§10.2排列、組合課標要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.3.能利用排列、組合解決簡單的實際問題.1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照排成一列

組合作為一組2.排列數與組合數(1)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有的個數，用符號表示.(2)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有的個數，用符號表示.3.排列數、組合數的公式及性質公式(1)Anm＝＝(n，m∈N*，且m≤(2)Cnm＝AnmAmm＝(n，性質(1)0！＝；Ann＝(2)Cn0＝1；Cnm＝1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()(3)若組合式Cnx＝Cnm，則x＝(4)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m).(2.(2024·漳州模擬)A63+A.65 B.160C.165 D.2103.(2024·內江模擬)有4名學生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列方式共有()A.72種 B.144種C.288種 D.576種4.從5名男同學和4名女同學中選出3名男同學和2名女同學，分別擔任語文、數學、物理、化學和外語的課代表，選派的方法種數為.1.元素之間與順序有關的為排列，與順序無關的為組合.2.(1)排列數與組合數之間的聯系為Cn(2)排列數與組合數公式的兩種形式分別為①連乘積形式；②階乘形式.前者多用于數字計算，后者多用于含有字母的排列數與組合數式子的變形與論證.3.解有限制條件的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.4.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.題型一排列問題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法種數.(1)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(2)全體排成一排，甲不站兩端；(3)全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰；(6)男生順序已定，女生順序不定.思維升華求解排列問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法跟蹤訓練1(1)(2025·德陽模擬)甲、乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲、乙兩名同學中間恰有1人，則不同的站法數為()A.144 B.192C.360 D.480(2)(2024·杭州模擬)袋子中有數字“7”的卡片3張和數字“2”“3”“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個不同的四位數(用數字回答).題型二組合問題例2從含有A，B的7名男生、5名女生中選取5名，分別求符合下列條件的不同選法種數.(1)A，B必須當選；(2)至少有2名女生當選；(3)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的職務，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任.思維升華組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法；分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.跟蹤訓練2(1)某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則安排方案有()A.36種 B.24種 C.18種 D.12種(2)為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校成立了手工藝社團，并開設了陶藝、剪紙等6門課程.該校甲、乙2名同學報名參加手工藝社團，每人僅報2門課程，其中甲不報陶藝、乙不報剪紙，且甲、乙兩人所報課程均不相同，則甲、乙報名課程的方案種數為()A.18 B.24 C.36 D.42題型三排列組合的綜合問題例3(多選)(2024·滄州模擬)將4個編號為1，2，3，4的小球放入四個分別標有1，2，3，4號的盒子中，則下列結論正確的有()A.共有256種放法B.恰有一個盒子不放球，共有72種放法C.恰有兩個盒子不放球，共有84種放法D.每個盒子只放一個小球，恰好有一個小球的編號與盒子的編號相同，共有8種放法思維升華對于整體均分，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以組數的全排列；對于部分均分，即若有m組元素個數相同，則分組時應除以Am跟蹤訓練3(1)(2025·銀川模擬)現有甲、乙等5名選調生前往A，B，C三個城市任職工作，若每名選調生只能去其中的一個城市，且每個城市至少安排1名選調生，其中甲和乙兩人必須去同一個城市，則不同的安排方法種數是()A.18 B.24 C.36 D.48(2)6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案種數為()A.65 B.1560 C.2640 D.4560

