數量關系

(一)數字推理

(1)數字性質：奇偶數，質數合數，同余，特定組合表現的特定含義如n

=3.1415926,階乘數列。

(2)等差、等比數列，間隔差、間隔比數列。

(3)分組及雙數列規律

(4)移動求運算數列

(5)次方數列(1.基于平方立方的數列2.基于2%次方數列，3暴的2,3次

方交替數列等為主體架構的數列)

(6)周期對稱數列

(7)分數與根號數列

(8)裂變數列

(9)四則組合運算數列

(10)圖形數列

(二)數學運算

(1)數理性質基礎知識。

(2)代數基礎知識。

(3)拋物線及多項式的靈活運用

(4)連續自然數求和和及變式運用

(5)木桶(短板)效應

(6)消去法運用

(7)十字交叉法運用(特殊類型)

(8)最小公倍數法的運用(與剩余定理的關系；

(9)雞兔同籠運用

(10)容斥原理的運用

(11)抽屜原理運用

(12)排列組合與概率：(重點含特殊元素的排列組合，插板法已經變式,

靜止概率以及先【后】驗概率)

(13)年齡問題

(14)幾何圖形求解思緒(求陰影部分面積割補法為主)

(15)方陣方體與隊列問題

(16)植樹問題(直線和環形)

(17)統籌與優化問題

(18)牛吃草問題

(19)周期與日期問題

(20)頁碼問題

(21)兌換酒瓶的問題

(22)青蛙跳井(尋找臨界點)問題

(23)行程問題(相遇與追擊，水流行程，環形追擊相遇：變速行程，曲線

(折返，高山，緩行)行程，多次相遇行程，多模型行程對比)

數學應用題解題方法精講

⑴套用公式法。

合用于計算里程、計算方陣人數、計算工程、排列組合等問題。

【例題】某校學生排成一個方陣，最外層人數是40人，問此方陣共有學生多

少人？

A.1O1B.lllC.⑵D.131【解析】答案為C。(40+4+1)2=121

⑵運用經驗法。

如種樹、爬樓梯，計算時間、年月日與星期兒等問題，需要具有平常生產、生

活的基本知識。如在道路兩旁種樹時開始處應先種一棵，所以需加1,然后乘2；

計算樓梯臺階時由于一層沒樓梯，所以需減1;計算時間需要懂得鐘表上秒、

分、小時的推算，計算月日需記住公歷中的135.7、8、10、12這七個大月每月

為31天，4.6.9、11這四個小月每月為30天。2月為28天(年份被4整除時為29

天)；計算星期幾時，需將天數+7,余數與原星期數相加，若得數大于7時則需減

7,所得之數就是所求的星期幾。

【例題】假如2023年12月1日是星期五，那么2023年的3月1日是星期

幾？

A.四B.五C.六D.日【解析】答案為C。(365+31+31+29)+7=

65…1；貝IJ5+1=6。

⑶設未知數法。

這種方法在應用題中較多采用，考試時在草稿紙上簡要計算，不久會找到對的

選項。如計算人數、圈數(人、馬等在跑道上跑)、款數、腿數(雞免同籠之類的

題)、年齡等。

【例題】兩年前兒子的年齡是母親的1/6,今年兒子的年齡是父親的1/5,且兩

年前兒子的年齡是當年父親年齡減去母親年齡之差，求今年父親的年齡為多少

歲？

A.24B.26C.28D.30【解析】答案為D。設今年父親的年齡為X

歲，則今年兒子的年齡是1/5X。兩年前兒子的年齡是1/5X-2,母親的年齡是

6(l/5X-2)o則有等式：1/5X-2=(X-2)-6(l/5X-2),算得X=3。。

⑷跨越陷阱法。

有些應用題中設立有“陷阱”或“臨界狀態”，即出題人給出的四個選項中

有一個似乎是對的的，其實不然，而是個“陷阱”；另有一些題則是在四個選項

中，有一個是最高限制，再多一點就會發生質變，那么這一個選項就是“臨界狀

態”。

【例題】一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，共52張(抽出大小王不

計)。現在從中任意抽牌，問最少抽兒張牌，才干俁證有4張牌是同一種花色的？

A.12B.13C.15D.16【解析】答案為B。假設每種花色開始都是

抽了3張，共12張，第13張就是“臨界點”。

(23)特別對待法。

有些很特殊的題型。，求最大值或平均值、幾何的、列方程式的、棋子投放

的、“步步為營”的、職務任期算法等，需要用特別的有針對性的辦法解決。

【例題】設有7枚硬幣，其中五分、一角和五角的共三種，且每種至少有一

枚。若這7枚硬幣總價值為1.75元，則五分的至少有幾枚？

A.lB.2C.3D.4【解析】答案為Co五角3個，一角1個,五分

3個。

(6)力口“1”計算法

【例題】一條街長200米，街道兩旁每隔4米栽一棵核桃樹，問共栽多少棵？

A.50B.51C.100D.102【解析】答案為D。2004-4+1

⑺減“1”計算法

【例題】小馬家住在第5層樓，假如每層樓之間樓梯臺階數都是16,那么小馬

每次回家要爬多少臺階？

A.80B.60C.64D.48【解析】答案為Co16X(5-1)

