

中點，歹為CE的中點，連接AF,DF,AD.

>F'

圖①圖②圖③

⑴若AB=4,求AO的長度;

(2)若將V3DE繞點B旋轉到如圖②所示的位置，請證明=AF1DF；

(3)如圖③，在V3DE繞點8旋轉的過程中，再將△ACF繞點A逆時針旋轉60。到ACF',連接3F,若

AB=4,請直接寫出39的最大值.

壓軸專題07隱圓問題

9技法全歸納

知識考點與解題策略

考點一：定點定長作圓

已知平面內一定點力和一動點3若四長度固定，則動點8的軌跡是以Z為圓心，四長為半徑的圓（如圖）

（依據：圓的定義，圓是平面內所有到定點的距離等于定長的點的集合）.

類型1:

如圖①，若OA=OB=OC,則點A,B,C均在。O上.

如圖②，若點B到點A的距離為定值，則點B在。A上.

類型2:

如圖③，當涉及折疊時，在矩形ABCD中，點E是邊AB上的定點，點F是邊BC上一動點（不與

點B重合）,將△BEF沿EF折疊得到△B，EF,則點B，的運動軌跡是以點E為圓心，BE長為

半徑的一段圓弧（如圖③虛線圓弧）.

類型3:

如圖④,當涉及旋轉時，點A為定點，將△ABC繞點A旋轉得到△AB'C，，則點B（C）的

運動軌跡是以點A為圓心，AB（AC）長為半徑的一段圓弧（如圖④虛線圓弧）.

考點2:定弦對定角

模型引入：如圖①，△腦中,的長度為定值（定弦），頂點C為動點（定弦的同一側），且NC度數

為定值（定角），根據其特征，我們把這樣的模型稱為定弦對定角模型.

在AABC中，AB的長為定值，NC為定角度.

（1）如圖①，當NCV90。時，點C的軌跡為優弧ACB（不與點A,B重合）；

C

A、、一，B

圖①

（2）如圖②，當NC=90。時，點C的軌跡為。O（不與點A,B重合）；

圖②

（3）如圖③，當NC>90。時，點C的軌跡為劣弧AB（不與點A,B重合）.

困③

結論：

當AC=BC時，點C到AB的距離最大，且此時△ABC的面積最大

考點3:四點共圓

類型一：

如圖①②，在以A,B,C,D四點構成的四邊形中，ZACB=ZADB=90°.

結論：點A,B,C,D在以AB為直徑的圓上

依據：直徑所對的圓周角為90。

類型二:

如圖③，在四邊形ABCD中，ZACB=ZADB<90°.

結論：點A,B,C,D在同一個圓上

依據：同弧所對的圓周角相等

典跑固基礎

例題1如圖，AB是：。的直徑，AB=4,點C為。上一點，ZABC=60°,點、P為。上一動點，點、D是

【詳解】解：如解圖，連接。口、BP,

■：AD^PD,AO=BO,

：.ODUBP,

是；。的直徑，

NAPB=90。，

ZAD(9=90°,

取AO的中點為E,以E為圓心，AE長為半徑作圓，則點。在圓上.

連接AC,作于點H,連接EC交?E于點、F,則尸C為所求的最小值,

VAB=4,ZABC=60°,ZACB=90°f

:.BC=2,CH=拒,BH=1,

VAE=OE=-AO=1,：.EH=2,

2

由勾股定理得EC=y]CH2+EH2=V7，

ACF=V7-1,即CD的最小值為，■一1.

3

例題2如圖，在平面直角坐標系中，直線＞=%-3分別與x軸、y軸相交于點A、B,點從廠分別是正方

形。4CZ）的邊。￡＞、AC上的動點，S.DE=AF,過原點。作所，垂足為連接貝

面積的最大值為（）

D13+5忘

A.6+5應B.12C.6+3日

--2

【答案】D

【分析】先證明ON=CN,再證點”在以ON直徑的圓上運動，則當點“在。加的延長線上時，點H到AB

的距離最大，由相似三角形的性質可求MK,KQ的長，由三角形的面積公式可求解.