答案精析落實主干知識1.一定的順序2.(1)不同排列A(2)不同組合C3.n(n－1)(n－2)…(n－m+1)n！(n?mCnm+自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.C[A63+C108＝A63+C103.C[首先將2名老師排在中間4個位置中的2個位置，再將其余4名學生全排列，故不同排列方式共有A42A44.7200解析首先選出3名男同學和2名女同學，共有C5再把選出來的人進行全排列，共有A55所以不同的選派的方法種數為C53C4探究核心題型例1解(1)分兩步完成，先選3人站前排，有A73種排法，余下4人站后排，有故共有A73A44(2)方法一(特殊元素優先法)先排甲，有5種排列方法，其余6人有A66種排列方法，故共有5×A66＝3方法二(特殊位置優先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他位置有A55種排法，故共有A6(3)方法一第一類，甲站在排尾，有A66＝720(種)排法；第二類，甲不站兩端站中間，則甲有A51種排法，再排乙，也有A51種排法，剩下的5人有A55種排法，故有A51A方法二(間接法)在不考慮限制條件時，有A77種排法；當甲站排頭時，有A66種排法；當乙站排尾時，有A66種排法；當甲站排頭且乙站排尾時，有A55種排法.所以符合限制條件的排法共有(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A44種排法，再將女生全排列，有A44種排法，故共有(5)(插空法)先排女生，有A44種排法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A53種排法，故共有A4(6)(定序問題)7名學生站成一排，有A77種排法，其中3名男生的排法有A33種，由于男生順序已定，女生順序不定，故共有跟蹤訓練1(1)B[根據題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有C41②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有A44＝24則有8×24＝192(種)不同的站法.](2)72解析如果取一張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片都要取出，則組成A44如果取兩張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片要取出兩張，則組成C32如果取三張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片要取出一張，則組成C31所以最多能組成24+36+12＝72(個)不同的四位數.例2解(1)由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，所以有C103＝120(2)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或沒有女生”，故可用間接法進行選取，所以有C125－(3)分三步進行，第一步：選1名男生、1名女生分別擔任體育委員和班長兩個職務有C7第二步：選2名男生、1名女生補足5人有C6第三步：為這3人安排職務有A33由分步乘法計數原理，得共有C71C51跟蹤訓練2(1)C[當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有C42當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有C21綜上，安排方案共有6+12＝18(種).](2)D[按甲報的課程分為兩類：①若甲報剪紙，則從除了陶藝的其他4門課程中再選1門，有C41種結果，乙再從剩余4門課程中選2門，有C42②若甲不報剪紙，則從除了陶藝、剪紙的其他4門課程中選2門，有C42種結果，乙再從剩余除剪紙外的其他3門課程中選2門，有C32綜上所述，共有24+18＝42(種)方案.]例3ACD[若4個小球分別放入編號為1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(種)放法，故A正確；恰有一個盒子不放球，先選一個盒子，再把4個小球分三組分配給三個盒子，則C41·C41C3恰有兩個盒子不放球，首先選出兩個空盒子，再將4個小球分為3，1或2，2兩種情況，故共C42·C43C1每個盒子只放一個小球，恰好有一個小球的編號與盒子的編號相同，首先選一個盒子放入編號相同的小球，剩下的3個小球不能放入編號相同的盒子，共有C41×2＝8(種)放法，故D正確跟蹤訓練3(1)C[第一類，甲、乙兩人去一個城市，再把另外3人分成兩組各去一個城市，有C32第二類，從除甲、乙之外的3人中選一人和甲、乙一起去一個城市，剩下的2人各去一個城市，有C31A所以不同的安排方法有18+18＝36(種).](2)B[分兩種情況：把6名大學生分為3，1，1，1四組，有C63種分法，再將4組對應四個學校，有A44把6名大學生分為2，2，1，1四組，有C62C42C21C11A綜上，不同的分配方案共有480+1080＝1560(種).]

10.2排列、組合課標要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.3.能利用排列、組合解決簡單的實際問題.1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組2.排列數與組合數(1)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，用符號An(2)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，用符號Cn3.排列數、組合數的公式及性質公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n！(n?m)！(n，m(2)Cnm=AnmAmm=n！m！(n?性質(1)0！=1；Ann=n(2)Cn0=1；Cnm=Cnn?1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(×)(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(√)(3)若組合式Cnx=Cnm，則x=m成立.((4)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m).(×2.(2024·漳州模擬)A63+A.65 B.160 C.165 D.210答案C解析A63+C108=A63+C103.(2024·內江模擬)有4名學生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列方式共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.576種答案C解析首先將2名老師排在中間4個位置中的2個位置，再將其余4名學生全排列，故不同排列方式共有A42A4.從5名男同學和4名女同學中選出3名男同學和2名女同學，分別擔任語文、數學、物理、化學和外語的課代表，選派的方法種數為.