(8)爬繩計算法

【例題】單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米后又滑下半米

來。問小趙需幾次才干爬上單杠？

A.8B.7C.6D.5【解析】答案為B。(4.1)+0.5+1=7

⑼余數相加計算法

【例題】2023年8月1日是星期二，2023年的8月1日是星期幾？

A.二B.三C.四D.五【解析】答案為D。(365+366)+7=104……

3;3+2=5o(2023年為閏年，2月29天)

(10)找共同數法

【例題】小馬下星期要去某飯店午餐，要去參觀美術館，要去稅務所辦事，還

要去某醫院看病。已知該飯店是星期三關門，美術館星期一、三、五開門，稅務

所星期六、日不辦公，該醫院星期二、五、六門診。那么，小馬應當星期幾去才

干一天把這四件事都辦完呢？

A.六B.五C四D.三【解析】答案為B。(11)月日計算法

【例題】假如今天是2023年11月28日，那么再過105天是2023年的幾月幾

日？

A.2023年2月28日B.2023年3月11日

C.2023年3月12日D.2023年3月13B【解析】答案為D。105-(2+

31+31+28)=13(3月)

(12)比例分派計算法

【例題】一個村的東、西、南、北四條街的總人數是50()人，四條街人數比

例為1:2:3:4,問北街的人數是多少？

A.250B.200C.220D.230【解析】答案為B。500X(4/10)=200

(13)倍數計算法

【例題】女童小囪今年4歲，媽媽今年28歲，那么，小囪多少歲時，媽媽的年

齡是她的3倍？

A.10B.I1C.12D.13【解析】答案為C。設X年后媽媽的年

齡是小囪的3倍，則：(X+28)+(X+4)=3,求得X=8o

(14)雞兔同籠計算法

【例題】一段公路上共行駛106輛汽車和兩輪摩托車，它們共有344只車輪,

問汽車與摩托車各有多少輛？

A.68,38B.67,39C.66,40D.65,41【解析】答案C。4X+2Y=344且

X+Y=106,求得X=66

(15)人數計算法

【例題】某劇團男女演員人數相等，假如調出8個男演員，調進6個女演員后,

女演員人數是男演員人數的3倍，該劇團原有多少女演員？

A.20B.15C.30D.25【解析】答案為B。(X+6)+(X-8)=3,

求得X=15

(16)工程計算法

【例題】一個水池有兩根水管，一根進水，一根排水。假如單開進水管，10分

鐘將水池灌滿，假如單開排水管，15分鐘把一池水放完。現在池子是空的，假如

兩管同時開放，多少分鐘可將水池灌滿？

A.20B.25C.30D.35【解析】答案為C。1+(1/10-1/15)=30

(17)資金計算法

【例題】某協會開年會，需預算一筆錢作經費，其中發給與會者的生活補貼占

10%,會議資料費用1500元，其他費用占20%,還剩下2023元。問該年會的預算

經費是多少元？

A.7000B.6000C.5000D.4000【解析】答案為C。

(18)對分計算法

【例題】某大單位有一筆會議專用款,第一次用去1/5后，就規定每召開一次會

議可用去上次會議所剩款的1/5,連續開了四次會議后剩余余款為40.96萬元，問

該單位這筆會議專用款是多少萬元？

A.100B.120C.140D.160【解析】答案為A。X(l-1⑸(1J/5)

