第1頁（共1頁）2025年廣東省廣州市越秀區執信中學中考數學二模試卷一、選擇題(每題3分，共30分，每題只有一個選項正確)1．（3分）的相反數是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a?a＝2a B．4a﹣3a＝1 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a4）2＝a84．（3分）某校舉行“遵守交通安全，從我做起”演講比賽，7位評委給選手甲的評分如下：91，89，93，94，95（）A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，935．（3分）已知a＞b，則下列各式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣16．（3分）如圖，由矩形和三角形組合而成的廣告牌緊貼在墻面上，重疊部分（陰影）2，廣告牌所占的面積是30m2（厚度忽略不計），除重疊部分外，矩形剩余部分的面積比三角形剩余部分的面積多2m2，設矩形面積是xm2，三角形面積是ym2，則根據題意，可列出二元一次方程組為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在同一直角坐標系中拋物線與雙曲線（﹣1，0），B（1，﹣1），三點，則滿足y1＞y2的自變量x的取值范圍是（）A．x＞﹣1或1＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＜1或x＞2 D．x＜﹣1或0＜x＜1或x＞28．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，連接OB、OD、BD，若，∠BCD＝120°，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．49．（3分）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BD交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，則A′C的長為（）A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.810．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，D兩點（C在D的右側），下列結論：①c≥﹣2；②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；③若點D橫坐標的最小值為﹣5，則點C橫坐標的最大值為3；④當四邊形ABCD為平行四邊形時，．其中正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④二、填空題（每題3分，共18分)11．（3分）近年來，我國海水淡化技術穩步增強，今年我國可達到每日淡化海水2900000噸的技術水平．12．（3分）分解因式：ax3﹣9ax＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，ED垂直平分BC，△BCE的周長為22，則BE＝．14．（3分）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）（豎直放置）上成像A′B′，設AB＝18cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為cm．15．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，以邊BC為直徑在正方形ABCD內部作半圓，過點A作半圓的切線，與半圓相切于點F，則AE＝．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，DC＝3DC，P是AD上一個動點，垂足為G，連接BP，連接EG，則線段EG的最小值為．三、解答題（共72分）17．（4分）解方程組：．18．（4分）如圖，點E在△ABC邊上，AE＝BC，∠CAB＝∠ADE．求證：△ABC≌△DEA．19．（6分）化簡求值：．（1）化簡T；（2）若點A（a，a+3）在反比例函數的圖象上20．（6分）廣州市某中學對初三學生喜愛的科目進行了調查，調查科目包括物理，化學，政治，生物和地理（1）本次共調查了名學生；其中扇形圖中，m＝；扇形圖中物理學科對應的扇形的圓心角是度；（2）小洛是該學校的初三學生，他了解到廣東省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語文、數學、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，若小洛在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖或者列表的方法求他在“2”中選化學、生物的概率．