壓軸專題17新定義問題

典題固基礎

例題1對于平面直角坐標系xOv中的定點P和圖形尸，給出如下定義：若在圖形尸上存在一點N,使得點Q

與點尸關于直線QV對稱，則稱點Q是點尸關于圖形廠的定向對稱點.

>'A

3卜

2r

IB

IIII111|r

?3?2-1|23^

-1卜

■2r

⑴如圖，41,0),8(1,1),尸(0,2)

①點尸關于點A的定向對稱點的坐標是.

②在點1),M(0,-l),M(2,0)中，是點P關于線段A8的定向對稱點.

⑵直線/：y=x+b分別與X軸，y軸交于點G,H,。〃是以點/(3,0)為圓心，r(r>0)為半徑的圓.當

r=1時，若。M上存在點K,使得它關于線段G/Z的定向對稱點在線段G8上，求6的取值范圍.

s新題型特3

1.對于一個兩位數7〃=油，(O464a49,14a+Z?49),記/(〃z)=a+Z?,將相的十位數字與個位數字的和、

十位數字與個位數字的差分別作為〃/的十位數字和個位數字，新形成的兩位數加叫做m的伴生和差數，把

機放置于加十位數字與個位數字之間，就可以得到一個新的四位數最小的/為,若/能被7

整除，則的最小值為_______.

F[m)

2.定義：在平面直角坐標系方為中，若尸、。的坐標分別為(a,無)、。(無2，%)，則稱|玉-龍2|+|%-%|為若

P、。的“絕對距離”,表示為非2.

【概念理解】

(1)一次函數，=-2無+6圖像與x軸、y軸分別交于A、8點.

①為；

②點N為一次函數y=—2x+6圖像在第一象限內的一點，dAN=5,求N的坐標；

3

③一次函數了=%+萬的圖像與，軸、A8分別交于C、D點,尸為線段CD上的任意一點，試說明：服^=4族；

【問題解決】

(2)點41,2)、。(。⑼為二次函數y=Y-力吠+〃圖像上的點，且。在尸的右邊，當6=2時，dPQ=4.若

b<2,求dp。的最大值；

(3)已知尸的坐標為(U)，點。為反比例函數y=：(x>0)圖像上一點，且Q在尸的右邊，%°=2,試說

明滿足條件的點。有且只有一個.

3.如果一個自然數Af的個位數字不為0,且能分解成AxB,其中A與B都是兩位數，A與8的十位數字

相同，個位數字之和為10,則稱數Af為“合和數”，并把數Af分解成M=Ax3的過程，稱為“合分解”.

例如609=21x29,21和29的十位數字相同，個位數字之和為10,

.?.609是“合和數”.

又如234=18x13,18和13的十位數相同，但個位數字之和不等于10,

,234不是“合和數”.

(1)判斷168,621是否是“合和數”？并說明理由；

(2)把一個四位“合和數”M進行“合分解"，即M=A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之

和的和記為尸(M)；A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之和的差的絕對值記為。(“).令

P(M}

G(M)=e(M),當G(M)能被4整除時，求出所有滿足條件的

4.二次函數y=爐-2?u的圖象交x軸于原點。及點A.

感知特例

(1)當m=1時，如圖1,拋物線L:y=/-2x上的點8,O,C,A,。分別關于點A中心對稱的點為夕，

O',C,A,D3如下表：

8（-1,3）0（0,0）COTA（一,—）0（3,3）

"（5,-3）O'（4,0）C'（3,l）A（2,0）D（L-3）

①補全表格;

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為〃.

形成概念

我們發現形如（1）中的圖象，上的點和拋物線乙上的點關于點A中心對稱，則稱V是乙的“孔像拋物線”.例

如，當〃?=-2時，圖2中的拋物線//是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當機=-1時，若拋物線乙與它的“孔像拋物線”〃的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為.

②在同一平面直角坐標系中，當加取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數y=的所

有“孔像拋物線”1/,都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是.（填“,=加+法+（?”或",=依2+人龍”

或“、=加+c"或其中a6cHe））；

③若二次函數y=d-2mx及它的“孔像拋物線”與直線>=根有且只有三個交點，求機的值.

5.在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN,直線/和圖形W給出如下定義：線段關于直線/的對稱

線段為V分別是N的對應點）.若與均在圖形W內部（包括邊界），則稱圖形W

為線段MN關于直線/的“對稱封閉圖形”.

y1'

6-

5-

4-

3-

2-

1

P

_I-----------1------------1------------1------------1?

