第第頁2024-2025學年五年級下冊數學期末備考總復習常考知識點典例精講（八大專題26類典型題）目錄TOC\o"1-3"\h\u專題一觀察物體（三） 3【考點一】觀察物體 3專題二因數和倍數 5【考點一】因數和倍數 5【考點二】2、5的倍數特征 6【考點三】3的倍數特征 7【考點四】質數和合數 9專題三長方體和正方體 10【考點一】長方體和正方體的認識 10【考點二】長方體和正方體的表面積 11【考點三】體積和體積單位 13【考點四】體積單位間的進率 15【考點五】容積和容積單位 16專題四分數的意義和性質 18【考點一】分數的意義 18【考點二】分數與除法 19【考點三】真分數和假分數、帶分數及其互化 21【考點四】分數的基本性質 21【考點五】約分及最大公因數 22【考點六】通分及最小公倍數 24【考點七】分數和小數的互化 25專題五圖形的運動（三） 26【考點一】旋轉 26【考點二】平移和旋轉的綜合 28專題六分數的加法和減法 30【考點一】同分母分數加、減法 30【考點二】異分母分數加、減法 31【考點三】分數加減混合運算 32專題七折線統計圖 33【考點一】單式折線統計圖 33【考點二】復式折線統計圖 35專題八數學廣角—找次品 39【考點一】優化策略分析解決找次品問題 39【考點二】用直觀流程圖表示找次品的過程 40專題一觀察物體（三）【考點一】觀察物體【典例一】下面4個幾何體中，從上面和前面看到的圖形相同的是（

）。A． B．C． D．【分析】A．從上面看有2行，下邊1行3個小正方形，上邊1行靠右1個小正方形；從前面看有2行，下邊1行3個小正方形，上邊1行靠右1個小正方形；B．從上面看有2行，上邊1行3個小正方形，下邊1行靠右1個小正方形；從前面看有2行，下邊1行3個小正方形，上邊1行中間1個小正方形；C．從上面看有2行，上邊1行3個小正方形，下邊1行中間1個小正方形；從前面看有2行，下邊1行3個小正方形，上邊1行中間1個小正方形；D．從上面看是1行3個小正方形；從前面看有2行，下邊1行3個小正方形，上邊1行中間1個小正方形。【解答】A．從上面看到的圖形是，從前面看到的圖形是；B．從上面看到的圖形是，從前面看到的圖形是；C．從上面看到的圖形是，從前面看到的圖形是；D．從上面看到的圖形是，從前面看到的圖形是。從上面和前面看到的圖形相同的是，都是。故答案為：A【典例二】一個由相同的小正方體擺成的幾何體，從上面看到的是，數字表示這個位置所用的小正方體個數。這個幾何體從左面看到的形狀是圖()（填“甲”或“乙”）。【分析】從上面看到的平面圖形可以確定小正方體的位置，所有數字的和就是小正方體的數量；由上面看到的平面圖形可知，從左面可以看到兩列，左邊一列可以看到2個小正方形，右邊一列可以看到3個小正方形，據此解答。【解答】一個由相同的小正方體擺成的幾何體，從上面看到的是，數字表示這個位置所用的小正方體個數。這個幾何體從左面看到的形狀是圖乙。【典例三】下面是用同樣的小正方體擺出的一些幾何體。（1）哪些從前面看是？哪些從左面看是？（2）從前面觀察一個幾何體，看到的圖形和從前面觀察⑤所看到的一樣。這個幾何體是用5個小正方體擺成的，它有多少種不同的擺法？（3）同桌之間互相提一個問題并解答。【分析】（1）根據觀察幾何體可知，①③從前面看是，⑤⑩從左面看是。（2）觀察⑤可以看出，從前面看是由兩個正方形豎著疊起來的，用5個小正方體來擺，只要把5個小正方體擺成一列兩行即可，所以有7種擺法。（3）哪些從左邊看是？【解答】（1）①③從前面看是，⑤⑩從左面看是。（2）根據對圖形的觀察，結合空間想象能力可知有7種擺法。（3）哪些從左邊看是？①②④（答案不唯一）專題二因數和倍數【考點一】因數和倍數【典例一】五（1）班6名同學去給小樹苗澆水。小樹苗不到40棵，他們發現每人澆水棵數相同。這批小樹苗最多有（

）棵。A．30 B．36 C．39【分析】根據求一個數的倍數，求出6的倍數，又因為小樹苗的棵數不到40棵，結合題意即可求出這批小樹苗最多有多少棵。【解答】6的倍數有6、12、18、24、30、36、42?其中小于40的最大數是36。即這批小樹苗最多有36棵。故答案為：B【點評】本題考查求一個數的倍數，明確小樹苗不到40棵是解題的關鍵。【典例二】同一根繩子，首尾相接后既可以圍出面積是42cm2的長方形，又可以圍出面積是36cm2的長方形（長和寬都是整厘米數），這根繩子長()cm。【分析】根據題意可知，兩個長方形的周長相同，面積不同；長方形長和寬的數值都是其面積數值的因素，求出42和36的因數對（寫成乘法形式）中，找出“長＋寬”相等的組合，一組“長＋寬”就是繩子長度的一半，再乘2，即可解答。【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×736＝1×36＝2×18＝3×12＝4×96＋7＝4＋9＝1313×2＝26（cm）同一根繩子，首尾相接后既可以圍出面積是42cm2的長方形，又可以圍出面積是36cm2的長方形（長和寬都是整厘米數），這根繩子長26cm。【典例三】端午節媽媽買了35個鴨蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一個一個放的，而是每次放的個數相同，放到最后正好一個不剩。（1）一共有幾種放法？（2）每種放法每次放幾個，需放幾次才能全部放完？【分析】每次放的個數相同，放到最后正好一個不剩，說明每次放的數量是鴨蛋總個數的因數，據此求出鴨蛋總個數的所有因數，因為不是一次全部放進的，也不是一個一個往里放，排除1和本身兩個因數；用鴨蛋總個數除以每次放的個數，求出放的次數，據此解答即可。【解答】（1）351和35排除，所以可以5個一放，或者7個一放，共2種方法。答：一共有2種放法。（2）5個一放時放：（次）7個一放時放：（次）答：每次放5個放7次全部放完；每次放7個放5次全部放完。【考點二】2、5的倍數特征【典例一】三張卡片上分別寫著2、3、5，淘氣和笑笑分別從中抽取一張，若兩人抽取的卡片的數字之積是奇數，則淘氣勝；若是偶數，則笑笑勝，這個游戲（