【詳解】解：如下圖，連接交EF于N,連接。C,取ON的中點M,連接過點M作

于。，交AO于點K,作與點尸,

3

:直線y=]X-3分別與x軸、y軸相交于點A、B,

...點A(4,0),點8(0,-3),

：.OB=3,OA=4,

AB=y/OB2+O42=J16+9=5>

:四邊形AC。。是正方形，

OD//AC,AO=AC=OD=4,OC=4&,ZCOA=45°,

：.NEDN=NNAF,ZDEN=ZAFN,

又；DE=AF,

:.叢DENW&AFNCASA),

：.DN=AN,EN=NF,

...點N是A。的中點，即點N是OC的中點，

：.ON=NC=2五,

'：OHLEF,

：.ZOHN=90°,

...點”在以ON直徑的圓上運動，

當點H在。M的延長線上時，點H到AB的距離最大,

:點M是ON的中點，

：.OM=MN=.j2,

?：MP±OP,ZCOA=45°,

???OP=MP=T,

???AP=3,

?/ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB+ZAKQ,

ZAKQ=ZABO=Z.MKP,

又「ZAOB=ZMPK=9Q°,

：.△MPKS^AOB,

,MP_PK_MK

??茄一而一茄，

.\_PK_MK

435

?53

:?MK=—,PK=一,

44

9

??AK=—,

4

VZAKQ=ZABOfZOAB=ZKAQ,

：.AAKQ^AABO,

.AK_KQ

**AB-OB?

9

4_KQ,

二一亍

?27

??KQ——,

20

5?713

QM=KQ+MK=-+—

4205

13

點H到AB的最大距離為《+&,

???AHAB面積的最大值=《x5x(1+&)=13+y,

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，一

次函數的應用，圓等知識，解題的關鍵是求出的長.

S新題型特3

1.（24-25九年級上?江蘇泰州?期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是正方形ABC。內的動點，點

P是3C邊上的動點，S.ZEAB=ZEBC.連結AE,BE,PD,PE,則尸D+PE的最小值為（）

A.2g-2B.4A/5-2C.4百-2D.2A/15-2

【答案】A

【分析】先證明NA￡B=90。，即可得點E在以AB為直徑的半圓上移動，設的中點為。，作正方形ABC。

關于直線3C對稱的正方形CFGB,則點。的對應點是尸，連接F■。交BC于尸，交半圓。于E,根據對稱性

有：PD=PF,則有：PE+PD^PE+PF,則線段斯的長即為PE+PD的長度最小值，問題隨之得解.

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，

,NABC=90。，

ZABE+/EBC=90°,

'：ZEAB=ZEBC,

：.ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAEB=90°,

，點￡在以A3為直徑的半圓上移動，

如圖，設AB的中點為。，

作正方形ABCD關于直線對稱的正方形CFGB,

則點。的對應點是凡

連接Fr。交BC于P,交半圓。于E,

根據對稱性有：PD=PF,

則有：PE+PD^PE+PF,

則線段EF的長即為PE+PD的長度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=VFG2+OG2=2/，

EF=OF-OE=2y/13-2,

故PE+PD的長度最小值為2岳-2,

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的

運動路線是解題的關鍵.

2.（24-25?江蘇宿遷?階段練習）正方形ABCD中，48=4,點E、P分別是C。、8C邊上的動點，且始終滿

足DE=CF,DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角AAHG使得NAHG=90。，連接8”.則

的最小值為（）

A.2石-2B.2岳2C.710-72D.回+近

【答案】C

【分析】首先證明ZAGD=90。，從而OG=；A￡>=2,再根據NO4G=4ZW,可求MH=6,可知點H

的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值.

