浙江省寧波市鄞州區諾丁漢大學附中2025屆高二下數學期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的導函數為，且對任意的恒成立，則下列不等式均成立的是（）A． B．C． D．2．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A．960種 B．984種 C．1080種 D．1440種3．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．4．設函數，則（）A．9 B．11 C．13 D．155．已知函數是定義在上的偶函數，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．6．利用獨立性檢驗的方法調查大學生的性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機詢問111名不同的大學生是否愛好某項運動，利用列聯表，由計算可得P（K2>k）

1．11

1．14

1．124

1．111

1．114

1．111

k

2．615

3．841

4．124

5．534

6．869

11．828

參照附表，得到的正確結論是（）A．有8．4%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B．有8．4%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過1．14%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過1．14%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”7．橢圓C：x24+y23=1的左右頂點分別為AA．[12,34]8．甲?乙?丙?丁?戊5名同學報名參加社區服務活動,社區服務活動共有關愛老人?環境監測?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動五個項目,每人限報其中一項,記事件為“5名同學所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學一人報關愛老人項目”,則()A． B． C． D．9．若函數有小于零的極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知tan=4,cot=,則tan（+）=（）A． B． C． D．11．是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（）A． B． C． D．12．若存在實數，，使不等式對一切正數都成立（其中為自然對數的底數），則實數的最小值是（）.A． B．4 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2019年5月15日，亞洲文明對話大會在中國北京開幕.來自亞洲全部47個國家和世界其他國家及國際組織的1352位會議代表共同出席大會.為了保護各國國家元首的安全，相關部門將5個安保小組安排到的三個不同區域內開展安保工作，其中“甲安保小組”不能單獨被分派，且每個區域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有_________種.14．已知，若，i是虛數單位，則____________．15．若實數滿足條件，則的最大值為_________．16．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數Ⅱ根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論18．（12分）設函數，．(1)解不等式；(2)設函數，且在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）某市大力推廣純電動汽車，對購買用戶依照車輛出廠續駛里程的行業標準，予以地方財政補貼.其補貼標準如下表:2017年底隨機調査該市1000輛純電動汽車，統計其出廠續駛里程，得到頻率分布直方圖如圖所示.用樣本估計總體，頻率估計概率，解決如下問題：（1）求該市純電動汽車2017年地方財政補貼的均值；（2）某企業統計2017年其充電站100天中各天充電車輛數，得如下的頻數分布表：（同一組數據用該區間的中點值作代表）2018年2月，國家出臺政策，將純電動汽車財政補貼逐步轉移到充電基礎設施建設上來.該企業擬將轉移補貼資金用于添置新型充電設備.現有直流、交流兩種充電樁可供購置.直流充電樁5萬元/臺，每臺每天最多可以充電30輛車，每天維護費用500元/臺；交流充電樁1萬元/臺，每臺每天最多可以充電4輛車，每天維護費用80元/臺.該企業現有兩種購置方案：方案一:購買100臺直流充電樁和900臺交流充電樁；方案二:購買200臺直流充電樁和400臺交流充電樁.假設車輛充電時優先使用新設備，且充電一輛車產生25元的收入，用2017年的統計數據，分別估計該企業在兩種方案下新設備產生的日利潤.（日利潤日收入日維護費用）20．（12分）設等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列，求的前項和．21．（12分）《基礎教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質”列入新課程的培養目標．為加強心理健康教育工作的開展，不斷提高學生的心理素質，九江市某校高二年級開設了《心理健康》選修課，學分為2分．學校根據學生平時上課表現給出“合格”與“不合格”兩種評價，獲得“合格”評價的學生給予41分的平時分，獲得“不合格”評價的學生給予31分的平時分，另外還將進行一次測驗．學生將以“平時分×41%+測驗分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學生的平時分及測驗分結果如下：測驗分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時分41分人數1113442平時分31分人數1111111（1）根據表中數據完成如下2×2列聯表，并分析是否有94%的把握認為這些學生“測驗分是否達到51分”與“平時分”有關聯？選修人數測驗分達到51分測驗分未達到51分合計平時分41分平時分31分合計（2）用樣本估計總體，若從所有選修《心理健康》課的學生中隨機抽取4人，設獲得學分人數為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82822．（10分）某輪胎集團有限公司生產的輪胎的寬度(單位:)服從正態分布,公司規定:輪胎寬度不在內將被退回生產部重新生產.(1)求此輪胎不被退回的概率(結果精確到)；(2)現在該公司有一批輪胎需要進行初步質檢,檢驗方案是從這批輪胎中任取件作檢驗,這件產品中至少有件不被退回生產部,則稱這批輪胎初步質檢合格.(?)求這批輪胎初步質檢合格的概率;(??)若質檢部連續質檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質檢合格的批數,求的數學期望.附:若,則.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

構造函數，求出函數的導數，判斷函數的單調性，從而求出結果.【詳解】令，則.，，是減函數，則有，，即，所以.選.本題考查函數與導數中利用函數單調性比較大小.其中構造函數是解題的難點.一般可通過題設已知條件結合選項進行構造.對考生綜合能力要求較高.2、A【解析】分五類：（1）甲乙都不選：；（2）選甲不選乙：；（3）選乙不選甲：；（4）甲乙都選：；故由加法計數原理可得，共種，應選答案A。點睛：解答本題的關鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數、組合數公式及分步計數原理和分類計數原理兩個基本原理。求解依據題設條件將問題分為四類，然后運用排列數、組合數公式及分步計數原理和分類計數原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。3、A【解析】

