(8)直線與拋物線的位置關系—高考數學二輪復習之平面解析幾何

1.已知拋物線￡：y2=2px(p＞。)的焦點為R過點R的直線/與E交于43兩點，點〃為線

段的中點，若點M的橫坐標為p,|AB|=12,則P=()

A.2B.3C.4D.6

2.設拋物線C:9=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為1的直線與C交于M,N兩點，則

FM-FN=()

A.5B.6C.7D.8

3.若斜率為1的直線/經過拋物線丁二船的焦點R且與拋物線相交于A,5兩點，則線段

的長為()

A.6B.7C.8D.10

4.已知A5是過拋物線/=4x的焦點的弦，若|AB|=8,則AB中點的橫坐標為()

A.2B.3C.4D.5

5.已知拋物線C：y2=2px(p＞。)的焦點為F準線為/,過點R且傾斜角為方的直線在第一象

限交C于點A,若點A在/上的投影為點3,且|AB|=4,則p=()

A.lB.2C.2V2D.4

6.已知拋物線C：V=4x,M是直線y=x+4上的一個動點，過“作拋物線C的兩條切線，切

點分別為A,B,若H為圓N:(x-3)2+(y-4)2=5上的動點，則點H到直線距離的最大值

為()

A.75B.5C.2D.245

7.(多選)已知拋物線C：V=4x的焦點為R過點4(-2,0)作斜率不為0的直線4與C只有1

個交點D,過點8(-1,0)作與人平行的直線4與C交于G,H兩點，貝1)()

A4的斜率為±孝B.|GH|=8A/6

C.|DF|=3□.△ZX汨的面積為2

8.（多選）已知拋物線C:/=4x的焦點為凡過點R的直線/與C交于A,3兩點，過點A

作C的切線，交準線于點P,交x軸于點。，則下列說法正確的有（）

A.\QF\=\AF\B.直線Q3與C相切

7T

C.PA±PBD.若=則|AF|=4

6

9.（多選）過點尸（4,0）直線/交拋物線C：V=4x于A,3兩點，線段A5的中點為“（不，，（）），

拋物線的焦點為E下列說法正確的是（）

A.以A3為直徑的圓過坐標原點B.若為=2,則|AF|+|班>12

2

C.若直線/的斜率存在，則斜率為一D.FAFB<0

%

10.直線/：%-陽+2=0（m>0）與拋物線：V=4x相交于A,3兩點，若在y軸上存在點尸使得

PAPB=0,則機的最小值為.

n.已知拋物線V=4x的焦點為R若以x軸正方向的射線打繞焦點R逆時針旋轉45。，與拋

物線交于點N,過N作NPLy軸，交準線于點P,則的面積為..

12.設拋物線C：V=4x上一點P到直線/1：x=-l的距離為4,到直線/2：3x+4y+7=0的距離

為d2,則&+d2的最小值為.

13.已知拋物線C：V=2內5〉0）的焦點R到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知。為坐標原點，點尸在C上，點Q滿足PQ=9QE,求直線OQ斜率的最大值.

14.已知橢圓C：5+l=l(a〉6〉0)的離心率為:，且過點［后,，J,直線/交橢圓C于不同

的兩點M和N.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線/的斜率為1,且以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點，求直線/的方程；

(3)已知點若點A是橢圓的右頂點，"和N兩點都在x軸上方，^.ZAPM=ZOPN.

證明直線I過定點，并求出該定點坐標.

15.已知拋物線C：V=2px(p〉0)的焦點為F,0為坐標原點，E為拋物線上一點，

|斯|=4|。刊且S△防。=4百.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點R的直線/與拋物線C交于A,3兩點，若點尸在拋物線的準線上，且△PAB為

等邊三角形，求直線的斜率.

答案以及解析

1.答案：c

解析：設A(%，x),B(x,,y2),由題設知藥+々=2°,則|AB|=Xi+X2+P=3p=12,得p=4.

故選：C

2.答案：D

解析：根據題意，過點(-2,0)且斜率為『的直線方程為y=§(x+2),與拋物線方程聯立

<，=30+2),消元整理得：y2—6y+8=0,解得M(l,2),N(4,4)，又尸(1,0),所以9=(0,2),

y=4x

FN=(3,4)>從而可以求得fM.a=0x3+2x4=8，故選：D.

3.答案：C

解析：拋物線中2。=4,則，=2,.?.焦點坐標為b(1,0),則直線/:y=x-1,聯立直線方程和

拋物線方程得：(2_以，整理得爐-6%+1=0,設點A(&X),8(%2，%)，，Xi+X2=6,藥々=1，

22

/.|AB|=yjl+k-x2|=A/1+kJ(X]+々)~-4X11=應也?-4x1=8.故選:C.

4.答案：B

解析：設A&，x),BE，%)，由已知，=2,由焦半徑公式可得I\BF\=X2+^

所以|AB|=|AF|+忸司=%+々+0=2與+2=8,所以%=3.故選：B.