【詳解】解：如圖，取AD中點O,連接OG,以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM,

貝UAM=—AO=y/2,

2

在VA0E和OCF中，

AD=CD

<ZADE=ZDCF,

DE=CF

；?：ADEaDCF(SAS),

???ZDAG=ZCDF,

VZADG+ZCDF=90°,

ZADG+ZZMG=90°,

???ZAGD=9Q°,

△AZ)G是直角三角形，

???OG=-AD=2,

2

,?1為等腰直角三角形，

ZOAG-^-ZGAM=/HAM+Z.GAM,

ZOAG=ZHAM,

p..AHMA72

乂?---=---=---，

AGOA2

???AAMH^AAOG,

.MHA/2

"~00~~2,

MH=五，

...點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，

如圖，連接BM,交圓M于/T,過點M作于點P,

,/Z.DAE+ZBAH=45°,ZOAG=ZMAH,

，ZPAM=ZMAH+ABAH=45°,

???為等腰直角三角形，

,:AM=&

.\AP=MP=^x72=1,

2

；.BP=4-1=3,

在&3PM中，BM=^BP-+PM2=710>

/.BH'=BM-MH'=410-42.

ABH的最小值為J記-0.

故選：C.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關鍵是準確構造輔助線，利用三角形相似以及點和圓的知識解

決.

3.（24-25江蘇徐州階段練習）如圖，在等腰RtAABC中，AC=3C=4應，點P在以斜邊AB為直徑的

半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（）

A.2岳+4B.2nC.40+2D.4萬

【答案】B

【詳解】分析：取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點R連結OC、OP、OM、OE、OF、EF,如圖，

利用等腰直角三角形的性質得到AB=及BC=8,貝lj0C=：A8=4,0P=1AB=4,再根據等腰三角形的性質得

OMLPC,則/。0。=90。，于是根據圓周角定理得到點M在以0C為直徑的圓上，由于點P點在A點時，

M點在E點；點尸點在B點時，M點在尸點，則利用四邊形CEO尸為正方得到EB=0C=4,所以M點的路

徑為以所為直徑的半圓，然后根據圓的周長公式計算點”運動的路徑長.

詳解：取的中點O、AC的中點E、BC的中點尸，連結OC、OP、OM,OE、OF、EF,如圖，：在等腰

RtAABC中，AC=BC=4母,；.AB=0BC=8,AOC=|AB=4,OP=1AB=4.

為PC的中點，.?.OMLPC,，/。0。=90。，.?.點M在以OC為直徑的圓上，點P點在A點時，M

點在E點；點P點在8點時，M點在尸點，易得四邊形CEO尸為正方形，EF=OC=4,點運動的路徑為

以EF為直徑的半圓，，點M運動的路徑長=，4兀=2兀.故選B.

點睛：本題考查了軌跡：點按一定規律運動所形成的圖形為點運動的軌跡.解決此題的關鍵是利用等腰三

角形的性質和圓周角定理確定M點的軌跡為以EF為直徑的半圓.

4.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）已知正方形ABCZ）邊長為2,點E是正方形A3邊上的動點，點尸在

邊BC上，且班'=AE,線段■、DE相交于點連接則點E從點A運動到點8的過程中，線段

掃過的面積是

5兀

【答案】

【分析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、點的運動軌跡問題的求解等知

識與方法，正確地作出所需要的輔助線，得到點M的運動軌跡是解題的關鍵.先證明ADE烏BAF(SAS)得

到=進而證得/AMD=90。，利用圓周角定理得到點M在以AD為直徑的圓上運動，如圖，

設圓心為N,連接AC、8D相交于。，連接ON,利用正方形的性質和圓周角定理得到點。在圓N上，根

據圖形結合已知得到在點E從點A運動到點8的過程中，點M在劣弧上運動，點尸在BC上運動，由線

段FM掃過的面積$=SABC+S-S扇形,求解即可.