21．（8分）某款座椅（如圖1）的椅背與椅面之間的夾角可以在100°到150°之間任意調節，其側面示意圖如圖2所示．在調節椅背的過程中，支架AD，BC與水平地面的夾角也保持不變．已知椅背EG＝60cm，EG與椅面EF的夾角為100°時，∠GED＝28°．（參考數據：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，（1）求椅面EF與地面AB之間的距離；（2）為避免座椅與墻面發生碰撞，要求座椅的任何部位與墻面的距離不少于20cm，圖2中座椅底端A與墻面PQ的距離為50cm22．（10分）綜合與實踐：課題小空間檢測視力問題具體情境：對某班學生視力進行檢測的任務：現有條件：一張測試距離為5米的視力表，一間長為3.8米，寬為3.6米的空書房．（1）如圖1，若將視力表掛在墻CDGH上，在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡米處；（2）小明選擇按比例制作視力表完成該任務，在制作過程中發現視力表上視力值V和該行字母E的寬度a之間的關系是一種函數模型，字母E的寬度a如圖2所示位置視力值Va的值（mm）第1行0.170第5行0.2528第8行0.514第14行23.5①根據表格數據判斷，從一次函數、反比例函數中選擇一個合適的函數模型擬合視力值V與字母E的寬度a（說明理由），并求出視力值V與字母E寬度a之間的函數關系式；②小明在制作過程中發現某行字母E的寬度a的值17.5mm，請問該行對應的視力值是多少？23．（10分）已知等邊三角形ABC邊長為6，點P為平面內一點，連接BP、CP．（1）如圖1，若點P在△ABC內部，∠BPC＝120°，并找出圓心O；（2）如圖1，求證：AB為⊙O的切線．（3）如圖2，若點P在△ABC內部，以BP、CP、BC為邊作等邊三角形BPD、CPE△BPD+S△CPE＝S△ABC，求AP的最小值．24．（12分）已知拋物線C：y＝a（x﹣1）（x﹣3）的最小值為﹣2．（1）求a的值；（2）已知直線l：y＝kx﹣4k+6，記m（x）＝max{a（x﹣1）（x﹣3），求m（x）的最小值（用k表示）；（3）如圖，A（x0，y0）為拋物線C上一點，B（4﹣3x0，﹣3y0），直線AB過點M（1，0），在拋物線上取一點PBA，若D（5，3），求25．（12分）已知線段OA＝OB＝2，∠AOB＝α．（1）如圖1，當α＝60°時，求∠OAB的度數；（2）如圖2，當α＝90°時，作BC⊥OB，求的最小值；（3）如圖3，當α＝120°時，點E是線段AB上，延長FB交OE的延長線于點G，求當點E線段AB上運動時

2025年廣東省廣州市越秀區執信中學中考數學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DADDBADDBA一、選擇題(每題3分，共30分，每題只有一個選項正確)1．（3分）的相反數是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：的相反數是﹣．故選：D．2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形；B、不是中心對稱圖形；C、不是中心對稱圖形；D、不是中心對稱圖形．故選：A．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a?a＝2a B．4a﹣3a＝1 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a4）2＝a8【解答】解：a?a＝a2，則A不符合題意，4a﹣8a＝a，則B不符合題意，（a﹣b）2＝a2﹣8ab+b2，則C不符合題意，（﹣a4）8＝a8，則D符合題意，故選：D．4．（3分）某校舉行“遵守交通安全，從我做起”演講比賽，7位評委給選手甲的評分如下：91，89，93，94，95（）A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93【解答】解：把這組數據從小到大排列為：88，89，93，95，所以這組數據的眾數是95，中位數是93．故選：D．5．（3分）已知a＞b，則下列各式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，故A不符合題意；∵a＞b，∴，故B符合題意；當c＝0時，ac2＝bc2，故C不符合題意；∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a﹣1＞2b﹣4，故D不符合題意，故選：B．6．