-6-5-4-3-2-10123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

⑴如圖，點P(-1,0).

①已知圖形憶：半徑為1的。。，W2：以線段尸。為邊的等邊三角形，胸：以。為中心且邊長為2的正

方形，在M,卬2,W3中，線段尸。關于y軸的“對稱封閉圖形”是；

②以。為中心的正方形ABC。的邊長為4,各邊與坐標軸平行.若正方形是線段尸。關于直線>=尤

+6的“對稱封閉圖形”，求。的取值范圍；

⑵線段MN在由第四象限、原點、x軸正半軸以及y軸負半軸組成的區域內，且的長度為2.若存在點

Q(a-2aa+2拒)，使得對于任意過點。的直線/,有線段MN,滿足半徑為廠的。。是該線段關于/

的“對稱封閉圖形”，直接寫出廠的取值范圍.

6.我們定義：如圖1,在VA5C與△AB'C'中，兩三角形有公共頂點A,A3所在射線逆時針旋轉a到AC所

在射線，AE所在射線逆時針旋轉夕到AC所在射線，/BAC=a,/*AC'=Aa+夕=180°,嘿=9」，則

ABAC

我們稱VABC與△AB'C'互為"旋補比例三角形”.

(1)如圖1,VABC與△AS'C'互為旋補比例三角形，N姑C=60°,4B=6,AC=3,4g'=2時，?ZB'AC

S，，

,②；

\ABC

(2)如圖2,在VABC中，AD13C于點O,DL4與△ZMC互為旋補比例三角形，延長CB至點E,使

EB=BD,連結AE,求證：.54E與V8C4互為旋補比例三角形；

⑶如圖3,在△。48中，44。3=135°,點A在x軸的正半軸上，OA=2,點B在第二象限，02=20,

拋物線y=爐+b尤+c經過點8,與，軸交點為(0,5),△OPQ(點O,P,Q按逆時針排列)與△OAB互為旋

補比例三角形，點尸在拋物線的對稱軸上運動，當點A3尸構成的三角形是以A3為腰的等腰三角形時，求

點。的坐標.

7.黨的二十大報告指出：“高質量發展”是全面建設社會主義現代化國家的首要任務，在數學中，我們不妨

約定：在平面直角坐標系內，如果點尸(根〃)的坐標滿足則稱點P為“高質量發展點

⑴若點尸（加,4）是反比例函數y=：（左為常數，k手0）的圖象上的“高質量發展點”求這個反比例函數的解

析式；

⑵若函數y=2無+3-夕（。為常數）圖象上存在兩個不同的“高質量發展點”，且這兩點都在第一象限，求P

的取值范圍；

⑶若二次函數（a,6是常數，。>1）的圖象上有且只有一個“高質量發展點”，令

w=-b2-8（a-l）,當/-IVbV/"時，w有最大值―，求f的值.

8.對于任意一個四位數N,如果N滿足各個位上的數字互不相同，且個位數字不為0,N的百位上的數字

與十位上的數字之差是千位上的數字與個位上的數字之差的2倍，則稱這個四位數N為“雙減數”.對于一

個“雙減數"N=兩，將它的千位和百位構成的兩位數為瓦，個位和十位構成的兩位數為五，規定：

F（N）=.例如：N=7028.因為2x（7—8）=0-2,故7028是一個“雙減數”,貝UF（7028）=8*=-1,

（1）判斷9527,6713是否是“雙減數”，并說明理由，如果是，并求出P（N）的值；

⑵若自然數A為“雙減數”，尸（⑷是3的倍數，且A各個數位上的數字之和能被13整除，求A的值.

9.【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系龍帆中，點P為拋物線C的頂點，直線/與拋物線C分別相交于

M,N兩點（其中點M在點N的右側），與拋物線C的對稱軸相交于點°,若記S（1,C）=P。?,則稱S（/,C）

是直線/與拋物線C的“截積”.

【遷移應用】根據以上定義，解答下列問題：如圖，若直線/的函數表達式為丫=尤+2.

⑴若拋物線C的函數表達式為y=2/-1,分別求出點M,N的坐標及S（/,C）的值；

⑵在（1）的基礎上，過點尸作直線/的平行線現將拋物線C進行平移，使得平移后的拋物線C'的頂點

尸'落在直線/'上，試探究S（/,C'）是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

⑶設拋物線C的函數表達式為y=“（x-/7）2+k,若S（/,C）=6五，MN=g且點尸在點。的下方，求

a的值.