5.答案：B

解析：

如圖，因為|AB|=4,所以|AE|=4,又因為NAFX=1,所以過點A作x軸的垂線，垂足為C,

則由=2,|AC|=2g所以A（2+g26）,因為點42+,2揚在拋物線上，所以

12=2px（2+^\,整理得，p2+4p-12=Q,解得p=2或p=—6（舍），故選：B.

6.答案：D

解析：設？（加,加+4）,4（%,%）,8（尤2,%），由題意在點A和點3處的切線方程的斜率不等

于零，設點A處的切線方程為％-玉=見（丁-％）,聯立叫,消工得

[y=4x

2

y-4m1y+4mly1-4xr=0,則A=16/—4（4平1yl—4%）=0,即4訴—4m1y1+4項=0

又4七=靖，所以4喈_4叫％+y；=0,所以叫=??，所以點A處的切線方程為x-Xi=年（丁-%）,

即2x-y1y+2xl^0,同理可得點B處的切線方程為Zx—乂y+Z%=0,

又兩切線都過點P（〃加+4）,所以2機一%（m+4）+2x,=0,2m-y2（m+4）+2x2=0,所以直

線AB的方程為2m—y（m+4）+2x=0,即（2—y）〃7—4y+2x=0,令T—+2x—0，解得j—2，

、y，、y

所以直線AB過定點M（4,2）,圓N:（x-3）2+（y-4）2=5的圓心N（3,4）,半徑r=6,所以點

H到直線A3距離的最大值即為點H到定點M（4,2）的最大距離，所以點H到直線A3距離的

最大值為|“V|+r=J（4-3）?+（2-q+6=2百.故選:D.

H/

7.答案：ACD

解析：

1

I得

由題意得人的斜率存在且不為零，設乙的斜率為左(左。0),則4：y=Mx+2),由

左2必+(4左2—4卜+4左2=0,由A=o,得k=±*,A正確.

由對稱性不妨假設4的斜率為泉則，2的方程為yx+1）得

=*+1），由,y=T

2

y1=4x

X2—6x+1=0>A=32>0%+的=6,??|GH|=J1+

f|xV62-4=473,B錯誤.

由A得，|X2-2X+2=0,解得?=2,故|￡>同=芍+1=3,C正確.

由B知仁刈=4代，由題意得，l［：y=^x+叵,%：y=^x+今故k,4之間的距離

d=——=3，.?.△￡>.的面積為彳X44XF=2,D正確.故選：ACD.

幾t62心

8.答案：ACD

解析：依題意，拋物線C：V=4x的焦點為尸(1,0),準線方程為1=-1,不妨設點A在第一象

12

限，且A(ax),*%2，%)，如圖，因為/=4xn丁=2《(”0),所以>'=耳=7，則點A

2

處的切線方程為>-M=—(x—xj,即％y=2(x+xj,令y=0,則。(―%,0),所以

X

\QF\=xl+l^\AF\,故A正確;

同理點3處的切線方程為％丁=2"+%2），該切線交》軸于點（-9，。），當石=々時，直線Q3

才是拋物線C的切線，否則直線Q3不是拋物線C的切線，故B錯誤；

fx=fy+1,

設直線AB的方程為x=9+l?#0）,由12/可得y-4）-4=0,所以％%=-4,

U=4x,

224

kpA.kpB=-------=------=-1,所以A4_LPB,故C正確；

%%%%

由A可知，△E4Q為等腰三角形，且NE4Q=g,所以|AQ|=若|A尸|,所以

屈：+犬='+1）,又才=4玉，解得西=3,所以|AB|=4,故D正確.故選ACD.

9.答案：ACD

/、/、fx=my+4

解析：由題意可知直線/斜率不為0,設4（加％）,B（x2,y2）,l:x=my+4,聯立彳/一以

2

得,2_4m〉—16=0,則%+%=4m，%%=-16,jq+%2=m（yl+y2）+8=4m+8,

對于A選項，M％=7〃2yly2+4m（M+%）+16=16,因為OA.。月=玉%2+%%=0,所以％

所以以AB為直徑的圓過坐標原點，A說法正確；

對于B選項，若%=2=入產=2機，則機=￡=1,由拋物線的定義可得

\AF\+\BF\=xl+x2+p^l4,B說法錯誤；

對于C選項，因為“（％,%）為線段中點，所以“（2加+4,2時，若直線/的斜率存在，則

14,12

m^Q,直線/：y=—x-—的斜率左=—=一,C說法正確；

mmmy。

對于D選項，JE4-FB=（七一l,yj?（九2一1，%）=石兀2一（玉+%2）+1+%%=—4加2—8<0,D說法正

10.答案：73

JQ-^2/y—2

解析：聯立方程,“'得4⑺+8=0,令A=16加—32>0,而由題意加>0,所以

=4%，

（,2、（1\、

夜.設A個,%,%為由韋達定理得%+%=4根，%%=8設P（0/）,則

m>B

77

(,2(2\

、%22

PA=,PB=,y—t,PA-PB=+T(M+%)+?=0,即

(4)I42

71O

12-4m/+?=o,顯然，w0,否則12=0,但這是不可能的，即m=。+3,因為相＞0,所以，＞0

4t

（否則t＜0時，有機=:+』＜0,但這與已知矛盾），由基本不等式可得機=工+』》6,

4t4t

當且僅當"2月時等號成立，故答案為：73.