）。A．淘氣勝的可能性大 B．笑笑勝的可能性大C．兩人勝的可能性一樣大 D．無法判斷【分析】兩人從三張卡片中抽取兩張，卡片的數字之積可能是：2×3＝6，2×5＝10，3×5＝15。其中6和10是偶數，15是奇數。偶數的數量多，則兩人抽取的卡片的數字之積是偶數的可能性大。據此解答。【解答】通過分析可得：兩人抽取的卡片的數字之積是偶數的可能性大，則這個游戲笑笑勝的可能性大。故答案為：B【典例二】從0，3，6，8這四個數字中，選出三個數字（數字不能重復選擇）組成一個同時是2、5倍數的最小三位數是()，最大三位數是()。【分析】同時是2和5的倍數的三位數要滿足個位是0，當這個數是最小三位數時，百位上和十位上的數從小到大排列；當這個數是最大三位數時，百位上和十位上的數從大到小排列。據此解答。【解答】由分析可知：0＜3＜6＜8所以，從0，3，6，8這四個數字中，選出三個數字（數字不能重復選擇）組成一個同時是2、5倍數的最小三位數是360，最大三位數是860。【點評】本題考查2和5的倍數的特征以及千以內的數比較大小。【典例三】敏敏打算買一些花送給媽媽，馬蹄蓮10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她買了一些馬蹄蓮和郁金香，付給售貨員100元后，售貨員找了她13元，請問找回的錢對嗎？為什么？【分析】觀察發現，馬蹄蓮和郁金香的單價，以及100元都是5的倍數，所以找回的錢數也應是5的倍數。但是，題中找回的13元不是5的倍數。據此解題。【解答】答：找回13元不對；因為馬蹄蓮和郁金香的單價分別是10元、5元，都是5的倍數，所以不論買幾枝，總錢數也應是5的倍數，付了100元，找回的錢數也應是5的倍數，即個位數應是0或5，所以找回13元不對。【點評】本題考查了5的倍數特征，個位是0或5的數是5的倍數。【考點三】3的倍數特征【典例一】五年級學生參加舞蹈隊隊員選拔。演出時需要進行兩次隊形變換，一次3人一隊，一次5人一隊，并且不能有剩余。目前已經有24人選上，至少還要再選（

）人剛好合適。A．8 B．11 C．16 D．6【分析】只要舞蹈隊的人數既是3的倍數，也是5的倍數即可。既是3的倍數又是5的倍數的特征：個位上的數字是0或5，并且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，據此找到比24大，又同時是3和5的倍數中的最小的數，減去已選上人數即可。【解答】比24大，又是3和5的倍數，最小的是30。30－24＝6（人）因此至少還要再選6人剛好合適。故答案為：D【典例二】體育課上，30名學生站成一排，按老師口令從左往右報數：1，2，3，4，5，…30。（1）老師先讓所報數是2的倍數的同學去跑步，去跑步的有（）人。（2）余下學生中所報數是3的倍數的同學去跳繩，去跳繩的有（）人。【分析】（1）個位上是0，2，4，6，8的數是2的倍數，據此找出去跑步的人數；（2）如果一個數的各個數位上的數的和是3的倍數，那么這個數就是3的倍數，據此找出跳繩的人數。【解答】（1）在1，2，3，4，5，…30中，2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30，共15個，所以去跑步的有15人。（2）在1，2，3，4，5，…30中，3的倍數不是2的倍數的有3、9、15、21、27，共5個，所以去跳繩的有5人。【典例三】星期天，實驗小學組織兩個年級的同學去參加研學活動，每個年級都有4個班，在休息的時候，梅老師說：“我為同學們每人買了1瓶3元的飲料，請大家想一想，一共花了多少錢？”過了一會兒，有三名同學算出了不同的結果。梅老師告訴同學們：“有兩名同學算錯了。”你認為誰算對了，為什么？【分析】已知1瓶3元，根據單價×數量＝總價，可知，總價是3的倍數，3的倍數特征：各個數位上的數字和是3的倍數；據此判斷每個數據即可。【解答】1＋2＋0＋8＝1111不是3的倍數，所以1208不是3的倍數。9＋5＋3＝1717不是3的倍數，所以953不是3的倍數。1＋0＋8＋9＝1818是3的倍數，所以1089是3的倍數。答：小琛算的對，因為1089是3的倍數，總價也是3的倍數。【考點四】質數和合數【典例一】1742年，德國數學家哥德巴赫提出猜想：每個大于4的偶數都可以寫成兩個奇質數的和，這就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表達這個猜想的是（

