§2-4粒子流密度和粒子數守恒定律知識點教學目標連續性方程概率流密度矢量粒子數、質量、電荷守恒定律波函數的標準條件會推導連續性方程。能領會概率流密度矢量的物理意義。熟悉波函數的標準化條件。

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1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數概率的流動表示狀態，表示概率分布，表示粒子數分布。由薛定諤方程可知，波函數隨時間不斷變化，所以概率密度也要隨時間變化。有些區域概率（粒子數）增加，有些區域概率（粒子數）減少。這意味著概率（粒子數）會發生流動。連續性方程對歸一化波函數，概率密度為為使圖象更明確，尋求一個概率流密度矢量來描述概率的流動。下面考察概率密度隨時間的變化：1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數令1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數得概率分布的連續性方程討論把連續性方程兩邊對空間體積V求積分，得利用高斯公式1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數如果波函數在無窮遠處為零，將積分區域擴展到整個空間，則在整個空間內找到粒子的概率與時間無關，總概率守恒。單位時間內流進或流出該體積的概率體積V內的概率隨時間的變化率單位時間通過單位面積的概率，稱為概率流密度矢量粒子數守恒定律1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數粒子數守恒定律粒子數密度粒子流密度矢量質量守恒定律電荷守恒定律有限性1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數單值性因概率密度、概率流密度矢量有唯一確定的值，所以是和t

的單值函數。概率密度不會無窮大，所以也是有限的。連續性概率密度的連續性要求波函數是連續的，而概率流密度的連續性則要求波函數的一階導數是連續的。1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數薛定諤方程中一邊含有虛數，要求波函數不可能是純實數或虛數。若為純實數或虛數，則方程一邊為實數、一邊為虛數，沒有意義。概率流密度要求波函數也不可能是純實量或虛量。若為純實數或虛數，則，不能描寫體系的運動。注意：定態波函數可以為實數，描寫駐波是可以的。1概率分布隨時間的變化及連續性方程2粒子數、質量、電荷守恒定律3波函數的標準條件4波函數一般是復數例.證明一維自由粒子的速度v可以表示為其中，w和J分別是一維自由粒子的概率密度和概率流密度。一維自由粒子的波函數及其復共軛分別為則這是概率密度和概率流密度之間的基本關系。ABCD提交5-1波函數滿足的標準化條件為單值、有限、連續。單值、無限、連續。單值、有限、間斷。歸一化。單選題1分§2-5定態薛定諤方程知識點教學目標不含時薛定諤方程能量本征值和能量本征方程定態及其特點含時薛定諤方程的一般解能熟練描述定態的特征。領會能量本征值和能量本征方程的物理意義。理解含時薛定諤方程的一般解。本節內容

1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解薛定諤方程1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解若勢能與時間無關，即，則存在可以分離變量的特解分離薛定諤方程是與時間和坐標都無關的常量令對時間求導等于0，所以與時間無關對坐標求導等于0，所以與坐標無關1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解方程分離成兩個不含時薛定諤方程薛定諤方程的解與時間有關的波函數形式固定，關鍵是求出不含時薛定諤方程的解。不含時薛定諤方程又稱為定態薛定諤方程。1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解定態薛定諤方程數學：對于任何E值，定態薛定諤方程都有解。物理：波函數必須滿足物理要求時，求出的解才具有物理意義。標準條件：單值、有限、連續。其它條件：具體物理問題的要求，如束縛態時無窮遠處波函數為零、周期性邊界條件等。滿足物理要求的E值，稱為能量本征值；能量本征值對應的波函數稱為能量本征函數；定態薛定諤方程稱為能量本征方程。1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解定態時，薛定諤方程分離成了兩個方程上面兩式分別乘以和，得這兩個方程都是以算符作用到，得到。1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解算符和作用相當，都稱為能量算符。定義：哈密頓算符一般情況下，本征方程有一系列本征值En。不同的能量本征值對應不同的本征函數，所以能量本征方程細化為能量本征方程簡寫成能量本征函數能量本征值

，稱為量子數1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解推廣：任意力學量算符的本征方程當體系處于算符的本征態時，

具有確定值fn。如果一個本征值fn

對應i個不同的本征函數，則稱該本征值i

重（度）簡并。

fn對應的本征函數算符的本征值力學量算符簡并例如，處于第一激發態的氫原子，其能量E2四度簡并1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解定態（能量本征態）概率密度不隨時間改變，形成穩定分布。特點概率流密度不隨時間改變。滿足。定態下，能量取確定值，它對應的本征函數（能量本征函數）為1不含時薛定諤方程2能量本征值和能量本征方程3定態及其特點4含時薛定諤方程的一般解含時薛定諤方程的解能量沒有單一的確定值，測得能量取值的概率為。特點：一般解不再是定態