高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省青桐鳴大聯考2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.我國新能源汽車產銷量連續5年居世界首位．某客戶欲購買一輛新能源汽車，已知品牌有5種不同型號的汽車，品牌有10種不同型號的汽車，品牌有6種不同型號的汽車可供選擇，則該客戶不同的選擇種數為（）A.21 B.40 C.56 D.300【答案】A【解析】根據分類加法計數原理可知，客戶不同的選擇種數為．故選：A．2.已知服從兩點分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由兩點分布的性質可知，，又，所以.故選：C.3.在等比數列中，若，且，則公比（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由題設及等比數列的性質有，可得，而，則.故選：D4.的展開式中含項的系數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由可得，故展開式中項的系數為．故選：C．5.已知直線與圓相切，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由，則，所以圓心，半徑，，由題設，則.故選：A6.某質檢部門對一家超市中A，B，C三種食品進行質量抽查，從這三種食品中任取一件，質量合格率為，據該超市反饋，A，B兩種食品的質量合格率分別為，，且A，B，C三種食品的件數之比為．根據上述信息推斷，C種食品的質量合格率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設C種食品質量合格率為，根據全概率公式可知，，解得．故選：B．7.將字母排成一排，若要求相鄰，且不在兩端，則不同的排列方法共有（）A.228種 B.192種 C.240種 D.168種【答案】B【解析】將捆綁在一起，視為一個整體，不考慮的位置，則有（種）排法，當兩端時，有（種）排法，所以滿足要求排列方法有（種）.故選：B8.在正四棱柱中，，，點，分別為正方形與正方形的中心，E為的中點，點M為線段上的動點，則當點M到平面的距離最大時，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，因為E為的中點，所以，則，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設，所以，所以，點M到平面的距離，當時，即與點重合時，點M到平面的距離最大，此時，直線與平面所成角的正弦值為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則下列等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A：由，得，故A正確；對于選項B：由，得，則，故B正確；對于選項C：例如，則，即，故C錯誤；對于選項D：因為，所以，故D正確；故選：ABD．10.已知隨機事件滿足，，且，則下列結論正確的是（）A.事件互相獨立 B.C. D.【答案】AC【解析】由，得，，．對于A：，所以，所以事件，互相獨立，所以事件互相獨立，故A正確；對于B：因為事件互相獨立，所以事件互相獨立，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤．故選：AC．11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.當時，有極大值 B.當時，C.，恒成立 D.當有且僅有兩個零點時，【答案】ABD【解析】對于選項A，當時，．則.令．解得．則當時．，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以在有取得極大值，A正確．對于選項B，，當，時，，故在單調遞增，則，B正確．對于選項C，若，當時，，C錯誤．對于選項D，令，則，令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，恒成立．畫出的大致圖象，如下：可知當有兩個零點時，，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是兩個離散型隨機變量，且，若，則______.【答案】1009.【解析】，是兩個離散型隨機變量，且，若，因為，所以.故答案為：1009.13.現將一個7、兩個3、三個5排成一排，不同的排列方法有_______種.【答案】60【解析】由題意知，一個7，兩個3，三個5共6個數字全排列，共種方法，又因為6個數字中有兩個3和三個5是重復的，所以共有種方法.故答案為：60.14.已知拋物線的焦點F到其準線的距離為,若等邊三角形的邊在x軸的非負半軸上，與原點O重合，點的橫坐標大于點的橫坐標，位于第一象限的點，在拋物線C上，則_______.（用含n的式子表示）【答案】【解析】由題設，易得，則，在拋物線C上，等邊三角形的邊在x軸的非負半軸上，與原點O重合，設，則時，故，所以，當時，，則，若是的前n項和，則，故，顯然時滿足，當，，整理得，又，則，故是首項、公差都為2的等差數列，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知隨機變量的分布列為013（1）求實數的值；（2）求的數學期望；（3）設隨機變量，求．解：（1）根據分布列的性質可得，．解得．（2）數學期望．（3）的方差：，故．16.已知．（1）求的值．（2）若．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的展開式中含的項的系數．解：（1）令，得，；（2）（ⅰ）令，得，，解得．（ⅱ）因為的展開式的通項為（且），令，解得，故的展開式中含的項的系數為．17.已知雙曲線的右焦點為，過點F的直線l交C的右支于A，B兩點，當軸時，.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若直線l的傾斜角為，且C經過點，M為雙曲線C的左支上一動點，求面積的最小值.解：（1）當軸時，，將代入方程中，得，由，解得，即，所以，整理得，所以，故，由，解得，即雙曲線的離心率為.（2）因為雙曲線過點，所以，則，所以雙曲線的方程為，右焦點，得直線，即.設，，消去得，則，所以.設過點與直線平行的直線的方程為，當與雙曲線的左支相切時，與之間的距離最小，此時的面積最小.，消去得，，解得.當時，與雙曲線的右支相切，不符合題意；當時，與雙曲線的左支相切，符合題意，所以，與直線的距離為，所以面積的最小值為.18.已知函數，．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；（2）若在上單調遞減，求實數的取值范圍；（3）證明：，．解：（1）因為，所以，則，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，故．（2），則，所以在上恒成立．故在上恒成立，令，，則，當時，，在單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以，則，所以，故實數的取值范圍為．（3）由（2）可知，當時，，當且僅當時取得等號，令，則，所以，，，…，，所以．故原不等式得證.19.若隨機變量X，Y均為定義在同一樣本空間上的離散型隨機變量，則將稱為二維離散型隨機變量,將取值為的概率記作，其中.甲、乙兩人進行足球點球比賽，約定如下：甲、乙各點一次球，點球者進球得1分，不進球得分，分數高者獲勝，比賽結束.若平局，甲、乙再通過抽簽決定誰點球，且甲、乙抽中簽的概率均為，抽中簽者點球，進球得1分，不進球得分；未抽中者不點球，得0分，分數高者獲勝，比賽結束.已知甲、乙每次進球的概率分別為，，且每次點球之間相互獨立.記甲得分為X，乙得分為Y.（1）求，；（2）求；（3）