高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽(yáng)市普通高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】，，解得故選：C.2.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，故ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D3.某電視節(jié)目中知識(shí)競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)是：在5道試題中有3道歷史題和2道地理題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回．求某位參賽選手在第1次抽到歷史題的條件下，第2次抽到地理題的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記“第1次抽到歷史題”，“第2次抽到地理題”，由題意得，，所以．故選：D4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的值為（）A.5 B.1 C.6 D.-2【答案】C【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，解得，因此，所以.故選：C5.此時(shí)此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會(huì)做的概率是，當(dāng)你會(huì)做的時(shí)候，又能選對(duì)正確答案的概率為100%，而當(dāng)你不會(huì)做這道題時(shí)，你選對(duì)正確答案的概率是0.25，那么這一刻，你答對(duì)題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0.25【答案】A【解析】由題意，令表示會(huì)做，表示選對(duì)，則，且，所以.故選：A6.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由有，所以，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：C.7.已知定義域均為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，所以單調(diào)遞減．由，得，所以．故選：B.8.托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為B的全概率，假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球，已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)從甲袋中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為，從乙袋中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B，由題意：①，；②，；③，.根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為：.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值可為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，或，即或，解得或.故選：BC.10.已知，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為84B.的展開(kāi)式中不含的項(xiàng)C.的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等D.的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)【答案】AC【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式，所以當(dāng)，A正確；當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，C正確；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，最大，所以，的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)和第六項(xiàng)，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為B.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D.若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)切線方程為：.當(dāng)時(shí)，，則，，即切線方程為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，；或.則在上遞增，在上遞減，得，，又注意到當(dāng)趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，趨近于正無(wú)窮大時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮大，則分別上有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，，令，因有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不等正根，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，可化為，令，因，則在上單調(diào)遞增，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，則，即，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.名男生、名女生站成一排，至少有兩個(gè)女生相鄰的站法種數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】分以下兩種情況討論：若只有兩個(gè)女生相鄰，將三個(gè)女生分為兩組，然后插入名男生所形成的空位中，此時(shí)，不同的站法種數(shù)為種；若三個(gè)女生都相鄰，將這三個(gè)女生視為一個(gè)整體，然后插入名男生所形成的空位中，此時(shí)，不同的站法種數(shù)為種.綜上所述，至少有兩個(gè)女生相鄰的站法種數(shù)為種.故答案為：.13.已知的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)___________.【答案】【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為1024，可得，所以，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：.14.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是________.【答案】【解析】，即函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，所以令，，則令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1）由題意得，則，又，則切線方程為，即，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1）知，令，得或，令，得3，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由（2）可知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因，則在上的最大值為，最小值為.16.五一勞動(dòng)節(jié)期間，信陽(yáng)市書(shū)畫(huà)協(xié)會(huì)組織舉辦了專題書(shū)畫(huà)展，展出的200幅優(yōu)秀作品生動(dòng)呈現(xiàn)了該市人民在黨的領(lǐng)導(dǎo)下，于國(guó)家建設(shè)進(jìn)程中付出的艱苦卓絕努力和取得的輝煌成就．這些書(shū)畫(huà)作品的作者的年齡都在歲之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，作出如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求這200位作者年齡的平均數(shù)x和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）市書(shū)畫(huà)協(xié)會(huì)從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出6人參加表彰大會(huì)，現(xiàn)要從6人中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是X，求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差．解：（1）這200位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，．（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在內(nèi)有2人，在內(nèi)有4人，故的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為，．17.如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，經(jīng)過(guò)10次碰撞最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼．（1）求和X分布列．（2）求小球最后落入格子的號(hào)碼X為奇數(shù)的概率．（3）求變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．解：（1）設(shè)“向右下落”，“向左下落”，則，因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過(guò)程中共碰撞小木釘10次，所以，則的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，所以，，，，，，所以的分布列為：012345678910（2）記小球最后落入格子的號(hào)碼為奇數(shù)為事件，則（3）由（1）知，，.18.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在實(shí)施鄉(xiāng)村振興的進(jìn)程中，大力推廣科學(xué)種田,引導(dǎo)廣大農(nóng)戶種植優(yōu)良品種，進(jìn)一步推動(dòng)當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)發(fā)展，不斷促進(jìn)農(nóng)業(yè)增產(chǎn)農(nóng)民增收.為了了解某新品種水稻的產(chǎn)量情況，現(xiàn)從種植該新品種水稻的不同自然條件的田地中隨機(jī)抽取100畝，統(tǒng)計(jì)其畝產(chǎn)量（單位：噸），并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這100畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；（2）若該品種水稻的畝產(chǎn)量近似服從正態(tài)分布，其中為（1）中平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值，．若該縣共種植10萬(wàn)畝該品種水稻，試用正態(tài)分布估計(jì)畝產(chǎn)量不低于的畝數(shù)；（3）將頻率視為概率，若從所有種植該品種水稻的田地中隨機(jī)抽取3畝進(jìn)行分析，設(shè)其畝產(chǎn)量不低于的畝數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．解：（1）.平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值為:（噸）.故平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值為0.75噸.（2）由于，所以，故，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得.估計(jì)畝產(chǎn)量不低于的畝數(shù)為（萬(wàn)畝）.（3）由直方圖知畝產(chǎn)量不低于概率為，由于畝產(chǎn)量不低于的畝數(shù)，故其期望（畝）.19.電腦或計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過(guò)寫(xiě)入“泰勒展開(kāi)式”程序或芯片完成的.“泰勒展開(kāi)式”的內(nèi)容為:如果函數(shù)在含有x0的某個(gè)閉區(qū)間上具有n階導(dǎo)數(shù),且在開(kāi)區(qū)間，b）內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),則對(duì)于閉區(qū)間上的任意一點(diǎn),有，我們稱上式為函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式，其中為的高階無(wú)窮小量．特別地，當(dāng)在處n階連續(xù)可導(dǎo)，則稱為函數(shù)的麥克勞林公式.如的麥克勞林公式為，（1）利用麥克勞林公式估算的近似值（精確到0.01）；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小并證明；（3）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）令，代入上式可得，所以．由兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，（或通過(guò)麥克勞林公式計(jì)算得到）所以，所以（2）令，則，設(shè)，則，所以函