【詳解】解：如圖，四邊形A2CD是邊長為2的正方形，

.-.ZASC=ZZMB=90°,AB=BC=AD=CD=2,

在VADE和△BAP中，

AD=AB

<ZDAE=NABF

AE=BF

ADEWBAF(SAS),

:.ZADE=ZBAF,

：.ZADE+ZDAF=ZBAF+ZDAF=Z.DAE=90°,

:.ZAMD=90°,即AF1DE,

...點M在以A￡>為直徑的圓上運動，如圖，設圓心為N,連接AC、相交于。，連接ON,

AE

則AN=ON=，Ar>=l,BDLAC,ZAPS=45°,

2

/.ZAOD=9Q°,即點。在圓N上,

ZANO=2ZADB=90°,ON=AN=lf

,:BF=AE,AFLDE,

???當點E在點A處時，點尸在點8處，這時點M在點A處，當點石在點5處時，點尸在點C處，這時點M

在點。處，

工在點E從點A運動到點3的過程中，點M在劣弧Q4上運動，點廠在5C上運動，

?，?線段掃過的面積是S-SABC+SANO—S扇形ANO=7^x2X2+7xlxl—：7ixl2=_

22424

5TT

故答案為：~~~■

24

5.（24-25九年級下?江蘇南京?階段練習）如圖，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E為48中點，尸為直線BC

上動點,8、G關于EF對稱,連接AG,點P為平面上的動點，滿足NAPB=[NAGB,則DP的最小值________.

2

【答案】2&U-20

【分析】由題意可知，/AG3=90。，可得/AP8=』/AG3=45。，可知點尸在以AB為弦，圓周角NAP3=45°

2

的圓上，（要使0P最小，則點尸要靠近蒂點。，即點尸在的右側），設圓心為。，連接。4,OB,OE,

OP,OD,過點。作OQLAD,可知VAOB為等腰直角三角形，求得OA=^AB=26=0P,

2

AQ=0Q=^0A=2,QD^AD-AQ=6,OD=yJOQ2+QD2=2A/10,再由三角形三邊關系可得：

DP>OD-OP=24U）-2s/2,當點尸在線段O￡>上時去等號，即可求得的最小值.

【詳解】解：G關于所對稱，

：.BH=GH,且EF_LBG

為48中點，則EH為,ABG的中位線，

EH//AG,

：.ZAGB=90°,

，點尸在以A3為弦，圓周角NAP3=45°的圓上，（要使。尸最小，則點P要靠近蒂點O,即點尸在的

右側）

設圓心為0,連接。4,OB,OE,OP,OD,過點。作0QLAD,

則。4=0B=OP,

?/ZAPS=45°,

???NAOF=90。，則VA0B為等腰直角三角形，

/.OA=—AB=2y/2=OP,

2

又：E為A3中點，

OEJ_AB,OE=—AB=AE=BE,

2

又：四邊形ABC。是矩形，

/.ZBAD=90°,AD=BC=8,

四邊形AEOQ是正方形，

AAQ=OQ=^OA=2,QD=AD-AQ=6,

OD=y]OQ2+QD2=2y/10,

由三角形三邊關系可得：DP2OD-OP=2M-2也,當點P在線段上時去等號，

/.DP的最小值為2如-20,

故答案為：2回-2垃.

【點睛】本題考查軸對稱的性質，矩形的性質，隱形圓，三角形三邊關系，正方形的判定及性質，等腰直

角三角形的判定及性質，根據/APB=|NAGB=45°得知點尸在以AB為弦，圓周角ZAPB=45°的圓上是解

決問題的關鍵.

6.（24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習）如圖，點A,8的坐標分別為46,0）,3（0,6）,C為坐標平面內一點，

BC=2枝,M為線段AC的中點，連接OM,當O暇取最大值時，點〃的坐標為.

【答案】(4,4)

【分析】根據題意可知：點C在半徑為2夜的08上.在無軸上取。￡>=。4=6,連接CD,易證明0M是AACQ

的中位線，即得出0M=Jcr),即當最大時，CD最大，由。，B,C三點共線時，即當C在Z58的延長

線上時，最大，根據勾股定理求出8。的長，從而可求出CQ的長，最后即可求出OM的最大值.