）。A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17【分析】自然數中，個位上是0、2、4、6、8的數是偶數；個位上是1、3、5、7、9的數是奇數；非零自然數中只有1和它本身兩個因數的數是質數，有兩個以上因數的數是合數，據此逐項分析。【解答】A．20＝5＋15，15不是質數，原題干說法錯誤；B．9＝2＋7，9不是偶數，原題干說法錯誤；C．12＝7＋5，12是偶數，7和5都是質奇數，原題干說法正確；D．18＝1＋17，1既不是質數，也不是合數，原題干說法錯誤。故答案為：C【典例二】平平家的電話號碼是一個七位數，記為：ABCDEFG。已知：A是最小的合數，B是最小的質數，C既不是質數也不是合數，D是比最小的質數小2的數，E是10以內最大的合數，F只有因數1和5，G是一位數中最大的偶數，平平家的電話號碼是()。【分析】最小的合數是4，最小的質數是2，既不是質數也不是合數的數是1，比最小的質數小2的數是0，10以內最大的合數是9，因數只有1和5的數是5，一位數中最大的偶數是8，所以平平家的電話號碼是4210958。【解答】平平家的電話號碼是一個七位數，記為：ABCDEFG。已知：A是最小的合數，B是最小的質數，C既不是質數也不是合數，D是比最小的質數小2的數，E是10以內最大的合數，F只有因數1和5，G是一位數中最大的偶數，平平家的電話號碼是4210958。【典例三】媽媽的銀行卡密碼是由六個數字組成的，其中不含數字0，第一位數既是偶數，又是質數；第二位數既是5的倍數，又是5的因數；第三位數既是2的倍數，又是3的倍數；第四位數既不是質數，也不是合數；第五位數既是奇數，又是合數；第六位數是一位數中最大的合數。媽媽銀行卡密碼是多少？【分析】根據偶數的意義：能被2整除的數；奇數：不能被2整除的數；一個數既是它的因數，也是它的倍數；2的倍數特征：個位上的數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數；3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。既是2的倍數又是3的倍數的特征：個位上的數字是0、2、4、6、8，各個數位上的數字的和是3的倍數的數；一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，除了1和它本身兩個因數外，還有其他因數，這樣的數叫做合數，1既不是質數，也不是合數；據此分析解答。【解答】第一個數字：不含數字0，第一位數既是偶數，又是質數；這個數字是2；第二位數既是5的倍數，又是5的因數；這個數字是5；第三位數既是2的倍數，又是3的倍數，在1~9中，只有6既是2的倍數，又是3的倍數，這個數字是6；第四位數既不是質數，也不是合數；1既不是質數，也不是合數，這個數字是1；第五位數既是奇數，又是合數，在1~9中，9既是奇數，也是合數，這個數字是9；第六位數是一位數中最大的合數，在1~9中，最大的合數是9，這個數字是9。媽媽銀行卡的密碼是256199。答：媽媽銀行卡密碼是256199。專題三長方體和正方體【考點一】長方體和正方體的認識【典例一】圖中一共有（）個小正方體，不改變小正方體的位置，至少再添（）個同樣的小正方體才可以搭成一個大正方體。【分析】第一層有1個小正方體，第二層有5個小正方體，把每層的小正方體個數加起來，可知圖中一共有6個小正方體。題中的組合體一共由3列小正方體搭成，不改變小正方體的位置，要想搭成一個大正方體，至少需要27個小正方體。已有6個小正方體，所以至少還需要再添（個）。【解答】圖中一共有6個小正方體，不改變小正方體的位置，至少再添21個同樣的小正方體才可以搭成一個大正方體。【點評】數小正方形個數時，注意不要忘記隱藏的小正方體。一個正方體的一條棱上有3個小正方形，則這個正方形應是由3×3×3個小正方體組成的。【典例二】用一根長為132厘米的鐵絲圍成一個正方體的模型，棱長是（）厘米，如果圍成一個長方體的模型，一條長、寬、高的和是（）厘米．【分析】由題意可知長方體和正方體的棱長總和都是132厘米，根據正方體的特征，12條棱的長度都相等，正方體的棱長總和=棱長×12，棱長=棱長總和÷12；長方體的特征是：12條棱分為互相平行（相對）的3組，每組4條棱的長度相等，長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，由此解答．【解答】132×12=11（厘米）；132÷4=33（厘米）；答：正方體的棱長是11厘米，長方體的長、寬、高的和是33厘米．故答案為11，33．【典例三】心靈手巧的小美要用一根長10m的繩子給禮盒做裝飾（方法如圖），結頭處繩長30cm，這根繩子最多可捆扎幾個這樣的禮盒？【分析】先求出一個禮盒需要的長度＝長方體的兩條長＋兩條寬＋四條高＋結頭處長度，再用總長度除以一個禮盒需要的長度即可計算出結果。【解答】10米＝1000厘米15×2＋2×10＋4×6＋30＝30＋20＋24＋30＝104（厘米）1000÷104＝9（個）……64（厘米）答：這根繩子最多可捆扎9個這樣的禮盒。【點評】主要利用長方體棱長解決實際問題，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4。【考點二】長方體和正方體的表面積【典例一】一根鋼管，它的橫截面面積是20平方厘米，把它截成4段，表面積增加了（）。A． B． C． D．【分析】鋼管截成4段，增加了6個橫截面，用橫截面積×6即可。【解答】20×6＝120（平方厘米）故答案為：C【點評】關鍵是理解截成4段只需要截3次，每截一次增加兩個橫截面。【典例二】用長6cm、寬3cm、高1cm的兩個小長方體拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積最小是（）cm2，表面積最大是（）cm2。【分析】要使拼成的長方體的表面積最小，那就要把最大面拼在一起，即把長方體最大的兩個面對著合起來，減少了2個最大的面，此時的長方體顯然是最小的表面積；同理，要使拼成的長方體的表面積最大，就要把最小面拼在一起，據此即可解答。【解答】最小表面積：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2＝27×4－36＝108－36＝72（平方厘米）最大表面積：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2＝27×4－6＝108－6＝102（平方厘米）【點評】掌握將兩個長方體最大的兩個面相粘合在一起，才能保證拼成的新長方體的表面積最小；將兩個最小面相粘合，新長方體的表面積最大。這是解決此題的關鍵。【典例三】如圖，小明的臥室是一個長方體，長5米，寬4米，高2.7米，臥室有一扇門與客廳相通，門高2米，寬1米，在另一面墻上距地面1米處有一個長1.5米，高1米的窗子。現在要對臥室進行如下裝修。（1）給地面鋪上的地磚，每塊地磚的價格是16元，買地磚需多少元？（2）從地面向上給四周的墻壁貼上1米高的木板，需木板多少平方米？【分析】（1）先求出長方體底面積，用底面積÷一塊地磚面積，求出地磚塊數，用塊數×每塊價格即可；（2）將木板展開是一個長方形，求出底面周長，減去門的寬度，再乘木板高度即可；【解答】（1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米）200000÷（50×50）＝200000÷2500＝80（塊）80×16＝1280（元）答：買地磚需1280元。（2）（5＋4）×2－1＝9×2－1＝18－1＝17（米）17×1＝17（平方米）答：需木板17平方米。【點評】本題考查了長方體表面積，關鍵是想清楚需要求的是哪些部分的面積，完整的長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。【考點三】體積和體積單位【典例一】一段長為2米的長方體木料，底面是邊長3cm的正方形，這段木料的體積是（）dm3。A．600 B．18 C．1.8 D．1800【分析】木料的體積＝底面積×高（木料的長度），據此解答。【解答】2米＝20分米，3厘米＝0.3分米0.3×0.3×20＝0.09×20＝1.8（立方分米）故選擇：C【點評】此題考查長方體的體積計算，牢記公式，找準對應的底面積和高是解題關鍵。注意換算單位。