湘教版七年級數學下冊知識點歸納

第一章二元一次方程組

一、二元一次方程組

1.概念：

①二元一次方程：具有兩個未知數，且未知數的指數（即次數）都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程組：兩個二元一次方程（或一種是一元一次方程，另一種是二元一次方程；或兩個都是一

元一次方程；但未知數個數仍為兩個）合在一起，就構成了二元一次方程組。

2.二元一次方程的解和二元一次方程組的解：

使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個未知數的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數U勺值，叫二元一次方程組的解"

注：①、由于二元一次方程具有兩個未知數，因此，二元一次方程的解是一組（對）數，用大括號聯立；

②、一種二元一次方程日勺解往往不是唯一口勺，而是有許多組；③、而二元一次方程組的解是其中兩個二元

一次方程H勺公共解，一般地，只有唯一的一組，但也也許有無數組或無解（即無公共解）。

二元一次方程組的解的討論：

已知二元一1次方程組alx+bly=cl

a2x+b2y=c2

①、當al/a2Wbl/b2時，有唯一解；

②、當al/a2=bl/b2Wcl/c2時，無解；

當al/a2=bl/b2=cl/c2時,有無數解。

例如：對應方程組：①、②、③、

例：判斷下列方程組與否為二元一次方程組：

①、a+b=2②、x=4③、3t+2s=5④、x=11

b+c=3y=5ts+6=02x+3y=0

3.用含一種未知數的代數式表達另一

種未知數：

用含X的代數式表達Y,就是先把X當作已知數，把Y當作未知數；用含YII勺代數式表達X,則相稱于把

Y當作已知數，把X當作未知數。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代數式表達y為：___________，用含y的代數式表達x

為:。

4.根據二元一次方程的定義求字母系數的值：

要抓住兩個方面：①、未知數H勺指數為1,②、未知數前的)系數不能為0

例：」知方程(a-2)x,(/a/-l)-(b+5)y*(b*2~24)-3是有關x、y口勺二元一次方程，求d、b的值。

5.求二元一次方程的整數解

例：求二元一次方程3x+4y=18H勺正整數解。

思緒：運用含一種未知數時代數式表達另一種未知數的措施，可以求出方程有正整數解時x、yI內取值范

圍，然后再深入確定脩.

解：用含x的代數式表達y:y=9/2-(3/4)x用含y的代數式表達x:x=6-(4/5)y

由于是求正整數解，則：9/2-(3/4)x>0,6-(4/3)y>0

因此，0<x<6,0<y<9/2

因此，當v=1時，x=6-4/3=14/3,舍去：當v=2時，x=6-8/3=10/3,舍去：當

y=3時，x=6-12/3=2,符合；當y=4時，x=6-16/3=2/3,舍去。

因此，3x+4y=18口勺正整數解為：

再例：①、假如是方程組ax-2y=5日勺解，求a-b的值。

2x+by=3

②、甲、乙兩人共解方程組由于甲看錯了方程①中的a,得到的方程組H勺

解

為乙看錯了方程②中的b,得到的方程組H勺解為試計算a，2023+（-”10寸2023的值。

二、二元一次方程組的解法一一消元（整體思想就是：消去未知數，化“二元”為“一元”）

1、代入消元法：由二元一次方程組中的一種方程，將一種未知數用含另一未知數日勺式子表達出來，再代入

另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種措施叫做代入消元法，簡稱代入法。

注：代入法解二元一次方程組的一般環節為：

①、從方程組中選一種系數比較簡樸的方程，將這個方程口勺一種未知數用含另一種未知數的代數

式表達出來；

②、將變形后H勺關系式代入另一種方程（不能代入本來的方程哦?。?消去一種未知數，得到一種一

元一次方程；

③、解這個一元一次方程，求出一種未知數的值：

④、將求得口勺未知數的值代入變形后H勺關系式（或本來的方程組中任一種方程）中，求出另一種未知

數的值：

⑤、把求得口勺兩個未知數口勺值用大括號聯立起來，就是方程組的解。

2、加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數前的系數相反或相等（或運用等式的性質可變為相反或相

A.B.C.D.

