2025年高考押題預(yù)測(cè)卷

數(shù)學(xué)（新高考n卷oi）.全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若z2=-2i，則閆=（）

A.1B.72C.2D.4

1.【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)模的公式求模，再利用模的性質(zhì)H=|zf計(jì)算即可

【詳解】因?yàn)閳F(tuán)=|才=2,所以忖=&.

故選：B.

2.已知a,6eR,則Y=廬是2"=2"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.【答案】B

【分析】由特殊值可判斷充分性，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷必要性.

【詳解】當(dāng)。=2/=-2時(shí)，滿足顯然2"=2〃不成立，故充分性不成立，

若2"=2J由指數(shù)函數(shù)y=2"的單調(diào)性可知，a=b,則故必要性成立，

故/是2“=2"的必要非充分條件，

故選：B

3.設(shè)向量4,b是非零向量，且|a|=2|b|,向量。在向量8上的投影向量為-2b，若（茄+匕｝（4-6）=0,

則實(shí)數(shù)力的值為（）

A.—B.-C.—D.2

233

3.【答案】A

【分析】由已知結(jié)合投影向量的意義可得a/=-2|b/，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出4的值.

【詳解】由向量。在向量。上的投影向量為-2b，得空b=-2b,則。2=-2|加2,

\b\-

2

由01+為《_6）=；102_/72+（］_2）（3必=4/1|加2_畫_2（I_2）|Z＞|=0,

所以彳=；.

故選：A

4.植物的根是吸收水分和礦物養(yǎng)分的主要器官.已知在一定范圍內(nèi)，小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具

有線性相關(guān)關(guān)系.某盆栽小麥實(shí)驗(yàn)中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對(duì)穩(wěn)定的情況下，統(tǒng)計(jì)了根長(zhǎng)度x（單

位：cm）與氮元素吸收量y（單位：mg/天）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：

X9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1

y0.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得彳=21.2,1=0.58及線性回歸方程為y=0.025x+a,則（）

A.a=—0.05

B.變量y與x的相關(guān)系數(shù)廠＜。

C.在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加1cm,它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg

D.若對(duì)小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則對(duì)應(yīng)回歸方程不變

4.【答案】C

【分析】根據(jù)樣本中心在方程上可求解A,進(jìn)而可判斷B,根據(jù)回歸方程的含義即可求解CD.

【詳解】由線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)（元歹）知，a=0.58-0.025x21.2=0.05,故A錯(cuò)誤；

小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有正相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)廠＞0,故B錯(cuò)誤；

由線性回歸方程y=Q025x+a可得，在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加1cm,它一天的氮元素吸收量平

均增加0.025mg,故C正確；

若研究小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)關(guān)系，回歸方程可能發(fā)生改變，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來(lái)研究圓錐曲線，如圖1,設(shè)圓錐軸截面的頂角為2c,

用一個(gè)平面「去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和：r所成角夕的變化，截得的曲線的形狀也不同.據(jù)研究，曲線

的離心率為《=笑2,比如，當(dāng)a=〃時(shí)，e=l,此時(shí)截得的曲線是拋物線.如圖2,在底面半徑為1,高為

cosa

20的圓錐S。中，4氏。。是底面圓。上互相垂直的直徑，E是母線宓上一點(diǎn)，SE=2EC,平面4狙截

該圓錐面所得的曲線的離心率為（）

【分析】由題意可得e=.,。二,利用平面向量的線性運(yùn)算求得O￡=/”，進(jìn)而在△OEC中，利用正

smZSCO3

弦定理可求得Fin""。。=也,可得結(jié)論.

sin/SCO2

【詳解】由題意得/05。=%/"95=",貝!|/SCO=90-a,ZEOC=9Q-/3,

匚匚2cos/?sin^EOC

所以e=―匕=---------,在SOC中，SO=2A/2,CO=1,

cosaSCO

連接OE,則|OE|2=12OC+[OS]=-OC2+-OC-OS+-OS2=-+-X8=~,

(33)999993

所以O(shè)E=2，，又由勾股定理得SC=+os。=布亞=3-

2

又SE=2EC,所以SE=§SC=2,所以CE=SC—S石=3-2=1,

ECEO日smZEOCEC73

在△OEC中，由正弦定理得,枝InJ--------------==—

sinNEOCsin/SCOsin/SCOEO2

所以平面樹截該圓錐面所得的曲線的離心率為培

故選：C.

m—x

6.若/(x)=sin(%+9)ln是偶函數(shù)，貝!jcoso+%=()

1+x

A.1B.-1C.±1D.0或2

6.【答案】D

【分析】由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求機(jī)，再證明g(無(wú))=ln(￡)為奇函數(shù)，由此可得函數(shù)

y=sin(x+°)為奇函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求由此可得cos。，再求結(jié)論即可.

