PAGE第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.假如x,G,y是等比數(shù)列,那么G為x與y的等比中項(xiàng),且G2=xy,G=±QUOTE.2.等比數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系等比數(shù)列{an},m,n,p,q∈N+兩項(xiàng)關(guān)系an=amqn-m三項(xiàng)關(guān)系若m+n=2p,則an·am=QUOTE四項(xiàng)關(guān)系若m+n=p+q,則am·an=ap·aq等比數(shù)列兩項(xiàng)之間的關(guān)系an=amqn-m中,當(dāng)n≤m時(shí)成立嗎?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=QUOTE.3.等比數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列a1>0q>1a1<00<q<1遞減數(shù)列a1>00<q<1a1<0q>1當(dāng)q=1,q<0時(shí),分別是什么數(shù)列?提示:當(dāng)q=1時(shí)是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí)是搖擺數(shù)列.1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)等比數(shù)列{an}中a2·a6=QUOTE. ()(2)若G是a與b的等比中項(xiàng),則G=QUOTE. ()(3)若a,G,b滿意G2=ab,則a,G,b肯定是等比數(shù)列. ()提示:(1)×.a2·a6=QUOTE.(2)×.G=±QUOTE.(3)×.如0,0,0滿意02=0×0,但不是等比數(shù)列.2.若三個(gè)正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,則b=________.

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,所以b=QUOTE=4.答案:43.在等比數(shù)列{an}中,已知a7·a12=10,則a8·a9·a10·a11=________.

【解析】因?yàn)閍7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一等比中項(xiàng)及其應(yīng)用【典例】1.若三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=3-QUOTE,c=3+QUOTE,則b= ()A.2 B.-2 C.±2 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1=9d,若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),則k等于 ()A.2 B.4 C.6 【思維·引】1.利用b是a,c的等比中項(xiàng)求值.2.將ak,a2k用d表示出來,再利用等比中項(xiàng)列式求值.【解析】1.選C.三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac=(3-QUOTE)(3+QUOTE)=9-5=4,則b=±2.2.選B.因?yàn)閍n=(n+8)d,又因?yàn)镼UOTE=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【內(nèi)化·悟】等比數(shù)列中,a1和a5的等比中項(xiàng)是哪一項(xiàng)?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中項(xiàng)是a3,a2和a8的等比中項(xiàng)是a5.【類題·通】應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)假如出現(xiàn)等比數(shù)列兩項(xiàng)的乘積時(shí),就要留意考慮是否能轉(zhuǎn)化為等比中項(xiàng)表示;(2)等比中項(xiàng)一般不唯一,但是假如在等比數(shù)列中,還要關(guān)注項(xiàng)的關(guān)系,如a4是a2,a6的等比中項(xiàng),而a4=a2q2,因此a4與a2的符號相同.【習(xí)練·破】-1,a,b,c,-25是等比數(shù)列,則abc=________.