4.用整體代入法解方程組:

例：解方程組：

解：將②變形為：（x+2y）X2（2x-y）=192③，把①代入③得：（x+2y）X2X6=192，即x+2y=

16④

再把①和④構成新的方程組：解得：

5.此外幾種類型的例題：

（1）、若|m+n-5|+（2m+3n-5）2=0，求（m-nT的值。

（2）、已知代數式x?+ax+b,當乂=T時，它時值是5,當x=1時，它的值是-1,求當x=2時，代數

式的值。

（3）、已知方程組與有相似的解，求叫n時值。

（4）、已知方程組H勺解x、y互為相反數，求m、x以及y曰勺值。

（5）、有關x、yH勺方程組H勺解，也是方程2x+y=31nl解，求k的值。

（6）、某蔬菜企業收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷佻:。該企業的加工能力是：每天可以精加工6

噸或者粗加工16噸?，F計劃用15天完畢加工任務，該企業應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完

畢任務？假如每噸蔬菜粗加工后的利潤為100（）元，精加工后的利潤為2023元，那么照此安排，該企業發

售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？

三、實際問題與二元一次方程組

1.運用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為：審題并找出數量關系式一》設元（設未知數）一》

根據數量關系式列出方程組一＞解方程組一〉檢查并作答（注意：此環節不要忘掉）

2.列方程組解應用題的常見題型：

（1）、和差倍分問題：解此類問題的I基本等量關系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數X倍

量；

（2）、產品配套問題：解此類題的基本等量關系式是：加工總量成比例；

（3）、速度問題：解此類問題的基本關系式是：旅程=速度X時間，包括相遇問題、追及問題等；

（4）、航速問題：①、順流（風）：航速二靜水（無風）時的速度+水（風）速：

②、逆流（風）：航速=靜水（無風）時的速度-水（風）速；

（5）、工程問題：解此類問題的基本關系式是：工作總量=工作效率X工作時間，（有時需把工作總量

看作1）;

（6）、增長率問題：解此類問題的基本關系式是：原最X（1+增長率）=增長后的最，原量X（1-減少率）

=減少后日勺量；

（7）、盈虧問題：解此類問題的關鍵是從盈（過剩）、虧（局限性）兩個角度來把握事物H勺總量；

（8）、數字問題：解此類問題，首先要對H勺掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特性及其表達；

（9）、幾何問題：解此類問題的基本關系是有關幾何圖形H勺性質、周長、面積等計算公式；

（10）、年齡問題：解此類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數相等。

例1:一批水果運往某地，第一-批360噸，需用6節火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節

火車車廂加上10輛汽車，求每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？

例2:甲、乙兩物體分別在周長為400米日勺環形軌道上運動，已知它們同步從一處背向出發，25秒后相

遇，若甲物體先從該處出發，半分鐘后乙物體再從該處同向出發追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲,

假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。

例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動

時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每1()分鐘相遇一次，求二人的速度。

例4:有兩種酒每公頃需勞動力每公頃需投入資金

精溶液，甲種

酒精溶液的酒

精與水的比是

3:7,乙種酒

精溶液的酒精

與水的比是4:

1,今要得到酒

精與水的比是

3:2的酒精溶

液50kg,求甲、

乙兩種溶液各

取多少kg?

