§4.7正弦定理、余弦定理(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·成都模擬)在△ABC中，BC=3，AC=5，C=2π3，則ABA.53 B.51 C.45 D.72.(2024·黃石模擬)若△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B+C=60°，a=3，則sinBA.23 B.36 C.163.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足bc=3a2，且b+c=72a，則sinAA.156 B.158 C.234.△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=2sinCcosB，ccosB+bcosC=2c，則△ABC的形狀是()A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結論正確的是()A.若A>B，則sinA>sinBB.若a=10，c=8，C=π3，則符合條件的△ABCC.若B=π6，b=2，c=2，則△ABCD.若acosA=bcosB=c6.(2025·益陽模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，則下列結論中正確的是()A.(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5∶6∶7B.△ABC為鈍角三角形C.若a+b+c=18，則△ABC的面積為615D.若△ABC的外接圓半徑是R，內切圓半徑為r，則5R=16r三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2025·馬鞍山模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3，b=1，cosC=-13，則邊AB上的高為.8.(2025·武威模擬)△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為3(a2+b2?c2)43，四、解答題(共27分)9.(13分)(2024·新課標全國Ⅰ)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.(1)求B；(6分)(2)若△ABC的面積為3+3，求c.(7分)10.(14分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b(3sinA+cosA)=a+c.(1)求B；(7分)(2)若a=3c，求sinA.(7分)11題6分，12題5分，共11分11.(多選)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，則下列結論正確的是()A.tanC=2B.A=πC.b=2D.△ABC的面積為612.我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S=12(cb)2?c2+b2?a222.根據此公式，若acosB+(b-2c)cosA=0，且b

答案精析1.D[在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋32－2×5×3×?12＝49，所以AB2.B[在△ABC中，B＋C＝60°，所以A＝120°，所以sinA由正弦定理以及比例的性質可得sinB＋sin3.B[因為bc＝3a2，b＋c＝72a則由余弦定理可得cosA＝b2＋c2?又A∈(0，π)，所以sinA＝1?cos24.D[因為sinA＝2sinCcosB，所以sin(B＋C)＝2sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB，即sinBcosC＝sinCcosB，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，b＝c，又ccosB＋bcosC＝2c，所以cosB＋cosB＝2，所以cosB＝22所以B＝π4，所以C＝π4，A＝故△ABC為等腰直角三角形.]5.ACD[A選項，在△ABC中，根據大角對大邊，A>B?a>b，由正弦定理可得asin所以sinA>sinB，A正確；B選項，根據正弦定理，sinA＝asin結合選項數據，得sinA＝538故這樣的三角形不存在，B錯誤；C選項，由正弦定理得sinC＝csinBb，結合數據，得sinC＝22，因為c>b，所以C>B，故C為銳角或鈍角，△D選項，由acosA＝bcosB＝ccosC及正弦定理得，sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，而A6.BD[因為sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4，設a＝2x(x>0)，b＝3x，c＝4x，則(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6，故A錯誤；由題意可知，C為最大角，因為cosC＝a2＋b2?c所以C為鈍角，故B正確；若a＋b＋c＝18，則a＝4，b＝6，c＝8，又cosC＝－14所以sinC＝1?cos所以△ABC的面積S△ABC＝12absin＝12×4×6×＝315，故C錯誤；由正弦定理得，2R＝csinC＝4x154＝16x15，即R＝8x15，由面積公式可得12(即12×9x·r＝12×2x×3x×所以r＝156x，所以R故5R＝16r，故D正確.]7.6解析設邊AB上的高為h，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋12－2×3×1×?13即c＝23，又cosC＝－13，則C∈π則sinC＝22所以S△ABC＝12absinC＝12即12×3×1×223＝1解得h＝638.4解析∵S△ABC＝12absinC由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，結合S△ABC＝3(a得12absinC＝32abcos∴sinC＝3cosC，∵C∈(0，π)，∴cosC≠0，∴tanC＝3，∴C＝π3由正弦定理asin得a＝csin9.解(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcosC，因為a2＋b2－c2＝2ab，所以cosC＝22因為C∈(0，π)，所以sinC>0，從而sinC＝1?cos2C又因為sinC＝2cosB，即cosB＝12又B∈(0，π)，所以B＝π3(2)由(1)可得B＝π3cosC＝22，C∈(0，π從而C＝π4sinA＝sin(B＋C)＝sinπ3＋π4＝32方法一由正弦定理有bsin從而b＝32·2c＝62由三角形面積公式可知，△ABC的面積可表示為S△ABC＝12bc·sin＝12·62c·c·6＋24＝3＋38可得3＋38c2＝3＋所以c＝22.方法二記R為△ABC外接圓的半徑，由正弦定理得S△ABC＝12ab·sin＝2R2sinAsinBsinC＝2R2·6＋24·32·22＝3＋所以R＝2.所以c＝2R·sinC＝2×2×22＝2210.解(1)由正弦定理得3sinAsinB＋cosAsinB＝sinA＋sinC.又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以3sinAsinB＝sinA＋sinAcosB.因為sinA>0，所以3sinB＝1＋cosB，即sinB?因為0<B<π，所以－π6<B－π6<所以B－π6＝π6，(2)方法一由(1)知，C＝2π3－A由a＝3c及正弦定理得sinA＝3sinC，即sinA＝3sin2π3?A＝3解得sinA＝－33cosA.又sin2A＋cos2A＝1，且A∈(0，π)，所以sinA＝321方法二由(1)知a2＋c2－b2＝ac.又a＝3c，所以b2＝a2＋c2－ac＝79a2，所以b＝73故由正弦定理得sinB＝73sinA所以sinA＝32111.ABD[因為a2＋b2－c2＝absinC，所以cosC＝a2＋b所以tanC＝sinCcosC＝2因為acosB＋bsinA＝c，利用正弦定理可得sinAcosB＋sinBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBsinA＝cosAsinB，因為B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，所以A＝π4，故B因為tanC＝2，C∈(0，π)，所以sinC＝255，cosC＝又A＝π4，所以sinA＝cosA＝2所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝22×55＋因為asin所以b＝asinBsinA＝S△ABC＝12absinC＝12×10×32×255＝612.2解析因為acosB＋(b－2c)cosA＝0，所以sinAcosB＋(sinB－2sinC