§3-8不確定關系知識點教學目標不確定關系的表述不確定關系的實質和意義不確定關系的應用

能熟練表述不確定關系。深刻領悟不確定關系的意義。能利用不確定關系估算簡單體系的基態能量。本節內容1不確定關系2說明1

不確定關系2說明不確定關系的表述設、代表兩力學量算符，且它們的對易關系為，那么對于任意的歸一化波函數，有其中，是算符或普通的數；、稱為偏差算符。偏差算符的特征：是厄米算符；偏差平方算符的平均值為1

不確定關系2說明證明引入實參數ξ，令則所以又因此考慮到1

不確定關系2說明由不確定關系可以看出，若，即、不對易時，它們的方均偏差不會同時為零，其乘積大于某一正數。舉例在的本征態下，上式變為例1.寫出坐標與動量的不確定關系。

例2.寫出角動量算符之間的不確定關系。

1

不確定關系2說明把經典力學中描述純屬粒子性的力學量（如坐標和動量）用于有波動性的粒子，不會完全適用。特點和意義不是由測量過程決定的，關系的存在源于微粒的波動性。不確定關系正確反映了微觀世界的規律，是人們對于物質世界認識的進一步深化。揭示了用經典理論描述微觀粒子的局限性。1

不確定關系2說明一般情況下，兩個不對易的力學量不可能同時具有確定值，其中一個力學量取值越確定，另一個力學量取值就越不確定。例如注意：個別情況下，兩個不對易的力學量算符，也可能同時有準確測量值。例如，在態下，

，、同時具有準確值0，即1

不確定關系2說明微觀粒子的位置和動量不可能同時具有確定值，所以經典力學中軌道概念對微觀粒子一般是不適用的。按不確定關系，可以得到電子速度的不確定度為電子速度的不確定度與電子的速度幾乎是同一個量級。例如，氫原子中電子速度是106m/s，坐標的不確定度是原子的線度，即。對原子問題，經典力學已不適用了，必須采用量子力學。1

不確定關系2說明h標志著微觀規律和宏觀規律之間的差異。若h→0，則坐標和動量以及角動量之間都對易，在其共同的本征態中同時具有確定值，量子力學過渡到經典力學。若h很大，如h=6.63Js，則宏觀物體的坐標和動量也遵從不確定關系，即宏觀物體也會表現出明顯的波動性，經典力學就不再存在。1

不確定關系2說明舉例例3.線性諧振子處于基態，計算。方法一：1

不確定關系2說明方法二：利用波函數遞推公式1

不確定關系2說明基態能量的估算：在態下，能量的平均值即所以，在運算時常用能量平均值的最小值作為基態能量的近似。1

不確定關系2說明例4.估算線性諧振子的零點能（基態能量）。任意態下，能量平均值由不確定關系，得能量平均值的最小值令，得所以即線性諧振子的零點能是不確定關系所要求的最小能量。1

不確定關系2說明ABCD提交14-1下列關于“不確定關系”說法錯誤的是揭示了用經典理論描述微觀粒子的局限性。不是由測量過程決定的，關系的存在源于微粒的波動性。不適用于經典粒子，所以不確定關系是錯誤的。導致微觀粒子的位置和動量不可能同時具有確定值。單選題1分§3-9電子在庫侖場中的運動知識點教學目標中心力場的特點中心力場中的定態薛定諤方程粒子在庫侖場中的能量和波函數熟悉中心力場的特點。記住電子在庫侖場中的能量表達式和波函數的構成形式。本節內容1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動中心力場中的哈密頓算符特點：，即勢能與、無關，中心對稱。經典物理

1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動

稱為有效勢能因為它具有轉動參考系中離心力的形式，故U1稱為離心勢能。1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動量子力學徑向動能離心勢能形式上與經典力學一致1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動徑向動量算符1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動中心力場的薛定諤方程令，代入薛定諤方程中心力場中徑向波函數滿足的方程ABCD提交14-2粒子在中心力場中運動的特點是

粒子的勢能與時間無關。粒子的勢能與徑向無關。粒子的勢能與角向無關。粒子的勢能是一定值。單選題1分1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動庫侖場徑向波函數滿足的方程令，則該方程與一維薛定諤方程形式上相似，但有幾點區別：1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動變量r的范圍是0→∞，而不是-∞→+∞。代替了勢能U(r)。有效勢能（如圖所示）為了保證波函數

有限，必須附加邊界條件

。1粒子在中心力場中的運動2電子在庫侖場中的運動能量本征解（E<0）【參閱周世勛《量子力學教程》（第二版）60-62頁】合流超幾何多項式其中為玻爾半徑。徑向波函數1粒子在中心力場中