例5:一張方桌

由一種桌面和

四條桌腿構成，

假如1立方米

木料可制成方

桌桌面50個，

或制作桌腿300

條，既有5立

方米木料，請

例7:某農場有300名職問，要用多少

木料做桌面，

工耕種51公頃土地，計劃種

多少木料做桌

植水稻、棉花、蔬菜三種農腿，能使桌面

恰好配套？此

作物，已知種植多種農作物

時,可以制成

每公頃所需勞動力人數及投多少張方桌？

例6：某人要在

入資金如右表：

規定的時間內

由甲地趕往乙

地，假如他以

國架存谿F米」同款數額捐助貧困中學生J、數捐助貧困小學生人數

場艇第

史，（元）（名）（名）

覿四2

1分

模假Mt

擬

每小時75千米

的速度行駛，

則可提前24分

鐘抵達乙地，

求甲、乙兩地間

的J距離。

農作物品種

水稻4人1萬元

棉花8人1萬元

蔬菜5人2萬元

［當怎樣考?9

［排這三市

,作物If

J

卜植面毛

q

事能使目

r

，職工b

J

,工作身

P

d投入a

t

金悒好與

m\

例《某和耳

店中客方

有$人俯

\

和q人|u

\

兩種］三

人間卜）

每天12;

元，上

間每卜

天35后

一種50M

的旅游卜

到該酒L

租了若｝

間客房

且每間用

房恰好勺

滿，一

共花之

\1510元，

例9:某山區有23名中、小

如種客

學生因貧困失學需要捐助，房飛租了

多少朋

資助一名中學生的學習費用

需要a元，資助一名小學生

年級\

的學習費用需要b元。某校初一年級400024

初二年級420033

學生積極捐款，初中各年級

初三年級7400

學生捐款數額與使用這些捐

款恰好資助受捐助中學生和小學生人數的部分狀況如右表：

（1）、求a、b的值：

（2）初三年級的J捐款處理了其他貧困中小學生H勺學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生

和小學生人數。

四、三元一次方程組的解法

1.概念：由三個方程構成方程組，且方程組中共具有三個未知數，每個方程中具有時未知數的次數都是1

次，這樣的方程組叫三元一次方程組。

注：三元一次方程組中日勺三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共具有三個未知數”

的條件即可。

2、解三元一次方程組的基本思想:

消元消元

三元一次二元一次一元一次

>

方程組方程組方程

3x+41：?J=14

（代入法、加減法）（代入法、加減法）

例I：解方程組2x++5$y++2z=97

3x-t-9y+2z==38

例2:在y=ax?+bx+c中，當x=］時，y=0：x=2時，y=3；x=3時,y=28,求a、b、c口勺值。當x=T時，y

的值是多少？

例3：甲、乙、丙三數之和是26,甲數比乙數大1,甲數的兩倍與丙數日勺和比乙數大18,求這三個數。

例4：小明從家到學校的旅程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，假如保持上坡路每

小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學校

I可家只需要44分鐘。求小明家到學校H勺上坡路、平路、下坡路各是多少千米？

第二章整式的乘法

1.同底數幕的乘法：am?an=am+n,底數不變，指數相加.

2.幕的）乘方與積的乘方：Qm）n=amn,底數不變，指數相乘；（ab）n=anbn,積的乘方等于各因式乘方的

積.

3.單項式的乘法：系數相乘，相似字母相乘，只在一種因式中具有的字母，連同指數寫在積里.

4.單項式與多項式的乘法：m（a+o+c）=ma+mb+mc,用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

5.多項式的乘法：（a+b）,（c+d）=ac+ad+bc+bd.先用多項式的每一項去乘另一種多項式的1每一項.再杷

所得的積相加.

6.乘法公式：

（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2,兩個數日勺和與這兩個數的差時積等于這兩個數的平方差；

（2）完全平方公式：

①（a+b）2=a2+2ab+b2,兩個數和的平方，等于它們口勺平方和，加上它們H勺積的J2倍；

②（a-b）2=a2-2ab+b2,兩個數差H勺平方，等于它們H勺平方和，減去它們的積的2倍；

X③（a+b-c）2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.

7.配方:

X(1)若二次三項式x2+px+q是完全平方式，則有關系式：；

(2)二次三項式ax2+bx+c通過配方，總可以變為a(x-h)2+k日勺形式，運用a(x-h)2+k

①可以判斷ax2+bx+c值的符號；②當x=h時，可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k.

X(3)注意：.

8.同底數幕日勺除法：am:an=am-n,底數不變，指數相減.