【詳解】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以不等式”>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以不等式(X-m)(x+l)<o的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以方程(x-m)(》+1)=0的根互為相反數(shù),

所以加=1,此時(shí)定義域?yàn)?-M),

設(shè)g(x)=ln]￡j,則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-1,1),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又g(一無(wú))=In所以g(x)+g(-x)=Inj+In=In1=0,

所以g(-x)=-g(x),所以函數(shù)g(尤)為奇函數(shù)，又〃力是偶函數(shù),

所以sin(x+°)g(x)=sin(-x+9)g(-x)=_sin(-x+9)g(x>恒成立，

所以y=sin(x+°)是奇函數(shù)，于是夕=航(左eZ)

此時(shí)cos0=±l,于是cos0+%=0或2,

故選：D.

7.如圖，在三棱臺(tái)ABC-A與￡中，A4,J_底面ABC,ABJ.AC,CQ與底面ABC所成的角為45。，AB=及,

=M=1,則三棱錐A-四Bq的體積為()

cl----------------------

A/2口A/26n應(yīng)

AA.D.RC.Lf.

24612

7.【答案】D

【分析】先根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)求棱臺(tái)的棱長(zhǎng)，再結(jié)合錐體體積公式求解即可.

【詳解】因?yàn)榈酌鍭BC,A^u平面ACGA，所以平面ACCH，底面"C.

所以/GCA即為CG與底面A3C所成的角，為45。.

因?yàn)锳G=A41=1,所以AC=1+1=2.

根據(jù)棱臺(tái)的概念，可知：華=/，且A3=拒，所以4四=克.

ACAB112

因?yàn)锳B1AC,所以△A/G為直角三角形，所以S&BC=Lxlx"=9Z.

224

所以匕「8明=%”?=]SAB,c,XAA=3乎*1=卷?

故選：D

8.已知ae]o,「，若[￥-a]x+g-c）40在xe（O,y）上恒成立，則器的最大值為（）

A.B.—C.-r*D.e

2ee

8.【答案】B

【分析】函數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，以及利用韋達(dá)定理和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到相關(guān)等式,

最后通過求函數(shù)最值來(lái)求解找的最大值.

【詳解】因?yàn)椋?一+2一c14。恒成立，所以皿_“=0和x+?-c=0有兩個(gè)相同正根%,9.對(duì)于方程

IX八IJ%X

b

X+——c=0,兩邊同乘X得—_5+方=0.

由一元二次方程性質(zhì)，有兩個(gè)不同正根，則A=c2-46>0，且為+々=。>0,xtx2=b>0.

InxInx

由---二〃可得In%=ox］，----2二〃可得In%=ax?.

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則如（占丈2）=如號(hào)+如入，所以皿為馬）=法石+々），即lnb=ac>0.

令gS)=了-S>0),對(duì)g(b)求導(dǎo)，g,⑸士空-21也

令g'S)=O,即1—21nb=o,解得b=疵.

當(dāng)0＜6＜也時(shí)，g'S)＞。，g(b)遞增;

當(dāng)b>近時(shí)，g'(b)<0,g(b)遞減.

所以g(b)在6=正處取最大值，g(%)=牛三

aac\nbe日一/土生1

綜上r，7T=7^-的取大值為；~.

bb2e

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.將函數(shù)g(x)=2sin［x-：J圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)〃x)的圖

象，則()

A.d粵］=1B.“X)的最小正周期為三

C.“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)［,。卜寸稱D.〃尤)的圖象關(guān)于直線X=對(duì)稱

9.【答案】ACD

【分析】求出變換之后的了(》)解析式，依次代入選項(xiàng)判斷可得結(jié)果.

【詳解】依題意可得〃x)=2sin(2x-：1,

因?yàn)榈龋?2sing=l，故A正確；

7=胃2兀=兀，故B錯(cuò)誤；

由/1)=0,可知點(diǎn)即］為對(duì)稱中心，由C=2可知在x=￡處取最小值，故C,D均正確.

