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文檔簡介
高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意,.故選:C.2.已知集合,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令,解得,令,解得,得到,即可以推出,推不出,得到“”是“”的充分不必要條件,故A正確.故選:A.3.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項:函數(shù)定義域為,,函數(shù)是偶函數(shù),A選項排除;B選項:函數(shù)定義域為,,函數(shù)是奇函數(shù),且函數(shù)在單調(diào)遞增,B選項正確;C選項:函數(shù)定義域為,,函數(shù)偶函數(shù),C選項排除;D選項:函數(shù)定義域為,D選項排除.故選:B.4.已知,則的最大值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】,∴,當且僅當,即時,取等號.故選:D.5.函數(shù)且的圖象如圖所示,則必有()A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖象可知,在定義域上單調(diào)遞增,而是增函數(shù),根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知,,,所以,,由圖可知當時,,所以A選項正確.故選:A.6.《九章算術》在卷一《方田》題[三五]中提到弧田面積的計算問題.弧田是由圓弧和弦所圍成的弓形部分(如圖陰影部分所示).有一弧田的弧長為10,且所在的扇形圓心角為2,則該弧田的面積約為()(參考數(shù)據(jù):)A.10 B.12.5 C.13 D.26【答案】C【解析】扇形的半徑,面積為,,三角形的面積為,所以弧田的面積約為.故選:C.7.已知,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以,所以,,所以.故選:D.8.若函數(shù)的值域為,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴當時,,令,,當時,函數(shù)對稱軸,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即函數(shù)的值域為,要想函數(shù)的值域為,則,即,∴,當時,函數(shù)對稱軸,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,即函數(shù)值域為,∵,∴此時函數(shù)的值域為,即,綜上所述:.故選:C.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】AC【解析】A選項,若,由不等式的性質(zhì)可知,A選項正確.B選項,若,當時,,所以B選項錯誤.C選項,若,則,C選項正確.D選項,若,則,D選項錯誤.故選:AC.10.已知函數(shù),則()A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上的取值范圍為D.使得成立的的取值集合為【答案】ACD【解析】由解析式知道,則周期,故A選項正確;令,解得,∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上遞減,故B選項錯誤;當時,,即,故C選項正確;令,解得或,由函數(shù)單調(diào)性可知成立的的取值集合為,故D選項正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)對任意都有,若的圖象關于直線對稱,且對任意,當時,都有,則()A.B.C.直線是函數(shù)的一條對稱軸D.若在區(qū)間上有8個零點,則所有零點的和為32【答案】ACD【解析】因為的圖象關于直線對稱,根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律,將的圖象向左平移個單位得到的圖象,所以的圖象關于對稱,即是偶函數(shù),,已知,令,則,由于,所以,故A正確,由,可得,進而,所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù),對任意,當時,,移項得到,這意味著當,即時,,所以在上單調(diào)遞增,因為是偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞減,,,由于在上單調(diào)遞減,所以,即,故B錯誤,函數(shù)的周期為,又因為的圖象關于直線對稱,所以的圖象關于軸對稱,即,因為的圖象關于軸對稱,所以,又因為的周期為,則,再根據(jù),可得,同樣,,而,,所以,設,則,因為是偶函數(shù),所以,那么,所以直線是函數(shù)的一條對稱軸,C選項正確,令,即,設,,關于對稱,是周期為的偶函數(shù),由在區(qū)間上有個零點,這個零點兩兩關于對稱,設這個零點為,則,,,,所以,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.使得有意義的的取值集合為__________.【答案】或【解析】若有意義,則且,即的取值集合為或.13.寫出同時滿足下列條件的一個函數(shù)的解析式__________.①為冪函數(shù);②為偶函數(shù);③在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】(答案不唯一)【解析】依題意,是冪函數(shù),偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以中,是偶數(shù)且為負數(shù),所以符合題意.14.在平面直角坐標系中,已知角為第一象限角,其終邊和單位圓的交點與點關于直線對稱,則__________.【答案】【解析】由已知點的坐標為,且,,又點與點關于直線對稱,所以,,所以,所以,所以,所以,又為銳角,所以,所以,所以.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(1)計算:;(2)計算:;(3)已知,求的值.解:(1)原式.(2)原式.(3)由,可得,所以.16.已知集合,集合.(1)若,求和;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)當時,,令,解得,所以,故或.(2)由得到,(i)當時,,因為,所以,解得.(ii)當時,,因為,所以,解得.(iii)當時,,因為,所以,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù),判斷并根據(jù)定義證明的單調(diào)性;(2)求不等式的解集.解:(1)求解法一:函數(shù)的定義域為,因為為奇函數(shù),所以,所以,所以,解得.求解法二:由即,解得,此時.因為,所以為奇函數(shù),符合題意.以下用定義證明是增函數(shù):任取,且,則,又因為在上單調(diào)遞增,且,所以,故,又,所以,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)由,可得,又因為為奇函數(shù),所以,所以,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,即,即,解得,所以不等式解集為.18.已知函數(shù)其中.(1)當時,(i)按關鍵點列表,并畫出函數(shù)的簡圖;(ii)寫出的單調(diào)區(qū)間;(2)是否存在實數(shù),使得的圖象是中心對稱圖形?若存在,寫出的值并對圖象的對稱性加以證明;若不存在,說明理由.解:(1)(i)當時,列表如下:描點如圖:(ii)由圖可知,單調(diào)遞增區(qū)間:;單調(diào)遞減區(qū)間:.(2)存在實數(shù),使得的圖象是中心對稱圖形;對稱中心為.下證明:①對于任意.所以;②對于任意,.所以;綜上所述,存在實數(shù),使得的圖象關于中心對稱.19.函數(shù)和的定義域分別為,如果對于中的任意一個數(shù),按照的對應關系,在中都有且僅有個確定的數(shù)與之對應,則稱為的“函數(shù)”.例如:,則為的“函數(shù)”.(1)設,判斷以下兩種說法是否正確,并說明理由:①是的“函數(shù)”;②是的“函數(shù)”;(2)設,判斷是否為的“函數(shù)”,若是,求;若不是,請說明理由;(3)設,若為的“函數(shù)”,求的取值范圍.解:(1)①是正確的,因為對,按照的對應關系,即,所以,所以,對,按照的對應關系,在中都有且僅有1個確定的數(shù)與之對應所以,是的“函數(shù)”,所以,①正確;②是錯誤的,因為當時,,因為,按照的對應關系,此時不存在,使得.所以,不是的“函數(shù)”,所以,②錯誤.(2),且,,因為,當,有,所以在上單調(diào)遞減;當,有,所以在上單調(diào)增減.因為,所以,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以,有.因為,所以,問題等價于對于中的任意一個數(shù),關于的方程在內(nèi)都恰有幾個解的問題,令,則,問題等價于判斷對于,方程在內(nèi)都恰有幾個解,記,因為,當,又在單調(diào)遞增,所以在都恰有1個解;當,又在單調(diào)遞減,所以在都恰有1個解;當,此時方程沒有解,所以,方程在內(nèi)恰有2個解,即一個周期內(nèi)方程都恰有2個解.所以,方程在內(nèi)恰有4個解,所以對于中的任意一個數(shù),按照的對應關系,在中都有且僅有4個確定的數(shù)與之對應,即為的“函數(shù)”,所以
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