【典例二】如圖：在棱長是1分米的正方體中挖下一個棱長4厘米的小正方體，剩下部分的表面積是（）平方分米。剩下部分的體積是（）立方分米。【分析】挖下一個棱長4厘米的小正方體，表面積增加了兩個小正方形；剩下部分的體積用大正方體的體積減去小正方體的體積即可。【解答】4厘米＝0.4分米（平方分米）（立方分米）【點評】在大正方體的頂點處挖去一個小正方體，表面積不變；在棱上挖去一個小正方體，表面積增加兩個小正方形；在面上去一個小正方體，表面積增加四個小正方形。【典例三】游泳池的長為225米，寬為10米，深為1.6米。（1）這個游泳池的占地面積是多少平方米？（2）如果在游泳池的四周和池底貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少平方米？（3）游泳池的體積是多少立方米？【分析】（1）求游泳池的占地面積即是求泳池的底面積；（2）貼瓷磚的面積為泳池的四個側面的面積加1個底面積；（3）泳池的體積＝225×10×1.6＝3600（立方米）；據此解答。【解答】（1）225×10＝2250（平方米）答：這個游泳池的占地面積是2250平方米。（2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250＝360×2＋16×2＋2250＝720＋32＋2250＝3002（平方米）答：貼瓷磚部分的面積是3002平方米。（3）225×10×1.6＝2250×1.6＝3600（立方米）答：游泳池的體積是3600立方米。【點評】本題考查了長方體的表面積以及體積的應用，關鍵是要掌握長方體的表面積與體積公式，并靈活運用。【考點四】體積單位間的進率【典例一】一根長方體方木，橫截面積是40平方厘米，長6.5米，它的體積是（）立方厘米．A．260 B．26000 C．0.26【分析】長方體的體積＝長×寬×高＝橫截面積×長，題目中給的長是6.5米，單位是米，最后體積是多少，單位是立方厘米，所以先需要把6.5米轉化成650厘米，再計算。【解答】6.5米＝650（厘米）40×650＝26000（立方厘米）故選擇：B【點評】此題考查了長方體體積的計算，牢記公式并能靈活運用。【典例二】有一個長60厘米，寬50厘米的長方體水缸，把買的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。這個西瓜的體積是多少立方分米？【分析】把買的西瓜完全浸入在水里，西瓜占據了水缸內水的一部分空間，因此水面上升，已知水面上升了3厘米，西瓜的體積就是水面上升3厘米的水的體積，根據長方體的體積公式V=abh列式解答即可。【解答】60×50×3＝9000（立方厘米）9000立方厘米＝9立方分米答：這個西瓜的體積是9立方分米。【點評】此題屬于長方體體積的實際應用，直接根據長方體的體積公式解決問題，解答時要注意題干單位。【典例三】一個無蓋的魚缸，長1.2m，寬80cm，高6dm，這個魚缸可以放多少立方分米的水？【答案】1.2m=12dm80cm=8dmV=abh=12×8×6=576（dm3）答：這個魚缸可以放576dm3的水。【考點五】容積和容積單位【典例一】一個魚缸最多能容納100升的水，這個魚缸的體積可能是（）。A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米【分析】體積指物體所占空間的大小，而容積指容器所能容納物體體積的大小，據此解答。【解答】一個魚缸最多能容納100升的水，100升指魚缸的容積，魚缸的體積要大于它的容積，故大于100升，也就是大于100立方分米。只有D符合題意。故選擇：D。【點評】掌握物體的體積和容積概念是解題關鍵，一般情況下物體的體積大于它的容積。【典例二】一個長方體的無蓋鐵皮水箱，長0.8米，寬0.65米，高0.6米。做這個水箱至少需要鐵皮（）平方米。如果每升水重1千克，這個水箱最多能裝水（）千克。（鐵皮厚度不計）【分析】已知長方體的長、寬、高，求無蓋長方體的表面積，用公式：無蓋長方體的表面積＝（長×高＋寬×高）×2＋長×寬；要求長方體的體積，用公式：長方體的體積＝長×寬×高，據此求出體積，然后用體積乘每升水的質量即可求出總質量。【解答】（0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65＝0.87×2＋0.8×0.65＝1.74＋0.52＝2.26（平方米）；0.8×0.65×0.6＝0.52×0.6＝0.312（立方米）＝312（升）；312×1＝312（千克）；【點評】熟練掌握長方體的表面積和體積計算公式是解答本題的關鍵。【典例三】要挖一個長9米，寬5米，深3米的蓄水池。（1）這個蓄水池的占地面積是多少平方米？（2）如果要給這個蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？（3）這個水池能蓄水多少升？【分析】（1）求蓄水池的占地面積面積就是求底面積，用長乘寬即可；（2）根據題意可知，就是給前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它們的面積再相加即可；（3）長方體的容積＝長×寬×高，據此解答即可。【解答】（1）5×9＝45（平方米）；答：這個蓄水池的占地面積是45平方米；（2）5×9＋2×（9×3＋5×3）＝45＋84＝129（平方米）；答：抹水泥部分的面積是129平方米；（3）5×9×3＝45×3＝135（立方米）；135立方米＝135000升；答：這個水池能蓄水135000升。【點評】熟記長方體表面積和容積的計算公式是解答本題的關鍵。專題四分數的意義和性質【考點一】分數的意義【典例一】1.把一塊蛋糕平均分給3個人，每人分得這塊蛋糕的（）。A． B． C．【答案】A【典例二】（1）請在下面每個圖中表示。它們為什么都能表示？【答案】（1）第一個圖形中和共有12個蘋果，將它平均分為4份，每份有3個，占其中的三份，就是9個；（紅色部分表示）；第二個圖形中一條線段將它平均分成4份，取其中的三份，就表示；（紅色部分表示）；第三個圖形是一個長方形，將它平均分成4份，取其中三份。（紅色部分表示）。（2）它們都是將圖形平均分成4份，再取其中的三份，故能表示為。【典例三】一條水渠長500米，計劃14天修完，照這樣計算，4天可以修這條路的。【分析】由題意可知，總長度為單位“1”，將其平均分成14份，取其中的4份，即4天可以修這條路的，由此解答即可。【解答】一條水渠長500米，計劃14天修完，照這樣計算，4天可以修這條路的。【點評】明確分數的意義是解答本題的關鍵。【考點二】分數與除法【典例一】將6m長的鐵絲平均分成9段，每段長（）。A．m B．m C．m【答案】C【典例二】修路隊修一條公路，已修80千米，還剩下31千米沒有修。已修的和沒有修的各占這條公路的幾分之幾？【答案】；80÷（80＋31）＝80÷111＝；31÷（80＋31）＝31÷111＝；答：已修的長度占這條公路的，沒有修的長度占這條公路的。【典例三】五（6）班有50人，其中男生31人，而男生中愛好體育的有20人。（1）五（6）班愛好體育的男生人數占全部男生人數的幾分之幾？（2）五（6）班女生人數占全班的幾分之幾？【分析】（1）愛好體育的男生人數占全部男生人數的分率＝愛好體育的男生人數÷全部男生人數，結果用分數表示；（2）女生人數＝全班人數－男生人數，女生人數占全班人數的分率＝女生人數÷全班人數，結果用分數表示，據此解答。【解答】（1）20÷31＝答：五（6）班愛好體育的男生人數占全部男生人數的。（2）（50－31）÷50＝19÷50＝答：五（6）班女生人數占全班的。【點評】掌握一個數占另一個數幾分之幾的計算方法是解答題目的關鍵。【考點三】真分數和假分數、帶分數及其互化【典例一】下列說法正確的是（）。A．所有的質數都是奇數 B．兩個奇數的差一定是偶數C．整數都比分數大 D．一個數的倍數一定比它的因數大【答案】B【典例二】把下面的假分數化成整數或帶分數。＝＝＝＝【答案】【典例三】一個帶分數，它的分數部分的分子是4，化成假分數后，分子是53，這個帶分數可能是多少？【解答】（1）（2）找出乘積是49的兩個因數，也就是這個帶分數的整數部分和分母。因為49=7×7，所以這個帶分數的整數部分和分母都是7，這個帶分數是7。【考點四】分數的基本性質【典例一】分數的分母乘2，要使分數的大小不變，分子應該（）。A．加2 B．加10 C．除以2 D．乘2【答案】D【典例二】把下面的分數化成分母是24而大小不變的分數，請寫出過程。