(1-1/5)(1-1/5)=40.96；解得X=100萬元

(19)排列組合法

所謂排列是指從M個不同元素中取出N個，然后按任意一種順序排成一列，稱

為一個排列。用PMN或AMN來表達。如從ABC三種元素中每次取兩個，共得

多少個排列？PMN或AMN表達，共得AB.AC.BA.BC.CA.CB計6個排列。

所謂組合是指從M個不同元素中任意取出N個成一組，稱為組合。用CMN來

表達。如從4個元素ABCD中每組取3個得到的不同組合有多少個？C43,即

ABC.ABD.ACD.BCD計4個。

【例題】小張到食品店準備買3種面包中的一種，4種點心的兩種，以及4種香

腸中的一種。若不考慮食品挑選的順序，則他有多少種不同的選擇方法？

A.36B.72C.82D.92【解析】答案為B。3X(4X3/2)X4=72

(20)代入法

【例題】一個小于10()的整數，與4的差是6的倍數，與4的和是7的倍數。這個數

最大的是多少？

A.86B.88C.94D.95【解析】答案為C。將ABCD選項中的

數據從大到小代入，可知C對的。

(21)分段計算法

【例題】某農村產品推銷服務公司推銷農產品項目所涉及的金額按一定二匕例

收取推銷費，具體標準如下：1000元(含)以下收5元；1000元以上5000元(含)以下

部分收取3%；5()0()元以上，1(X)()。元(含)以下的部分收取2%。(如一項農產品所

涉及金額為5000元時應收125元)。現有一農產品價值10000元，問所收取的推銷

費為多少元？

A.200B.225C.250D.275【解析】答案為B。5(1000)+120(4000)

+100(5000)=225

(22)集合法

【例題】某大學某班有學生50人報名參與校運會，其中報名參與田賽項目的有

40人，報名參與徑賽項目的有25人。據此可知，該班報名參與田賽和徑賽兩項目

的有多少人？

A.至少有1()人B.有2()人C.至少有15人D.至多有3()人

【解析】答案為C。(40+25)-50=15

跑圈計算法

【例題】A.B兩人從同一起跑線上繞300米跑道跑步，A每秒跑6米，B每秒跑4

米，問第二次在起跑線追上B時A跑了幾圈？

A.4B.6C.8D.10【解析】答案為B。[3004-(6-4)]X2X6=

1800M；1800M+300=(6圈)

(24)步步為營法

【例題】某商品某日售出紅、黃、藍、白、紫五種顏色的裙子8條(每種至少

售出1條)，其中紅色的30元1條，黃色的32元1條，藍色的34元1條，白色的36元1條,

紫色的38元1條。8條裙子的共售價為276元。那么，至少售出3條的是哪種顏色?

A.紅或黃B.白C.藍D.紫【解析】答案為B。276-(30+32+34+36

+38)=106；106=36X2+34

(25)列方程法

【例題】在商品店里，商品甲比商品乙貴30元，商品甲漲價50%后，其價格是

商品乙的3倍。問商品甲的原價是多少元？

A.30B.40C.50D.60【解析】答案為D。設商品甲原價是X元,

則商品乙是X-30元，X(1+50%)=3(X-30),求得X=60

(26)求方陣人數法

【例題】某校學生剛好排成一個方隊，最外層每邊的人數是24人，問該方陣有

多少名學生？

A.600人B.576人C.550人D.535人【解析】答案為B。24X24=576；

“最外層每邊多少人”與“最外層共有多少人”算法不同

(27)求圓周長法

【例題】如圖所示，以大圓一條直徑上的7個點為圓心，畫出7個緊密相連的小

圓。那么，大圓的底長與其內部7個小圓的周長之和之比較，結果是：

A.大圓的周長大于7個小圓周長之和

B.7個小圓周長之和大于大圓的周長

C.大圓周長與7個小圓周長同樣長

D.無法判斷【解析】答案為Co2TIR

(28)正方形分解法

【例題】一個正方形可否剪成9個正方形？能否剪成11個大小不等的小正方

形？

A前者不能，后者能B前者能，后者不能C兩者都不能D兩者都能

【解析】答案為B。前者每邊三等份即可；后者顯然不可。

(29)求三角形的數目與度數法

【例題】下圖的五邊形由三個三角形組成，問五邊形內角之和為多少度？

A.3600B.5400C.480°D.7200【解析】答案為B。180°X3

(30)棋子投放法

【例題】小馬與小趙共有珍珠1()()顆，假如小馬先將自己的2()顆送給小趙，之

后小趙又將自己現有珠子中的30顆送給小馬，則兩人擁有的珠子數相等，句小

馬與小趙原有珠子各多少顆？

A.50,50B.60,40C.40,60D.45,55【解析】答案為Co

(31)求正方體表面積法

【例題】在一個邊長為3寸的立方體的一個表面上，再粘上一個邊長為2寸的小

正立方體，然后再將新立方體的表面涂成紅色，則紅色表面積共有多少平方

寸？

A84B74C70D62【解析】答案為C。3X3X6+2X2X&2X

2X2=70

(32)被個位數整除法

【例題】整數42具有可被它的個位數字所整除的性質。試問在10和4()之間有

多少個整數具有這種性質？。

A.10B.12C.14D.16【解析】答案為B。11.12.15.—21.22.24.25.—

31.32.33.35.36.