【詳解】解：如圖，：點C為坐標平面內一點，BC=2枝,

，C在0B上，且半徑為2亞，

：.OM=^CD,

即當OM最大時，CD最大,而。，B,C三點共線時，即當C在08的延長線上時，OM最大,

：02=00=6,ZBOD=9Q°,

BD=672,

CD=6A/2+2A/2=8應，且C(2,8),

OM=^CD=4近,即0M的最大值為40，

是AC的中點，則M(4,4),

故答案為：（4,4）.

【點睛】本題考查坐標和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識.確定。知為最大值時點C的位置

是解題關鍵，也是難點.

7.如圖，。。的直徑為2,C為。。上的一個定點，ZABC=30°,動點尸從A出發，沿半圓弧的向B

點運動（點尸與點C在直徑A3的異側），當P點到達8點時運動停止，在運動過程中，過點C作C尸的垂

線CD交PB的延長線于點D,連接AD,則線段AD的最大值為.

【答案】V7+A/3/A/3+V7

【分析】由同弦等角可知點。在以8C為弦的。O,（紅弧線）上運動，從而構造輔助圓，故當A、O\。共

線時，的值最大.求出此時的值即可解決問題.

【詳解】解：:AB是直徑，ZABC=30°,AB=2,

：.ZACB=90°,ZCAB=ZP=6Q°,AC=^AB=1,BC=^AC=6，

:在PCD中，ZPCD=90°,ZP=60°,

：.ZPDC=3O°,

...點。在以BC為弦的。0,（紅弧線）上運動，

...當A、O'、D共線時，的值最大.

如圖，連接CO，、BO',

VZBO'C=2ZCDB=60°,O'C=O'B,

...△(ZBC是等邊三角形，

/.BO'=BC=A/3，/CBO，=60。，

NABC=30°,

NABO'=90°,

22

AO'=yjAB+O'B=商+網2=嶼,

AD=AD'+O'D=/1+y/3.

...線段A。的最大值為6+7L

故答案為：77+73.

【點睛】本題考查圓周角定理、含30。角的直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、最值

問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考常考題型.

8、如圖，已知VABC,外心為0,BC=18,44C=60。，分別以A3,AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD

與△ACE,連接BE,CD交于點P,則O尸的最小值是

【答案】9-373

【分析】由△極）與"怎是等腰直角三角形，得到/BAD=/CLE=90。，ZDAC=ZBAE,根據全等三

角形的性質得到NADC=/ABE,求得在以8C為直徑的圓上，由VA5C的外心為0,ZBAC=60°,得到

ZB0C=120°,如圖，當PO15C時，0P的值最小，解直角三角形即可得到結論.

【詳解】解：一ABD與△ACE是等腰直角三角形，

:.ZBAD^ZCAE^90°,

:.ZDAC=/BAE,

在△ZMC與中，

AD=AB

<ZDAC=NBAE,

AC=AE

DAC^^BAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

:2PDB+/PBD=90。,

:.NDPB=90。,

在以BC為直徑的圓上，

ABC的外心為0,ZBAC=60°,

ZBOC=120°,

如圖，當時，。尸的值最小，

3c=18,

:.BH=CH=9,OH=LOB

2

BH=y/OB2-OH2=下>OH

:.0H=3有,PH=9,

OP=9-343.

則O尸的最小值是9-3石，

故答案為：9-373.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的

作出輔助線是解題的關鍵.

9、如圖，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,ZACD=30°,AD=2,E是AC的中點，連接OE,

則線段DE長度的最小值為.

【答案】A/3-I

【分析】先判斷出四邊形A2CO是圓內接四邊形，得到NACD=NABr>=30。，根據題意知點E在以PG為直

徑的。尸上，連接尸。交。P于點E,此時。E長度取得最小值，證明NAPD=90。，利用含30度角的直角三

角形的性質求解即可.

