§6.1數列的概念課標要求1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.1.數列的有關概念概念含義數列按照排列的一列數

數列的項數列中的

通項公式如果數列{an}的第n項an與它的之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式

遞推公式如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式數列{an}的前n項和把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝

2.數列的分類分類標準類型滿足條件項數有窮數列項數

無窮數列項數

項與項間的大小關系遞增數列an＋1an

其中n∈N*遞減數列an＋1an

常數列an＋1an

擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列3.數列與函數的關系數列{an}是從正整數集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an＝f(n).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數列.()(2)數列1，0，1，0，1，0，…的通項公式只能是an＝1＋(?1)n＋12(3)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.()(4)若數列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.()2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用小石子來研究數.如圖中的數1，5，12，22，…稱為五邊形數，則第8個五邊形數是.

3.已知數列{an}滿足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，則數列{an}的通項公式an＝.

4.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2－4n＋1，則an＝.

1.靈活應用兩個常用結論(1)若數列{an}的前n項和為Sn，則an＝S(2)在數列{an}中，若an最大，則a若an最小，則an≤an?1,an≤2.掌握數列的函數性質由于數列可以看作一個關于n(n∈N*)的函數，因此它具備函數的某些性質：(1)單調性——若an＋1>an，則{an}為遞增數列；若an＋1<an，則{an}為遞減數列，否則為擺動數列或常數列(an＋1＝an).(2)周期性——若an＋k＝an(k為非零常數)，則{an}為周期數列，k為{an}的一個周期.3.關注數列通項公式的注意點(1)并不是所有的數列都有通項公式；(2)同一個數列的通項公式在形式上未必唯一；(3)對于一個數列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規律，是不能確定這個數列的.題型一由an與Sn的關系求通項公式例1(1)(多選)(2024·黃岡模擬)數列{an}滿足：a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，則下列結論中正確的是()A.a2＝13aB.數列{an}是等比數列C.an＋1＝43an(n≥2D.數列{Sn}是等比數列(2)(2024·天津模擬)設數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋1(n∈N*)，則數列1an的前5項和為思維升華an與Sn的關系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解.跟蹤訓練1(1)(2024·漳州模擬)已知各項均不為0的數列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝an＋1，則a8A.－12 B.－1C.12 D.(2)(2025·廣州模擬)已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，則Sn＋9an題型二由數列的遞推關系求通項公式命題點1累加法例2(2024·唐山模擬)已知數列{an}滿足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，則a1等于()A.1 B.2C.3 D.4命題點2累乘法例3已知數列{an}滿足2anan＋1?an＝n，a1思維升華(1)形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法，即可求數列{an}的通項公式.(2)形如an＋1an＝f(n)的數列，利用累乘法，即可求數列{跟蹤訓練2(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，a2＝6，Sn＝(n＋1)an2(n∈NA.an＝3n B.an＝3nC.an＝n＋4 D.an＝n2＋2(2)南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，高階等差數列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.現有高階等差數列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數列的第20項為.

題型三數列的性質命題點1數列的單調性例4(2024·阜陽模擬)已知數列{an}滿足an＝2n2＋λn(λ∈R)，則“{an}為遞增數列”是“λ≥0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件命題點2數列的周期性例5(2025·孝感模擬)在數列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，則數列{an}的前2025項的積為()A.－1 B.－2C.－3 D.3命題點3數列的最值例6數列{bn}滿足bn＝3n?72n?1，則當n＝時，b思維升華(1)解決數列的周期性問題，先求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.(2)解決數列的單調性問題，常用作差比較法，根據差的符號判斷數列{an}的單調性.跟蹤訓練3(1)(2024·周口模擬)在數列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2025的值為()A.5 B.－5C.4 D.－4(2)(多選)(2024·泰安模擬)已知數列{an}的通項公式為an＝92n?7(n∈N*)，前n項和為A.數列{an}為遞減數列B.使an∈Z的項共有5項C.數列{an}有最大項a4D.使Sn取得最小值的n為4