故選：ACD

10.已知拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)為凡直線,與c交于點(diǎn)A,8(A在第一象限)，以為直徑的圓E與

C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)D若|AD|=石怛則下列說法正確的是()

A.A,B,尸三點(diǎn)共線B./的斜率為也

3

C.\AF\=3\BF\D.圓E的半徑是4

10.【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，結(jié)合拋物線的定義逐項(xiàng)分析判斷得解.

【詳解】連接。E,則DE為圓E的半徑，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S,過2作準(zhǔn)線的垂線，垂足為T,

對(duì)于A,2\DE\=\AS\+\BT\=\F^+\FB\=\AB\,則于B,尸三點(diǎn)共線，A正確;

對(duì)于B,由為直徑，得NADB=90。，而|AD|=百忸°,則NZMB=30。，

而為等腰三角形，則NADE=3O。，ZSAD^30°,于是NS4F=60。，

即直線/的傾斜角為60。，其斜率為右，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,點(diǎn)直線48的方程為尸石。-當(dāng)，由<尸"°一5）得4/-20》+9=0,

一j2=6%

解得4=；9,4=1=，則|A尸|=9彳+3；=6,|BF|=1-+3-=2,BRIAF|=3|BF|,C正確；

222222

對(duì)于D,i|AF|=6,\BF\=2,得|AB|=8,則圓E的直徑是8,其半徑為4,D正確.

故選：ACD

11.已知函數(shù)/（%）=—依3+3犬+1,則下列命題中正確的是（）

A.0是“X）的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)-l<a<0時(shí)，/（?-1）</（￡?）

C.若a=1,貝ij/（-2022）+/（-2023）+/（2024）+/（2025）=12

D.若〃尤）存在極大值點(diǎn)引，且/（西）=/伉），其中國(guó)w9，則玉+2無(wú)2=。

11.【答案】ACD

【分析】討論a的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而判斷A；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)

得到函數(shù)的單調(diào)性，判斷-1）,/⑷的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷B；根據(jù)題意推得〃x）+/（2-x）=6,在

72

根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算即可判定C；若/（X）存在極大值點(diǎn)，則%=—,即。=一,因?yàn)?&）=/（%），化簡(jiǎn)等式，

CL玉

即可判斷D.

【詳解】由題意可得了'（x）=—3a?+6x=-3x（ax-2）,

令/'（x）=0,當(dāng)aw。時(shí),得了=0或%=—,

對(duì)于A,當(dāng)。<0時(shí)，令解得或x>0,則在和（0,+e）上單調(diào)遞增，

令/''（x"。，解得/<無(wú)<0,則〃x）在［可上單調(diào)遞減，

所以“X）在尤=0處取得極小值"0）=1,

同理，當(dāng)a>0時(shí)，〃x）在（-雙0）和］，+“）上單調(diào)遞減，在［o,1）上單調(diào)遞增，

所以〃x）在尤=0處取得極小值40）=1；

當(dāng)。=0時(shí)，f\x）=6x,/'（X）在（―e,0）上單調(diào)遞減，在（0,+e）上單調(diào)遞增，

所以〃x）在x=0處取得極小值"0）=1,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)-l<a<0時(shí)，/（元）在［,o］上單調(diào)遞減，

又2,—2<〃一所以/（〃一1）>/（〃），故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若，=1,貝!J/（x）=—丁+3/+1,貝ij/（%）+/（2—%）=—/+3f+i—Q—%）3+3（2—兀）2+1

=—%3+3x?+1—(8—12%+6Y-尤^)+3(4—A-x+x21)+1

=—丁+3f+1—8+12%—6%2+J+12—12%+3%2+1=6-

所以/(—2022)+/(2024)=6,/(—2023)+/(2025)=6,則/(-2022)+/(—2023)+/(2024)+/(2025)=12,

故C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D,若“X)存在極大值點(diǎn)，則占=—,即。=一,

a玉

因?yàn)?(%)=/(々)，所以竭-3x；=竭-3%，

2

所以2x；—3x；=-—3^2,2xl—3x^2+xf=0,

即（%,_々）2（%]+2%,）=0,

又占w尤2，所以X+2無(wú)2=。，故D正確.

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，S”為其前”項(xiàng)和，滿足邑=5,幾=32,則%的值為.