【詳解】解：VZBAD=ZBCD=90°,

四邊形ABCO是圓內接四邊形，

ZACD=ZABD=30°,

：.ZADB=60°,

\'AD=2,

：.BD=2AD=4,

分別取AB、A。的中點RG,并連接PG,EF,EG,

是AC的中點，

：.EF//BC,EG//CD,

：./AEF=ZACB,NAEG=ZACD,

ZAEF+/AEG=ZACB+ZACD=90°,即ZFEG=90°,

...點E在以FG為直徑的。尸上，如圖：

當點E恰好在線段尸。上，此時DE的長度取得最小值，

連接B4,

,:F、G分別是AB、A。的中點,

：.FG//BD,FG=^BD=2,

：.ZADB=ZAGF=60°,

'：PA=PG,

...△APG是等邊三角形，

/.ZAPG=60°,

:PG=GD=GA,且NAGF=60。，

NGPD=NGDP=30。,

：.ZAPD=90°,

PD=VAD2-PA2=V22-l2=A/3，

長度的最小值為(6-1).

故答案為：(石-1).

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角

形的性質，得到點E在以尸G為直徑的。尸上是解題的關鍵.

10、如圖，48是半圓。的直徑，點D在半圓。上，AB=13,AO=5,C是弧8。上的一個動點，連接AC,

過。點作。"LAC于H.連接BH,在點C移動的過程中，的最小值是

【答案］河-5

【分析】連接B。，取的中點￡,連接BE,由題意先判斷出點H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，

當2、H、E三點共線時，28取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長，利用直角三

角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出E”的長，由3”=3后-瓦7即可算出8〃的長度.

【詳解】解：連接8。，取A。的中點E,連接BE,如下圖：

OB

'：DH±AC

...點H在以點“為圓心，AE為半徑的圓上，當2、H、E三點共線時，取得最小值

,：AB是直徑

NBDA=90

在m3DA中，AB=13,AD=5

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2

即：BD2=169-25=144

?/BD>0

BD^n

為A。的中點

/.DE=-AD=-

22

在m3DE中，BD=12,DE

由勾股定理得：BE2=DE1+BD2

即：BE1=—+144=—

44

BE>0

.RF-阿

2

^-：DH±AC,且點E為A。的中點

/.EH=-

2

.*RF巾河5y/601-5

??Dtl—DLL—乜lt=----

222

故答案為：河一5

2

【點睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，隱圓問題的處理等相關知識點，能夠判斷出從動點的運動軌跡是解題的關鍵.

11、如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2,若尸為△ABC內一動點，且滿足/ACP,則點P運動的

路徑長為.

【答案】空

【詳解】解：???△A5C是等邊三角形，

???ZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,

'：ZPAB=ZACPf

：.ZPAC+ZACP=60°,

ZAPC=no0,

???點P的運動軌跡是AC,如圖所示：

連接。4、OC,作OD_LAC于。，

則A0=CQ」AC=1,

2

,/AEC所對的圓心角=2NAPC=240。，

???劣弧AC所對的圓心角NAOC=360。-240°=120°,

,：OA=OC,

???NOAO=30。，

\'OD±ACf

：.OD=BAD=B,OA=2OQ=亞，

323

19n273

???AC的長為I2。一"二述兀；

180~~9~

故答案為：述兀.

9

12、如圖，矩形A5C。中，AB=8fBC=12,以。為圓心，4為半徑作。。，后為。。上一動點，連接AE,

以AE為直角邊作RtXAEF,使NE4尸=90。，tan/AEF=；,則點尸與點C的最小距離為.

【答案】4Mq

【分析】如圖，取的中點G,連接尸G,FC,GC,由△RlGs/sEA。，推出PG：DE=AF,AE=1：3,

44

因為。E=4,可得/G=(,推出點尸的運動軌跡是以G為圓心!■為半徑的圓，再利用兩點之間線段最短即

可解決問題.

【詳解】解：如圖，取的中點G,連接/G.FC.GC.