根據判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進而求得正三棱錐的體積.【詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.本小題主要考查正三棱錐的幾何性質，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關問題的求解，屬于中檔題.4、B【解析】

根據自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【詳解】∵函數，∴=2+9=1．故選B．本題考查函數值的求法，考查指對函數的運算性質，是基礎題．5、D【解析】

構造函數，判斷函數的單調性和奇偶性，根據其性質解不等式得到答案.【詳解】對任意的，都有成立構造函數在上遞增.是偶函數為奇函數，在上單調遞增.當時：當時：故答案選D本題考查了函數的奇偶性，單調性，解不等式，構造函數是解題的關鍵.6、B【解析】解：計算K2≈8.815>6.869，對照表中數據得出有1.114的幾率說明這兩個變量之間的關系是不可信的，即有1?1.114=8.4%的把握說明兩個變量之間有關系，本題選擇B選項.7、B【解析】設P點坐標為(x0,y0)，則于是kPA1∵kPA2【考點定位】直線與橢圓的位置關系8、A【解析】

由條件概率與獨立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A),再求事件AB所包含的基本事件數n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎題.9、A【解析】分析：函數有小于零的極值點轉化為有負根，通過討論此方程根為負根，求得實數的取值范圍.詳解：設，則，函數在上有小于零的極值點，有負根，①當時，由，無實數根，函數無極值點，不合題意，②當時，由，解得，當時，；當時，，為函數的極值點，，解得，實數的取值范圍是，故選A.點睛：本題考查了利用導數研究函數的極值，屬于中檔題.求函數極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.10、B【解析】

試題分析：由題意得，，故選B．考點：兩角和的正切函數．11、A【解析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題．若求離心率的值，需根據條件轉化為關于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉化為關于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應用及e＞1是求解的關鍵．12、B【解析】

分別畫出和的圖象，依題意存在實數，，使不等式對一切正數都成立，要求參數的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數和的公切線，設函數上的切點，則，即轉化為求，設函數的切點為，表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到，令，求出令即可得解；【詳解】解：分別畫出和的圖象，依題意存在實數，，使不等式對一切正數都成立，要求參數的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數和的公切線，設函數上的切點，，，所以，所以切線方程為，整理得，同時直線也是函數的切線，設切點為，所以切線方程為，整理得，所以，整理得，即，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，顯然，故當時取得最小值，即實數的最小值為4，故選：B．本題考查利用導數分析恒成立問題，兩曲線的公切線問題，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、108【解析】

根據題意，分兩步，將5個安保小組分成組，然后全排列分派到每個區域，即可得到結果.【詳解】根據題意，分兩步進行：（1）將5個安保小組分成組，有種情況；（2）將分成的組全排列分派到每一個區域內，有種情況，根據分步計數原理，這樣的安排方法共計有種情況.故答案為：108本題考查了排列、組合以及分步計數原理，屬于基礎題.14、【解析】

由，得，由復數相等的條件得答案．【詳解】由，得，．故答案為：1．本題考查復數相等的條件，是基礎題．15、1【解析】

作出平面區域，則表示過（0，1）和平面區域內一點的直線斜率．求解最大值即可．【詳解】作出實數x，y滿足條件的平面區域如圖所示：由平面區域可知當直線過A點時，斜率最大．解方程組得A（1，2）．∴z的最大值為=1．故答案為：1．點睛：利用線性規劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域．(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優解：根據目標函數的類型，并結合可行域確定最優解．(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值。注意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.16、.【解析】以AD,DC,DD1建立空間直角坐標系，則：得直線和所成角的余弦值等于三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【考點定位】本題主要考察同角函數關系、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式，考查運算能力、特殊與一般思想、化歸與轉化思想【解析】試題分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函數值即可求解；（2）根據式子的結構規律，得，由三角函數中的恒等變換的公式展開即可證明．試題解析：（1）選擇（2），計算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故這個常數為．（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發現推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=證明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=考點：三角恒等變換；歸納推理．18、（1）；（2）【解析】試題分析：本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式證明以及解法等內容.(1)利用數軸分段法求解；（2）借助數形結合思想，畫出兩個函數的圖像，通過圖像的上下位置的比較，探求在上恒成立時實數的取值范圍.試題解析：(1)由條件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函數的圖像可知的取值范圍是.(10分)考點：（1）絕對值不等式；（2）不等式證明以及解法；（3）函數的圖像.19、（1）3.95；（2）見解析【解析】分析：（1）由頻率分布直方圖求出補貼分別是3萬元，4萬元，4.5萬元的概率，即得概率分布列，然后可計算出平均值；（2）由頻數分布表計算出每天需要充電車輛數的分布列，分別計算出兩種方案中新設備可主觀能動性車輛數，從而得實際充電車輛數的分布列，由分布列可計算出均值，從而計算出日利潤．詳解：（1）依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為：純電動汽車2017年地方財政補貼的平均數為(萬元)（2）由充電車輛天數的頻數分布表得每天需要充電車輛數的分布列：若采用方案一，100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天可充電車輛數為(輛）可得實際充電車輛數的分布列如下表：于是方案一下新設備產生的日利潤均值為(元）若采用方案二，200臺直流充電樁和400臺交流充電樁每天可充電車輛數為(輛）可得實際充電車輛數的分布列如下表：于是方案二下新設備產生的日利潤均值為(元)點睛：本題考查統計與概率的相關知識，如頻率分布直方圖，隨機變量的分布列，期望，分布表等，考查數據處理能力，運用數據解決實際問題的能力．20、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）將已知條件轉化為數列的首項和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項公式；（2）借助于（1）可求得的通項公式，結合特點利用列項求和法求和試題解析：（1）由已知有，