第=page11頁，共=sectionpages11頁山東省棗莊八中2024-2025學年高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.把與復數2+i對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉90°，所得的向量對應的復數為A.1?2i B.?1?22.已知向量a=(3,sinθ)A.725 B.?725 C.243.下列說法正確的是(

)A.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

B.過空間內不同的三點，有且只有一個平面

C.棱錐的所有側面都是三角形

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，對于下列命題正確的是(

)A.m?α，n?α，m//β，n/?/β?α/?5.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′，且O′AA.2

B.1

C.226.如圖是古希臘數學家特埃特圖斯用來構造無理數2、3、5、…的圖形.AB=BC=1，AC=2，DA.1

B.2

C.627.在△ABC中，若(aA.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.已知三棱錐D?ABC的頂點都在球O的球面上，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形.若三棱錐D?A.16π B.12π C.8π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1，z2，z3是復數，z1A.z1z2?=z1??z2? B.若z2?10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b=2，A=π3A.1 B.3 C.2 11.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1=2ACA.直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的半徑為2

B.三棱錐P?MNA的體積與P的位置無關

C.若P為B1C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.sin15°13.底面半徑為4的圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個底面半徑為1，母線長為3的圓錐，則所得圓臺的側面積為______．14.在△ABC中，BD=2DC，過點D的直線分別交直線AB、AC于點E、F，且AE四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,?2)，b=(?3,?k)．

(1)若a//b，求16.(本小題15分)

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA+sinBb+c=sinCa?17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，點I在棱PA上(不與端點重合)，E，F分別是PD，AC的中點．

(1)證明：EF18.(本小題17分)

已知函數f(x)=23sinxcosx+tan2x?1tan2x+1．

(1)化簡f(x)，并求f(?π12)的值；

(219.(本小題17分)

如圖，設△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知c=1，且2csinAcosB=asinA?15csinC，cos∠BAD=217．

(1)

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：與復數2+i對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉90°，

則所得的向量對應的復數為(2+i)[cos2.【答案】A

【解析】解：已知向量a=(3,sinθ)，b=(5,1)，由于a//b，3.【答案】C

【解析】解：對A：根據棱柱的定義知，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，

且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，所以A錯誤，

對B：若這三點共線，則可以確定無數個平面，故B錯誤；

對C：棱錐的底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，故C正確；

對D：只有用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故D錯誤，

故選：C．

對A：直接利用棱柱的定義即可判斷；對B：三點共線時不滿足；對D：必須截面與底面平行才成立．

本題考查棱柱和棱臺的結構特征，考查學生的空間立體感和邏輯推理能力，屬于基礎題．4.【答案】B

【解析】解：m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，

對于A，m?α，n?α，m//β，n//β?α與β相交或平行，故A錯誤；

對于B，由面面平行的性質得：α/?/β，m?α?m//β，故B正確；

對于C，n/?/m，n?α?m/?/α或m?α，故C錯誤；

對于D5.【答案】C

【解析】解：根據題意，在直觀圖直角梯形O′A′B′C′，過點C′作C′D′⊥O′A′，交O′A′于點D′，

由于O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′6.【答案】B

【解析】解：延長AB、DC交于點E，取CE的中點F，連接BF，

易知△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACD=90°，∠ACB=45°，

所以，∠ACE=90°，∠CBE=90°，∠BCE=∠ACE?∠ACB=45°，

故△BC7.【答案】A

【解析】解：∵(a?acosB)sinB=(b?ccosC)sinA，

由正弦定理得(a8.【答案】A

【解析】解：如圖，

設球O的半徑為R，△ABC的外心為O1，

由題意得△ABC外接圓半徑為33×3=3，面積為34×32=934，

∴OO1=R2?3，

可得三棱錐D?ABC體積的最大值：

V9.【答案】AB【解析】解：設z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，所以z1z2?=(ac?bd)?(ad+bc)i，

z1??z2?=(a?bi)10.【答案】BD【解析】解：由正弦定理可得asinA=bsinB，所以asinπ3=2sinB，

∴asinB=2sinπ3=2×32=3，

∴sinB=3a11.【答案】AB【解析】解：對A選項，根據題意可知：

直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的直徑2R即為長寬高分別為2，2，22的長方體的體對角線長，

∴(2R)2=22+22+(22)2=16，

∴直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的半徑R=2，∴A選項正確；

對B選項，∵C1B1//MN，C1B1?平面AMN，MN?平面AMN，

∴C1B1//平面AMN，又P是線段B1C1上(包含端點)的動點

∴P到平面MNA的距離為定值，又△MNA的面積也為定值，12.【答案】6【解析】解：sin15°+cos15°13.【答案】45π【解析】解：根據題意，設原來圓錐的母線長為l，其底面半徑為4，

其軸截面如圖：

截去圓錐的底面半徑為1，母線長為3，

則有14=3l，解可得l=12，

則原來圓錐的側面積S1=π×4×12=48π，截去圓錐的側面積S2=π×14.【答案】3

【解析】解：如圖，

因為BD=2DC，所以AD=23AC+13AB=23nAF+13mAE，

因為E，F，D三點共線，所以23n+13m=1，

所以m+2n=(m15.【答案】解：(1)因為向量a=(1,?2)，b=(?3,?k)，且a//b，

所以1×k?2×(?3)=0，解得k=?6，

所以|b|=(?3)【解析】本題考查向量的模、實數值的求法，考查向量平行、向量垂直、向量夾角余弦公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

(1)利用向量平行的性質求出k=?6，由此能求出|b|的值．

(2)利用向量垂直的性質能求出實數k．

(3)由a16.【答案】解：(1)因為sinA+sinBb+c=sinCa?b，

所以由正弦定理得a+bb+c=ca?b，

所以a2?b2=bc+c2，

所以b2+c2?a2=?bc．

所以由余弦定理得cosA【解析】(1)利用正弦定理將已知等式統一成邊的形式，化簡后利用余弦定理可求出角A；

(2)由AB⊥AD結合A=2π3可得17.【答案】證明見解析；

證明見解析．

【解析】(1)證明：連接BD，

因為底面ABCD是正方形，所以F是BD的中點，

又因為E是PD的中點，所以EF/?/PB，

因為EF?平面PBC，PB?平面PBC，

所以EF/?/平面PBC；

(2)證明：因為E，F分別是PD，BD的中點，

所以EF/?/PB，

因為EF?平面PAB18.【答案】f(x)=2sin(2x【解析】(1)f(x)=23sinxcosx+tan2x?1tan2x+1=3sin2x+sin2x?cos2xsin2x+cos2x=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

則f(?π12)=?3；

(2)19.【答案】解：(1)由2csinAcosB=asinA?15csinC，

由正弦定