【分析】分數的基本性質，分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變；據此解答。【解答】＝＝＝＝＝＝【典例三】甲、乙兩位師傅完成同一種零件，甲師傅用了小時，乙師傅用了小時。小麗說：“兩位師傅用的時間一樣長。”小麗說的對嗎？請用計算或畫圖的方法說明理由。【分析】根據分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變，的分子和分母同時乘2，則＝；據此解答。【解答】＝＝所以兩位師傅用的時間一樣長。答：小麗說的對。【點評】掌握分數的基本性質是解題的關鍵。【考點五】約分及最大公因數【典例一】把12個梨和36個橘子，平均分給若干個小朋友，都正好分完。小朋友最多有()人，每人分到()個梨和()個橘子。【分析】求小朋友最多有多少人，就是求12和36的最大公因數，求出最大公因數后分別除12和36，即可求出每人分到多少個梨和多少個橘子，據此解答即可。【解答】12＝2×2×336＝2×2×3×312和36的最大公因數是：2×2×3＝4×3＝12即小朋友最多有12人；12÷12＝1（個）36÷12＝3（個）【點評】此題考查最大公因數在實際生活中的應用，關鍵理解求小朋友最多人數就是求最大公因數。【典例二】五年級（1）（2）班要參加學校組織的義務勞動，五（1）班來了48人，五（2）班來了42人。如果把兩個班的學生分別分成若干小組，要使兩個班每個小組的人數相同，每組最多有多少人？一共有多少個小組？【答案】6人；15個小組48＝2×2×2×2×342＝2×3×72×3＝6（人）（48＋42）÷6＝90÷6＝15（個）答：每組最多有6人，一共有15個小組。【典例三】一個分數，用2約分一次，再用3約分一次，得到，原來這個分數是()。【分析】根據約分的方法，分別用的分子和分母乘3再乘2，求出原來的分子和分母，寫出原分數即可。【解答】2×3×2＝12、3×3×2＝18，原來這個分數是。【點評】關鍵是掌握并靈活運用約分的方法。【典例四】2021年春茶之際，茶農平均每天可以采摘50千克茶葉，其中龍井茶有20千克，白茶有14千克，其余是烏牛早。（1）白茶質量是總質量的幾分之幾？

