高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學校2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定為“”.故選：C.3.已知集合，，若，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，則，若，則，所以解得故選：A4.若冪函數在0,+∞上單調遞減，則實數的值是（）A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】因為函數是冪函數，且在上單調遞減，所以，由方程，解得或；由不等式，解得，故.故選：A.5.函數的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知，函數的定義域為，因為，所以為奇函數，排除A；，排除B；，排除C.故選：D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，是增函數，所以，因為，所以，所以，即.綜上，.故選：C7.已知函數，且）在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A. B. C.（1，4） D.【答案】B【解析】因為在上單調遞增，所以解得.故選：B.8.已知是定義在R上的偶函數，其圖象關于點1,0中心對稱，且時，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因為的圖象關于點1,0對稱，所以，將代入，可得，由是偶函數，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數既是奇函數又在定義域內單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，為上的奇函數，在定義域內不單調，A錯誤；對于B，的定義域為R，，該函數為奇函數，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞增，函數在定義域R上單調遞增，B正確；對于C，的定義域為R，，是奇函數，函數，均在R上單調遞增，則在R上單調遞增，C正確；對于D，函數的定義域為，定義域不關于原點對稱，該函數為非奇非偶函數，D錯誤.故選：BC10.如果函數在區間上單調遞減，且函數在區間上單調遞增，那么稱是區間上的“可變函數”，區間叫做的“可變區間”.已知函數，則下列區間為的可變區間的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為圖象的對稱軸為直線，所以在區間上單調遞減，又在和上單調遞增，的單調遞減區間和的單調遞增區間的交集為，故的可變區間應該是該集合的子集，A，C符合條件.故選：AC.11.已知函數的定義域為，且是奇函數，函數，且在上單調遞增，則下列命題為真命題的是（）A. B.在上單調遞減C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】對于A，因為是奇函數，所以，故A正確；對于B，因為，所以的圖象關于直線對稱，因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，故B正確；對于C，因為，所以，因為的圖象關于直線對稱，所以，所以，故C正確；對于D，因，且，的圖象關于直線對稱，所以，解得，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：_____.【答案】【解析】.故答案為：13.函數的定義域是_____.【答案】【解析】要使有意義，則，，解得.要使有意義，則，，由函數是增函數，得，所以函數的定義域為.故答案為：.14.已知，且，則的最小值是_____，此時_____【答案】①.5②.【解析】解法一：因為，，，所以，則，故，當且僅當，即，時等號成立，此時.解法二：由，得，因為，所以，故，當且僅當，即，時等號成立，此時.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若且，求的取值范圍；（2）設：，：，若是的必要不充分條件，求的取值范圍.解：（1）因為且，所以，即，解得或，因為，所以，即的取值范圍是；（2）由已知，得，，因為是的必要不充分條件，所以，而，所以，且等號不能同時成立，解得，故的取值范圍是.16.已知函數的圖象與軸相交于點和，與軸相交于點.（1）求的解析式；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得，解得，所以；（2）由，整理可得由條件知當x∈0,+∞時，恒成立因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為，因為恒成立，所以，即實數的取值范圍是.17.鋰是最輕的金屬元素，被廣泛應用于儲能、化工、醫藥、冶金、電子工業等領域.某地有一處鋰礦，探明的鋰礦石儲存量為噸，計劃每年開采一些鋰礦石，且每年的開采率（即當年開采量占該年年初儲存量的比率）保持不變，到今年底為止，該鋰礦已經開采了年，在此期間鋰礦石開采的總量為噸.（1）求該鋰礦每年的開采率；（2）為了避免破壞當地的生態環境，鋰礦石至少要保留噸不進行開采，則該鋰礦今后最多還能開采多少年?解：（1）設該鋰礦每年的開采率為，鋰礦石開采的總量為噸，則剩余的鋰礦石為噸，所以，即，解得，故該鋰礦每年的開采率為；（2）該鋰礦今后繼續開采年后，剩余的鋰礦石為噸，由題意知，，得，即，因為是減函數，所以，得，所以該鋰礦今后最多還能開采年.18.已知是定義域為的奇函數.（1）求的解析式；（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）因為是定義域為的奇函數，所以，所以又，所以，所以因為，所以是奇函數，符合題意（2）由（1）知.任取，設，因為是增函數，所以，所以，從而，所以在R上單調遞減.因為為奇函數，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，解得.所以的取值范圍為19.已知函數.（1）當時，求的值域.（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍.（3）若在函數的定義域內存在，使得成立，則稱為局部對稱函數，其中為的圖象的局部對稱點.若是的圖象的局部對稱點，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，令，則，，所以的值域為；（2）令，，則，，因為在上單調遞增，所以要使在上單調遞增，只需在上單