12.【答案】3

【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)求和公式建立方程組，求得首項(xiàng)與公差，利用通項(xiàng)，可得答案.

S3=3%H-------d=5

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,貝I；,

S12=12^+^1^67=32

3d+3d=5

化簡(jiǎn)可得6%+33"=16'解得‘

所以q=q+7d=3.

故答案為：3.

13.已知tan（。+p）=3tanJ3,sin（a+2尸）=；,貝Usina=.

13.【答案】-/0.25

4

【分析】由切化弦結(jié)合三角恒等變換和拆角可得.

【詳解】由tan（a+/7）=3tanp,可得巴華士察=史學(xué),

7cos（a+//）cosp

sin(tz+p)cos(3=3cos(a+p)sin0,

sintr=+=sin(a+y0)cos/?-cos(6r+y0)sin/?=2cos(a+/?)sin尸,

sin(a+2〃)=sin[(a+y0)+Q]=sin(a+〃)coSy0+cos(a+Q)sin〃=4cos(a+夕)sin夕=g,

cos(a+A)sin分二一,

8

sina=2x-=-

84

故答案為：:.

1

14.將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)&都換成（“+1）c,，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角

111111111

形,從萊布尼茨三角形可看出西低+即江=不，令=I+?+n+M++記二+可記,

則J凡=.

1

1

11

22

111

363

1111

412124

11111

52030205

￡J_J_J_J_J_

6306060306

1111111

742105140105427

14.【答案】」

n+1

111

【分析】分析可得（〃+i）c=丁Q，利用裂項(xiàng)相消法可求得a,.

1_j___1_

【詳解】因?yàn)檎?/p>

〃(幾+1)nn+1

111111

所以'〃261220nC\_i("+1)C：

111111

=_____?______?______?______p_|__________?_________

1x22x33x44x5(〃-+

11111111j_j_____1_n

—+—-+-—+——-+H------------+

2233445n—1nnn+1n+1n+1

故答案為：---7.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

LA

在NABC中，V3ACcos—=BCsinB.

2

(1)求角A的大小；

3

(2)若。為邊A8上一點(diǎn)，AC=AD=-BD,BC=Q,求VABC的面積.

【答案】⑴A=「

(615班

\^)----?

4

【分析】(1)通過正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)公式求解角A；

(2)通過設(shè)未知數(shù)，利用余弦定理求出邊長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式求出三角形面積.

ACBC

【詳解】(1)解：由正弦定理可知

sinBsinA

,—A[—A

因?yàn)椋?ACcos—=BCsinB,所以近sinBcos—=sinAsin3,

因?yàn)閟in5>0,所以Gcos^=2singcos.,

又因?yàn)樗詂os^>0,則si4考，故9=H即A等

(2)設(shè)3￡>=2x,則AC=AD=3%.

因?yàn)锳=三，所以NAOC=g,CD2^AD2+AC2-2AD-ACcosA=27x2,即CD=36x.

Jo

在ABCD中，BC?=BD2+CD1-2BDCDcos乙BDC，

UP49=4%2+27x2+18x2>解得x=l,所以AB=5,AC—3.

VABC的面積為工x5x3xsin型=i^.

234

16.(15分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx-ar.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);

⑵若對(duì)任意xe(0,+oo),+2恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)x=工是函數(shù)的極小值點(diǎn)；

e

(2)[In2-3,+oo).

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn).

2

(2)分離參數(shù)并構(gòu)造〃(%)=lnx-X—-,再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

x

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(%)=%ln%的定義域?yàn)?。,+8),求導(dǎo)得/'(%)=l+ln%,

由尸(x)=。，得兀=！，當(dāng)0<x<，時(shí)，f\x)<0；當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

eee

所以x=L是函數(shù)/(無(wú))的極小值點(diǎn).

e

2

(2)當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，不等式/(%)<%2+2=xlnx-oxW%2+2=〃Nln%-x——,

x

2

設(shè)M?=lnx—%——,依題意，Vxe(0,+oo),a>/z(x),

求導(dǎo)得〃(x)」_]+4__(x2)‘+l).,由/7，(尤)>0,得xe(0,2)；由〃(x)<0,得xe(2,+?),

XXX

函數(shù)加X)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，/i(x)max=/7(2)=ln2-3,則aNln2-3,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是Un2-3,+s).