答案精析落實主干知識1.確定的順序每一個數序號na1＋a2＋…＋an2.有限無限><＝自主診斷1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.92解析∵5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，∴相鄰兩個圖形的小石子數的差值依次增加3，∴第5個五邊形數是22＋13＝35，第6個五邊形數是35＋16＝51，第7個五邊形數是51＋19＝70，第8個五邊形數是70＋22＝92.3.n解析數列{an}滿足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，可得a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…an－an－1＝n，以上各式相加可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2(n≥2)，又a1＝1符合該式，所以a4.?2解析當n＝1時，a1＝S1＝－2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.因為當n＝1時，不滿足an＝2n－5，所以an＝?2探究核心題型例1(1)ACD[由Sn－1＝3an(n≥2)，當n＝2時，S1＝a1＝3a2＝1，解得a2＝13，所以a2＝13a故A正確；當n≥1時，可得Sn＝3an＋1，所以Sn－Sn－1＝3an＋1－3an(n≥2)，所以an＝3an＋1－3an(n≥2)，即an＋1＝43an(n≥2)，而a2＝13a1，故C正確，由Sn－1＝3an(n≥2)，得Sn－1＝3(Sn－Sn－1)(n≥2)，即SnSn?1＝43(n≥2)，所以數列{(2)22解析當n＝1時，a1＝3，當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋1，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，兩式相減可得nan＝2，所以an＝2n又當n＝1時，a1＝2，所以a1不滿足上式，所以an＝3所以1a跟蹤訓練1(1)A[因為3Sn＝an＋1，則3Sn＋1＝an＋1＋1，兩式相減可得3an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以a8a7＝－(2)7解析因為Sn＝n2＋n，則當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又當n＝1時，a1＝S1＝2，滿足an＝2n，故an＝2n，則S＝12n＋9n＋當且僅當n＝9n即n＝3時取等號，所以Sn＋9a例2D[由題意可得an＋1－an＝a1＋2n，則可得a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4，…a10－a9＝a1＋18，將以上等式左右兩邊分別相加得a10－a1＝9a1＋9×(2＋18)2＝9a即a10＝10a1＋90，又a10＝130，所以a1＝4.]例3210解析∵2ana∴2an＝n(an＋1－an)，即nan＋1＝(n＋2)an，可得an∴a20a19×a19a18×a18a17×a17a16×…×a3∴a20a1＝21跟蹤訓練2(1)A[當n＝1時，S1＝a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n整理得(n－1)an＝nan－1，方法一即an得an＝a2×a3a2×a4a3×…×anan?1＝6×32又S2＝2＋12·a2＝a2＋a1解得a1＝3，滿足上式，綜上，an＝3n(n∈N*).方法二即ann＝an所以數列an所以ann所以an＝3n(n∈N*).](2)191解析設該高階等差數列為{an}，則{an}的前7項分別為1，2，4，7，11，16，22.依題意a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…a20－a19＝19，相加可得a20－a1＝1＋2＋3＋…＋19＝19×所以a20＝190＋1＝191.例4C[由{an}為遞增數列得，an＋1－an＝[2(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(2n2＋λn)＝λ＋4n＋2>0，n∈N*，則λ>－(4n＋2)對于n∈N*恒成立，得λ>－6，可得λ≥0?λ>－6，反之不行.]例5A[因為anan＋1＝an－1，an≠0，所以an＋1＝1－1a又a1＝－2，則a2＝32，a3＝13，a4所以數列{an}的周期為3，且a1a2a3＝－1，設數列{an}的前n項積為Tn，則T2025＝a1a2a3…a2025＝(－1)675＝－1.]例645解析方法一∵bn＋1－bn＝3n∴當n≤3時，bn＋1>bn，{bn}單調遞增，當n≥4時，bn＋1<bn，{bn}單調遞減，故當n＝4時，(bn)max＝b4＝58方法二令b即3解得103≤n≤13又n∈N*，∴n＝4，故當n＝4時，(bn)max＝b4＝58跟蹤訓練3(1)C[因為a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，所以a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－4，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝5，故數列{an}的周期為6，所以a2025＝a6×337＋3＝a3＝4.](2)BC[畫出數列{an}的通項an＝92n?7(n∈N*)的圖象(圖略)，由圖可知，當1≤n≤3時，數列{an}遞減；當n≥4時，數列{an}遞減，因為a3＝96?7＝－9，a4＝98?7＝9，所以a3<a4，數列{an}不是遞減數列，故A錯誤；由A的分析可知，0>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>0，故數列{an}的最大項為a4，最小項為由an∈Z，則92n?7∈Z，又n∈N*，所以n＝2或n＝3或n＝4或n＝5或n＝8，所以使an∈Z的項共有5因為當n≤3時，an<0，當n≥4時，an>0，所以當n＝3時，Sn取得最小值，故D錯誤.]