10.x、y是一個函數的兩個變量，若當aWg6時，有底底6（a<6）,則稱此函數為爛爛6上的閉函數.如

y=-A-+3,當x=l時y=2；當x=2時y=l,即當1$區2時，1W）K2,所以y=-x+3是1WE2上的閉函

數.

⑴請說明y=—是iw爛30上的閉函數；

x

⑵已知二次函數y=N+4x+A是云爛-2上的閉函數，求人和f的值；

⑶在（2）的情況下，設A為拋物線頂點，8為直線上一點，C為拋物線與y軸的交點，若△A8C為等

腰直角三角形，請直接寫出它的腰長為—.

11.在一次數學社團活動中，小晨同學所在的小組把兩個二次項系數之和為1,對稱軸相同，且圖象與x軸

交點也相同的二次函數，命名為“和合對稱二次函數”，對應圖象命名為“和合對稱拋物線”，并把兩個函數圖

象上橫坐標相同的對應點稱之為“和合點”，針對該構想，小展同學用二次函數丁=-/+2?以作為其中一個函

數（標記該函數圖象交x軸于原點。及點A）做了有關研究，請你幫他解答.

【特例感知】（1）當機=2時，如圖，拋物線Ly=-x2+4x上的點O,8,C,￡）,A關于與之對應的“和合對稱拋

物線”圖像〃的“和合點”分別為O'NC,。'，4.如下表:

0(0,0)8(1,3)C（2,4）D（3,3）A（—，—）

0(0,0)?(1,-6)C(2,-8)D'(3,-6)A（4,0）

①補全表格；

②畫圖：在圖中描出表中對應的“和合點”，再用平滑的曲線依次連接各點，得到“和合對稱拋物線”圖象

【初步探討】（2）①當加=-1時，若拋物線L的頂點為點尸，點尸對應的“和合點”為點Q,則由點。、尸、A、

Q四點所圍成的四邊形的面積為；

②在同一平面直角坐標系中，當機取不同值時，通過畫圖發現與二次函數y=+2.丫對應的“和合對稱拋

物線”圖象中，存在一條拋物線〃，其頂點的橫、縱坐標恰好互為相反數，請求出拋物線V的解析式.

【進階探究】（3）若拋物線L：y=-/+2皿及與它對應的“和合對稱拋物線”//與直線y=有且只有三個

交點，求機的值.

12.對于函數/⑴，若/(x)=x,則稱x為〃x)的“不動點”;若〃/(尤))=x,則稱x為/(x)的“穩定點”.

⑴求證：若X為/(%)的“不動點”，則X為〃力的“穩定點”;

⑵若"X)=依2-1(?eR,xwR).若函數存在“不動點”和“穩定點”，且函數的“不動點”和“穩定點”集合分別

記為A和8,即4={尤"(x)=x},B={x|/(/(%))=%},且A=B,求實數。的取值范圍.

13.如圖，已知直線3y=x+3,點3(0,。)在直線乙上，y=%x+"是過定點尸(1,0)的一簇直線.嘉淇用

繪圖軟件觀察機與力的關系，記>=+7?過點B時的直線為個

(1)求6的值及的解析式；

(2)探究相與"的數量關系：當y=〃比+〃與y軸的交點為(0,1)時，記此時的直線為4,嘉淇發現無論是4還

是4，機和〃總滿足一定的關系，求出這個關系(用機來表示〃).

(3)當直線y=mx+〃與直線《的交點為整點(橫、縱坐標均為整數)，且機的值也為整數時，這些點才稱為“美

好點”.

①嘉淇用繪圖軟件在圖中框住一個正方形視窗(-3WxW3,-3VyW3),在所看到的視窗區域，求能出現“美

好點''時m的值；

②在①中視窗的大小不變情況下，改變其可視范圍，且變化前后原點。始終在視窗中心.現將圖2中坐標

系的單位長度變為原來的;，使得在視窗內能看到所有“美好點”，直接寫出左的最小整數值.

12,

—x+bx+c,x>0

14.函數y=5]的圖象稱為“類拋物線廣，已知“類拋物線7'經過原點0(0,0),A(-2,7).