(33)戲票價遞增法

【例題】某電影院有2500個座位。當每張票售價20元時票能售完，若每張票

增長5元時，就要少售出100張，假如某場僅售出2023張，問該影院最多可收入

多少元？

A.70000B.80000C.90000D.100000【解析】答案為C。設每張X

元,則：2500-(X-20)4-5X100=2023,求得X=45元，收入為2023X45=90000

元

(34)任期算法

【例題】假如某社規定，每位主任都任職一屆，一屆任期4年，那么2023期間

該社最多有幾位主任任職？

A.3B.4C.5D.6【解析】答案為B。10+4+1+1=4

(35)求整數的最大值與平均值法

【例題】假設三個相異正整數中的最大數的最大(小)值是54,則三個數的最

小平均值是多少？

A.17B.19C.21D.23【解析】答案為B。根據題意，X+Y+Z

力1+2+54,則(X+Y+Z)+32(1+2+54)+3219

(36)均分物品的算法

【例題】一個由勞動者組成的臨時班在完畢任務之后要解散了，班長把大伙

兒共有物品提成若干份后所有分給了各位勞動者。其分派的規則是：笫一個人

拿一份物品和剩下的1/10,第二個人拿兩份物品和剩下的1/10,第三個人拿3份

物品和剩下的1/10,以此類推，結果所有勞動者拿到的物品都同樣多。問該班

共有多少個勞動者？

A.5B.9C.15D.21【解析】答案為B。設有X個勞動者。當第

X個勞動者拿了X份財物，就不再有剩下的1/1()了，此為解題之關鍵。

X=1+(XXX-l)/10；解得X=9

(37)傳球排序計算法

【例題】4人進行籃球傳球練習，規定每人接球后再傳給別人。開始由甲發

球，作為第一次傳球，若第5次傳球后，球又回到甲手中(5種傳球方式)，則共有

傳球方式多少種？

A60B65C70D75【解析】答案為A。

：公務員考試行測數量關系49個常見問題公式法巧解

一、頁碼問題

對多少頁出現多少1或2的公式

假如是X千里找幾，公式是1000+X00*3假如是X百里找幾，就是100+X0*2,

X有多少個0就*多少。依次類推!請注意,要找的數一定要小于X,假如大于X

就不要加1000或者100一類的了，

比如,7000頁中有多少3就是1000+700*3=3100(個)

20230頁中有多少6就是2023*4=8000(個)

友情提醒，如3000頁中有多少3,就是300*3-1=901,請不要把3000的3忘了

二，握手問題

N個人彼此握手，則總握手數

S=(n1)[alia(nl)}/2=(n1){HH(n2))/2=[n-2nJ/2=NX(N1)/2

例題：

某個班的同學體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2

個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學有()人

A.16B.17C.18D.19【解析】此題看上去是一

個排列組合題，但是卻是使用的多邊形對角線的原理在解決此題。按照排列組

合假設總數為X人則Cx取3=152但是在計算X時卻是相稱的麻煩。我們仔細

來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x-3次手。每個人都是

這樣。則總共握了xX(x-3)次手。但是沒2個人之間的握手都反復計算了1次。

則實際的握手次數是xX(x-3)4-2=152計算的x=19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=（x+a）/60a時鐘前面的格數

四，時鐘成角度的問題

設X時時，夾角為30X,Y分時，分針追時針5.5,設夾角為A.（請大家掌

握）

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6

度，時針走0.5度，能追5.5度。

1.[30X-5.5Y]或是360-130X-5.5Y][]表達絕對值的意義（求角度公

式）

變式與應用

2.[30X-5.5Y]=A或360-[30X-5.5Y]=A（已知角度或時針或分針求其中

一個角）

五，往返平均速度公式及其應用（引用）

某人以速度a從A地到達B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的

平均速度v=2ab/（a+b）0

證明:設A、B兩地相距S,則

往返總路程2S,往返總共花費時間s/a+s/b

故v=2s/（s/a+s/b）=2ab/（a+b）

六，空心方陣的總數

空心方陣的總數二（最外層邊人（物）數-空心方陣的層數）X空心方陣的層數

X4

=最外層的每一邊的人數八2一（最外層每邊人數-2*層數）”

二每層的邊數相加x4-4X層數

空心方陣最外層每邊人數二總人數/4/層數+層數

方陣的基本特點：①方陣不管在哪一層，每邊上的人（或物）數量都相同.