§6.1數列的概念課標要求1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.1.數列的有關概念概念含義數列按照確定的順序排列的一列數數列的項數列中的每一個數通項公式如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式遞推公式如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式數列{an}的前n項和把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn=a1+a2+…+an2.數列的分類分類標準類型滿足條件項數有窮數列項數有限無窮數列項數無限項與項間的大小關系遞增數列an+1>an其中n∈N*遞減數列an+1<an常數列an+1=an擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列3.數列與函數的關系數列{an}是從正整數集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an=f(n).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數列.(√)(2)數列1，0，1，0，1，0，…的通項公式只能是an=1+(?1)n+12.((3)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.(×)(4)若數列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.(√)2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用小石子來研究數.如圖中的數1，5，12，22，…稱為五邊形數，則第8個五邊形數是.

答案92解析∵5-1=4，12-5=7，22-12=10，∴相鄰兩個圖形的小石子數的差值依次增加3，∴第5個五邊形數是22+13=35，第6個五邊形數是35+16=51，第7個五邊形數是51+19=70，第8個五邊形數是70+22=92.3.已知數列{an}滿足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，則數列{an}的通項公式an=.

答案n解析數列{an}滿足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，可得a1=1，a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…an-an-1=n，以上各式相加可得an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(n≥2)，又a1=1符合該式，所以a4.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2-4n+1，則an=.

答案?2,解析當n=1時，a1=S1=-2；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.因為當n=1時，不滿足an=2n-5，所以an=?2,1.靈活應用兩個常用結論(1)若數列{an}的前n項和為Sn，則an=S(2)在數列{an}中，若an最大，則an≥an?1,an≥an+1;2.掌握數列的函數性質由于數列可以看作一個關于n(n∈N*)的函數，因此它具備函數的某些性質：(1)單調性——若an+1>an，則{an}為遞增數列；若an+1<an，則{an}為遞減數列，否則為擺動數列或常數列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k為非零常數)，則{an}為周期數列，k為{an}的一個周期.3.關注數列通項公式的注意點(1)并不是所有的數列都有通項公式；(2)同一個數列的通項公式在形式上未必唯一；(3)對于一個數列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規律，是不能確定這個數列的.題型一由an與Sn的關系求通項公式例1(1)(多選)(2024·黃岡模擬)數列{an}滿足：a1=1，Sn-1=3an(n≥2)，則下列結論中正確的是()A.a2=13aB.數列{an}是等比數列C.an+1=43an(n≥D.數列{Sn}是等比數列答案ACD解析由Sn-1=3an(n≥2)，當n=2時，S1=a1=3a2=1，解得a2=13，所以a2=13a1，故當n≥1時，可得Sn=3an+1，所以Sn-Sn-1=3an+1-3an(n≥2)，所以an=3an+1-3an(n≥2)，即an+1=43an(n≥2)，而a2=13a1，故C正確，由Sn-1=3an(n≥2)，得Sn-1=3(Sn-Sn-1)(n≥2)，即SnSn?1=43(n≥2)，所以數列{S(2)(2024·天津模擬)設數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1(n∈N*)，則數列1an的前5項和為答案22解析當n=1時，a1=3，當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1，兩式相減可得nan=2，所以an=2n又當n=1時，a1=2，所以a1不滿足上式，所以an=3,所以1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=13思維升華an與Sn的關系問題的求解思路(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn-1的關系式，再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為只含an，an-1的關系式，再求解.跟蹤訓練1(1)(2024·漳州模擬)已知各項均不為0的數列{an}的前n項和為Sn，若3Sn=an+1，則a8A.-12 B.-13 C.12答案A解析因為3Sn=an+1，則3Sn+1=an+1+1，兩式相減可得3an+1=an+1-an，即2an+1=-an，令n=7，可得2a8=-a7，且an≠0，所以a8a7(2)(2025·廣州模擬)已知數列{an}的前n項和Sn=n2+n，則Sn+9an答案7解析因為Sn=n2+n，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，又當n=1時，a1=S1=2，滿足an=2n，故an=2n，則Sn+9an=n2+n+92n=12n當且僅當n=9n，即n=3所以Sn+9a題型二由數列的遞推關系求通項公式命題點1累加法例2(2024·唐山模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+a1+2n，a10=130，則a1等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由題意可得an+1-an=a1+2n，則可得a2-a1=a1+2，a3-a2=a1+4，…a10-a9=a1+18，將以上等式左右兩邊分別相加得a10-a1=9a1+9×(2+18)2=9a即a10=10a1+90，又a10=130，所以a1=4.命題點2累乘法例3已知數列{an}滿足2anan+1?an=n，a答案210解析∵2ana∴2an=n(an+1-an)，即nan+1=(n+2)an，可得an+1a∴a20a19×a19a18×a18a17×a17a16×…×a3a2∴a20a1=21×20思維升華(1)形如an+1-an=f(n)的數列，利用累加法，即可求數列{an}的通項公式.(2)形如an+1an=f(n)的數列，利用累乘法，即可求數列{跟蹤訓練2(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，a2=6，Sn=(n+1)an2(n∈NA.an=3n B.an=3nC.an=n+4 D.an=n2+2答案A解析當n=1時，S1=a1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n整理得(n-1)an=nan-1，方法一即anan得an=a2×a3a2×a4a3×…×anan?1=6×32又S2=2+12·a2=a2+a1解得a1=3，滿足上式，綜上，an=3n(n∈N*).方法二即ann=an?1n所以數列an所以ann=a22=62=3，所以an=3n(n(2)南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，高階等差數列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.現有高階等差數列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數列的第20項為.