9.零指數與負指數公式：

(1)aO=l(aNO)；a-n=,(a^O).注意：00,0-2無意義；

(2)有了負指數,可用科學記數法記錄不不小于1時數,例如：0.0000201=2.01X10-5.

第三章因式分解

1.因式分解

定義：把一種多項式化成幾種整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。

即：多項式幾種整式的積

例：

因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法歐I逆過程。

2.因式分解的措施：

(1)提公因式法：

①定義：假如多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的

形式，這個變形就是提公因式法分解因式。

公因式：多項式的各項都具有的相似的因式。公因式可以是一種數字或字母，也可以是一種單項式

或多項式。

系數一一取各項系數的最大公約數

,字母——取各項都含有的字母

指數一一取相同字母的最低次幕

例：的公因式是

解析：從多項式日勺系數和字母兩部分來考慮，系數部分分別是12、-8、6,它們的最大公約數為2；

字母部分都具有因式，故多項式的公因式是2.

②提公因式的環節

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并確定另一種因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

余的另一種因式。

注意：提取公因式后，對另一種因式要注意整頓并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要

先提取符號。

例1：把分解因式.

解析：本題口勺各項系數依J最大公約數是6,相似字母時最低次帚是疝，故公因式為6處。

解：

=6ab(2a-3h-4a2h2)

例2:把多項式分解因式

解析：由于，多項式可以變形為,我們可以發現多項式各項都具有公因式(),因此我們可以提取公因式()

后,再將多項式寫成積的形式.

解：

=3。-4)一/。-4)

=(37)(1)

例3:把多項式分解因式

解：=

（2）運用公式法

定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的措施叫做運用公

式法。

a.逆用平方差公式：a2-b'=（a+b）（a-b）

。.逆用完全平方公式：a2+2ab+b2=（a±b）2

C.逆用立方和公式：+/?'=（〃+/?）（/一時+//拓展）

d.逆用立方差公式：/一〃3二（。一份（/+。力+6）（拓展）

注意：①公式中的字母可代表一種數、一種單項式或一種多項式。

②選擇使用公式小J措施：重要從項數上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項

式，可考慮完全平方公式。

例1：因式分解

解：=

例2:因式分解

解：=

（3）分組分解法（拓展）

①將多項式分組后能提公因式進行因式分解；

例：把多項式分解因式

解：==

②將多項式分組后能運用公式進行因式分解.

例：將多項式因式分解

解:

-(a2-lab-\-h2)-\=(a-b)2-1=

(4)十字相乘法(形如形式口勺多項式，可以考慮運用此種措施)

措施：常數項拆成兩個因數，這兩數的和為一次項系數

公+(p+q)x+pq

1______且

x"+(/?+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例：分解因式分解因式

補充點詳解補充點詳解

我們可以將-30分解成pXq的形式，我們可以將100分解成pXq的形式，

使p+q-1,pXq-30,我們就有p—6,使p+q-52,pXq-100,我們就有p-2,

q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50<,

因此將多項式/+(p+q)x+pq可以分因此將多項式/+(〃+夕)X+〃夕可以分

解為(x+p)(x+q)解為(x+p)(x+g)

x2-x-30=(x-6)(x+5)x2+52A+100=(X+50)(x+2)

3.因式分解的一般環節:

假如多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式口勺多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以

上的多項式，

一、一般采用分組分解法，最終運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三

分組”、“四十字二

二、注意：因式分解一定要分解到每一種因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目

沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應當是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的成果,

必須是幾種整式的積的形式。

三、例題解析

提公因式法

提取公因式：假如多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.

確定公因式的I措施：

系數——取多項式各項系數的最大公約數：

字母（或多項式因式）——取各項都具有的字母（或多項式因式）的最低次事.

分解因式：

（1）15〃（4-力）~"”一10R?（力一“戶（〃為正整數）

⑵4a2n+lbm-（小、〃為不小于1的自然數）

分解因式：，為正整數.

先化簡再求值，，其中，.

求代數式的值：，其中.

己知：，求的值.

分解因式：.