（3分）如圖，由矩形和三角形組合而成的廣告牌緊貼在墻面上，重疊部分（陰影）2，廣告牌所占的面積是30m2（厚度忽略不計），除重疊部分外，矩形剩余部分的面積比三角形剩余部分的面積多2m2，設矩形面積是xm2，三角形面積是ym2，則根據題意，可列出二元一次方程組為（）A． B． C． D．【解答】解：依題意得：．故選：A．7．（3分）如圖，在同一直角坐標系中拋物線與雙曲線（﹣1，0），B（1，﹣1），三點，則滿足y1＞y2的自變量x的取值范圍是（）A．x＞﹣1或1＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＜1或x＞2 D．x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2【解答】解：∵拋物線與雙曲線，0），﹣1），，∴滿足y6＞y2的自變量x的取值范圍是：x＜﹣1或2＜x＜1或x＞2．故選：D．8．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，連接OB、OD、BD，若，∠BCD＝120°，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．4【解答】解：由條件可知∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，∵，∴∠BOD＝2∠A＝120°，∵OB＝OD，OP⊥BD，，∴，，∴，即⊙O的半徑長為4．故選：D．9．（3分）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BD交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，則A′C的長為（）A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝BD，∴BD＝AC＝＝4，∴OA＝OC＝，∵A，A′關于BD對稱，∴AA′⊥BD，AE＝A′E，∵AD?AB＝，∴AE＝，∴OE＝＝0.7，∴A′C＝2OE＝1.4．故選：B．10．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，D兩點（C在D的右側），下列結論：①c≥﹣2；②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；③若點D橫坐標的最小值為﹣5，則點C橫坐標的最大值為3；④當四邊形ABCD為平行四邊形時，．其中正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【解答】解：由題意可得：線段AB與y軸的交點坐標為（0，﹣2），又∵拋物線y＝ax6+bx+c（a＞0）的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，∴c≥﹣7，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的頂點在線段AB上運動，開口向上，∴只有當x＞8時，一定有y隨x的增大而增大；若點D的橫坐標最小值為﹣5，此時拋物線的對稱軸直線為x＝﹣3，由拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱性可得此時點C的橫坐標為﹣1，則CD＝﹣5﹣（﹣5）＝4，∵拋物線y＝ax4+bx+c（a＞0）的形狀不變，當拋物線y＝ax2+bx+c（a＞5）的對稱軸直線為x＝1，此時C的橫坐標為3，∴C的橫坐標的最大值為8，故③正確；令y＝0，則ax2+bx+c＝5，設點C1，0），（x3，0），∴，，∴＝，∵頂點的縱坐標為﹣3，頂點的縱坐標公式為，∴，即，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝3，∴，解得；∴正確的是①③，故選：A．二、填空題（每題3分，共18分)11．（3分）近年來，我國海水淡化技術穩步增強，今年我國可達到每日淡化海水2900000噸的技術水平2.9×106．【解答】解：2900000＝2.9×105．故答案為：2.9×103．12．（3分）分解因式：ax3﹣9ax＝ax（x+3）（x﹣3）．【解答】解：ax3﹣9ax＝ax（x4﹣9）＝ax（x+3）（x﹣5），故答案為：ax（x+3）（x﹣3）．13．（3分）如圖，在△ABC中，ED垂直平分BC，△BCE的周長為22，則BE＝6．【解答】解：由條件可知BC＝2CD＝10，CE＝BE，∵△BCE的周長為22，∴BC+BE+CE＝BC+2BE＝22，即10+3BE＝22，∴BE＝6，故答案為：6．14．（3分）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）（豎直放置）上成像A′B′，設AB＝18cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為20cm．