—x2+mx,x<0

I4

(1)求m，c的值;

(2)當“3時，

①若點8在“類拋物線一上，判斷VAO3是否可能為以點A為直角頂點的等腰直角三角形？并說明理由;

②”(4％),NH，%)是“類拋物線廠上的任意兩點，其中。<再426,x2<0.試探究是否存在實數b,使

得當％=>2時，始終有無/+&<0,若存在，求實數6的取值范圍；若不存在，請說明理由.

15.【定義新知】

定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線.

（1）如圖1,在5x4的方格中，點A、8在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形使得AB是鄰余

線，點昆尸在格點上；

圖1

【問題研究】

⑵如圖2,已知四邊形ABCD是以為鄰余線的鄰余四邊形，AB=20,AD=8,BC=4,ZADC=135°,

求CO的長；

【問題解決】

⑶如圖3是某公園的一部分，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線ACBD交于點0,點E在OC上，，BOC

是一個人工湖，OQ是湖上的一座橋，現公園規劃人員要在橋上修建一個湖心亭若的延長線與08

的交點為凡按規劃要求M是所的中點.已知3c=200米，AC=240米，CQ=60米，OE=2EC,且四

邊形BCEF始終是以BC為鄰余線的鄰余四邊形.規劃人員經過思考后,在圖紙上找出AB的中點N,連接EN,

與OB、OQ的交點分別是點產和點M的位置.請問，按照規劃人員的方法修建的湖心亭M是否符合規劃的

要求？請說明理由.

16.二次函數？=爐-的圖象交x軸于原點。及點A.

【感知特例】

（1）當〃?=1時，如圖1,拋物線L：>=爐-2x上的點3,0,C,A,。分別關于點A中心對稱的點為夕,

O',C,AlDC,如表：

0（0,0）C（1，T）A（一,—）0（3,3）

3'（5,-3）O'（4,0）C（3,l）A（2,0）。（1,一3）

①補全表格；

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為〃.

【形成概念】

我們發現形如(1)中的圖象〃上的點和拋物線上的點關于點A中心對稱，則稱〃是的“孔像拋物線”.例如，

當〃7=-2時，圖2中的拋物線〃是拋物線的“孔像拋物線

【探究問題】

(2)①當加=-1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為

②若二次函數y=及它的“孔像拋物線”與直線、=機有且只有三個交點，直接寫出機的值______；

③在同一平面直角坐標系中，當機取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數y=的所

有“孔像拋物線”V都有唯一交點，這條拋物線的解析式為.

17.如圖，拋物線y=o?+歷:的頂點為A,與y軸交于點C.過點A作線段48垂直y軸交于點2,

過點C作線段C。垂直拋物線的對稱軸交于點D我們稱矩形ABCD為拋物線y=o?+歷;+c3wO)的“伴隨

矩形”.

⑴請根據定義求出拋物線y=2/+4x-2的“伴隨矩形"ABCD的面積；

(2)已知拋物線y=-V-3x+2的“伴隨矩形”為矩形ABCD,若矩形A38的四邊與直線y=如+1共有兩

3加

個交點，且與雙曲線y=生無交點，請直接寫出機的取值范圍；

X

33

⑶若對于開口向上的拋物線〉=依2+法+]3/0),當y=0時，方程以2+灰+]=。的兩個根為孫馬,且

滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形"ABCD為正方形；②(其中&BCD表示矩形A5CD的面

積)；③丁+君+(2-gf)無也的最小值為-207.請求出滿足條件的/值.

壓軸專題17新定義問題

爭：典題固基礎

例題1對于平面直角坐標系尤6中的定點尸和圖形尸，給出如下定義：若在圖形下上存在一點N,使得點Q

與點尸關于直線ON對稱，則稱點Q是點尸關于圖形F的定向對稱點.

H

-3-2-1|23*

-2卜

⑴如圖，4L0),8(1,1),尸(0,2)

①點尸關于點A的定向對稱點的坐標是.

②在點(0,-1),3(0,-1),M(2，。)中，是點尸關于線段的定向對稱點.

⑵直線/：>=x+b分別與x軸，》軸交于點G,H,。/是以點M(3,0)為圓心，r(r>0)為半徑的圓.當

r=1時，若。M上存在點K,使得它關于線段G8的定向對稱點在線段上，求6的取值范圍.

【答案】⑴①(0,-2)；②弧

⑵滿足條件的》的取值范圍是3-&V6V3+0或-4A歷〈叱血7.