公式法

平方差公式：

①公式左邊形式上是一種二項式，且兩項的符號相反；

②每一項都可以化成某個數或式的平方形式；

③右邊是這兩個數或式的I和與它們差的積，相稱于兩個一次二項式口勺積.

完全平方公式：

①左邊相稱于一種二次三項式；

②左邊首末兩項符號相似且均能寫成某個數或式的完全平方式；

③左邊中間一項是這兩個數或式的積的2倍，符號可正可負；

④右邊是這兩個數或式附和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定.

某些需要理解的公式：

/+//=(〃+b)(a2-ab+b2)a3-1/=(a-b)(a2+ab+b2)

(a+b)3="+3a2b+3ab?+b?(a-b)3=ay-3a2b+3ab2-b3

第四章相交線與平行線

一、知識網絡構造

相交線

相交線垂線

同位角、內錯角、同旁內角

［平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線

定義：______________________________

判定1:同位角相等，兩直線平行

平行線及其判定

平行線的判定判定2:內錯角相等，兩直線平行

相交線與平行線判定3:同旁內角互補，兩直線平行

判定4：平行于同一條直線的兩直線平行

性質1：兩直線平行，同位角相等

性質2：兩直線平行，內錯角相等

平行線的性質性質3：兩直線平行，同旁內角互補

性質4：平行于同一條直線的兩直線平行

命題、定理

平移

二、知識要點

1.在同一平面內，兩條直線H勺位置關系有兩種：相交和平行，垂直是相交的一種特殊狀況。

2.在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線。假如兩條直線只有一種公共點，稱這兩條直線相交；假

如兩條直線沒有公共點，稱這兩條直線平行。

3.兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊U勺兩個先是

鄰補角。鄰補角的性質：鄰補角互補。如圖1所示，與互為鄰補角，

與互為鄰補角。+=180°；+=180°；+=180°；

十-180°。

4.兩條直線相交所構成日勺四個角中，一種角的兩邊分別是另一種角口勺兩邊的反向延長線，這樣的兩個角互

為對頂角。對頂角的性質：對頂角相等。如圖1所示，與互為對頂角。=;

5.兩條直線相交所成日勺角中，假如有一種是直角或90。時，稱這兩條直線互相垂直，

其中一條叫做另一條的垂線.如圖2所示，當=90°時,±

垂線的性質：

性質1:過一點有且只有一條直線與己知直線垂直。

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

性質3：如圖2所示，當a_Lb時，====90°。

點到直線H勺距離：直線外一點到這條直線口勺垂線段的長度叫點到直線的距離。

6.同位角、內錯角、同旁內角基本特性：

①在兩條直線（被截線）的同一方，都在第三條直線（截線）的同一側，這樣

的兩個角叫同位角。圖3中，共有對同位角：與是同位角；

與是同位角；與是同位角；與是同位角。

②在兩條直線（被截線）之間，并且在第三條直線（截線）口勺兩惻，這樣的兩個角叫內錯角。圖3中，共有

對內錯角：與是內錯角；與是內錯角。

③在兩條直線（被截線州勺之間，都在第三條直線（截線）口勺同一旁，這樣的兩個角叫同旁內角。圖3中,

共有對同旁內角：與是同旁內角；與是同旁內角。

7、平行公理：通過宜線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，假如a〃b,

則二；二:二；二。

性質2:兩直線平行，內錯角相等。如圖4所示，假如a〃b,則=;=

性質3：兩直線平行，同旁內角互補。如圖4所示，假如a〃b,則+=180°；

+=180°o

性質4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。假如a〃b,a〃c,則〃。

8、平行線的鑒定：

鑒定1:同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，假如=

或=或=或=，則a〃b。

鑒定2：內錯角相等，兩直線平行。如圖5所示，假如=或=,則a〃bo

鑒定3:同旁內角互補，兩直線平行。如圖5所示，假如+=180°；

+二180°,則@〃機

鑒定4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。假如a〃b,a〃c,則〃。

9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由題設和結論兩部分構成，有真命題和假命題之分。假如題

設成立，那么結論一定成立，這樣日勺命題叫真命題：假如題設成立，那么結論不一定成立，這樣的命

題叫假命題。真命題的對口勺性是通過推理證明日勺，這樣口勺真命題叫定理，它可以作為繼續推理內根據。

10、平移：在平面內，將一種圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相似。平移后得到的新圖形中每一點，都是白原圖形中H勺

