高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.將化為弧度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，則，所以A錯誤，B正確；空集是集合A的真子集，C錯誤；集合A不是整數集的子集，D錯誤.故選：B.3.“是第一象限角”是“是銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】是銳角，則是第一象限角，但是第一象限角，不一定是銳角，如，故“是第一象限角”是“是銳角”的必要不充分條件.故選：B.4.下列函數在定義域上既是增函數又是奇函數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，函數的定義域為，顯然為增函數，且因可得函數為奇函數，故A正確；對于B，，定義域為，因即不是奇函數，故B錯誤；對于C，的定義域為，且在每一個區間上為增函數，但不能說函數在定義域上遞增，故C錯誤；對于D，因的定義域為，函數在上先增后減，在上先減后增，故不是定義域上的增函數，故D錯誤.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單調遞增，單調遞增，所以，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.7.若，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，不等式為，即，顯然在有解，符合題意；，命題“”為真命題，當時，對于拋物線，開口向下，顯然在有解，符合題意；當時，對于拋物線，開口向上，只需，解得或，又，所以或，綜上，實數的取值范圍是或，即.故選：D.8.若函數在上有且僅有三個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由可得：，函數在上有且僅有三個零點，則，解得：.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，且，若在上的最大值為，最小值為，且，則實數的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AC【解析】當時，單調遞增，此時，，所以，解得，當時，單調遞減，此時，，所以，解得，所以實數的值可以是或.故選：AC.10.若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，又，所以，B錯誤；對于C，由，得，又，所以，C正確；對于D，由，得，則，則，D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數則（）A.B.不存在單調區間C.D.在定義域內的任意區間上都不存在最大值【答案】ABD【解析】對于A，已知當是互質的正整數時，.對于，此時，，且和互質，根據函數定義可得，所以選項A正確.對于B，若存在，是單調增區間，當是互質的正整數時，，是無理數，使得，故不是單調增區間；若是存在，是單調減區間，當是互質的正整數時，，是無理數，使得，故不是單調減區間；即不存在單調區間，所以選項B正確.對于C，分情況討論的值：當時，，，所以，當的無理數時，，則，當是互質的正整數時，，若，情況不存在.若，，若時，當為正整數時，若為整數可寫成，則，不存在，使得，選項C錯誤.對于D，在任意區間，存在最大值，則存在有理數（是互質的正整數），在區間內，總能找到形如（是互質的正整數）的有理數，，所以不存在最大值.所以在定義域內的任意區間上都不存在最大值，選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點是終邊上一點，則的值為______．【答案】【解析】因為點是終邊上一點，則.13.已知冪函數．給定條件：①且；②．寫出一個同時滿足①②條件的函數解析式______．【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇數，是偶數）【解析】冪函數，對于條件①是偶函數且在上單調遞減，而條件②說明函數為偶函數，根據冪函數性質，當時，冪函數在上單調遞減。又因為是偶函數，對于冪函數，若（互質），當為偶數時，函數是偶函數，若寫出具體函數解析式，可以令（滿足，是奇數，是偶數），此時冪函數，對于，滿足②.對求導，，在時，，在單調遞減，所以滿足①，所以答案為：.14.函數所有零點之和為______．【答案】2【解析】函數的定義域為R，，函數的圖象關于直線，當時，，令，任取，，由，得，則，，因此函數在上單調遞增，而函數在上單調遞增，則函數在上單調遞增，，于是函數在上有唯一零點，由對稱性知，函數在上有唯一零點，所以函數所有零點之和為2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合．（1）求，；（2）若，且，求實數的取值范圍．解：（1）因為或，所以，所以.（2）因，由，可得，則，所以，解得，則實數的取值范圍為．16.已知函數的最小正周期為．某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填大了部分數據，如下表：（1）請在上表補充完整數據，并直接寫出實數的值．（2）將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．若，求的值域．解：（1）由題意，則，完善表格如下：（2）由題意可知，，因為，所以，所以，所以，所以的值域為．17.已知某企業生產某種設備的最大產能為70臺，每臺設備的售價為80萬元．記該企業生產臺設備需要投入的總成本為（單位：萬元），且假設生產的設備全部都能售完．（1）求利潤（單位：萬元）關于生產臺數的函數解析式，并求該企業生產20臺設備時的利潤（利潤銷售額-成本）；（2）當生產多少臺該設備時，該企業所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？解：（1）當時，；當時，；綜上，當臺時，萬元，所以該企業生產20臺該設備時，所獲利潤為400萬元．（2）當時，，故當臺時，取得最大值，最大值為500萬元；當時，，當且僅當，即時，等號成立，故當臺時，取得最大值，最大值為820萬元；因為，所以當生產60臺該設備時，該企業所獲利潤最大，最大利潤為820萬元．18.已知函數．（1）解關于的方程：；（2）記函數．（ⅰ）判斷在上的單調性，并用定義證明；（ⅱ）若，都有，求實數的取值范圍．解：（1）因，由，可得，又，則有，解得（不合題意，舍去）或，故原方程的解為．（2）（ⅰ）在單調遞減.證明如下：，且，所以，因，則有，故有，可得，即，故在單調遞減．（ⅱ）若，都有，則有，由（ⅰ）可得，在單調遞減，則，所以，即，故可得．即使得成立，所以，即求在的最大值，由二次函數的性質可得，當時，，故得，即的取值范圍為．19.是定義在上的函數．若滿足，則稱為的“不動點”．已知函數．（1）求的“不動點”；（2）記．若，則稱為的一個周期，為的一個“周期點”．若是的“周期點”，那么的所有周期中的最小值稱為的最小周期．如果的最小周期是，則稱是的一個“-周期點”．特殊的，的“1-周期點”即為的“不動點”．（ⅰ）判斷的“周期點”個數，并說明理由；（ⅱ）若．證明：當時，不存在“周期點”．解：（1）由題意，解得．故的不動點為.（2）（ⅰ）的“2-周期點”共有0個．理由如下：，故，等號成立當且僅當