（2）算式“20÷（50－20－14）”解決的是什么問題？并計算。【分析】（1）用白茶的質量除以茶葉的總質量即可；（2）由題意可知，20千克表示龍井茶的重量，（50－20－14）表示烏牛早的重量，則20÷（50－20－14）解決的是龍井茶的重量是烏牛早的重量的幾倍，據此進行計算即可。【解答】（1）14÷50＝答：白茶質量是總質量的。（2）20÷（50－20－14）解決的是龍井茶的重量是烏牛早的重量的幾倍；20÷（50－20－14）＝20÷16＝答：龍井茶的重量是烏牛早的倍。【點評】本題考查求一個數占另一個數的幾分之幾，明確用除法是解題的關鍵。【考點六】通分及最小公倍數【典例一】水仙花每6天澆一次水，蘭花每8天澆一次水，花匠今天給兩種花同時澆了水，至少()天后給這兩種花同時澆水。【答案】24【典例二】樂樂家的空氣加濕器，每6天會亮一次燈（提醒清洗），每15天會響一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的時候既亮燈又響鈴了，下一次既亮燈又響鈴是在哪一天？【分析】由題意可知，先求出6和15的最小公倍數，再用9月1日加上它們的最小公倍數即可。【解答】6＝2×315＝3×5則6和15的最小公倍數是2×3×5＝309月1日＋30＝10月1日答：下一次既亮燈又響鈴是在10月1日。【點評】本題考查最小公倍數，明確求最小公倍數的方法是解題的關鍵。【典例三】同走一段路，小華用了小時，小蘭用了小時，小明用了小時，()的速度最快。【分析】同一段路程，如果速度越快，說明用的時間越少。所以只需要比較三個人用去的時間的大小，按照異分母分數比較大小的方法，找出用時最短的那個人，即可求出那個人的速度最快。【解答】因為，所以。說明小華用時最短，意味著小華的速度最快。【點評】此題的解題關鍵是相同的路程，只需要比較用的時間的大小，按照異分母分數比較大小的方法，解決問題。【典例四】尚好飲品店進了三種總容量相同的飲品，星期六整天的銷售情況如下表，如果你是這家飲品的一名員工，你想對老板提些什么好建議？（要求先比較大小再提出一個好建議）咖啡奶椰奶果汁售出占售出占售出占【分析】咖啡奶的銷售量占總銷售量的，椰奶的銷售量占總銷售量的，果汁的銷售量占總銷售量的，它們所對應的單位“1”相同，都是總銷售量，所以只需要比較分率的大小，即可說明哪種飲品的銷售量更多；因此利用分數的基本性質，將三個分數化成同分母分數，即可比較大小，如果哪種飲品售出的多，就應該多進貨，問題即可得解。【解答】＝＝＝＝＝＝＜＜說明果汁的銷售量最多。答：通過比較大小，可知果汁售出的更多，對老板提的建議是：多進一些果汁，加強廣告宣傳。【點評】此題的解題關鍵是掌握異分母異分子分數的大小比較的方法。【考點七】分數和小數的互化【典例一】把一根3m長的木條鋸成同樣長的8段，每段長度是這根木條總長度的，每段長m，也就是（）m。（填小數）【答案】；；0.375【典例二】五年級（l）班舉行折紙比賽，一組7個人共折了23個，二組8個人共折了36個，三組6個人共折了20個，平均每人折的最多的是哪個組呢？【分析】分別算出每組平均每人折的個數，作比較即可。【解答】第一組平均每人折的個數：23÷7＝3（個）≈3.286（個）第二組平均每人折的個數：36÷8＝4.5（個）；第三組平均每人折的個數：20÷6＝3（個）≈3.333（個）；因為4.5＞3.333＞3.286，所以第二組平均每人折的個數多。答：平均每人折的個數最多的是二組。【點評】求出三個小組平均每人折的個數是解題關鍵，比較分數大小，把分數化成小數是其中方法之一，也可以通過通分的方法比較。【典例三】2022年6月5日神舟十四號載人飛船順利升空，我國航天事業愈發強大。王阿姨和李叔叔打同樣一篇有關航天新聞的稿子，王阿姨平均每秒打個字，李叔叔平均每秒打0.9個字，誰打字快一些？【分析】把化成小數，用分子除以分母即可；然后按照小數大小比較的方法進行比較，誰每秒打的字多，誰就打字快一些。【解答】＝5÷6≈0.83因為0.83＜0.9，所以＜0.9。答：李叔叔打字快一些。【點評】本題考查分數與小數的互化以及小數大小的比較，也可以將0.9化成分數，再按照分數大小比較的方法進行比較。專題五圖形的運動（三）【考點一】旋轉【典例一】將左下圖案繞P點逆時針旋轉90度，得到的圖案是（）A． B． C．【分析】根據圖形旋轉的方法，旋轉中心是點P，旋轉方向是逆時針，旋轉角度是90度，據此即可得出旋轉后的圖形，由此選擇即可。【解答】根據題干分析可得，繞P點逆時針旋轉90度旋轉后的圖形是；故選B。【點評】此題主要考查利用旋轉進行圖形變換的方法的靈活應用，要注意確定旋轉中心、方向、角度。【典例二】根據圖，回答問題。①號三角形是繞A點按（）時針方向旋轉了（）度。②號梯形是繞B點按（）時針方向旋轉了（）度。③號三角形是繞C點按（）時針方向旋轉了（）度。④號平行四邊形是繞D點按（）時針方向旋轉了（）度。【答案】逆90逆90順90順90【典例三】實踐操作。（1）三角形ABC繞點C（

