4．1數(shù)列4.1.1數(shù)列(1)一、單項(xiàng)選擇題1下列有關(guān)數(shù)列的說法中，正確的是()A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B.數(shù)列－1，0，1與數(shù)列0，1，－1是同一個(gè)數(shù)列C.數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}D.數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列2(2024連云港高級(jí)中學(xué)期中)已知數(shù)列2，eq\r(6)，2eq\r(2)，eq\r(10)，…，eq\r(2n＋2)，…，則eq\r(46)是這個(gè)數(shù)列的()A.第20項(xiàng)B.第21項(xiàng)C.第22項(xiàng)D.第19項(xiàng)3(2024啟東一中月考)數(shù)列1，eq\f(5,3)，eq\f(5,2)，…的通項(xiàng)公式可能是()A.an＝eq\f(n2＋1,n＋1)B.an＝eq\f(n＋1,n2＋1)C.an＝eq\f(n2,2n－1)D.an＝eq\f(n2＋1,2n－1)4(2024蘇州一中月考)下列說法中，正確的是()A.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列B.數(shù)列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同的數(shù)列C.數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq\f(1,k)D.數(shù)列0，2，4，6，…可記為{2n}5在數(shù)列{an}中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n-1，n為偶數(shù)，))則a4＋a5的值為()A.17B.23C.25D.416(2024定西八校期末)已知數(shù)列0，lg2，lg3，lg4，…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列中小于1的項(xiàng)有()A.8項(xiàng)B.9項(xiàng)C.10項(xiàng)D.11項(xiàng)

二、多項(xiàng)選擇題7(2024南通一中月考)下列四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A.1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)，…B.sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…，sineq\f(nπ,7)，…C.－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…，－eq\f(1,2n-1)，…D.1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)，…8(2024松江二中月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋n，則下列數(shù)中是該數(shù)列中的項(xiàng)的是()A.18B.12C.25D.30三、填空題9已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，則33是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．10由數(shù)列1，10，100，1000，…猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是________．11一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示，途中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個(gè)圖的化學(xué)鍵和原子的個(gè)數(shù)之和為________．(用含n的代數(shù)式表示)四、解答題12寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4，6，8，10，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，….13已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n2－kn＋3.(1)如果a2＝5，求k的值，并寫出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)；(2)若an≥a5對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

4．1.2數(shù)列(2)一、單項(xiàng)選擇題1(2024南通中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝(－1)nan＋1，且a2＝1，則a6的值為()A.－1B.0C.1D.22(2024佛山一中期末)在數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝2－eq\f(2,an)，則下列數(shù)中不是{an}中的項(xiàng)的是()A.－1B.－2C.3D.eq\f(4,3)3已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a1＝－1，則a2024的值為()A.－1B.eq\f(1,2)C.2D.14(2024常熟中學(xué)月考)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－(k－5)n＋1，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(4，＋∞)B.(－∞，4)C.(8，＋∞)D.(－∞，8)5已知數(shù)列{an}滿足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則eq\f(a5,a3)的值為()A.eq\f(16,15)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,3)6(2024南菁中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－15)，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為()A.1，－eq\f(1,7)B.0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7)D.1，－eq\f(1,11)二、多項(xiàng)選擇題7(2024南海中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝m(m為正整數(shù))，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，,3an＋1，當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，))若a6＝1，則m可能的取值有()A.3B.4C.5D.328(2024莆田二中月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)，則下列說法中正確的是()A.a1是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)B.a4是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)C.a5是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)D.當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{an}遞減三、填空題9(2024鹽城中學(xué)期末)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an·an－1＝an－1－1(n≥2)，則a2024＝________．10(2025啟東聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是________．11已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，則a4＝________；猜想其通項(xiàng)公式是an＝________．四、解答題12已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(4,n2＋3n).(1)寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；(2)eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？13已知在數(shù)列{an}中，an＝n2－pn＋q，a1＝0，a2＝－4.(1)求a5的值；(2)判斷66是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？(3)當(dāng)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．4．1數(shù)列4.1.1數(shù)列(1)1.D對(duì)于A，例如無窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項(xiàng)都是3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列－1，0，1與數(shù)列0，1，－1中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，{1，3，5，7}是一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項(xiàng)有無窮多個(gè)，所以是無窮數(shù)列，故D正確．2.C令eq\r(2n＋2)＝eq\r(46)，解得n＝22，所以eq\r(46)是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng)．3.A當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(n2＋1,2n－1)＝2，故排除D，當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(n＋1,n2＋1)＝eq\f(3,5)，eq\f(n2,2n－1)＝eq\f(4,3)，故排除B，C，經(jīng)檢驗(yàn)A符合題意．4.C對(duì)于A，數(shù)列可為常數(shù)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，一個(gè)是遞減數(shù)列，一個(gè)是遞增數(shù)列，不是相同數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)n＝k時(shí)，ak＝eq\f(k＋1,k)＝1＋eq\f(1,k)，故C正確；對(duì)于D，數(shù)列中的第一項(xiàng)不能用an＝2n表示，故D錯(cuò)誤．5.A由題意，得a4＋a5＝23＋(2×5－1)＝17.6.B由題意，得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝lgn，由lgn<1，得n<10.因?yàn)閚∈N*，所以該數(shù)列中小于1的項(xiàng)有9項(xiàng)．7.CD易知C，D既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列，A，B不符合題意．故選CD.8.BD對(duì)于A，若an＝n2＋n＝18，無正整數(shù)解，不符合題意；對(duì)于B，若an＝n2＋n＝12，解得n＝3或n＝－4，有正整數(shù)解n＝3，符合題意；對(duì)于C，若an＝n2＋n＝25，無正整數(shù)解，不符合題意；對(duì)于D，若an＝n2＋n＝30，解得n＝5或n＝－6，有正整數(shù)解n＝5，符合題意．故選BD.9.5令33＝2n＋1，解得n＝5.故33是這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)．10.10n-1此數(shù)列可寫為100，101，102，103，104，…，故該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是10n-1.11.9n＋3第1個(gè)圖中有6個(gè)化學(xué)鍵和6個(gè)原子；第2個(gè)圖中有11個(gè)化學(xué)鍵和10個(gè)原子；第3個(gè)圖中有16個(gè)化學(xué)鍵和14個(gè)原子，觀察，得后一個(gè)圖比前一個(gè)圖多5個(gè)化學(xué)鍵和4個(gè)原子，故第n個(gè)圖有6＋5(n－1)＝5n＋1(個(gè))化學(xué)鍵和(4n＋2)個(gè)原子，則總數(shù)為9n＋3.12.(1)各項(xiàng)是從4開始的偶數(shù)，所以an＝2n＋2，n∈N*.(2)每一項(xiàng)分子比分母少1，而分母可寫成21，22，23，24，25，…，故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為an＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.(3)通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負(fù)交替出現(xiàn)，且先負(fù)后正，則選擇(－1)n.又第1項(xiàng)可改寫成分?jǐn)?shù)－eq\f(3,3)，所以每一項(xiàng)的分母依次為3，5，7，9，…，可寫成(2n＋1)的形式；分子為3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可寫成n(n＋2)的形式，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(n(n＋2),2n＋1)，n∈N*.13.(1)令a2＝2×22－2k＋3＝5，解得k＝3，所以a1＝2×12－3×1＋3＝2.(2)an≥a5對(duì)任意n∈N*恒成立，即2n2－kn＋3≥53－5k對(duì)任意n∈N*恒成立，所以(n－5)k≤2n2－50對(duì)任意n∈N*恒成立．若n＞5，n∈N*，則k≤2(n＋5)，所以k≤22；若0<n＜5，n∈N*，則k≥2(n＋5)，所以k≥18；若n＝5，顯然成立，綜上，18≤k≤22，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[18，22].