ZEAF=90°,tanZAEF=-,

3

.AF_1

??一，

AE3

VAB=8,AG=GB,

：.AG=GB=4,

*：AD=12,

-AG_4_1

**AB-12-3,

.AFAG

??一,

AEAD

???四邊形ABC。是矩形，

NBAD=ZB=ZEAF=90°,

：.ZFAG=ZEAD,

：.FG：DE=AF：AE=1：3,

U：DE=4,

4

，點F的運動軌跡是以G為圓心3為半徑的圓，

GC=4GB2+BC2=V42+122=4M，

：.FC>GC-FG,

FC>4--）

CF的最小值為4^/10.

故答案為：4710--■

【點睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

13、（24-25-江蘇南通?階段練習）如圖，在矩形中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點，尸是線段BC

上的動點，將AE8/沿EF所在直線折疊得到AE8F,連接8。，則8。的最小值是.

【答案】2M-2.

【分析】如圖所示，點夕在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當。、B\E共線時，的值最小，根據

勾股定理求出根據折疊的性質可知B'E=BE=2,即可求出ED

【詳解】如圖所示點3'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當。、B\E共線時，夕。的值最小，根據折

疊的性質，△EBF會/\EBE：.ZB=ZEB'F,EB'=EB.

是AB邊的中點，AB=4,：.AE=EB'=2.

'：AD=6,:.DE=d&+于=25,：.B'D=2^W-2.

故答案為2師-2.

【點睛】本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質、兩點之間線段最短的綜合運用；確定點F在

何位置時，的值最小是解決問題的關鍵.

14.問題發現：

（1）如圖①，點A和點8均在。。上，且NAOB=90。，點P和點。均在射線AM上，若NAPB=45。，則

點尸與。。的位置關系是「若/AQBV45。，則點。與。。的位置關系是

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形ABCO中，ABLBC,ADLDC,ND4B=135。，且AB=1,AD=2及，點,P是

邊上任意一點.

(2)當NAPZ)=45。時，求的長度.

(3)是否存在點P,使得/AP。最大？若存在，請說明理由，并求出8尸的長度；若不存在，也請說明理

圖①圖②圖③

【答案】(1)點P在。。上，點。在。。外；⑵PB=2+6或2-6；(3)存在，指T

【分析】(1)如圖①中，根據圓周角與圓心角的關系即可判斷；

(2)如圖2中，造等腰直角三角形△AOD,與。為圓心作。。交8C于尸、尸，易知/APO=/AHD=45。.求

出8P和BP的長即可解決問題；

(3)作線段4。的垂直平分線，交AD于E,交BC于憶點。在跖上，以。4為半徑作。O,當。。與

8c相切于點P時，NAP。最大，求出此時8P的值即可；

NAOB=45。,

...點P在。。上，

ZAQB<45°,

...點。在。。外.

故答案為點尸在。。上，點。在。。外.

(2)如圖2中，如圖構造等腰直角三角形△A。。，與。為圓心，OA為半徑作。。交8C于P、P',易知/APO

=ZAP'D=45°.

圖②

延長DO交BC于H,

'：ZDAB^135°,NZMO=45°,

：.ZOAB^ZB^90°,

：.OA//BC,

：.ZDOA=ZOHB=90°,

.,.四邊形ABHO是矩形，

：.AB=OH=\,OA=BH,

：A￡>=2立，

：.OA=OD=OP=OP'=2,

在RtXOPH和Rt4OP'H中，

易知HP=HP，=V22-I2=出，

：.BH=OA=2,

：.BP'=2-^3,PB=2+5

(3)如圖③中，存在.

G"BPFM

圖③

作線段AO的垂直平分線，交AO于E,交8c于憶點。在EF上，以OA為半徑作。O,當。。與8c相

切于點P時，NAPD最大，理由：在2C上任意取一點連接MA、MD,MD交。0于N,連接AN.

ZAND>ZAMD,ZAPD=ZAND,

：.ZAPD>ZAND,

連接OP,延長D4交C2的延長線于點G