某一點移動后得到的，這樣口勺兩個點叫做對應點。

平移性質：平移前后兩個圖形中①對應點的連線平行且相等；②對應線段相等；③對應角相等。

第五章旋轉

一.知識框架

二.知識概念

1.旋轉:在平面內，將一種圖形繞一種圖形按某個方向轉動一種角度，這樣的運動叫做圖形H勺旋轉。這個定

點叫做旋轉中心，轉動打勺角度叫做旋轉角。（圖形的J旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個同定點旋轉固

定角度H勺位置移動，其中對■應點到旋轉中心的距離相等，對應線段日勺長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖

形的大小和形狀沒有變化。）

2.旋轉對稱中心：把一種圖形繞著一種定點旋轉一種角度后，與初始圖形重疊，這種圖形叫做旋轉對稱圖形,

這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉口勺角度叫做旋轉角（旋轉角不不小于0°,不小于360°）。

3.中心對稱圖形與中心對稱：

中心對稱圖形：假如把一種圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重疊，那么我們就說，這個圖形成中心對

稱圖形。

中心對稱：假如把一種圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一種圖形重疊，那么我們就說，這兩個圖形成中

心對稱。

4中心對稱的性質:

有關中心對稱日勺兩個圖形是全等形。

有關中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分.

有關中心對稱口勺兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）旦相等。

一、精心選一選（每題3分，共30分）

.卜面的圖形中，是中心對稱圖形的是（

A.B.C.D.

.平面直角坐標系內一點P（-2,3）有關原點對稱的點日勺坐標是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（-2,-3）D.（2,-3）

.3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉180。后得到如圖（2）所示，則她所旋轉日勺

牌從左數起是（）

A.第一張B.第二張C.第三張D.第四張

.在下圖右側[向四個三角形中，不能由AABC通過旋轉或平移得到的是（）

.如圖3[J勺方格紙中，左邊圖形到右邊圖形口勺變換是（）

A.向右平移7格

B.以ABI向垂直平分線為對稱軸作軸對稱，再以AB為對稱軸作軸對稱

C.繞AB的中點旋轉1800,再以AB為對稱軸作軸對稱

D.以AB為對稱軸作軸對稱，再向右平移7格

.從數學上對稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不一樣于此外三組的一組是（）

A.ANEGB.KBXN

D.ZDWH

.如圖4,C是線段BD上一點，分別以BC.CD為邊在BD同側作等邊AABC和等邊ACDEAD交CE于F,BE

交AC于G,則圖中可通過旋轉而互相得到口勺三角形對數有（）.

A.I對B.2對C.3對D.4對

.下列這些復雜H勺圖案都是在一種圖案H勺基礎上，在“幾何畫板”軟件中拖動一點后形成的，它們中每一種

圖案都可以由一種“基本圖案”通過持續旋轉得來，旋轉的角度是（）

A3（rB45°C6（FD9（T

.如圖5所示，圖中口勺一種矩形是另一種矩形順時針方向旋轉90°后形成的J個數是（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

如圖6,AABC和AADE都是等腰直角三角形，NC和NADE

都是直角，點C在AE上，△ABC繞著A點通過逆時針旋轉后能

夠與AADE重疊得到圖7,再將圖23—A-4作為“基本圖形”繞

著A點通過逆時針持續旋轉得到圖7.兩次旋轉口勺角度分別為（）

A.45°,90°B.90°,45°

C.60°,30°D.30°\60

二、耐心填一填（每題3分，共24分）

—?

.有關中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都通過,并且被

_____________平分.

.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形口勺是

.時鐘上H勺時針不停地旋轉，從上午8時到上午II時，時針旋轉R勺旋轉角是.