）時針旋轉（

）°，得到圖形①。（2）平行四邊形ABCD繞點（

）順時針旋轉（

）°，得到圖②。（3）畫出梯形ABCD繞點C逆時針旋轉90°后的圖形。【分析】（1）根據與C點相連的兩條邊可以確定是逆時針旋轉90°得到圖形①；（2）平行四邊形點B的位置沒有發生變化，說明是繞點B旋轉的，根據與B點相連的兩條邊可以確定是順時針旋轉90°得到圖②；（3）根據旋轉的方法，將梯形與點C相連的兩條邊繞點C逆時針旋轉90度，再將其它邊連起來即可。【詳解】（1）三角形ABC繞點C逆時針旋轉90°，得到圖形①；（2）平行四邊形ABCD繞點B順時針旋轉90°，得到圖②；（3）如圖：【點睛】熟練掌握旋轉的方法并能靈活利用是解答本題的關鍵。【考點二】平移和旋轉的綜合【典例一】將圖形A（），可以得到圖形B．A．向右平移3格，再繞O點逆時針旋擇90°B．向右平移5格，再繞O點順時針旋擇90°C．向右平移3格，再繞O點順時針旋擇90°【分析】觀察圖形，根據圖形旋轉和平移的方法可得：圖形A先向右平移3格，再繞點O順時針旋轉90度，即可得出圖形B，據此即可選擇．【答案】C【典例二】下面的圖②是由圖①繞點按順時針方向旋轉()°，再向()平移()格得到的。【分析】旋轉是指圍繞某個點或線做圓周運動。圖①繞點按順時針方向旋轉，角度只有達到90°，才能向右移動，達到重合的目的。向右移動時，觀察點的移動格子數，即是圖②移動的格子數。【詳解】圖②是由圖①繞點按順時針方向旋轉90°，再向右平移4格得到的。【點睛】此題主要掌握旋轉和平移的特點。【典例三】我是作圖高手．將圖向上平移一格，繞點順時針旋轉，畫出得到的圖形．【分析】先把圖形的各個頂點分別向上平移1格，再以點為旋轉中心，把其它各個頂點分別繞點順時針旋轉90度，再依次連接起來即可．【解答】解：根據題干分析可得：【點評】此題考查了利用平移與旋轉進行圖形變換的靈活應用．專題六分數的加法和減法【考點一】同分母分數加、減法【典例一】，這239個數中所有不是整數的分數的和是多少？（）。A．2230 B．2140 C．2350 D．2200【答案】D【典例二】學校新到一批書，四年級領了這批書的，一年級領了，問，兩個年級共領了這批書的幾分之幾？還剩幾分之幾？【答案】＋＝＝剩下的部分占整個：1－＝答：兩個年級共領了這批數的，還剩。【典例三】一條施工路段。第一天修了全長的，第二天修了全長的，還剩全長的幾分之幾沒有修？（先畫出線段圖，再解答）【解題思路】把這段路的長度看作單位“1”，用1減去兩天修的分率即可解答。【詳細解答】如圖：1－－＝－＝答：還剩全長的沒有修。【考點點評】本題考查同分母分數減法，明確單位“1”是解題的關鍵。【考點二】異分母分數加、減法【典例一】如圖：直觀示意圖表示（）算式的計算過程。A． B． C． D．【答案】B【典例二】媽媽買了2kg面粉，做蛋糕用了kg，做披薩用了kg，做蛋糕和披薩一共用了多少千克面粉？【答案】＋（千克）答：做蛋糕和披薩一共用了千克面粉。【典例三】有紅黃藍三條絲帶。紅絲帶比黃絲帶長米，藍絲帶比黃絲帶短米。紅絲帶與藍絲帶相差多少米？【解題思路】以黃絲帶為中間量，藍絲帶比它短米，紅絲帶比它長米，則用加上即可求出紅絲帶與藍絲帶相差多少米。【詳細解答】＋＝（米）答：紅絲帶與藍絲帶相差米。【考點點評】本題分數加法，明確異分母分數加法的計算方法是解題的關鍵。【考點三】分數加減混合運算【典例一】一瓶飲料，喝去一半，又往瓶中加入L飲料，這時瓶中的飲料比原來少了L，這瓶飲料原來有()升。【答案】【典例二】五（1）班學習委員對本班同學進行了調查：全班的同學喜歡數學，的同學喜歡語文，的同學數學、語文兩科都不喜歡。這個班既喜歡語文又喜歡數學的學生占全班人數的幾分之幾？【答案】答：這個班既喜歡語文又喜歡數學的學生占全班人數的。【典例三】李阿姨買了兩條絲帶，第一條長米，第二條比第一條短米。兩條絲帶一共長多少米？【解題思路】根據題目中的數量關系：第一條絲帶的長度－米＝第二條絲帶的長度，代入數量，求出第二條絲帶的長度，再加上第一條絲帶的長度，即是兩條絲帶的長度和。【詳細解答】－＋＝－＋＝＋＝3（米）答：兩條絲帶一共長3米。【考點點評】此題的解題關鍵是理解題中的分數代表是具體的數量還是分率，再通過數量關系，利用分數的加減混合運算，求出絲帶的長度，即可解決問題。專題七折線統計圖【考點一】單式折線統計圖【典例一】下圖是王阿姨元旦期間開車從金華回老家C市過年的過程。下面說法錯誤的是（

）。A．開車4小時后休息了1個小時 B．8時~9時，汽車行駛了255千米C．金華到老家C市相距640千米 D．9時~10時汽車的速度最快【分析】由折線統計圖可知，橫軸表示時間，縱軸表示路程，單位長度表示100千米，折線越陡汽車速度越快，折線越緩汽車速度越慢；（1）當折線平行于橫軸時，汽車行駛路程不變，此時間段為休息時間；（2）9時汽車行駛了180千米，8時汽車行駛了75千米，8時~9時，汽車一共行駛了（180－75）千米；（3）15時汽車行駛的路程就是金華到老家C市的總路程；（4）根據“速度＝路程÷時間”分別求出汽車每小時行駛的路程，最后比較大小，據此解答。【解答】A．11時－7時＝4（小時）12時－11時＝1（小時）所以，7時~11時汽車行駛了4小時，11時~12時休息了1個小時。B．180－75＝105（千米）所以，8時~9時，汽車行駛了105千米。C．由折線統計圖可知，7時出發，15時到達目的地，一共行駛了640千米，所以金華到老家C市相距640千米。D．7時~8時：（75－0）÷1＝75（千米/時）8時~9時：（180－75）÷1＝105（千米/時）9時~10時：（300－180）÷1＝120（千米/時）10時~11時：（410－300）÷1＝110（千米/時）11時~12時：（410－410）÷1＝0（千米/時）12時~13時：（500－410）÷1＝90（千米/時）13時~14時：（580－500）÷1＝80（千米/時）14時~15時：（640－580）÷1＝60（千米/時）因為120＞110＞105＞90＞80＞75＞60＞0，所以9時~10時汽車的速度最快。故答案為：B【點評】理解并掌握折線統計圖的特點及作用，并且能夠根據統計圖提供的信息解決有關實際問題是解答題目的關鍵。【典例二】某市去年11月1日至8日的日平均氣溫折線統計圖如圖所示，從上圖中，我們發現日平均氣溫連續增長的時間段是從11月（）日起到11月（）日。【分析】觀察統計圖可知，橫軸代表日期，縱軸代表氣溫，然后根據統計表進行解答即可。【解答】從上圖中，我們發現日平均氣溫連續增長的時間段是從11月2日起到11月5日。【點評】本題考查折線統計圖，通過統計圖分析出相應數據是解題的關鍵。【典例三】如圖是某地2022年下半年新能源汽車銷售情況統計圖。（1）8月份銷售新能源汽車（