每向里一層邊上的人數就少2;

②每邊人（或物）數和四周人（或物）數的關系：

③中實方陣總人:或物）數二（每邊人（或物）數）2=（最外層總人數+4+1）2

例：①某部隊排成一方陣，最外層人數是80人，問方陣共有多少官

兵？（441人）

②某校學生剛好排成一個方隊，最外層每邊的人數是24人，問該方陣有多

少名學生？（576名）解題方法：方陣人數二（外層人數+4+1）2二（每邊人數）2

③參與中學生運動會團隊操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。假如要

使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參與團隊操表演的運動

員有多少人？（289人）

解題方法：去掉的總人數二原每行人數X2-1二減少后每行人數X2+1

典型例題：某個軍隊舉行列隊表演，已知這個長方形的隊陣最外圍有32人,

若以長和寬作為邊長排出2個正方形的方陣需要180人。則本來長方形的隊陣總

人數是（）

A.64,B、72C、96D、100【解析】這個題目通過改編

融合了代數知識中的平方和知識點。長方形的（長+寬）X2=32+4得到長+寬

二18。也許這里面大家對于長+寬=18有些難以計算。你可以假設去掉4個點的

人先不算。長+寬（不含兩端的人）X2+4（4個端點的人）=32,則計算出不含端

點的長+寬二14考慮到各自的2端點所以實際的長寬之和是14+2+2=18o求長方

形的人數，事實上是求長X寬。根據條件長X長+寬X寬=180綜合（長+寬）的

平方二長X長+寬X寬+2X長X寬=18X18帶入計算即得到B。其實在我們得到

長寬之和為18時，我們就可以通過估算的方法得到選項B

七，青蛙跳井問題

例如：①青蛙從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這

祥青蛀需跳幾次方可出井？(G)

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小

趙幾次才干爬上單杠？：7)

總解題方法：完畢任務的次數=井深或繩長-每次滑下米數(碰到半米要將

前面的單位轉化成半米)

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉換成8個半米再計算。

完畢任務的次數二:總長-單長)/實際單長+1

八，容斥原理

總公式：滿足條件一的個數+滿足條件2的個數一兩個都滿足的個數二總個數-

兩個都不滿足的個數

【國2023一類-42】現有50名學生都做物理、化學實驗，假如物理實驗做對

的的有40人，化學實驗做對的的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗

都做對的有多少人？A.27人B.25人C.19人D.10人

上題就是數學運算試題當中經常會出現的“兩集合問撅”，這類問題一般

比較簡樸，使用容斥原理或者簡樸畫圖便可解決。但使用容斥原理對思維規定

比較高，而畫圖浪費時間比較多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，

下面華圖名師李委明給出一個通解公式，希望對大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應當是：40+34x=50-4,得到x=25°我們再看看其

它題目：【國2023A-46】某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人

及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么

兩次考試都及格的人數是多少?A.22B.18C.28D.26

代入公式：26+24r=32-4,得到x=22

九，傳球問題

這道傳球問題是一道非常復雜麻煩的排列組合問題。

【李委明解三】不免投機取巧，但最有效果(根據對稱性很容易判斷結果應

當是3的倍數，假如答案只有一個3的倍數，便能快速得到答案)，也給了一個啟

發——

傳球問題核心公式

N個人傳M次球,記X=[(NT廠M]/N,則與X最接近的整數為傳給“非自己

的某人”的方法數，與X第二接近的整數便是傳給自己的方法數。大家牢記一

條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。

四人進行籃球傳接球練習，規定每人接球后再傳給別人。開始由甲發球,

并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式：

A.60種B.65種C.70種D.75種

x=(4-l)^5/4x=60

十，圓分平面公式：

M2-N+2,N是圓的個數

十一，剪刀剪繩

對折N次，剪M刀,可成M*27+l段

將一根繩子連續對折3次,然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作

后，本來的繩子被剪成了幾段？

A.18段B.49段C.42段D.52段

十二，四個連續自然數，

性質一，為兩個積數和兩個偶數，它們的和可以被2整除，但是不能被4整

除

性質二，他們的積+1是一個奇數的完全平方數

十三，骨牌公式

公式是：小于等于總數的2的N次方的最大值就是最后剩下的序號

十四，指針重合公式

關于鐘表指針重合的問題，有一個固定的公式：61T=S(S為題目中最小的

單位在題目所規定的時間內所走的格書，擬定S后算出T的最大值知道相遇多

少次。)

十五，圖色公式

公式：(大正方形的邊長的3次方)一(大正方形的邊長一2)的3次方。

十六，裝錯信封問題

小明給住在五個國家的五位朋友分別寫信，這些信都裝錯的情況共有多少

種44種

f(n)=n!(1-1/11+1/2!!-1/3!......+(-l)n(l/n!))