【分析】(1)①求出點P關于直線Q4的對稱點T即可；②由題意。尸=2,滿足條件的點在以。為圓心2

為半徑的圓上(圖中弧力^3)，由此判斷即可；

(2)分6>0,b<0,求出兩種特殊位置》的值即可；如圖所示，當6>0時，作關于y軸的對稱圖形。

M',當直線G"與。AT在第三象限相切時，設切點為P,連接月VT；如圖所示，當6<0時，以。為圓心，

4為半徑作。。，當直線GH與。。在第四象限點相切于點P時,連接OP,分別求出OH的值即可解決問題.

【詳解】(1)①如圖1中，

圖I

?.?8(1,1),尸(0,2),

???點P關于直線OA的對稱點r(0,-2),

故答案為：(0,-2)；

②如圖2中，

由題意得：OP=2,

滿足條件的點在以。為圓心2為半徑的圓上(圖中弧力%)，

二點加3是點尸關于線段的定向對稱點，

故答案為：M3

(2)如圖3,

圖3

當b>0時，作。“關于〉軸的對稱圖形QM',當直線G8與。AT在第三象限相切時，設切點為尸，連接

PM',

由題意得：tan/〃GO=l,

ZPGM=45°,

?：PM'=1,ZM'PG=9Q°,

M'G=s/2M'P=y/2,

OG=GM-OM=3-42,

OH=OG=3-yf2,

.?.直線解析式為：y=x+3-也,

同理，直線G"與。AT在第二象限相切時，直線解析式為：y=x+3+&,

由圖可知：滿足條件的人的取值范圍是3-&4643+0;

當6<0時，以。為圓心，4為半徑作。0,當直線G//與。。在第四象限點相切于點尸時，連接OP,

0H=4啦,

直線解析式為：y=x-4叵,

當直線與。M相切時，此時直線解析式為：y=x+戊-3,

由圖可知：滿足條件的6的取值范圍是-4應

綜上所述：滿足條件的6的取值范圍是3-亞V643+0或T應46W夜-3.

【點睛】考查了定向對稱點的定義，直線與圓的位置關系，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意,

學會用轉化的思想思考問題，學會利用特殊位置解決問題.

練新題型特訓

1.對于一個兩位數加=方，l<a+649),記尸(M=a+b,將相的十位數字與個位數字的和、

十位數字與個位數字的差分別作為〃的十位數字和個位數字，新形成的兩位數/叫做m的伴生和差數，把

加放置于加十位數字與個位數字之間，就可以得到一個新的四位數最小的M為,若/能被7

整除，則§4的最小值為.

【答案】11011/0.5

【分析】本題為新定義問題，考查了整式的加減，分數加減的逆用等知識，根據題意用“、6寫出四位數M

的表達式，根據。、6的范圍，可得最小的因為M能被7整除，所以可知〃和b的取值，即得總I的

最小值.

【詳解】解：???兩位數冽的十位數字是。，個位數字是〃，兩位數〃的十位數字是5+%個位數字是3-。)，

二.四位數M=1000(?+力+100a+10b+(a—力=1101a+1009Z?,

，當a=l,b=0時，M最小，M=1101,

???M能被7整除，l<a+b<9,

:.a=3,6=1時，/=4312,

a=5,Z?=4時,M=9541,

〃=6,Z?=2時，M=8624,

a=7,6=0時，M=770,

由題意得方(機)=。+人，尸O')=(a+b)+(a—b)=2a,

.F(m)a+b1b,

??二/，\=F=3+丁取小，

b[m)2a22a

b

即s最小，

2a

tF(m)1

a=7,b=0時，(,、=~.

F(m)2

故答案為：1101,；

2.定義：在平面直角坐標系x0y中，若尸、。的坐標分別為(孫4)、％)，則稱卜-龍2|+|%-%|為若

P、。的“絕對距離”，表示為的

【概念理解】

(1)一次函數y=-2x+6圖像與X軸、y軸分別交于A、B點.

①“AB為；

②點N為一次函數y=-2x+6圖像在第一象限內的一點，dAN=5,求N的坐標；

3

③一次函數y=x+；的圖像與y軸、A3分別交于C、￡)點，尸為線段C。上的任意一點，試說明：dAP=dBP.

