高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學年高一上學期10月期中考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定為“，”.故選：D2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，解得，故，故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由不等式，可得，即，解得，因為是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數的圖象經過點，則（）A.為偶函數，且在上單調遞減 B.為偶函數，且在上單調遞增C.為奇函數，且在上單調遞減 D.為奇函數，且在上單調遞增【答案】C【解析】設冪函數，又因為冪函數的圖象經過點，所以，解得,所以，定義域為，定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數，又因為，所以在上單調遞減，故C正確.故選：C.5.設，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項，當時，，故A錯誤；B選項，當，時，滿足，此時，，，故B錯誤；C選項，由，可得，所以，故C正確；D選項，當時，，故D錯誤.故選：C.6.（）A.8 B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A7.若函數在區間上的值域為，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】由函數，所以當時，有最小值，當時，即，解得或，又因為時，單調遞減，時，單調遞增，所以的最大值為，的最小值為，所以的最大值為.故選：D.8.已知定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數為偶函數且在上單調遞減，且，所以，且在上單調遞增，當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，，則，所以.綜上所述：不等式的解集為.故B正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于A，空集中不含有任何元素，故A正確；對于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正確；對于C，應該用“”符號，即，故C錯誤；對于D，是集合中的元素，即，故D正確.故選：ABD.10.下列各式的值等于6的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：BC11.已知正實數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】A：由，可得，因為，所以，即，得，當時取等號，故A正確；B：由，當時取等號，又因為，當時取等號，所以，故B錯誤；C：由，可得，所以，當，即時取等號，故C正確；D：，因為，所以，所以，當時取等號，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】因為，即，所以.故答案為：.13.已知函數是上的減函數，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為函數是上的減函數，所以，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數在上具有單調性，且，則_______.【答案】【解析】令，則，中，令得，故，顯然單調遞增，且，故，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算（1）；（2）已知，比較和的大小.解：（1）原式.（2）由，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，所以.16.已知集合，.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得，當時，，此時，不符合題意；當時，，由，可得；當時，，由，可得；綜上所述：的取值范圍為.（2）當時，，此時，故符合題意；當時，，由，可得，解得；當時，，由，可得，解得；綜上所述：的取值范圍為.17.（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；（2）討論關于的不等式的解集.解：（1）由題意得且為方程的兩個根，故，，解得；（2），若，則，解得，若，解得，若，則，解得，若，此時，解得或，若，此時，解得或，綜上，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為或.18.數字經濟是以數據資源為關鍵要素，以現代信息網絡為主要載體，通過信息通信技術的融合應用推動全要素數字化轉型的新經濟形態，在技術層面，包括大數據、云計算、物聯網、區塊鏈、人工智能、5G通信等新興技術；在應用層面，包括“新零售”、“新制造”、工業互聯網、元宇宙、無人駕駛等.現有一人工智能企業生產制造人形機器人，每月的成本t（單位：萬元）由兩部分構成：①固定成本：1000萬元；②材料成本：萬元，x為每月生產人形機器人的個數.（1）該企業每月的產量為多少時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為多少萬元？（2）若每個人形機器人的售價為萬元，假設生產出來的每個人形機器人都能夠售出，則該企業應如何制訂生產計劃，才能確保每月的利潤不低于400萬元？附：利潤＝售價×銷量－成本.解：（1）設平均每個人形機器人的成本為萬元，根據題意有，當且僅當，即時取等號.所以該企業每月的產量為100個時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為30萬元.（2）設月利潤為萬元，則有，由題知，整理得，解得.所以該企業每月生產不小于70個人形機器人，才能確保每月的利潤不低于400萬元.19.已知函數.（1）若，求在區間上的值域；（2）若方程有實根，求實數的取值范圍；（3）設函數，若對任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，令，因為，所以，所以可得一個二次函數，所以當，函數單調遞增，當時，有最小值，當時，有最大值，所以.所以時，在區間上的值域為.（2）由（1）知當令，，，則，即有實數根，此時實數根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實根，實數的取值范圍為.（3）