【解答】解：過點O作OC⊥AB，垂足為C，垂足為D，由題意得：AB∥A′B′，∴∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，∴△OAB∽△OA′B′，∴＝，∴＝，解得：OD＝20，∴小孔O到A′B′的距離為20cm，故答案為：20．15．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，以邊BC為直徑在正方形ABCD內部作半圓，過點A作半圓的切線，與半圓相切于點F，則AE＝．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵BC為直徑，∴AB和CD都為⊙O的切線，∵AE為⊙O的切線，∴EC＝EF，AF＝AE＝6，設CE＝x，則EF＝x，在Rt△ADE中，∵AD6+DE2＝AE2，∴62+（6﹣x）5＝（6+x）2，解得x＝，∴AE＝AF+EF＝6+＝．故答案為：．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，DC＝3DC，P是AD上一個動點，垂足為G，連接BP，連接EG，則線段EG的最小值為．【解答】解：如圖，取AP的中點F，連接EF，作ET⊥GH于T，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝3，∴tan∠DAC＝，∴∠DAC＝30°，∵PG⊥AC，∴PG＝AP＝m，∴PH＝PG?cos∠APG＝°＝m°＝，∵E是BP的中點，∴EF＝AB＝m，∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF＝m﹣，在Rt△EGT中，EG3＝GT2+ET2＝（m﹣）2+（m）2＝（m﹣）2+，∴當m＝時，EG的最小值為，故答案為：．延長PG至Q，使GQ＝PG，BQ，∵PG⊥AC，∴AQ＝AP，∠QAP＝2∠CAD＝60°，∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°，∵E是BP的中點，∴EG＝BQ，當BQ⊥AQ時，BQ最小AB＝，∴EG的最小值為：，故答案為：．三、解答題（共72分）17．（4分）解方程組：．【解答】解：，①+②，得3x＝9解得x＝4． （4分）把x＝3代入②，得y＝2．   ∴原方程組的解是．（7分）18．（4分）如圖，點E在△ABC邊上，AE＝BC，∠CAB＝∠ADE．求證：△ABC≌△DEA．【解答】解：∵BC∥AD，∴∠C＝∠DAE，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（AAS）．19．（6分）化簡求值：．（1）化簡T；（2）若點A（a，a+3）在反比例函數的圖象上【解答】解：（1）＝[+]?＝?＝；（2）∵點A（a，a+3）在反比例函數，∴a（a+3）＝2，∴T＝＝＝1．20．（6分）廣州市某中學對初三學生喜愛的科目進行了調查，調查科目包括物理，化學，政治，生物和地理（1）本次共調查了500名學生；其中扇形圖中，m＝14；扇形圖中物理學科對應的扇形的圓心角是36度；（2）小洛是該學校的初三學生，他了解到廣東省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語文、數學、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，若小洛在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖或者列表的方法求他在“2”中選化學、生物的概率．【解答】解：（1）本次調查的學生總人數為100÷20%＝500（名），政治人數所占百分比為×100%＝14%，扇形圖中物理學科對應的扇形的圓心角是360°×＝36°，故答案為：500、14；（2）把化學、生物、地理4科分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中小洛選中“化學”“生物”的結果有2種，∴小洛選中“化學”“生物”的概率為＝．21．（8分）某款座椅（如圖1）的椅背與椅面之間的夾角可以在100°到150°之間任意調節，其側面示意圖如圖2所示．在調節椅背的過程中，支架AD，BC與水平地面的夾角也保持不變．已知椅背EG＝60cm，EG與椅面EF的夾角為100°時，∠GED＝28°．