（8）利用導數解決實際問題——高二數學人教B版(2019)選修三期末易錯題集訓【易錯題集訓】1.某學校高二年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“知名品牌”A系列進行市場銷售量調研，通過對該系列的調研得知，A系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格x（單位：百元/千克）近似滿足關系式，其中，a為常數.已知銷售價格為6百元/千克時，每日可售出A系列3千克.若A系列的成本為4百元/千克，則該商場每日銷售A系列所獲最大利潤（單位：百元）為()A.10 B.12 C.14 D.162.現有一塊邊長為2米的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截去一個邊長相等的小正方形，然后做成一個長方體形的無蓋容器，為了使容器的容積最大，則截去的小正方形邊長應為()A.米 B.米 C.米 D.米3.某廠生產x萬件某產品的總成本為萬元，且.已知產品單價（單位：元）的平方與x成反比，且生產100萬件這樣的產品時，單價為50元，則為使總利潤y（單位：萬元）最大，產量應定為()A.23萬件 B.25萬件 C.50萬件 D.75萬件4.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規模的種植量是8萬千克，每種植1千克蓮藕，成本增加0.5元.種植x萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(a是常數)，若種植2萬千克，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕()A.8萬千克 B.6萬千克 C.3萬千克 D.5萬千克5.已知圓錐的母線長為4，當圓錐的體積最大時，其表面積為()A. B. C. D.6.如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.要使矩形廣告牌的面積最小，廣告牌的高與寬的尺寸比值為()A. B.C. D.7.（多選）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些.高二某研究小組針對飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響進行了研究，調查如下：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，每個瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑.已知每出售的飲料，制造商可獲利0.2分（不考慮瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半徑為.下面結論正確的有()A.每瓶飲料的利潤隨著瓶子半徑的增大而增大B.半徑為時，每瓶飲料的利潤最大C.半徑為時，每瓶飲料的利潤最小D.半徑為時，制造商不獲利8.（多選）如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為的等腰直角三角形.若在該酒杯內放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則下列說法正確的有()A.冰塊的最大體積為B.冰塊的最大體積為C.冰塊體積達到最大時，冰塊的高度為D.冰塊體積達到最大時，冰塊的高度為9.某海輪每小時的燃料費與它的航速的立方成正比，已知該海輪的最大航速為，當航速為時，每小時的燃料費是25元，其余費用（無論速度如何）為每小時400元.如果甲、乙兩地相距800，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應為__________.10.如圖，用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為.當圓的半徑為___________m時，所用鐵絲最短.11.已知球O的表面積為，直四棱柱的頂點均在球O的表面上，則直四棱柱的體積的最大值為___________.12.現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若，，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為，則當為多少時，倉庫的容積最大？

答案以及解析1.答案：A解析：由題意知，，即，故，所以.利潤，，則y在上單調遞增，在上單調遞減，故（百元）.2.答案：C解析：設截去的小正方形邊長為x米，由題意容器底邊長為米，高為米，故體積，則.故當時，單調遞增；當時，單調遞減.故為了使容器的容積最大，則截去的小正方形邊長應為米.故選C.3.答案：B解析：設產品單價為m，因為產品單價的平方與產品件數x成反比，所以，（其中k為非零常數），又生產100件這樣的產品單價為50元，所以，故，所以，記生產x件產品時，總利潤為，所以，，則，令有，且在上單調遞減，故由，得；由，得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此當時，取最大值，即產量定為25萬件時，總利潤最大.故選B.4.答案：B解析：種植x萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為，，即，，當時，，解得，故，，，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，利潤最大.故選：B.5.答案：C解析：設圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則，則圓錐的體積為，令，可得，令，解得，當時，，單調遞增;當時，，單調遞減，所以，當時，取得最大值，即圓錐的體積取得最大值，此時，圓錐的表面積為.故選:C.6.答案：A解析：設廣告的高和寬分別為xcm2，ycm2，則每欄的高和寬分別為，，其中，，兩欄面積之和為，可得，廣告的面積，設，則，令，解得，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得極小值，即為S的最小值，此時，所以廣告牌的高與寬的尺寸比值為.故選：A.7.答案：BCD解析：每瓶飲料的利潤為，，則，所以當時，，此時函數單調遞減，故A錯誤；當時，，函數單調遞增，又，，則當時，函數取得最大值，故B正確；當時，函數取得最小值，故C正確；，故D正確.8.答案：BC解析：由圓錐的軸截面為面積是的等腰直角三角形，可算出該三角形直角邊長為，斜邊長為，如圖所示.則圓錐母線長，高，底面半徑，.設冰塊的底面半徑，高為h，由題可得，若冰塊的體積最大，則冰塊的高度，故冰塊的體積，其中，則有，令，解得；令，解得，則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以當時，冰塊的體積最大，最大值為，此時冰塊高度.故選BC.9.答案：20解析：設航速為時，每小時的燃料費.因為，所以.設海輪從甲地航行到乙地的總費用為w元，則，由，得.當時，w取得最小值.所以當航速為時，總費用最低.10.答案：解析：設圓的半徑為x，則矩形的一邊長為2x，另一邊長為.由，，得，所以鐵絲的長，，令，得，則當時，取得最小值，所以當圓的半徑為時，所用鐵絲最短.11.答案：1解析：設球O的半徑為R，四邊形ABCD外接圓的半徑為r，直四棱柱的高為h，AC與BD交于點，，則四邊形ABCD的面積.，當且僅當且，即四邊形ABCD為正方形時等號成立，此時直四棱柱的體積.由，得，所以.令，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.故直四棱柱