【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)閎是a,c的等比中項(xiàng),也是-1,-25的等比中項(xiàng),所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因?yàn)閎=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加練·固】已知數(shù)列-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,求QUOTE的值.【解析】因?yàn)?1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則a2-a1=d=QUOTE×[(-4)-(-1)]=-1,因?yàn)?1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,所以QUOTE=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若設(shè)公比為q,則b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.類型二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例】1.若數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,則a11A.5 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿意:a3a7=2QUOTE,a3=1,則a2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【思維·引】1.利用a2a5=a1a62.利用a3a7=QUOTE求出q,進(jìn)而求出a2.【解析】1.選C.因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的兩個(gè)根,且a1<a6,解得a1=4,a6=5,所以q5=QUOTE,a11=a1q10=4×QUOTE=QUOTE.2.選B.各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿意:a3a7=2QUOTE,所以QUOTE=2QUOTE,所以q=QUOTE,因?yàn)閍3=1,所以a2=QUOTE=QUOTE.【內(nèi)化·悟】用數(shù)列項(xiàng)的哪個(gè)要素的關(guān)系來確定所用的性質(zhì)?提示:須要用數(shù)列項(xiàng)的下標(biāo)關(guān)系,即項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.【類題·通】1.解答等比數(shù)列問題的基本方法——基本量法(1)基本步驟:運(yùn)用方程思想列出基本量a1和q的方程組,解出a1和q,然后利用通項(xiàng)公式求解.(2)優(yōu)缺點(diǎn):適用面廣,入手簡潔,思路清楚,但有時(shí)運(yùn)算稍繁.2.利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題(1)基本思路:充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用,分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.(2)優(yōu)缺點(diǎn):簡便快捷,但是適用面窄,有肯定的思維含量.【習(xí)練·破】(2024·眉山高二檢測)已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列,a1+a6=12,a2a5=20,則QUOTE= ()A.5 B.10 C.25 D.5【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列,a1+a6=12,a2a5所以QUOTE解得a1=2,q=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=q10=25.【加練·固】(2024·惠州高二檢測)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-5x+3的兩個(gè)零點(diǎn)是a1,a5,則a3= ()A.1 B.-1 C.±QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由根與系數(shù)的關(guān)系可知a1+a5=5,a1·a5=3,則a1>0,a5>0,從而a3>0,且QUOTE=a1·a5=3,所以a3=QUOTE.類型三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例】朱載堉(1536-1611),明太祖九世孫,音樂家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家,在他多達(dá)百萬字的著述中以《樂律全書》最為聞名,在西方人眼中他是大百科全書式的學(xué)者王子.他對文藝的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了“十二平均律”,此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國的鍵盤樂器上,包括鋼琴,故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”.“十二平均律”是指一個(gè)八度有13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最終一個(gè)音頻率是最初那個(gè)音頻率的2倍,設(shè)其次個(gè)音的頻率為f2,第八個(gè)音的頻率為f8,則QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思維·引】化歸成數(shù)列中項(xiàng)、公比的問題求解.【解析】選A.依題意13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列,記為{an},設(shè)公比為q,則a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=QUOTE,所以QUOTE=q6=(QUOTE)6=QUOTE.【內(nèi)化·悟】在應(yīng)用性問題中,推斷是否為等比數(shù)列模型的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是看增長(縮減)是否依據(jù)同一比例.【類題·通】關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問題中的應(yīng)用首先依據(jù)題意推斷是否是等比數(shù)列模型,其次分析等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù),最終利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算解題.【習(xí)練·破】(2024·延慶高二檢測)某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種型號的產(chǎn)品,每年的產(chǎn)量分別為10萬支和40萬支,為了擴(kuò)大再生產(chǎn),確定對兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造,預(yù)料改造后的A,B兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長率分別為50%和20%,那么至少經(jīng)過________年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010) ()

A.6 B.7 C.8 【解析】選B.設(shè)經(jīng)過n年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量,則10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化為:QUOTE>4,取對數(shù)可得:n>QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈6.2.所以至少經(jīng)過7年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量.【加練·固】某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍,那么該單位此年的月平均增長率是________.

【解析】由題意可知,這一年中的每一個(gè)月的產(chǎn)值成等比數(shù)列,因?yàn)镼UOTE=m,所以月平均增長率為QUOTE-1.答案:QUOTE-1類型四等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用角度1敏捷設(shè)項(xiàng)解題【典例】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積為64,假如第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去1,則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這三個(gè)數(shù).【思維·引】利用等比數(shù)列設(shè)出前三項(xiàng),表示出等差數(shù)列后求未知數(shù).【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列,設(shè)三個(gè)數(shù)為QUOTE,a,aq,則QUOTE×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三個(gè)數(shù)為QUOTE,4,4q,第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去1為QUOTE-1,4,4q-1,則QUOTE-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或QUOTE,所以這三個(gè)數(shù)為2,4,8或8,4,2.【素養(yǎng)·探】在利用等比數(shù)列設(shè)項(xiàng)解題過程中,經(jīng)常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過解方程求公比解題.本例中的條件若改為“其積為512,假如第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2”,試求這三個(gè)數(shù)【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)依次為QUOTE,a,aq,因?yàn)镼UOTE·a·aq=512,所以a=8.因?yàn)镼UOTE+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=QUOTE,所以這三個(gè)數(shù)為4,8,16或16,8,4.角度2等差、等比數(shù)列性質(zhì)【典例】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,則a2018+b9= ()A.2274 B.2074 C.2226 D.2【思維·引】分別用等差數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d、等比數(shù)列的公比q表示出已知條件,求出a1,d,q后求a2018+b9.【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的公比為q>0,因?yàn)閎1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,則a2018+b9=1+2017+28=2274.【類題·通】等比數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法(1)三數(shù)成等比數(shù)列常設(shè)成QUOTE,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為QUOTE,a,aq,aq2.若四個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為QUOTE,QUOTE,aq,aq3.【習(xí)練·破】設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}滿意a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則a10等于________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d≠0,則a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化簡得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21【加練·固】已知數(shù)列{an}是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,則{an}的公比為________.

【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.答案:2課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.對隨意等比數(shù)列{an},下列說法肯定正確的是 ()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3,a6,a9成等比數(shù)列【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)镼UOTE=QUOTE=q3,即QUOTE=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若QUOTE=4,則a5= ()A.2 B.4 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依據(jù)題意,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,若QUOTE=4,則QUOTE=a3q2=a5=4.3.(2024·全國Ⅰ卷)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8= ()A.12 B.24 C.30 【解題指南】依