1.3全等三角形的判定（1）??基礎知識三個基本事實兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）一個推論兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）一個補充旋轉、平移、軸對稱（翻折）前后的兩個三角形全等?基礎題型【題型1】用SAS證明三角形全等【題型2】用SAS間接證明三角形全等【題型3】全等的性質和SAS綜合【題型4】用ASA（AAS）證明三角形全等【題型5】全等的性質和ASA（AAS）綜合【題型6】用SSS證明三角形全等【題型7】用SSS間接證明三角形全等【題型8】全等的性質和SSS??例題精講

例1：（2025·云南西雙版納·一模）如圖，，，．求證：．【答案】見解析【知識點】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關鍵．利用證全等即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．例2：（2425八年級上·湖南永州·期中）如圖，已知點，在上，，，．求證：；【答案】見解析【知識點】兩直線平行內錯角相等、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質，根據平行線的性質得出，根據等式的性質得出，最后根據證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，∴例3：（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點在的邊上，經過邊的中點，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【知識點】線段的和與差、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．（1）利用全等三角形的判定即可證明；（2）利用全等三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：點是邊的中點，，在和中，，．（2）解：由（1）得，，，，．的長為1．例4：（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形中，是邊上一點，連接，，平分，．求證：．【答案】見解析【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判斷，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．由題得，根據等腰三角形的性質得到，推出，即可得到結論．【詳解】證明：，．．，．平分，．．在和中，，．例5：（2425七年級下·全國·課后作業）已知：如圖，，．(1)AB與CD有怎樣的位置關系？請證明你的結論．(2)你還能發現哪些結論？【答案】(1)，證明見解析(2)，【知識點】根據平行線判定與性質證明、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．（1），理由為：連接，由兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由已知角相等及公共邊，利用得到三角形全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；（2）還能得到與平行，．【詳解】（1）解：，理由如下：連接，，，在和中，，，；（2）還能確定出：，例6：（2425七年級下·上海崇明·期中）如圖，四邊形中，，，，(1)求證：；(2)求證：；【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】全等三角形的性質、用SSS證明三角形全等（SSS）、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質得，利用證明，根據全等三角形的性質求出，再根據角的和差得出結論．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，（2）證明：由（1）可知，，，在和中，，，，即．例7：（2425九年級上·云南昆明·期中）如圖，，，．求證：．【答案】見解析【知識點】用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先得到，再由證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴．例8：（2223七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，點E是邊上一點，且，點D在上，連接，，若，，，則的度數為．【答案】/度【知識點】三角形的外角的定義及性質、用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形外角的性質，先證明，可得，再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．例9：（2025七年級下·全國·專題練習）已知：如圖，在與中，，點在的延長線上，連接．求證：．【答案】證明見解析【知識點】全等的性質和SSS綜合（SSS）、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．利用即可證明全等，再根據全等三角形的性質求證．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴，∴．課堂鞏固1．（2425七年級下·上海崇明·期中）如圖，已知，，，，求證：【答案】見解析【知識點】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先由垂線的定義得到，則可證明，再利用即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴．2．（2425八年級上·云南楚雄·期末）如圖，，且．求證：．【答案】見解析【知識點】用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定，先證明，再根據證明即可．【詳解】證明：，．在和中，．3.（2425七年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，已知B、E、C、F在同一條直線上，，且，與交于點G．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】根據平行線的性質求角的度數、三角形內角和定理的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，平行線的性質，熟知全等三角形的性質與判定定理是解題的關鍵．（1）先證明，，再利用即可證明；（2）由全等三角形的性質得到，再由三角形內角和定理求出的度數，最后根據平行線的性質即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，∴，又∵，∴（2）解：∵，∴，∴，∵，∴．4.（2425七年級下·河南鄭州·期中）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，，則的依據是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據平行線判定與性質證明、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的判定和性質，根據全等三角形的判定定理判斷是解題的關鍵．根據題中的條件推理出全等三角形的判定依據，即可求解；【詳解】解：，，在和中，，；則的依據是；故選：D5.（2025·陜西西安·三模）如圖，是的中線，，分別是和延長線上的點，且．求證：．【答案】見解析．【知識點】根據三角形中線求長度、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了三角形全等的判定、平行線的性質、三角形的中線，熟練掌握三角形全等的判定是解題關鍵．先根據三角形的中線可得，再根據平行線的性質可得，可證，即得．