4．1.2數(shù)列(2)1.C因?yàn)閍n＋1＝(－1)nan＋1，所以令n＝2，得a3＝a2＋1＝2；令n＝3，得a4＝－a3＋1＝－1；令n＝4，得a5＝a4＋1＝0；令n＝5，得a6＝－a5＋1＝1.2.A由題意，得a1＝eq\f(1,2)，a2＝2－eq\f(2,a1)＝－2，a3＝2－eq\f(2,a2)＝3，a4＝2－eq\f(2,a3)＝eq\f(4,3)，a5＝2－eq\f(2,a4)＝eq\f(1,2)，…，所以{an}為周期數(shù)列，且周期為4，則－1不是{an}中的項(xiàng)．3.B因?yàn)閍n＋1＝eq\f(1,1－an)，且a1＝－1，所以a2＝eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，a4＝eq\f(1,1－2)＝－1，a5＝eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，…，由此不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{an}具有周期性，且最小正周期為3，故a2024＝a3×674＋2＝a2＝eq\f(1,2).4.D若{an}是遞增數(shù)列，則an＋1>an，即(n＋1)2－(k－5)(n＋1)＋1>n2－(k－5)n＋1，則k<2n＋6.因?yàn)閚∈N*，所以2n＋6≥8，則k<8.5.B由題意，得a2a1＝a1＋(－1)2，又a1＝1，所以a2＝2.易得a3a2＝a2＋(－1)3，則a3＝eq\f(1,2).同理，a4＝3，a5＝eq\f(2,3)，故eq\f(a5,a3)＝eq\f(4,3).6.A因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)1≤n≤3時(shí)，an＝eq\f(1,2n－15)<0，且是遞減數(shù)列；當(dāng)n≥4時(shí)，an＝eq\f(1,2n－15)>0，且單調(diào)遞減，又a1＝eq\f(1,2－15)＝－eq\f(1,13)，所以最小項(xiàng)為a3＝eq\f(1,8－15)＝－eq\f(1,7)，最大項(xiàng)為a4＝eq\f(1,16－15)＝1.7.BCD由題意，得a5＝2，若3a4＋1＝2，不合題意，舍去，所以a4＝4；若3a3＋1＝4，則a3＝1，進(jìn)而可得a2＝2，a1＝4；若eq\f(a3,2)＝4，則a3＝8，進(jìn)而可得a2＝16，所以a1＝32或a1＝5.故選BCD.8.BCD設(shè)第n項(xiàng)為{an}的最大項(xiàng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((n＋2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥(n＋1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n－1)，,(n＋2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥(n＋3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n＋1)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4.))又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項(xiàng)，且a4＝a5＝eq\f(65,74)，當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{an}遞減，故B，C，D正確；當(dāng)n趨向正無窮大時(shí)，an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)無限趨向于0且大于0，且a1＝eq\f(18,7)>0，所以a1不是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，且數(shù)列{an}無最小值，故A錯(cuò)誤．故選BCD.9.eq\f(1,2)由題意，得a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，所以數(shù)列{an}的周期為3，所以a2024＝a3×674＋2＝a2＝eq\f(1,2).10.30因?yàn)閍n＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(121,4)(n∈N*)，所以當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，an取得最大值30.11.eq\f(1,4)eq\f(1,n)因?yàn)閿?shù)列