§2-6一維定態的一般性質知識點教學目標一維定態的一般性質一維束縛定態的性質勢能具有空間反演不變性時的一維束縛定態波函數的宇稱會證明一維定態的幾個性質。能利用一維定態的性質解決一些簡單的實際問題。熟練掌握一維束縛定態的性質。

本節內容

8個定理定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一維定態薛定諤方程設是一維定態薛定諤方程的解，則它的復共軛也是該方程的一個解，且與對應同一能量本征值。一維定態薛定諤方程取復共軛，且考慮到，則定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對于一維定態薛定諤方程，如果和是對應于同一個能量本征值的兩個獨立的解，則有已知上面兩式兩邊分別乘以和，然后相減，得（c是與x無關的常數）定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對于一維定態薛定諤方程，能級的簡并度最大為2。設對于同一能量本征值，存在三個獨立的波函數，則上面兩式兩邊分別乘以c2和c1，然后相減，得令，則與假設矛盾。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對一維束縛定態，所有能級都不簡并。設對于同一能量本征值，存在兩個獨立的波函數，則對束縛態則兩者代表同一個量子態，因此能級不簡并。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一維束縛定態的本征函數可以是實數。由定理1知：和都是薛定諤方程的解，且對應同一本征值。由定理4知：一維束縛定態能級不簡并。所以，和最多相差一常數因子，即取復共軛，則取，，則即本征函數可以取實數。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8設勢能具有空間反演不變性，即。若是一維定態薛定諤方程的一個解，則也一定是對應同一個能量本征值的另一個解。作代換，則考慮到，得一維定態薛定諤方程定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對于一維束縛定態，如果勢能具有空間反演不變性，則所有能量本征態都有確定的宇稱。所以若，則由定理6知：和都是方程的解，且對應同一本征值。由定理4知：一維束縛定態能級不簡并。作代換，則若，則偶宇稱奇宇稱則定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8如圖所示，在一維情況下，若U(x)在x0點不連續，且U1、U2有限，則在x0點及仍連續。對方程作運算，則第一項第二項又則ABCD提交6-1對于一維定態，下列說法正確的是所有能級不簡并。能級的簡并度最大為2。能級的簡并度最大為3。能級的簡并度最大為4。

單選題1分§2-7自由粒子本征函數的規格化和箱歸一化知識點教學目標自由粒子自由粒子能量本征函數的規格化本征函數的箱歸一化束縛態和非束縛態明白自由粒子的概念。學會自由粒子能量本征函數規格化的方法。理解一維自由粒子箱歸一化的含義。本節內容1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化自由粒子：運動過程中不受外力作用的粒子，即。時令，則一維情況

兩個特解分別為顯然有；、都不能滿足波函數有限性的要求。方程無解。1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化時令，則兩個特解分別為若k的取值范圍選為從負無窮到正無窮，其解合并為能量本征值動量取值能量本征函數k>0表示粒子向右運動k<0表示粒子向左運動由于k取值連續，所以能量取值連續。除基態外能量本征值二度簡并。1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化困難：本征函數不是平方可積的波函數，無法歸一本征函數的規格化對無限擴展的平面波只能進行所謂的規格化，即將其規格化為δ函數。規格化常數

規格化（“歸一化”）后的波函數為或也是動量算符的本征函數1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化三維情況

或1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化限定粒子在[-L,L]的范圍內運動，箱外的波函數為零。假定粒子動量或動能算符的本征函數仍為。一維情況周期性條件：粒子出現在箱兩端的概率相同，即由此得動量和能量的本征值都是斷續的。若L→∞，能級連續，與自由粒子能量本征值取值連續相吻合。1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化波函數歸一化三維情況1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化束縛態和非束縛態連續譜非束縛態能量本征函數在無窮遠處不為零，如自由粒子的本征態斷續譜束縛態能量本征函數在無窮遠處為零，如箱中粒子的本征態ABCD提交6-2一維自由粒子的波函數為，則它既是動量本征函數，也是能量本征函數。是動量本征函數，但不是能量本征函數。是能量本征函數，但不是動量本征函數。既不是動量本征函數，也不是能量本征函數。單選題1分1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化例1.設一維自由粒子的波函數為，驗證它既是動量的本征函數，也是能量的本征函數。因為所以所以，初始時刻波函數為1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化例2.設一維自由粒子在初始時刻處于狀態，求。或者說，若系統在初始時刻的狀態為因為薛定諤方程的一般解為定態波函數的線性疊加，即則t時刻狀態為1自由粒子波函數的規格化2本征函數的箱歸一化該題中，初始時刻波函數為，它是能量本征態，所以例3.設一維自由粒子的波函數為，它是無窮多個平面波的疊加，即無窮多個動量本征態的疊加。試問它是否是能量本征態？由于是無窮多個動量本征態的疊加，所以它也是無窮多個能量本征