【詳解】證明：∵是的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴．∴．6.（2425七年級下·四川成都·期中）工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角，如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，這時過角尺頂點的射線就是的平分線．這里構造全等三角形的依據是．【答案】【知識點】用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和性質定理．根據全等三角形的判定定理推出，根據全等三角形的性質得出，根據角平分線的定義得出答案即可．【詳解】解：在和中，.∴，∴，即就是的平分線，故答案為：．7.（2425八年級上·湖南永州·期中）如圖，、、、在一條直線上，與交于點，，，，求證：．【答案】見解析【知識點】用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．首先得出，再利用證明即可．【詳解】證明：∵，∴，即在和中∴．8.（2223八年級上·浙江湖州·期中）如圖，四邊形中，，，E、F分別為、的中點，連接、．(1)與相等嗎？請說明理由；(2)求證：．【答案】(1)與相等，理由見解析；(2)證明見解析．【知識點】用SSS間接證明三角形全等（SSS）、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，以及線段中點定義，（1）在和中，利用即可證明，則；（2）根據題意得，，則，結合（1）得，即可證明，有．【詳解】（1）解：與相等，理由如下：連接，在和中，，∴，∴；（2）證明：∵點E與F分別是、的中點，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．9.（2425七年級下·廣東深圳·期中）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，，，(1)求證：．(2)，，求當中邊的取值范圍．【答案】(1)證明見結論(2)【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．（1）由得出，再利用證明，根據全等三角形的性質即可得出結論；（2）先利用全等三角形的結論得到，再結合三角形三邊關系列出關于的不等式，最后代入數值求出取值范圍．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，∴；（2）∵∴，在中，∵，∵，，∴，即．課后作業1．（2425七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，已知在中，，，在中，，，連接，，延長交于點F．試說明：．【答案】見解析【知識點】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．先證出，再利用定理即可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，在和中，，∴．2．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，點是的邊延長線上一點，且，過作，且，連接交于點，若，求證：．【答案】證明見解析【知識點】兩直線平行同位角相等、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質，先由平行線的性質得到，再證明，，據此可利用證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．3．（2425七年級下·全國·隨堂練習）如圖，在和中，，，，連接，．試說明：．【答案】見解析【知識點】用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．先證明，然后根據可證．【詳解】解：因為，所以，所以．在和中，，所以．4．（2425八年級上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形中，是對角線上一點，，，求證：．【答案】證明見解析【知識點】全等的性質和SSS綜合（SSS）、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．先證明得出，再證明．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，在和中，，∴．5．（2025·陜西咸陽·二模）如圖，在四邊形中，點為對角線上一點，連接，，且，．求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定，利用得到，證明，即可得到，熟練利用相關性質是解題的關鍵．【詳解】證明：，，，在和中，，，，．6．（2425七年級下·山東濟南·階段練習）已知：如圖，是的中線，點在上，點在的延長線上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質；（1）先證明，結合，，從而可得結論；（2）先求解，再結合全等三角形的性質可得結論．【詳解】（1）證明：∵是的中線，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴；7．（1920八年級上·江西上饒·期中）小明不飽將塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶（）A．第1塊 B．第2塊C．第3塊 D．第4塊【答案】B【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．解題詞關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的判定定理：、、、、．本題應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．8．（2425七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，D，B，E在同一條直線上，，，．(1)試說明；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【知識點】兩直線平行同位角相等、三角形內角和定理的應用、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質，三角形內角和定理，熟知三角形內角和定理和全等三角形的判定定理是解題的關鍵．（1）根據平行線的性質得到，再證明，即可利用，證明；（2）先求出的度數，再利用三角形內角和定理即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．9．（2025·廣東廣州·一模）如圖，，．求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先由得到其鄰補角相等，再由證明全等，則由全等三角形對應邊相等即可說理．【詳解】證明：∵，∴．在和中，，∴，∴．10．（2025·云南昆明·一模）如圖，已知，相交于點E，，，求證：．【答案】見解析【知識點】兩直線平行內錯角相等、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．根據得出，證明，即可解答．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．11．（2425八年級下·湖南·期中）如圖，在四邊形中，，，，則°．【答案】/130度【知識點】三角形內角和定理的應用、全等三角形的性質、用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，理解相關知識是解答關鍵．連接，利用“”易得，根據全等三角形的性質易得，根據三角形的內角和定理得到的度數來求解．【詳解】解：連接，如下圖在和中，，，，，．，．．故答案為：．12．（2024九年級下·云南·學業考試）如圖，A，B，C，D四點依次在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【知識點】用SSS證明三角形全等（SS