函數與方程、不等式之間的關系(2)

高一年級數學主講人：

一、復習1.函數的零點函數零點的定義:一般地，如果函數y＝f(x)在實數α處的函數值等于零，即f(α)＝0，則α叫做函數y＝f(x)的零點.2.零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區間兩個端點處的函數值異號)，則函數在區間(a，b)中至少有一個零點，即?x0∈(a，b)，

f(x0)＝0.練習1.若函數f(x)＝x2＋ax＋b的零點是2和－4，則a＝____，b＝_____.解析：∵2，?4是函數f(x)的零點，∴f(2)＝0，f(?4)＝0，即

解得練習2.已知函數f(x)的部分x、f(x)的對應關系如下表:則函數f(x)存在零點的區間為()A.[1,2]和[2,3] B.[2,3]和[3,4] C.[2,3],[3,4]和[4,5] D.以上均有可能答案：Dx123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064（一）二分法1.二分法的概念對于在區間

上連續不斷且f(a)f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近為零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.由函數的零點與相應的方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解.例1.求函數f(x)=x3?x?1在區間[1,1.5]內的一個零點(精確度0.1).解：由于f(1)=1?1?1=?1<0,

f(1.5)=3.375?1.5?1=0.875>0,

∴f(x)在區間[1,1.5]上存在零點,

取區間[1,1.5]作為計算的初始區間,

用二分法逐次計算列表如下:端(中)點坐標中點函數值符號零點所在區間

[1,1.5]1.25f(1.25)<0[1.25,1.5]1.375f(1.375)>0[1.25,1.375]1.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]1.34175f(1.34375)>0[1.3125,1.34375]∵1.3125≈1.3,1.34375≈1.3,即兩端精確到0.1時的近似值相等了,∴結束，且知:近似解為1.3.

例2.給出四個函數圖像，不能用二分法求函數零點的是()答案AABCD練習.求函數f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一個正的零點(精確到0.1).解：由于f(1)=?6＜0，f(2)＝4＞0，可取區間[1，2]作為計算的初始區間.用二分法逐次計算，列表如下：至此可以看出，區間[1.71875,1.734375]的左右端點精確到0.1的近似值都為1.7，所以1.7就是所求函數零點精確到0.1的實數解，即為函數的一個正數零點.例3.若函數f(x)＝ax2?x?1僅有一個零點，求實數a的取值范圍.解：①若a＝0，則f(x)＝?x?1為一次函數，易知函數僅有一個零點；（二）零點綜合應用②若a≠0，則函數f(x)為二次函數，若其只有一個零點，則方程ax2?x?1＝0有兩個相等的實數根，故判別式

綜上，當

或

時，函數f(x)僅有一個零點.例4.若二次函數f(x)＝x2?2x＋m在區間(0,4)上存在零點，求實數m的取值范圍.解析：m＝?x2＋2x在(0,4)上有解，

又?x2＋2x＝?(x?1)2＋1，∴y＝?x2＋2x在(0,4)上的值域為(?8,1]，∴?8<m≤1.例5.已知關于x的二次方程ax2

?

2(a＋1)x＋a?1＝0有兩個根，且一個根大于2，另一個根小于2，試求實數a的取值范圍.解:令f(x)＝ax2?2(a＋1)x＋a?1，依題意知，函數f(x)有兩個零點，且一個零點大于2，一個零點小于2.∴f(x)的大致圖象如圖所示：

或,即

或解得0＜a＜5，∴a的取值范圍為(0,5).則a應滿足例6.若函數f(x)＝(m?2)x2＋mx＋2m＋1的兩個零點分別在區間(?1,0)和區間(1,2)內，則m的取值范圍是_____．解析：依題意，結合函數f(x)的圖象分析可知，m需滿足即解得:課堂小結1.判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為變號零點.因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適合.2.二分法的實質是通過“取中點”，不斷縮小零點所在區間的范圍.在選擇區間[a，b]時要使其長度盡可能小，以減少運算次數.當區間的兩個端點的值按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數的近似零點.3.在求和函數零點有關的參數范圍問題中，一