.如圖8,4ABC以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉60°,得AAB'C',則AABB'是三角形.

.已知aVO,則點P(a2,—a+3)有關原點口勺對稱點P1在第象限

.如圖9,ZXCOD是AAOB繞點。順時針方向旋轉40°后所得的圖形，點C恰好在AB上，ZAOD=90C,

則/D的度數是

.如圖10,在兩個同心圓中，三條直徑把大圓提成相等的六部分，若大圓的半徑為2,則圖中陰影部分H勺

面枳是.

.如圖,四邊形ABCD中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,AEXBC于E,若線段AE=5,則S四邊形ABCD

出1八

三、細心解解(共46分)

.16分)如圖12,四邊形ABCD的NBAD=NC=90°,AB=AD,AE_LBC于E,旋轉后能與重疊。

(1)旋轉中心是哪一點？

(2)旋轉了多少度？

(3)假如點A是旋轉中心，那么點B通過旋轉后，點B旋轉到什么位置？

14分）如圖13,請畫出有關點0點為對稱中心日勺對稱圖形

o

都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后,

代I頂點均在格點上，點的坐標為.

①把向上平移5個單位后得到對應的，畫出，并寫出的坐標；

②以原點為對稱中心，再畫出與有關原點對稱的，并寫出點的坐標.

7

//

/

//

/4

V

18.（4分）如圖15,方格中有一條漂亮可愛的小金魚.

（I）若方格的邊長為1,則小魚的）面積為

（2）畫出小魚向左平移3格后的圖形（不規定寫作圖環節和過程）.

.（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCDH勺邊CD、DA上一點，且CE+AF=EF,請你用旋轉的措施求

NEBF的大小.

19.（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片/和/.將這兩張三角

形膠片H勺頂點/與頂點/重疊，把/繞點/順時針方向旋轉，這時/與/相交于點/.

圖①圖②圖③

（1）當/旋轉至如圖②位置，點/,/在同一直線上時，/與/的數量關系是

2分

（2）當/繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？清闡明理血

（3）在圖③中，連接/,探索/與/之間有怎樣日勺位置關系，并證明.

第六章數據的分析

一、知識點講解：

L平均數：

（1）算術平均數：一組數據中，有n個數據，則它們的算術平均數為

.二.+/+…+%

n

（2）加權平均數:

若在一組數字中，/出現/次，/出現/次，…，/出現/次，那么

叫做/、/、…、/的J加權平均數。其中，/、/、…、/分別是/、/、…、/的權.

權的理解:反應了某個數據在整個數據中時重要程度。

權的表達措施：比、比例、頻數（人數、個數、次數等）。

2.中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的次序排列，假如數據的個數是奇數，則處在中間位置

時數就是這組數據的中位數；假如數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

3.眾數：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。

4.平均數中位數眾數的區別與聯絡

相似點

平均數、中位數和眾數這三個記錄量的相似之處重要表目前：都是來描述數據集中趨勢的記錄量；都可用

來反應數據的一般水平；都可用來作為一組數據的代表。

不一樣點

它們之間的I區別，重要表目前如下方面。

1）、定義不一樣

平均數：一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據口勺平均數。

中位數：將一組數據按大小次序拌列，處在最中間位置的一種數叫做這組數據的中位數。

眾數：在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。

2）、求法不一樣

平均數：用所有數據相加口勺總和除以數據H勺個數，需要計算才得求出。

中位數：將數據按照從小到大或從大到小的次序排列，假如數據個數是奇數，則處在最中間位置時數就是

這組數據的中位數；假如數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數是這組數據的中位數。它的求出不