17.(15分)

如圖1,在VABC中，NB=90,AC=3y/5,D、E兩點(diǎn)分別在48、AC上，使絲=絲=DE==2.

DBEC

現(xiàn)將VABC沿OE折起得到四棱錐A-3CED,在圖2中AC=V^.

(2)求平面ABC與平面ACD所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑵亨

6

【分析】(1)證明出ADLDE,AD±CD,再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)解法一：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DB、DE、D4的方向分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法可求得平面ABC與平面ACD所成角的正切值；

解法二：過B在平面BCED內(nèi)作BPLCD,垂足為點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸在平面ACD內(nèi)作房人AC,垂足為點(diǎn)G,

連接3G,推導(dǎo)出/8Gb為平面A3C與平面ACD所成的角，求出所、PG的長(zhǎng)，即可得出平面ABC與平

面ACD所成角的正切值.

【詳解】（1）在圖1的VABC中，——=—=DE=BD=2,

DBEC

3

所以，DE//BC,且A￡>=4,BC=-DE=3,

2

因?yàn)镹ABC=90,所以，ZADE=90,則AD_L￡）E,DE±BD,

在,BCD中，ZCBD=90,BD=2,BC=3,則CD=Jg+S=a,

在圖2的，ACD中，AD=4,CD=岳,AC=回，

滿足ACP+CD?=AC?,所以，AD±CD,

因?yàn)锳D_LCD,ADLDE,CDDE=D,CD、DEu平面3CED,所以，A￡>_L平面3CED.

（2）解法一：因?yàn)?）"L平面BCE。，DErBD,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DB、DE、D4的方向分別為X、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（004）、3（2,0,0）、C（2,3,0）、￡>（0,0,0）,AB=（2,0,-4）,BC=（0,3,0）,

m?AB=2玉-44=0

設(shè)平面ABC一個(gè)的法向量克=（石,加4）,則<

m,BC=3%=0

取占=2,可得比=（2,0,1）,

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為〃=（%2，%*2）,￡M=（0,0,4）,DC=（2,3,0）,

n?DA=4Z9=0/、

則,取兀2=3,貝!J幾=（3,-2,0）,

n?DC=2X2+3y2-0

設(shè)平面ABC與平面ACD所成角為凡

則cos0-|cos仇jm-n\66

m|-|n|75x713765?

-=迺，.。=也=叵

所以，sin<9=71-cos20=

6565cos36

因此，平面A3C與平面ACD所成角的正切值為恒；

6

解法二：過B在平面BCED內(nèi)作垂足為點(diǎn)尸，

過點(diǎn)尸在平面ACD內(nèi)作依人AC,垂足為點(diǎn)G,連接3G,

由(1)知A￡)_L平面BCED,因?yàn)?尸u平面3CED,則A￡>_L3F,

因?yàn)锳DCD=D,AD,CDu平面ACD,所以，M_L平面AC"

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以，BF.LAC,

因?yàn)镕GAAC,BFcFG=F,BF、尸Gu平面BFG,所以，AC_L平面B/G,

因?yàn)锽Gu平面BPG,則3G_LAC,

所以，ZBGF為平面ABC與平面ACD所成的角，骸/BGF=9.

在RtABCD中，NCBD=90,BD=2,BC=3,CD=y/13,

BF=如"3x2_6CIBCERT*,

所以,

CD

在RtaACI）中，AD=4,CD=y/13,AC=^29,ZADC=90,

所以，sinZACD=—=—,貝ADCF"義而36

ACCF歹G=-^=下7=而言

萬(wàn)BF6713x729729

在Rt△班G中,tan0=----

FGy36~6~

所以，平面A3c與平面ACD所成角的正切值為'史.

6

18.（17分）

為加深青少年對(duì)黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí)，激發(fā)愛黨愛國(guó)熱情，堅(jiān)定走新時(shí)代中

國(guó)特色社會(huì)主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識(shí)挑戰(zhàn)賽.該挑戰(zhàn)賽共分〃(〃eN*,“N2)關(guān)，規(guī)則如下：兩

人一組，首先某隊(duì)員先上場(chǎng)從第一關(guān)開始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊(duì)員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關(guān)，否則該隊(duì)員被淘

汰，并由第二名隊(duì)員接力，從上一名隊(duì)員失敗的關(guān)卡開始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當(dāng)兩名隊(duì)員均被淘汰或者〃關(guān)都挑戰(zhàn)

成功，挑戰(zhàn)比賽結(jié)束.已知甲乙兩名同學(xué)一組參加挑戰(zhàn)賽，若甲每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為。(0<。<1),

乙每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為4(0<4<1),且甲、乙兩人每關(guān)挑戰(zhàn)成功與否互不影響，每關(guān)成功與否也互

不影響.

