高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校聯盟體2024-2025學年高一下學期4月期中模擬聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.計算的結果為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.已知在中，且，則的值為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】因，則，故，則，所以．故選：D3.以下變換中，能將函數的圖象變為函數的圖象的是（）A.每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位長度B.每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的D.向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍【答案】B【解析】對于A，變換后的函數為，故A錯誤；對于B，變換后的函數為，故B正確；對于C，變換后的函數為，故C錯誤；對于D，變換后的函數為，故D錯誤.故選：B4.已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為向量，，則，所求投影向量的坐標為．故選：B.5.已知函數①，②，③，④，⑤，則下列選項中同時滿足（1）是偶函數，（2）最小正周期是，（3）對稱軸相同這三個條件的是（）A.①②⑤ B.①③④ C.②③⑤ D.③④⑤【答案】B【解析】結合三角函數圖象與圖象變換，依次畫出①②③④⑤的函數圖象，由圖象可知，②⑤不是周期函數，故②⑤不符合；①③④均為偶函數，最小正周期為，對稱軸為，符合所有條件.故選：B6.在中，，，分別是角，，的對邊，已知，且有兩解，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為且，有兩解，所以，得．故選：C7.函數的單調遞減區間和值域分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由題，則，即，又為上的增函數，且，所以所求函數值域為；函數的單調遞減區間即為函數在上的減區間，所以，解得所求單調遞減區間為.故選：D8.已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出圖形如圖所示，扇形，設半徑為1，，設，，由圖可知，又，所以，所以，由，，得．，，故．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.下列說法正確的是（）A.周期函數不一定有最小正周期B.時針走了1小時40分鐘，則分針轉過的角是C.若角滿足，，則一定為第四象限角D.點是函數圖象的一個對稱中心【答案】ABD【解析】對于A，函數是周期函數，但沒有最小正周期，故A正確；對于B，易知分針轉過的角是，故B正確；對于C，由，可得：，，所以一定為第三象限角，故C錯誤；對于D，由，可知是函數圖象的一個對稱中心，故D正確．故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.若，，則B.在中，若，，則C.已知向量，，與夾角為鈍角，則實數的取值范圍是D.已知，，為的內角，，的對邊，則“”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】對于A，因為向量有方向，所以不能像實數一樣比較大小，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由即解得，故C正確；對于D，由正弦定理，可知，故D正確．故選：BCD.11.已知是表示不超過的最大整數（比如：，），則下列說法錯誤的是（）A.函數是周期函數，最小正周期是B.函數是周期函數，最小正周期是C.若函數，則的值域是D.當時，函數的零點有5個【答案】BD【解析】對于A，因為的最小正周期是，即，所以，所以函數是周期函數，最小正周期是，故A正確；對于B，因為，則，所以不是函數的最小正周期，故B錯誤；對于C，因，所以，，所以當時，；當時，，則，故C正確；對于D，函數的零點就是函數與的圖象的交點，其中，函數是周期為1的函數，其值域為，當時，函數與的圖象如下，由圖象可知，它們在內有6個交點，故D錯誤．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量，的夾角為，則向量，的夾角為______．【答案】或【解析】由已知，，所以，又，，所以，，，設向量，的夾角為，所以．又因為，所以.所以向量，的夾角為．故答案為：.13.已知關于的方程在上有解，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】令，則，原方程可轉化為關于的方程在上有解，分離參變量得：，即等價于直線與函數的圖象在內有交點．又因為的圖象開口向下，對稱軸為直線，所以上單調遞增，在上單調遞減，所以，即．故答案為：.14.如圖，在梯形中，，，是邊所在直線上的動點，若該梯形的面積為，則的最小值為______．【答案】16【解析】取的中點，作，垂足為，則，因為該梯形的面積為，且，，則，即，可得，所以的最小值為16.故答案為：16.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知向量，，若，求實數的值；（2）已知向量，，，若，求的值．解：（1）因為，所以由，解得．（2）因為，，．所以．因為，所以，即，解得，即，所以．16.已知某扇形的周長是8．（1）當該扇形的面積最大時，求其圓心角的大??；（2）在（1）的條件下，求該扇形中所含弓形的面積．（注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形．）．解：（1）設該扇形的半徑為，弧長為，則，當且僅當時，等號成立，此時該扇形的面積，，其圓心角，故所求圓心角．（2）由（1）知，．又因為兩半徑與圓心角所對弦構成的三角形面積，所以所求弓形的面積，故所求弓形的面積是．17.已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將的圖象先向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區間和其圖象的對稱中心．解：（1）由的部分圖象知，當時，，當時，，解得，．因為，所以，則．因為且，得，故．（2）將的圖象先向左平移個單位長度，得到的圖象，將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得的圖象．令，整理得，，故的單調遞減區間為，．令，則，故圖象對稱中心為，．18.在中，，，分別是角，，的對邊，已知是銳角，向量，，且．（1）若，求實數的值．（2）已知．（i）求面積的最大值；（ii）在（i）的條件下，判斷的形狀．解：（1）因為是銳角，且，，所以，解得或（舍去），所以，由余弦定理得，又，則，結合，所以．（2）（i）由（1）知，，由余弦定理得，即，得，當且僅當時，等號成立，則，即面積的最大值為.（ii）由（i）可知，取得最大值時，，又，所以為等邊三角形．19.我市某大型綜合商場門前有條長120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側劃有24個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時段道路擁堵，該商場郭經理提出一個改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對道路傾斜的角度，其中．（1）若，求和的長；（2）求關于的函數表達式；（3）若，按照郭經理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個？解：（1）由題意得米，米，，則，即．由，且，，可得，，則米，米．（