PAGEPAGE4二一般形式的柯西不等式基礎(chǔ)鞏固1設(shè)a,b,c>0,且a+b+c=1,則aA.1 B.解析：由柯西不等式,得[(a)2+(b)2+(c∵a+b+c=1,∴(a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13∴答案：B2設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則aA.解析：由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,當(dāng)且僅當(dāng)ax答案：C3已知aA.1 B.2 C.3 D.4解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(當(dāng)且僅當(dāng)ai=xi=nn(i=故a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案：A4已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿意a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,則a的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4解析：由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+13+16≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+當(dāng)且僅當(dāng)2b又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.答案：B5n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的和的乘積的最小值是()A.1 B.n C.n2 D.解析：設(shè)n個(gè)正數(shù)為x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)≥x=(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí),等號(hào)成立.答案：C6若x,y,z∈R+,且1答案：97設(shè)a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)4解析：(a+b+c)當(dāng)且僅當(dāng)a2答案：1218設(shè)x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,則(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值為.

解析：2x+2y+z+8=0?2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考慮以下兩組向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(-當(dāng)且僅當(dāng)x=-1,y=-4,z=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)取得最小值9.答案：99已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為.

解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,當(dāng)a=2b=3c=2時(shí),等號(hào)成立,所以a2+4b2+9c2的最小值為12.答案：1210設(shè)x1,x2,x3,…,xn都是正實(shí)數(shù),且x1+x2+x3+…+xn=S.求證:分析：本題須要構(gòu)造出S-x1+S-x2+…+S-xn.證法一：依據(jù)柯西不等式,得不等式左邊=[(S-x1)+(S-x2)+…+(S-xn)]·1=1(x=1(n-=1(n-1故原不等式成立.證法二：∵a>0,∴a+1∴a≥2-1a,當(dāng)且僅當(dāng)∴xi2n個(gè)式子相加,有x1實(shí)力提升1若實(shí)數(shù)x+y+z=1,則2x2+y2+3z2的最小值為()A.1 B.6 C.11 D.解析：∵(2x2+y2+3z2)≥2=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥112+1+1∴2x2+y2+3z2的最小值為答案：D2已知a+b+c=1,且a,b,c>0,則2A.1 B.3 C.6 D.9解析：∵a+b+c=1,∴=2(a+b+c)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·1a+b+1b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13答案：D3若aA.-25 B.-5 C.5 D.25解析：由柯西不等式,得(a12+a22+…+an2)(a22+a32+…∴|a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1|≤5.∴-5≤a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1≤5.故所求最小值為-5,應(yīng)選B.答案：B4已知2x+3y+z=8,則x2+y2+z2取得最小值時(shí),x,y,z形成的點(diǎn)(x,y,z)=.

解析：由柯西不等式,得(22+32+12)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+z)2,即x2+y2+z2≥8214又2x+3y+z=8,解得x=故所求點(diǎn)為答案：85已知實(shí)數(shù)x,y,z滿意x+2y+z=1,則x2+4y2+z2的最小值為.

解析：由柯西不等式,得(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥1當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=z=即x=13故x2+4y2+z2的最小值為答案：16已知二次三項(xiàng)式f(x)=ax2+bx+c的全部系數(shù)均為正數(shù),且a+b+c=1,求證:對(duì)于任何正數(shù)x1,x2,當(dāng)x1x2=1時(shí),必有f(x1)f(x2)≥1.證明：f(x1)f(x2)=(a≥[a(=f2(x1x2)=f2