【問題解決】

(2)點尸(1,2)、Q(a,b)為二次函數+“圖像上的點，且。在尸的右邊，當6=2時，盛°=4.若

b<2,求(°的最大值;

3

(3)已知P的坐標為(U),點。為反比例函數>=；(x>0)圖像上一點，且。在尸的右邊，dPQ=2,試說

明滿足條件的點。有且只有一個.

(410、25

【答案】(1)①9；②十丁；③見解析；(2)一；(3)見解析

U3)4

【分析】(1)①由y=-2x+6得4(3,0),5(0,6),即得％=|3-0卜|0-6|=9；

4

②設N&-2/+6),由N在第一象限得0</<3,根據4v=5得：|3-|+|0+2/-6|=5,即可解得/

3

由」=計得設尸卜，加+?

③由y=x+|中，得33

0<m<—,即得

,”X22

=

d^p=。—時+0—rn—=3—z/z+z/tH—=—,d^p|0—時+6—m——YYI-\-------YYI——,從而1正明dAP—；

(2)將尸(1,2)代入y=%2-g；+九得根=〃一i,即知二次函數為y=f一(〃-1卜+〃，當人=2時,

2=a2—Cn—X)a+n,可解得。=〃一2或a=l,根據Q在尸的右邊，可得。(〃一2,2),又盛°=4,有

〃一2—1|+〔2—21=4,即〃—3=4,n=7,二次函數為j=%2—6%+7,貝!6々+7,因Z?<2,所以lvav5,

即得=卜—1?2—6a+7-2|=—[—：]+等，故”0°的最大值為1；

（3）設點。的坐標為（九21依題意可知：m>l,得出為2=|m-1|+2-1=m-1+2-1=2,分類求出

加的值即可得出答案.

【詳解】解：（1）①在y=-2x+6中，令尤=0得y=6,令y=0得x=3,

A（3,0）,8（0,6）,

■?■^B=|3-0|+|0-6|=9；

②設N（「2/+6）,

QN在第一象限，

[-2^+6>0

解得0<t<3,

由4^=5得：|3-1+|0+2/-6|=5,

3—，一21+6=5，

y=-lx+63

x=—

由，3得，2,

…2

U=3

P為線段CD上的點,

3

/.0<m<—,

2

339

dAP=13—JTU+0—in—=3—m~\~in-\—=—,

AP11222

,I,399

aBP=|0-m|+o-m——=m-\-----m=—,

(2)將尸(1,2)代入>=%2_加1+〃得：2=1—m+〃，

?二二次函數為丁=九2—(〃一1)%+〃，

當/?=2時，2=儲—(〃—l)a+〃，

解得〃=〃—2或4=1,

。在尸的右邊，

:.a=n-2S.n>3,

..。(〃-2,2),

dp。-4,

/.|n—2—1|+|2—2|=4,即〃-3二4,

..〃=7,

???二次函數為y=%2—6x+7,

b—a2—6〃+7,

b<2,

/.a?—6〃+7v2,即/—6〃+5<0,

:A<a<5,

dpQ=+,2—6a+7-2|

二|〃-+卜2—6Q+5|

=a—1—a2+6a—5

——/+7a—6

25

+一

4

??dPQ的最大值為7;

（3）設點。的坐標為[九依題意可知：m＞l,

33

所以dp。=\rn—1H------1=根—]H--------1,

mm

33

若一＞1,即機《3,d------1=2,所以m=1（舍去）或加=3,

mPQm

33

若一＜1,即機＞3,dQ=m-1------F1=2,所以a=—1（舍去）或加=3（舍去），

mPm

所以，滿足條件的點。有且只有一個，是（3,1）.

【點睛】本題考查函數綜合應用，涉及新定義、去絕對值、二次函數性質等知識，解題的關鍵是讀懂“絕對

距離”的定義，根據已知確定字母范圍去絕對值.

3.如果一個自然數M的個位數字不為0,且能分解成4x3,其中A與3都是兩位數，A與3的十位數字

相同，個位數字之和為10,則稱數M為“合和數”，并把數M分解成M=Ax3的過程，稱為“合分解”.

例如609=21x29,21和29的十位數字相同，個位數字之和為10,

，609是“合和數”.

又如.234=18x13,18和13的十位數相同，但個位數字之和不等于10,

,234不是“合和數”.

（1）判斷168,621是否是“合和數”？并說明理由；

（2）把一個四位“合和數”M進行“合分解"，即河=Ax3.A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之

和的和記為尸（/）;A的各個數位數字之和與3的各個數位數字之和的差的絕對值記為。（河）.令

P（M}

G（M）=t，當G（“）能被4整除時，求出所有滿足條件的

Q（M）

【答案】（1）168不是“合和數”，621是“合和數，理由見解析；（2）M有1224,1221,5624,5616.

