2024級高一5月聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知a為實數，若復數為純虛數，則=（

）A． B． C． D．2.設是三個不同平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（）A.B.C.D.4．在?ABC中，內角的對邊分別為，已知，則?ABC的形狀為（

）A．等腰三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形5.已知為?ABC所在平面內的一點，為的中點，則（）A. B. C. D.6．若，則（

）A． B． C． D．7．點在?ABC所在平面內，下列說法正確的是（

）A．若，則?ABC為銳角三角形B．若點M是?ABC的重心，則AM+BM=MCC．若，則S?ABMSD．若?ABC為邊長為2的正三角形，點在線段BC上運動，則8．如圖，底面ABCD是邊長為2的正方形，半圓面APD⊥底面ABCD，點P為圓弧AD上的動點．當三棱錐P-BCD的體積最大時，二面角P-BC-D的余弦值為（

）A．25 B．55 C．53二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知向量，，下列說法正確的是（）A.(+)⊥ B.C.與向量平行的單位向量是 D.向量在向量上的投影向量為10.若復數，則（）A.B.C.z在復平面內對應的點位于第四象限D.復數滿足，則的最大值為11.如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內一動點，則下列結論正確的為（）A.存在點，使得平面B.過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C.異面直線BA1與EF所成的角的大小為D.若D1P//平面A1B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐底面半徑為，側面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為.13．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為m．14.三棱錐的頂點都在球的球面上，且，若三棱錐的體積最大值為，則球的表面積為_____.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）在平面直角坐標系中，已知，，.（1）若A，B，C三點共線，求實數m的值；（2）若，以的邊AC所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個幾何體，求該幾何體的表面積.16．(15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分別為AD,PB的中點．(1)求證：EF//平面PCD；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD．17．(15分）在△中，內角的對邊分別為．(1)求；(2)若△的面積為，求邊上的中線的長．18.(17分）已知函數，圖象的相鄰對稱軸之間的距離為．（1）求的解析式和函數單調遞增區間；；（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位得的圖象，若關于的方程在上只有一個解，求實數的取值范圍．19.(17分）如圖，已知三棱臺中，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；

高一5月數學試題答案一、1.A2.B3.B4．D5.C6．C7.B8．D9.AD10.BCD11.AC12.13.5414.15求證：16．解析：證明：（1）如圖，取PC中點G，連接FG,GD．∵F,G分別是PB和PC的中點，∴FG//BC，且FG=12BC，∵四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，∴ED//BC,DE=12BC，∴ED//FG，且ED=FG，∴四邊形EFGD為平行四邊形，∴EF//GD又EF?平面PCD，GD?平面（2）∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD．而PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PA⊥PD，AB∩PA=A，AB,PA?平面PAB，∴PD⊥平面PAB，而PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．17.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得：，又，所以．（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，則，即.故邊上的中線的長為.18.（1），，，，因為圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以．令．則，所以的單調遞增區間為；【2】由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，再向左平移個單位得的圖象．令，，則，所以，因為在上只有一個解，由的圖象（如圖）可得，或，所以的取值范圍