或者可以用下面的公式解答

裝錯1信0種裝錯2信：1種裝錯3信：2種裝錯4信：9種裝錯

2信：5種44

遞推公式是S(n)=n.S(n-l)+(-1)、

假如是6封信裝錯的話就是265rs

十七，伯努利概率模型

某人一次涉及擊中靶的概率是3/5,設計三次，至少兩次中靶的概率是

集中概率3/5,則沒集中概率2/5,即為兩次集中的概率+三次集中的概率

公式為C(2,3)*[：3/5廠2]*[(2/5)1]+C(3,3)[(3/5)"3]*[(2/5)^0]

81/125

十八，圓相交的交點問題

N個圓相交最多可以有多少個交點的問題分析N*(N-1)

十九，約數個數問題

M=A-X*ITY則M的約數個數是

(X+l)(Y+1)

360這個數的約數有多少個?這些約數的和是多少？

解)360=2X2X2X3X3X5,所以360的任何一個約數都等于至多三個2(可

以是零個，下同)，至多兩個3和至多一個5的積。假如我們把下面的式子

(1+2+4+8)X(1+3-9)X(1+5)

展開成一個和式，和式中的每一個加數都是在每個括號里各取一個數相乘

的積。由前面的分析不難看出，360的每一個約數都恰好是這個展開式中的一個

加數。由于第一個括號里有4個數，第二個括號里有3個數，第三個括號里有2個

數，所以這個展開式中的加數個數為4X3X2=24,而這也就是360的約數的個

數。另一方面，360的所有約數的和就等于這個展開式的和，因而也就等于

(1+2+4+8)X(1+3-9)X(1+5)

=15X13X6=1,170

答：360的約數有24個，這些約數的和是1,170o

甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800,那么甲

數和乙數分別是多少？

解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數

可以配成一對.只有配成對的兩個約數相同時，也就是這個數是完全平方數時,

它的約數的個數才會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.

2800=24X52X7.

在它具有的約數中是完全平方數，只有

1,22,24,52,22X52,24X52.

在這6個數中只有22X52=100,它的約數是（2+1）X（2+1）=9（個）.

2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100=22X52,因此乙數至

少要具有24和7,而24X7=112恰好有（4+1）義（1+1）=10（個）約數,從而乙數就是

112.綜合起來，甲數是100,乙數是112.

二十，吃糖的方法

當有n塊糖時，有2XnT）種吃法。

二十一，隔兩個劃數

1987=3^6+1258

12584-2X3+1=1888

即剩下的是1888

減去1能被3整除

二十二，邊長求三角形的個數

三邊均為整數，且最長邊為11的三角形有多少個？

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,11,9;...11,11,1;

11,10,10,91...11,10,2;

11,9,9;...11,9,3;

11,8,8;...11,8,4；

11,7,7,...11,7,5;

11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6—2二36

假如將11改為n的話，

n=2k-l時，為-2個三角形；

n=2k時，為(k+l)k個三角形。

二十三，2乘以多少個奇數的問題

假如N是1,2,3,…，1998,1999,2023的最小公倍數，那么N等于多少

個2與1個奇數的積？

解：因210:1024,2\1=2048>2023,每個不大于2023的自然數表達為質因

數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024二210,所以，N等于10個2與某個奇

數的積。

二十四，直線分圓的圖形數

設直線的條數為N則總數=l+{N(l+N)}/2

將一個圓形紙片用直線劃提成大小不限的若干小紙片，假如要提成不少于

50個小紙片，至少要畫多少條直線?請說明.