（參考數據：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，（1）求椅面EF與地面AB之間的距離；（2）為避免座椅與墻面發生碰撞，要求座椅的任何部位與墻面的距離不少于20cm，圖2中座椅底端A與墻面PQ的距離為50cm【解答】解：（1）EG與椅面EF的夾角為100°時，∠GED＝28°，∴∠DEF＝∠GEF﹣∠GED＝100﹣28＝72°，∵EF與地面AB保持平行，∴∠EAB＝∠DEF＝72°，如圖所示，過點E作EK⊥AB于點K，在Rt△AEK中，，∴EK＝AB?sin72°≈50×0.95＝47.5cm，∴椅面EF與地面AB之間的距離為47.8cm；（2）不能，理由如下，如圖所示，延長FE交PQ于點M，作點H作HN⊥EM于點N，∴四邊形EKAL，ALMQ是矩形，∴AL＝EK＝47.5cm，AQ＝LM＝50cm，∴∠AEL＝∠EAK＝72°，在Rt△AEL中，，∴EL＝AE?cos72°≈50×0.31＝15.6cm，∴ME＝ML+EL＝50+15.5＝65.5cm，∵∠HEF＝150°，∴∠HEM＝180°﹣150°＝30°，且EG＝EH＝60cm，∴，，∴，∴MN＝ME﹣EN＝65.5﹣51.9＝13.4＜20，∴此時不能將椅背調節至最大角度到EH處．22．（10分）綜合與實踐：課題小空間檢測視力問題具體情境：對某班學生視力進行檢測的任務：現有條件：一張測試距離為5米的視力表，一間長為3.8米，寬為3.6米的空書房．（1）如圖1，若將視力表掛在墻CDGH上，在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡1.2米處；（2）小明選擇按比例制作視力表完成該任務，在制作過程中發現視力表上視力值V和該行字母E的寬度a之間的關系是一種函數模型，字母E的寬度a如圖2所示位置視力值Va的值（mm）第1行0.170第5行0.2528第8行0.514第14行23.5①根據表格數據判斷，從一次函數、反比例函數中選擇一個合適的函數模型擬合視力值V與字母E的寬度a（說明理由），并求出視力值V與字母E寬度a之間的函數關系式；②小明在制作過程中發現某行字母E的寬度a的值17.5mm，請問該行對應的視力值是多少？【解答】解：（1）5﹣3.8＝1.2（米），∴測試線應畫在距離墻ABEF2.2米處，故答案為：1.2．（2）①∵視力值V與字母寬度a的乘積是定值7，∴視力值V與字母寬度a成反比例函數關系．設V＝，把a＝70，V＝0.3，∴視力值V與字母寬度a的函數關系是V＝．②把a＝17.5，代入V＝，∴該行對應的視力值是0.4．23．（10分）已知等邊三角形ABC邊長為6，點P為平面內一點，連接BP、CP．（1）如圖1，若點P在△ABC內部，∠BPC＝120°，并找出圓心O；（2）如圖1，求證：AB為⊙O的切線．（3）如圖2，若點P在△ABC內部，以BP、CP、BC為邊作等邊三角形BPD、CPE△BPD+S△CPE＝S△ABC，求AP的最小值．【解答】（1）解：1．作BC的垂直平分線EF，2．作CP的垂直平分線GH，5．以點O為圓心，如圖，則⊙O為△BPC的外接圓，點O為圓心；（2）證明：連接BO并延長，交⊙O于點M，如圖，∵四邊形BMCP為圓的內接四邊形，∴∠P+∠M＝180°，∵∠BPC＝120°，∴∠M＝60°．∵BM為圓的直徑，∴∠BCM＝90°，∴∠CBM＝30°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠OBA＝∠ABC+∠CBM＝90°，∴OB⊥AB，∵OB為圓的半徑，∴AB為⊙O的切線．（3）解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DG⊥BP于點G，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∵AF⊥BC，∴AF＝AB?sin60°＝AB＝，∴＝．同理：DG＝BPPC，∴，，∵S△BPD+S△CPE＝S△ABC，∴，∴PB4+PC2＝BC2，∴△PBC為直角三角形，∠BPC＝90°，∴點P的運動軌跡為以BC為直徑的圓中在△ABC的內部的一段弧，如圖，過點A作AO⊥BC于點O，則點O為BC的中點，連接AO，交⊙O于點P，由題意得：OP＝OB＝OC＝＝3，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵AO⊥BC，∴AO＝AB?sin60°＝4×＝4，∴AP＝AO﹣OP＝3﹣3．∴AP的最小值為3﹣3．24．（12分）已知拋物線C：y＝a（x﹣1）（x﹣3）的最小值為﹣2．（1）求a的值；（2）已知直線l：y＝kx﹣4k+6，記m（x）＝max{a（x﹣1）（x﹣3），求m（x）的最小值（用k表示）；（3）如圖，A（x0，y0）為拋物線C上一點，B（4﹣3x0，﹣3y0），直線AB過點M（1，0），在拋物線上取一點PBA，若D（5，3），求【解答】解：（1）由拋物線C的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3）可知對稱軸為直線x＝6，故當x＝2時，函數的最小值為﹣a＝﹣2，故a＝8；（2）由直線l的解析式y＝kx﹣4k+6可知過定點（5，6），且（4，3）在拋物線C：y＝2（x﹣1）（x﹣7）＝2x2﹣3x+6的圖象上，聯立y＝kx﹣4k+8與y＝2x2﹣4x+6，可得2x5