答案191解析設該高階等差數列為{an}，則{an}的前7項分別為1，2，4，7，11，16，22.依題意a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…a20-a19=19，相加可得a20-a1=1+2+3+…+19=19×所以a20=190+1=191.題型三數列的性質命題點1數列的單調性例4(2024·阜陽模擬)已知數列{an}滿足an=2n2+λn(λ∈R)，則“{an}為遞增數列”是“λ≥0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由{an}為遞增數列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*，則λ>-(4n+2)對于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0?λ>-6，反之不行.命題點2數列的周期性例5(2025·孝感模擬)在數列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，則數列{an}的前2025項的積為()A.-1 B.-2 C.-3 D.3答案A解析因為anan+1=an-1，an≠0，所以an+1=1-1a又a1=-2，則a2=32，a3=13，a4所以數列{an}的周期為3，且a1a2a3=-1，設數列{an}的前n項積為Tn，則T2025=a1a2a3…a2025=(-1)675=-1.命題點3數列的最值例6數列{bn}滿足bn=3n?72n?1，則當n=時，b答案45解析方法一∵bn+1-bn=3n?42n-∴當n≤3時，bn+1>bn，{bn}單調遞增，當n≥4時，bn+1<bn，{bn}單調遞減，故當n=4時，(bn)max=b4=58方法二令bn≥解得103≤n≤13又n∈N*，∴n=4，故當n=4時，(bn)max=b4=58思維升華(1)解決數列的周期性問題，先求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.(2)解決數列的單調性問題，常用作差比較法，根據差的符號判斷數列{an}的單調性.跟蹤訓練3(1)(2024·周口模擬)在數列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，則a2025的值為()A.5 B.-5 C.4 D.-4答案C解析因為a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，所以a3=a2-a1=4，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-5，a6=a5-a4=-4，a7=a6-a5=1，a8=a7-a6=5，故數列{an}的周期為6，所以a2025=a6×337+3=a3=4.(2)(多選)(2024·泰安模擬)已知數列{an}的通項公式為an=92n?7(n∈N*)，前n項和為A.數列{an}為遞減數列B.使an∈Z的項共有5項C.數列{an}有最大項a4D.使Sn取得最小值的n為4答案BC解析畫出數列{an}的通項an=92n?7(n∈N*)的圖象(圖略)，由圖可知，當1≤n≤3時，數列{an}遞減；當n≥4時，數列{an}遞減，因為a3=96?7=-9，a4=98?7=9，所以a3<a4，數列{an}不是遞減數列，故A錯誤；由A的分析可知，0>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>0，故數列{an}的最大項為a4，最小項為由an∈Z，則92n?7∈Z，又n∈N*，所以n=2或n=3或n=4或n=5或n=8，所以使an∈Z的項共有5因為當n≤3時，an<0，當n≥4時，an>0，所以當n=3時，Sn取得最小值，故D錯誤.課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.