(1)已知甲先上場(chǎng)，p=g,4=:，n=2，

①求挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率；

②設(shè)X為挑戰(zhàn)比賽結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)，求E(X)；

(2)如果“關(guān)都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場(chǎng)與乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，

并說明理由.

【答案】⑴①；；②E(X)=g

224

(2)甲先出場(chǎng)與乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同，理由見解析

【分析】(1)①記甲先上場(chǎng)且挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率為尸.根據(jù)甲每關(guān)不成功概率是1-。，即可求解；②X

的可能取值為0，1，2,根據(jù)甲每關(guān)不成功概率是1-。，乙每關(guān)不成功概率是1-4,再結(jié)合獨(dú)立事件乘法

公式求出對(duì)應(yīng)概率，即可求解；

(2)設(shè)甲先出場(chǎng)成功概率為R,乙先出場(chǎng)成功概率為P2.把￡和鳥展開成式子，對(duì)應(yīng)部分相等，可得［=￡,

即甲、乙先出場(chǎng)成功概率一樣.

【詳解】(1)①記甲先上場(chǎng)且挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率為尸,

231

貝I」尸=(1_夕)(1_鄉(xiāng))=5x^=5

②依題可知，X的可能取值為0,1,2,

則由①知尸(X=0)=g,

123213117

P(X=1)=n(l-n)(l-^)+(l-nWl-^)=-x-X-+-X-X-=-+-=—,

3343446824

175

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)=l----,

X的分布列為

X012

J_75

p

~22424

17517

石(X)=0x—+lx——+2x——=—

2242424

(2)設(shè)甲先出場(chǎng)成功概率為乙先出場(chǎng)成功概率為己.

則片=pn+p"T(l-p)q+pnZ(1-p)d+-+p(l-p)q"T+(1-p對(duì)

=(pn+p"lq+pn~2q2++pq'"1+q")-p(p"'q+p"~2q2++pq"l+qn)

=｛pn+pn'q+p^q1++pq'-1+qn)-(,pnq+pnlq2++p2qn-l+pq"),

nni2n

P2=q+q-(l-q)p+產(chǎn)(l-q)p++q(l-g)*+(l-q)p

=+qn-'p+qn--p2++qp'-'+p")-q(qnlp+q"2p2++qp'-'+p")

=(q"+/ip+q2P2++亦i+p,)_q，p+q，ip2++^p-->+^"),

p"+p"-1q+p'-2q2++pqnl+q"=q"+qnlp+qn-2p2++qp'^+pn,

p"q+pn'q2++p2qn'+pqn=qnp+qn'p2++q『+qp",

；?6=￡?

因此，甲先出場(chǎng)與乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同.

19.(17分)

22

已知雙曲線技：4-7T=l(?B>0也>O,〃eN*)的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，F(xiàn)n

為雙曲線E”的右焦點(diǎn)，過耳，的直線與雙曲線E”的右支交于A.，B”兩點(diǎn),過點(diǎn)A.，線分別作平行于x軸的

直線，與直線了=楙6，分別交于Q,0,兩點(diǎn)，直線旦C與x軸的交點(diǎn)為此(7&「0).

⑴求雙曲線E”的離心率；

(2)證明：數(shù)列｛2｝是以;為公比的等比數(shù)列；

(3)定義：無(wú)窮等比遞減數(shù)列匕｝的所有項(xiàng)和5=六，其中4為匕｝的首項(xiàng)，4為｛。“｝的公比，且0<4<1.

設(shè)直線紇G與直線的交點(diǎn)為H“，4“紇％的面積記為S,,求數(shù)列｛S“｝的所有項(xiàng)和S的最小值(結(jié)果

用4或4表示).

【答案】(1)與；

(2)證明見解析;

⑶挈*

【分析】（1）利用給定條件，求出漸近線方程，進(jìn)而求出離心率.

（2）由（1）求出雙曲線方程，設(shè)出直線4