（解）我們來一條一條地畫直線。畫第一條直線將圓形紙片劃提成2塊.畫

第二條直線，假如與第一條直線在圓內相交，則將圓形紙片劃提成4塊（增長了2

塊），否則只能劃提成3塊.類似地，畫第三條直線，假如與前兩條直線都在期內

相交，且交點互不相同（即沒有3條直線交于一點）,則將圓形紙片劃提成7塊（增

長了3塊），否則劃分的塊數少于7塊.下圖是畫3條直線的各種情形

由此可見，若希望將紙片劃提成盡也許多的塊數，應當使新畫出的直線與

原有的直線都在圓內相交，且交點互不相同.這時增長的塊數等于直線的條數。

（為什么？）這樣劃分出的塊數，我們列個表來觀測：

直線條數紙片最多劃提成的塊數

11+1

21+1+2

31+1+2+3

41+1+2+3+4

51+1+2+3+4+5

不難看出，表中每行右邊的數等于1加上從1到行數的所有整數的和。（為什

么？）我們把問題化為：自第幾行起右邊的數不小于50?我們知道

1+1+2+3+…+：0=56,1+1+2+3+…+9=46,可見

9行右邊還不到50,而第10行右邊已經超過50了。答：至少要畫10條直線。

二十五，公交車超騎車人和行人的問題

一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3

倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超

過一個騎車人，假如公交車從始發站每隔相同的時間發一輛車，那么間隔幾分

鐘發一輛公交車？

此類題通解公式：

"超行人時間，b=超自行車時間，n尸人速，n=自行車速

則每隔t分鐘發車；t=(abn-abm)/(bn-am),令N=3,解得T=8。

二十六，公交車前后超行人問題

小明放學后，沿某公交路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速

度不斷的運營,每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他,每隔7分鐘就碰到迎

面開來的一輛公共汽車，問該路公共汽車每隔多少分鐘發一輛車？

此類題有個通解公式：假如a分鐘追上，b分鐘相遇，

則是2ab/(a+b)分鐘發一次車

二十七，象棋比賽人數問題

象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局勝者記2分，負者

記0分，和棋各記1分，四位觀眾記錄了比賽中所有選手得分總數分別是：1979,

1980,1984,1985,經核算只有一位觀眾記錄對的，則這次比賽的選手共有多

少名？

A.44B.45C.46D.47

解析：44*43=1892,45*44=1980,46*45=2070所以選B

二十八，頻率和單次頻度都不同問題

獵犬發現在離它9米遠的前方有一只奔跑著的兔子，立刻追趕，獵犬的步子

大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3

步。獵犬至少跑多少米才干追上兔子？()

A.67B.54C.49D.34答案b

分析：獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬

跑2步的時間，兔子跑3步.可知獵犬和兔子的速度比是6:5,s/(s-9)=6/5,s=54

二十九，上樓梯問題

一般來說上電梯有al=1a2=2a3=4a4=al+a2+a3

所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)

三十，牛吃草公式

核心公式:草場草量二(牛數-天天長草量)*天數

例如：10牛可吃20天，15牛可吃10天，則25牛可吃多少天？

解:可用公式,設天天恰可供X頭牛吃一天,25牛可吃N天

則(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N,可得X=5,Y=5

,十字相乘法

十字相乘法使用時要注意幾點：

第一點：用來解決兩者之間的比例關系問題。

第二點：得出的比例關系是基數的比例關系。

第三點：總均值放中央，對角線上，大數減小數，結果放對角線上。

(2023年國考)某班男生比女生人數多80覽一次考試后，全班平均成級為

75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%,則此班女生的平均分是：

A.84分B.85分C.86分D.87分答案：A

分析：假設女生的平均成績為X,男生的平均Y。男生與女生的比例是9：

5o

男生：Y9

75

女生：X5

根據十字相乘法原理可以知道

X=84

6.(2023年國考).某高校2023年度畢業學生7650名，比上年度增長2%.

其中本科畢業生比上年度減少2%.而研究生畢業數量比上年度增長10%,那

么，這所高校今年畢業的本科生有：

A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人

答案：C

分析：去年畢業生一共7500人。7650/(1+2%=7500人。

本科生：2%8%

2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%:4%=2:lo

7500*(2/3)=5000

5000*0.98=4900

三十二，兔子問題

An=A(n-l)An(n-2；

已知一對幼兔能在一月內長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一月為生

出一對幼兔。假如現在給你一對幼兔，問一年后共有多少對兔子?

析：1月：1對幼兔

2月：1對成兔

3月；1對成兔.1對幼兔

4;2對成兔.1對幼兔

5;;3對成兔.2對幼兔

6;5對成兔.3對幼兔......

可看出規律：1,1,2,3,5,8(第三數是前兩數之和)，可求出第12項

為：13,21,34,55,89,144,答：有144只兔

三十三，稱重量祛碼最少的問題

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數克重量，至少

要用多少個祛碼?這些祛碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放祛碼，我們從最簡樸的情形開始研究。