需或只需簡樸的計算。

眾數：一組數據中出現次數最多的那個數，不必計算就可求出。

3）、個數不一樣

在一組數據中，平均數和中位數都具有惟一性，但眾數有時不具有惟一性。在一組數據中，乜許不止一種

眾數，也也許沒有眾數。

4）、代表不一樣

平均數：反應了一組數據口勺平均大小，常用來一代表數據的總體“平均水平”。

中位數：像一條分界線，將數據提成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數據的“中等水平”。

眾數：反應了出現次數最多的數據，用來代表一組數據的“多數水平”。

這三個記錄量雖反應有所不一樣，但都可表達數據的集中趨勢，都可作為數據一般水平的代表。

5）、特點不一樣

平均數：與每一種數據均有關，其中任何數據的變動都會對應引起平均數的變動。重要缺陷是易受極端值的

影峋，這里的極端值是指偏大或偏小數。

中位數：與數據的排列位置有關，某些數據的變動對它沒有影響：它是一組數據中間位置上的代表值，不

受數據極端值的影響。

眾數：馬數據出現歐I次數有關，著眼于對各數據出現日勺頻率的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有

關，不受極端值的影響，其缺陷是具有不惟一性，一組數據中也許會有一種眾數，也也許會有多種或沒有。

6)、作用不一樣

平均數：是記錄中最常用的數據代表值，比較可靠和穩定，由于它與每一種數據均有關，反應出來的J信息

最充足。平均數既可以描述一組數據自身的整體平均狀況，也可以用來作為不一樣組數據比較的一種原則。

因此，它在生活中應用最廣泛，例如我們常常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。

中位數：作為一組數據的代表，可靠性比較差，由于它只運用了部分數據。但當一組數據口勺個別數據偏大

或偏小時，用中位數來描述該組數據的集中趨勢就比較合適。

眾數：作為一組數據口勺代表，可靠性也比較差，由于它也只運用了部分數據。。在一-組數據中，假如個別數

據有很大H勺變動，且某個數據出現的次數最多，此時用該數據(即眾數)表達這組數據的“莫中趨勢”就

比較適合。

5.極差：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差。極差反應的是數據的變化范圍。

6.方差：設有n個數據，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，…，我們用它們的平均數，即用

s2=-[(%1-^)2+(x-X)2+..?+(x?-x)2]

n2

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。

當一組數據比較小時可以用公式=一](芭2+^2+…+)一〃X一]計算。

n

方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，就越穩定。

原則差：方差的算術平方根，即

并把它叫做這組數據日勺原則差.它也是一種用來衡量一組數據的波動大小的重要口勺量.

7.極差、方差和原則差的區別與聯絡：

聯絡：極差、方差和原則差都是用來衡量（或描述）一組數據偏離平均數的大小（即波動大?。┑闹笜?，常

用來比較兩組數據的波動狀況。

區別：極差是用一組數據中H勺最大值與最小值的差來反應數據的變化范圍，重要反應一組數據中兩個極端

值之間的差異狀況，對其他的數據的波動不敏感。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最終再平均”的措施得到的成果，重要反應整組數據的波動狀況，

是反應一組數據與其平均值離散程度的一種重要指標，每個數年據的變化都將影響方差的成果，是一種對

整組數據波動狀況更敏感日勺指標。在實際使用時，往往計算?組數據的方差，來衡量?組數據的波動大小。

原則差實際是方差的一種變形，只是方差的單位是原數據單位的平方，而原則差日勺單位與原數據單位相似。

8.數據的搜集與整頓的環節：

1.搜集數據2.整頓數據3.描述數據4.分析數據5.撰寫調查匯報6.

交流

9.平均數、方差的三個運算性質

假如一組數據xl,x2,x3,……，xnH勺平均數是/,方差是s2.

那么（1）一組新數據xl+b,x2+b,x3+b,...,xn+bt內平均數是/+b,方差是s2。

一組新數據axl,ax2,ax3,...,axn的J平均數是a/,方差是a2s2.

（3）一組新數據axl+b,ax2+b,ax3+b,...,axn+b的平均數是a/+b,方差是a2s2.

二、經典例題：

1.5名同學目測同一本教科書的寬度時，產生的誤差如下（單位：mni）:則這組數據的極

差為（).

A.4mmB.3mmC.5mmD.0mm

2.小偉五次數學考試成績分別為：86分，78分，80分，85分，92分，李老