答案7200解析首先選出3名男同學和2名女同學，共有C5再把選出來的人進行全排列，共有A55所以不同的選派的方法種數為C53C1.元素之間與順序有關的為排列，與順序無關的為組合.2.(1)排列數與組合數之間的聯系為CnmA(2)排列數與組合數公式的兩種形式分別為①連乘積形式；②階乘形式.前者多用于數字計算，后者多用于含有字母的排列數與組合數式子的變形與論證.3.解有限制條件的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.4.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.題型一排列問題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法種數.(1)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(2)全體排成一排，甲不站兩端；(3)全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰；(6)男生順序已定，女生順序不定.解(1)分兩步完成，先選3人站前排，有A73種排法，余下4人站后排，有故共有A73A44(2)方法一(特殊元素優先法)先排甲，有5種排列方法，其余6人有A66種排列方法，故共有5×A66=3方法二(特殊位置優先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他位置有A55種排法，故共有A6(3)方法一第一類，甲站在排尾，有A66=720(種)排法；第二類，甲不站兩端站中間，則甲有A51種排法，再排乙，也有A51種排法，剩下的5人有A55種排法，故有A51A方法二(間接法)在不考慮限制條件時，有A77種排法；當甲站排頭時，有A66種排法；當乙站排尾時，有A66種排法；當甲站排頭且乙站排尾時，有A55種排法.所以符合限制條件的排法共有A77-(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A44種排法，再將女生全排列，有A44種排法，故共有(5)(插空法)先排女生，有A44種排法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A53種排法，故共有A4(6)(定序問題)7名學生站成一排，有A77種排法，其中3名男生的排法有A33種，由于男生順序已定，女生順序不定，故共有思維升華求解排列問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法跟蹤訓練1(1)(2025·德陽模擬)甲、乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲、乙兩名同學中間恰有1人，則不同的站法數為()A.144 B.192 C.360 D.480答案B解析根據題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有C41②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有A44=24則有8×24=192(種)不同的站法.(2)(2024·杭州模擬)袋子中有數字“7”的卡片3張和數字“2”“3”“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個不同的四位數(用數字回答).

答案72解析如果取一張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片都要取出，則組成A44如果取兩張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片要取出兩張，則組成C32如果取三張數字“7”的卡片，則數字“2”“3”“5”的卡片要取出一張，則組成C31所以最多能組成24+36+12=72(個)不同的四位數.題型二組合問題例2從含有A，B的7名男生、5名女生中選取5名，分別求符合下列條件的不同選法種數.(1)A，B必須當選；(2)至少有2名女生當選；(3)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的職務，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任.解(1)由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，所以有C103=120(2)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或沒有女生”，故可用間接法進行選取，所以有C125-C51C(3)分三步進行，第一步：選1名男生、1名女生分別擔任體育委員和班長兩個職務有C7第二步：選2名男生、1名女生補足5人有C6第三步：為這3人安排職務有A33由分步乘法計數原理，得共有C71C51思維升華組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法；分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.跟蹤訓練2(1)某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則安排方案有()A.36種 B.24種 C.18種 D.12種答案C解析當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有C42當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有C21綜上，安排方案共有6+12=18(種).(2)為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校成立了手工藝社團，并開設了陶藝、剪紙等6門課程.該校甲、乙2名同學報名參加手工藝社團，每人僅報2門課程，其中甲不報陶藝、乙不報剪紙，且甲、乙兩人所報課程均不相同，則甲、乙報名課程的方案種數為()A.18 B.24 C.36 D.42答案D解析按甲報的課程分為兩類：①若甲報剪紙，則從除了陶藝的其他4門課程中再選1門，有C41種結果，乙再從剩余4門課程中選2門，有C42②若甲不報剪紙，則從除了陶藝、剪紙的其他4門課程中選2門，有C42種結果，乙再從剩余除剪紙外的其他3門課程中選2門，有C32綜上所述，共有24+18=42(種)方案.題型三排列組合的綜合問題例3(多選)(2024·滄州模擬)將4個編號為1，2，3，4的小球放入四個分別標有1，2，3，4號的盒子中，則下列結論正確的有()A.