11.答案:8+60

解析：由題知焦點產。,0）,準線為％=-1,直線網的方程為：y^x-1,

聯立")可得％2一6%+1=0,所以/=3+2夜或3-2近(舍)，yN=2+2^/2,

^y=x-i

|NP|=1+3+20=4+20,所以5寸.=，加斗%=：（4+20）（2+2逝）=8+60.故答案

為：8+672.

12.答案：3

解析：

拋物線C：V=4x的焦點為尸(L0),則點P到直線1=-1的距離為歸耳+1,作FN垂直

4：3x+4y+7=0于點"，所以d+4的最小值為|歐|+1=J'=2+1=3.故答案為:3.

13.答案：(l)y2=4x；

(2)最大值為3.

解析：⑴拋物線。：丁2=2〃以夕＞0)的焦點”合0],準線方程為x=-T，

由題意，該拋物線焦點到準線的距離為■!(■!]=。=2,

所以該拋物線的方程為V=4x；

(2)[方法一]:軌跡方程+基本不等式法

設。(孫%),則PQ=9QE=(9-9九0,-9%)，所以尸(10%—9,10%),

由P在拋物線上可得(10%了=4(10/-9),即/=25；廣,

79

據此整理可得點Q的軌跡方程為y2=jx-^,

k；=%).i°%

所以直線OQ的斜率°。x025以+925y；+9,

10

k10

當％=。時，k°Q=0；當先/。時，OQ25),?9,

~°y0

9I9-

當先〉。時，因為25%+一上225%——=30,

%V%

193

此時0<自「弓，當且僅當25%=一,即%=：時，等號成立；

當為<0時，殳0<0;綜上，直線。。的斜率的最大值為;.

［方法二］:【最優解】軌跡方程+數形結合法

同方法一得到點Q的軌跡方程為y2=^--

7Q

設直線OQ的方程為y=kx,則當直線OQ與拋物線丁=《X-最相切時,

?=京，29

其斜率上取到最值.聯立229得左2必_當+2=0,

y=-x,525

其判另U式A=1—2］—4k2x2=0,解得左=土(，所以直線OQ斜率的最大值為!.

I5J2533

［方法三］:軌跡方程+換元求最值法

70

同方法一得點Q的軌跡方程為丁=-x-^.

設直線OQ的斜率為總則左2=值［=2—_.

⑴5x25x2

令！=當，則％2=一之產+3的對稱軸為7=，，

xV9J2559

所以0442三/-左V；.故直線OQ斜率的最大值為g

［方法四］:參數+基本不等式法

由題可設P(4色町(/>0),Q(x,y).

因為尸(1,0),PQ=9QF,所以(％-4己y—4f)=9(l—x,—y).

x-4r=9(1一九)，10x=4r+9

于是＜所以＜

y-4t=-9y10y=4t

y_4%_44_1

則直線。。的斜率為嚏―豆苒—［9＜亞］于—3.

當且僅當4%=：9,即,=￡3時等號成立，所以直線0。斜率的最大值為;1.

22

14.答案：(1)—+^=1

43

2

(2)y=x-2^y=x--

(3)證明見解析，(6,0)

解析：(1)因為橢圓C的離心率為：，且過點［庭,半］,則a=2c,2I

2I?)/+記=1

22

又〃=y+o2,解得“2=4,從=3,所以橢圓C的方程土+2L=1；

43

(2)因為直線/的斜率為1,故設直線/的方程為y=x+7",設”(%,%),N(%2,%),

y=x+m

由＜x2y1］，消去y整理得7爐+8mx+4m2—12=0,則花+馬二一-~>x\xi--------

.T+T-

因為以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點，則AM.AN=0,

所以(石_2)(W—2)+%%=0，即(％-2)(X2-2)+(^+m)(x2+m)=0

整理得2%42+(加一2)(%+%2)+4+m2=0,

匚匚2c4m2-12z八、8m/八

所以2x---------(m-2)x----i-4+m2=0,

7v77

、2

即7療+16m+4=0,解得m=—2或m=一亍,

H^jA=64m2-4x7x(4m2-12)=16(21-3m2)>0,

22

顯然當加=-2或根=-亍時，成立，所以直線/的方程為y=x-2或y=x-亍；

(3)當直線/斜率不存在時，直線/與橢圓C交于不同的兩點分布在x軸兩側，不合題意.

所以直線/斜率存在，設直線/的方程為y=6+m.設M(%,y),N(%2，%)，

22

xy_2

由1+彳=得(3+4長)尤2+8必比+4機2-12=0,所以%+