【分析】（1）首先根據題目內容，理解“合和數”的定義：如果一個自然數知的個位數字不為0,且能分解

成其中A與8都是兩位數，A與8的十位數字相同，個位數字之和為10,則稱數”為“合和數”，再

判斷168,621是否是“合和數”；

（2）首先根據題目內容，理解“合分解”的定義.引進未知數來表示A個位及十位上的數，同時也可以用來

P（M）

表示然后整理出：G（M）=￡=,根據能被4整除時，通過分類討論，求出所有滿足條件的

。（四）

【詳解】解：（1）

168不是“合和數”，621是“合和數”.

168=12x14,2+4/10,

168不是“合和數”，

621=23x27,十位數字相同，且個位數字3+7=1。，

，621是“合和數”.

（2）設A的十位數字為"?，個位數字為"（m,〃為自然數，且3V"?W9,,

則A=10m+n,B=10m+10—n.

P(M)=m+n+m+10—zz=2m+10,Q(M)=|(m+zz)-(m+10-n)|=|2w-10|.

/xP(M)2m+10m+5

=4k（左是整數）.

3<m<9,

/.8<m+5<14,

“是整數，

m+5=8或切+5=12,

①當機+5=8時，

lm+5=8fm+5=8

小幾-5|=1或jj5|=2，

一.M=36x34=1224或M=37x33=1221.

②當機+5=12時，

m+5=12Jm+5=12

|n-5|=1或〃一5|=3'

=76x74=5623或M=78x72=5616.

綜上，滿足條件的M有1224,1221,5624,5616.

【點睛】本題考查了新定義問題，解題的關鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會操作題目中所涉及的

過程，結合所學知識去解決問題，充分考察同學們自主學習和運用新知識的能力.

4.二次函數y=爐-2:內的圖象交x軸于原點。及點A.

感知特例

（1）當〃?=1時，如圖1,拋物線工：y=/-2x上的點8,O,C,A,。分別關于點A中心對稱的點為笈,

O',C,A,Df,如下表：

5（-1,3）0（0,0）C（1，TA（一,—）。（3,3）

?（5,-3）O'（4,0）C'（3,l）A（2,0）D（l,-3）

①補全表格；

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為〃.

形成概念

我們發現形如（1）中的圖象〃上的點和拋物線L上的點關于點A中心對稱，則稱，是L的“孔像拋物線”.例

如，當相=-2時，圖2中的拋物線//是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當〃2=-1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為;

②在同一平面直角坐標系中，當加取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數y=V-2：心的所

有“孔像拋物線”Z/,都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是.（填"y=加++c”或“y=ax2+bx'

或“、=加+c"或"y=渥"，其中a6cH0）；

③若二次函數y=x2-2mx及它的“孔像拋物線”與直線丫=根有且只有三個交點，求機的值.

【答案】（1）①2,0；②見解析；（2）①-3WxW-l；?y=ax2；③ni=±l.

【分析】（1）①根據中心對稱的定義求解即可；②根據表格，描點，連線即可；

（2）①畫出草圖，利用數形結合思想即可求解；②結合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根

據“孔像拋物線”的性質求得圖象心的頂點為尸（利-療），則圖象〃的頂點為P'（3加，行），再根據題意即可

求解.

【詳解】⑴:點8(-1,3)與點方(5,-3)關于點4中心對稱,

???點A的坐標為(匚『，三立)，即42,0),

(2)①當機=-1時，拋物線L為y=f+2x,對稱軸為x=—l,

7?4

它的“孔像拋物線”〃的解析式為y=-(x+2)(x+4),對稱軸為X=-芍2=-3，

畫出草圖如圖所示：

拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數值都隨著x的增大而減小,

則x的取值范圍為：-34尤〈-1；

②畫出草圖，

由圖象知，這條拋物線的解析式只能是丁=以2；

故答案為：y=ax1-,

③工：y=x2-2mx=（x-m'）2-m2,設頂點為尸（狼一病），過點P作PM，x軸于點“孔像拋物線”〃的頂

點為P,過點尸'作軸于點,

由題意可知△PMA^/^P'M'A,

得“（3加，0）,所以P'（3加，蘇），

???拋物線L及“孔像拋物線”V與直線產機有且只有三個交點,

一%2=根或加2=m,

解得m=±1或0,

當根=0時，y=工2與丁=一%2只有一個交點，不合題意，舍去,

m=±1.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及二次函數的圖象與性質，數形結合并熟練掌握二次

函數的相關性質是解題的關鍵.