(1)稱重1克，只能用一個1克的祛碼，故1克的一個祛碼是必須的。

(2)稱重2克，有3種方案：

①增長一個1克的祛碼；

②用一個2克的祛碼；

③用一個3克的祛碼，稱重時，把一個1克的秩碼放在稱重盤內，把3克的祛

碼放在祛碼盤內。從數學角度看，就是運用3-1=2。

(3)稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增長祛碼，因此方案①淘

汰。

（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增長祛碼，因此方案②也被淘汰。

總之，用1克、3克兩個祛碼就可以稱出（3+1）克以內的任意整數克重。

（5）接著思考可以進行一次奔騰，稱重5克時可以運用

9-（3+1）=5,即用一個9克重的祛碼放在祛碼盤內，1克、3克兩個祛碼放在

稱重盤內。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內的任意整數克重。

而要稱14克時，按上述規律增長一個祛碼，其重為

14+13=27（克）,

可以稱到1+3+9+27=40（克）以內的任意整數克重。

總之，班碼重量為1,3,32,33克時，所用砧篇最少，稱重最大，這也是本題

的答案

三十三，文示圖

紅圈：球賽。藍圈：電影綠圈：戲劇。

X表達只喜歡球賽的人；Y表達只喜歡電影的人；Z表達只喜歡戲劇的人

a表達喜歡球賽和電影的人。僅此2項。不喜歡戲劇

b表達喜歡電影和戲劇的人。僅此2項。不喜歡球賽

c表達喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項不喜歡電影。

中間的陰影部分則表達三者都喜歡的。我們用T表達。

回顧上面的7個部分。X,y,z,a,b,c,T都是互相獨立。互不反復的部

分

現在開始對這些部分規類。

X+y+z二是只喜歡一項的人我們叫做A

a+b+c二是只喜歡2項的人我們叫做B

T就是我們所說的三項都喜歡的人

x+a+c+T二是喜歡球賽的人數構成一個紅圈

y+a+b+T二是喜歡電影的人數構成一個藍圈

z+b+c+T二是喜歡戲劇的人數構成一個綠圈

三個公式。

(1)A+B+T=總人數

(2)A+2B+3T=至少喜歡1個的人數和

(3)B+3T=至少喜歡2個的人數和

例題：學校教導處對100名同學進行調查，結果有58人喜歡看球賽，有38人

喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。此外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但

不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人,

三種都喜歡的有12人。

通過這個題目我們看由于每個人都至少喜歡三項中的一項。則我們用三個

圈紅，綠，藍代表球賽。戲劇、和電影。

A+B+T=100A+2B+3T=148T=12

則可以直接計算只喜歡一項的和只喜歡兩項的

A=64B=24

典型例題：甲，乙，丙三個人共解出20道數學題,每人都解出了其中的12道題,

每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題，只有兩人解出的題叫做中檔題,

三人解出的題叫做容易題，難題比容易題多()題。

A.6B.5C.4D.3［解析】第三題需要結合義氏圖

來理解了，畫圖會很清楚的

我們設a表達簡樸題目，b表達中檔題ac表達難題

a+b+c=20

c+2b+3a=12X3這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的

將a+b+c=20變成2a+2b+2c=40減去上面的第2個式子

得到：c-a=4答案出來了

也許很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費時不

少。當當完全了解純熟運用a+2b+3c這個公式時，你會發現再難的題目也不會

超過1分鐘。

三十四，九宮圖問題

此公式只限于奇數行列

環節1：按照斜線的順序把數字按照從小到大的順序，依次斜線填寫！

環節2:然后將3X3格以外格子的數字折翻過來，

最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊

最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊

這樣你再看中間3X3格子的數字是否己經滿足題目的規定了呵呵！

二十五，用比例法解行程問題

行程問題一直是國家考試中比較重要的一環，其應用之廣恐無及其右者。

行程問題的計算量按照基礎做法不得不說非常大。所以掌握簡樸的方法尤為重

要。當然簡樸的方法需要對題目的基礎知識的全面了掌握和理解。

在細說之前我們先來了解如下幾個關系:

路程為S。速度為V時間為T

S=VTV=S/TT二S/Y

S相同的情況下：V跟T成反比

V相同的情況下：S跟T成正比

T相同的情況下：S跟V成正比

注：比例點數差也是實際差值相應的比例！理解基本概念后，具體題目來

分析

例一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時往對方的方向行駛。

到達對方始發點后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時甲比乙多行了

280千米已知甲的速度為60千米每小時。則乙的速度為多少？

分析：這個題目算是一個相遇問題的入門級的題目。我們先從基礎的方法

入手，要多給自己提問求乙的速度即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時

間T乙。這2個變量都沒有告訴我們，需要我們去根據條件來求出：

乙的行駛路程非常簡樸可以求出來。由于甲乙共通過4次相遇。希望大家不

要嫌我羅嗦。我希望可以更透徹的把這類型的題目通過圖形更清楚的展現給大

家。

第一次相遇情況

A（坤，）*0。。。。0。。。。。。。0。。。。0。

（甲）C（乙）ooooooooooooooooooooooB（乙）

AC即為第一次相遇甲行駛的路程。BC即為乙行駛的路程

則看出AC+BOAB兩者行駛路程之和二S

第2次相遇的情況

A.0000003000000000000（乙）D（甲）。ooo°o

Coooooooooo