觀察數列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，則該數列的第12項是()A.1212 B.12 C.ln12 D.sin12答案D解析通過觀察數列得出規律，數列中的項是按正整數順序排列，且3個為一循環節，由此判斷第12項是sin12.2.(2024·安徽省A10聯盟模擬)已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n3+n，則a4等于()A.68 B.38 C.30 D.18答案B解析a4=S4-S3=(43+4)-(33+3)=68-30=38.3.(2025·蕪湖模擬)已知{an}的通項公式為an=-n2+λn(λ∈R)，若數列{an}為遞減數列，則實數λ的取值范圍是()A.(0，+∞) B.(-∞，0)C.(-∞，3) D.(-3，+∞)答案C解析an-an+1=-n2+λn-?(n+1)2+由數列{an}為遞減數列，則2n+1-λ>0，即λ<2n+1恒成立，即λ<(2n+1)min，當n=1時，2n+1的最小值為3，即λ<3.4.已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn+1=an+1-nan+2(n∈N*)，則1aA.190 B.210 C.380 D.420答案B解析數列{an}中，n∈N*，Sn+1=an+1-nan+2，當n≥2時，Sn=an-(n-1)an-1+2，兩式相減得an+1=an+1-(n+1)an+(n-1)an-1，即(n+1)an=(n-1)an-1，因此(n+1)nan=n(n-1)an-1，顯然數列{(n+1)nan}是常數列，而S2=a2-a1+2，解得a1=1，于是(n+1)nan=2×1×a1=2，因此an=2(所以1a20=二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知數列{an}的前n項和公式為Sn=nnA.數列{an}的首項為a1=1B.數列{an}的通項公式為an=1C.數列{an}為遞減數列D.若數列{Sn}的前n項積為Tn，則Tn=1答案ABC解析對于A，數列{an}的首項為a1=S1=11+1=12，故對于B，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=nn+1-n?1n=1n(n+1)對于C，因為an+1-an=1(n+2)(n+1)-1n(n+1)對于D，Tn=12×23×34×…×nn+1=1n+1，所以數列{Sn}的前n項積T6.(2025·六安模擬)設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，an+1=4Sn，則()A.S2=5B.a2024=25a2022C.數列{an}是等比數列D.數列{Sn}是等差數列答案AB解析對于A，由an+1=4Sn，得a2=4S1=4a1=4，∴S2=a1+a2=5，A正確；對于B，an+1=4Sn，①當n≥2時，an=4Sn-1，②①-②得，an+1-an=4Sn-4Sn-1=4an，∴an+1=5an，n≥2，∴a2024=5a2023=25a2022，B正確；對于C，當n≥2時，an+1=5an，但a2=4a1，不滿足上式，∴數列{an}不是等比數列，C錯誤；對于D，由an+1=4Sn，即Sn+1-Sn=4Sn，∴Sn+1=5Sn，∴數列{Sn}是等比數列，不是等差數列，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知數列{an}滿足a1=-14，an=1-1an?1(n∈N，n>1)，則a2026答案-1解析因為a1=-14，an=1-1an?1(n∈N所以a2=1-1a1=1-1?14=5，a3=1-1a2=1-15=45，a4由此可得數列{an}為周期數列，周期為3，所以a2026=a675×3+1=a1=-148.(2025·遼寧聯考)已知數列{an}滿足a1=32，an+1-an=2n，則數列ann的最小值為答案31解析由an+1-an=2n得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2