共有256種放法B.恰有一個盒子不放球，共有72種放法C.恰有兩個盒子不放球，共有84種放法D.每個盒子只放一個小球，恰好有一個小球的編號與盒子的編號相同，共有8種放法答案ACD解析若4個小球分別放入編號為1，2，3，4的盒子中，共有44=256(種)放法，故A正確；恰有一個盒子不放球，先選一個盒子，再把4個小球分三組分配給三個盒子，則C41·C41C3恰有兩個盒子不放球，首先選出兩個空盒子，再將4個小球分為3，1或2，2兩種情況，故共C42·C43C1每個盒子只放一個小球，恰好有一個小球的編號與盒子的編號相同，首先選一個盒子放入編號相同的小球，剩下的3個小球不能放入編號相同的盒子，共有C41×2=8(種)放法，故D思維升華對于整體均分，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以組數的全排列；對于部分均分，即若有m組元素個數相同，則分組時應除以Am跟蹤訓練3(1)(2025·銀川模擬)現有甲、乙等5名選調生前往A，B，C三個城市任職工作，若每名選調生只能去其中的一個城市，且每個城市至少安排1名選調生，其中甲和乙兩人必須去同一個城市，則不同的安排方法種數是()A.18 B.24 C.36 D.48答案C解析第一類，甲、乙兩人去一個城市，再把另外3人分成兩組各去一個城市，有C32第二類，從除甲、乙之外的3人中選一人和甲、乙一起去一個城市，剩下的2人各去一個城市，有C31A所以不同的安排方法有18+18=36(種).(2)6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案種數為()A.65 B.1560 C.2640 D.4560答案B解析分兩種情況：把6名大學生分為3，1，1，1四組，有C63種分法，再將4組對應四個學校，有A44把6名大學生分為2，2，1，1四組，有C62C42C21C11A綜上，不同的分配方案共有480+1080=1560(種).課時精練(分值：73分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·保定模擬)某地下雪導致路面積雪，現安排9名男志愿者，5名女志愿者參與掃雪和鏟雪工作，其中3名女志愿者和2名男志愿者參與掃雪工作，其余志愿者參與鏟雪工作，則不同的安排方法共有()A.240種 B.360種C.720種 D.2002種答案B解析根據分步乘法計數原理可知，不同的安排方法共有C53C2.(2024·池州模擬)甲、乙兩人分別從a，b，c，d，e五項不同科目中各選三項學習，則兩人恰好有兩項科目相同的選法有()A.30種 B.60種 C.45種 D.90種答案B解析兩人恰好有兩項科目相同的選法有C52A3.(2025·成都模擬)象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值.它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有()A.120種 B.24種 C.36種 D.12種答案D解析先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進行全排列，有A33種排法，3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進行插空，有A22種排法，則同色棋子不相鄰的排列方式有4.(2024·南京模擬)北京大興國際機場擁有機器人自動泊車系統，解決了停車滿、找車難的問題.現有3輛不同的車停放在7個并排的泊車位上，要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有種()

A.16 B.18 C.24 D.32答案C解析從7個車位里選擇4個相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個車輛，有A33=6(種)方式，則不同的泊車方案有4×6=245.(2025·重慶模擬)如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則汽車的通過順序共有()A.10種 B.20種 C.60種 D.120種答案A解析相當于把5輛汽車全排列，其中左車道2輛汽車順序不變，右車道3輛汽車順序不變，共有A55A6.2023年9月23日晚，杭州第19屆亞運會開幕式隆重舉行.甲和乙兩個賓館為了更好地服務來華國際友人，計劃從學工處雇2名會韓語的學生，1名會日語的學生做前臺接待工作.該校學工處目前有7名學生，每名學生至少會韓語、日語中的一門，其中5人會韓語，4人會日語，則不同的安排方法種數為()A.22 B.32 C.36 D.40答案B解析由題意得，這7人中有2人既會韓語又會日語，3人只會韓語，2人只會日語.當不派既會韓語又會日語的學生時，有C32當派1名既會韓語又會日語的學生時，有C21(C3當派2名既會韓語又會日語的學生時，有C22C30綜上，共有6+18+8=32(種)不同的安排方法.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)7.(2025·四川五校聯考)有五名志愿者參加社區服務，共服務周六、周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則()A.每天用抓鬮的方法從5人中選擇2人參加服務，共有100種選法B.恰有1人連續兩天參加服務的選法是60C.只有1人未參加服務的選法是30D.只有1人未參加服務的選法是60答案ABC解析對于A，每天有C52種選法，共有C52·C對于B，恰有1人連續兩天參加服務，先從5人中選1人，服務周六、周天兩天，有C51=5(種)選法，再從余下4人中選1人參加周六服務，從剩余3人中選1人參加周日服務，有C41C31=12對于C，D，只有1人未參加服務，先從5人中選1人，有C51再從余下4人中選2人參加周六服務，剩余2人參加周日服務，有C42故只有1人未參加服務的選法是5×6=30(種)，C正確，D錯誤.8.有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，下列說法正確的是()A.若5位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B.若甲、乙之間只能站1人，則不同的排法有36種C.若甲、乙、丙3位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D.若5位同學被分配到3個社區參加志愿活動，每個社區至少1位同學，則不同的分配方法有150種答案BCD解析對于A，甲、乙相鄰可看成一人，與戊一起排列形成3個空，插入丙、丁兩人即可，不同的排法種數為A22A2