）輛，10月份銷售新能源汽車（

）輛。（2）7至12月一共銷售新能源汽車多少輛？合多少萬輛？（3）該地7至12月平均每月銷售新能源汽車多少輛？【分析】（1）根據圖上1格代表200輛，8月對應點的縱軸數據是1800輛，10月對應點的縱軸數據是2000輛填表。（2）觀察圖：7月銷售1600輛，8月銷售1800輛，9月銷售1700輛，10月銷售2000輛，11月銷售2140輛，12月銷售2400輛，相加后再改寫成用萬作單位的數，就在萬位后面點上小數點，化簡小數后，在數字后面添上“萬”字即可。（3）用這幾個月總量除以6個月即可解答。【解答】（1）8月份銷售新能源汽車（1800

）輛，10月份銷售新能源汽車（

2000

）輛。（2）1600＋1800＋1700＋2000＋2140＋2400＝11640（輛）11640＝1.164萬答：7至12月一共銷售新能源汽車11640輛。合1.164萬輛。（3）11640÷6＝1940（輛）答：該地7至12月平均每月銷售新能源汽車1940輛。【考點二】復式折線統計圖【典例一】甲、乙兩地連續七天住宅成交量（套）如圖所示。根據圖中信息，下列說法錯誤的是（

）。A．甲地平均每天的成交量低于乙地B．單日成交量的最高值，甲地低于乙地C．這七天，乙地比甲地的住宅成交量的波動更大【答案】C【分析】總數量÷份數＝平均數，據此分別用它們七天的成交量之和除以7，即可求出它們平均每天的成交量。根據統計圖中的數據，逐項進行分析。【解答】A．甲地：（28＋28＋24＋27＋11＋9＋13）÷7＝140÷7＝20（套）乙地：（19＋26＋24＋29＋18＋17＋23）÷7＝156÷7≈22（套）20＜22，則甲地平均每天的成交量低于乙地，此選項說法正確；B．甲地單日成交量的最高值是28套，乙地單日成交量的最高值是29套，28＜29，則單日成交量的最高值，甲地低于乙地，此選項說法正確；C．觀察統計圖可知，甲地比乙地的住宅成交量的波動更大，此選項說法錯誤。故答案為：C【典例二】下圖是平安裝修公司去年收入和支出統計圖，認真讀圖后回答問題。（1）平安裝修公司（）月份收入最多，是（）萬元；（）月份支出最少，是（）萬元。（2）平安裝修公司（）～（）月份收入下降得最多，降低了（）萬元。（3）平安裝修公司全年的收入是（）萬元，全年的月平均支出是（）萬元。【答案】（1）1190310（2）2330（3）74030【分析】（1）觀察折線統計圖，實線表示收入，看圖能夠清晰的看出每個月的收入，實線位置越高，表示這個月收入越多，實線位置越低，表示這個月收入越少；虛線表示支出，看圖能夠清晰的看出每個月的支出，虛線位置越高，表示這個月支出越多，虛線位置越低，表示這個月支出越少；（2）通過對圖中實線的觀察，找出每個月收入的具體數值，進行分析，得出哪個月下降最多，用多的月份的收入數值減去少的月份的收入數值，即為降低的數值；（3）通過圖找出每個月收入的具體數值，將所有收入數值相加，即為全年收入；通過圖找出每個月支出的具體數值，將所有支出數值相加，再用總數除以12個月，即為全年的月平均支出數值。【解答】（1）通過觀察，11月收入最多，是90萬元；3月份支出最少，是10萬元。（2）通過觀察，每個月收入情況如下：1月40萬元，2月60萬元，3月30萬元，4月30萬元，5月50萬元，6月60萬元，7月80萬元，8月70萬元，9月70萬元，10月80萬元，11月90萬元，12月80萬元；2月－3月收入下降最多，60－30＝30（萬元）所以平安裝修公司2～3月份收入下降得最多，降低了30萬元。（3）40＋60＋30＋30＋50＋60＋80＋70＋70＋80＋90＋80＝740（萬元）通過觀察，每個月支出情況如下：1月20萬元，2月30萬元，3月10萬元，4月20萬元，5月20萬元，6月30萬元，7月20萬元，8月30萬元，9月40萬元，10月50萬元，11月40萬元，12月50萬元；（20＋30＋10＋20＋20＋30＋20＋30＋40＋50＋40＋50）÷12＝360÷12＝30（萬元）綜上所述：平安裝修公司全年的收入是740萬元，全年的月平均支出是30萬元。【典例三】下面是某市第一中學和第二中學籃球隊的五場比賽得分情況統計圖，請根據統計圖回答問題。

（1）兩個球隊第一場比賽成績相差（

）分；第三場相差（

）分。（2）兩隊比賽比分相差最多的是第（

）場比賽。（3）兩隊成績呈現什么變化趨勢？（4）你能預測下一場兩校籃球隊比賽結果嗎？并說明理由。【答案】（1）4；2（2）四（3）一中呈上升趨勢，二中呈先上升再下降又上升的趨勢（4）見詳解【分析】（1）觀察復式折線統計圖，實線表示一中得分，虛線表示二中得分，分別找到兩個球隊第一場和第三場得分，分別求差即可；（2）觀察復式折線統計圖，兩數據點相距越遠表示比分相差越多，據此分析；（3）折線往上表示上升趨勢，折線往下表示下降趨勢，