5.在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN,直線/和圖形W給出如下定義：線段MN關于直線/的對稱

線段為MNYAr,N分別是M,N的對應點）.若MN與MN均在圖形W內部（包括邊界），則稱圖形W

為線段MN關于直線/的“對稱封閉圖形”.

y1'

6-

5-

4-

3-

2-

1-

P

-6-5-4-3-2-10-123456%

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

（1）如圖，點、P（-1,0）.

①已知圖形跖：半徑為1的。。，W2：以線段尸。為邊的等邊三角形，W3：以。為中心且邊長為2的正

方形，在跖，匹，卬3中，線段尸。關于y軸的“對稱封閉圖形”是；

②以。為中心的正方形ABC。的邊長為4,各邊與坐標軸平行.若正方形A8CQ是線段尸。關于直線>=尤

+6的“對稱封閉圖形”，求6的取值范圍；

（2）線段在由第四象限、原點、龍軸正半軸以及y軸負半軸組成的區域內，且的長度為2.若存在點

。a+2近），使得對于任意過點。的直線/,有線段MN,滿足半徑為r的。。是該線段關于/

的“對稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍.

【答案】⑴①W，%；②6的取值范圍是—146V2

⑵北屈

【分析】（1）①根據“對稱封閉圖形”的定義判斷即可；

②記點P,。關于直線>=x+b的對稱點分別為p,O',先求出直線PP、直線OO'的解析式，再根據圖

象找到當直線y=x+6隨著。的變化上下平移時的臨界情況，解答即可；

（2）根據題意，確定出當三角形MON為等腰直角三角形且NMON=90。時r最小，作關于直線y=x+4近

的對稱圖形M'N',用勾股定理求出ON'的長度即可.

【詳解】（1）解：①線段尸。關于y軸對稱圖形為線段OP,即線段PP在圖形W內（包括邊界），

其中，P(-1,0),P'(0,1),

故圖形M及W3,符合題意，

故答案為：叱，%.

②記點P,。關于直線y=x+b的對稱點分別為P,O',則直線y=x+b垂直平分線段pp和。。，因此直

線尸尸’的解析式為直線OO'的解析式為y=-x,由于線段P。在X軸上，故關于直線y=x+6的

對稱后，PO'_L無軸.

如圖，當直線y=x+6隨著6的變化上下平移時，臨界情況是：

當點尸對稱后得到P在y=-2上，即p(1,-2)時，尸尸中點為(-1,0),此時b=—l；

當點。對稱后恰好為(2,2)時，OO'中點為(1,1),此時6=2.

依題意，6的取值范圍是-1V》V2.

(2)解：由題意知，當三角形MON為等腰直角三角形且/MON=90。時r最小，

由。點坐標知，。點在直線y=x+40上運動，

作線段關于直線y=x+4夜的對稱圖形ATN',則r>ON',

取MN中點E,ATN'中點為G,連接EG交直線y=x+4正于R連接ON',如圖所示,

，0￡=1,

設直線y=x+40■交坐標軸于尸、S,貝lJPS=8,

/.OF=4,

由對稱知，EF=GF=5,GN'=1,

由勾股定理得：0用=衿+段=庖,

故答案為：r>yj^2.

【點睛】本題考查了新定義的問題，需要借助軸對稱圖形的性質、一次函數性質、勾股定理等知識點解題.解

題關鍵是正確理解題意，作出符合題意的圖形.

6.我們定義：如圖1,在VABC與△AB'C'中，兩三角形有公共頂點A,A8所在射線逆時針旋轉a到AC所

在射線，AE所在射線逆時針旋轉夕到AC所在射線，/A4C=a,/B'AC'=^a+Q=180°，r=K，則

ABAC

我們稱VABC與△AB'C'互為"旋補比例三角形”.

(1)如圖1,VABC與△AB'C'互為旋補比例三角形，NBAC=60°,AB=6,AC=3,48'=2時，?ZB'AC

S一

，=；

\ABC

(2)如圖2,在VABC中，AD1BC于點D,D8A與△ZMC互為旋補比例三角形，延長